Uppgifter om funktioner Mikael Forsberg September 27, 2004 1. Med hjälp av uttrycket y = x 2 så definierar vi tre funktioner: f 1 : R x x 2 R, f 2 : R x x 2 R f 3 : R x x 2 R, där R = {x R : x 0} Eftersom funktionernas definitionsområden och/eller målområden skiljer sig åt måste man betrakta funktionerna som olika. Avgör om funktionerna är injektiva, surjektiva eller bijektiva. Förklara! 2. a. Definiera begreppet funktion. b. Vad menas med en injektiv funktion. c. Vad betyder det att en funktion är surjektiv d. Hur definieras en bijektiv funktion. e. Ge exempel på en funktion som är injektiv men inte surjektiv. f. Ge exempel på en funktion som är surjektiv men inte injektiv. 3. Visa att funktionen f : R R som definieras av f(x) = x 5 + 1, är bijektiv. 4. (a) Vad menas med en funktion? (b) Vad är en injektiv funktion? (c) Visa att f : [ 1, ] x x 2 + 2x + 1 R är injektiv. 5. Gör följande definition f till en funktion? Motivera! x 2, x 1 f(x) := x, 1 x 1 x 2 1 x 1
6. f 1, f 2 och f 3 i det följande är tre försök att definiera funktioner från R till R. Avgör vilka som verkligen är funktioner och i dessa fall kontrollera om funktionen är injektiv, surjektiv eller bijektiv. För de som inte är funktioner tala om hur vi enklast gör om den till att bli funktion. x 2 om < x 1 x 2 om < x 1 f 1 (x) = 1 om 1 < x 1 f 2 (x) = x om 1 x < 1 x 2 om 1 x < x 2 om 1 x < x 2 om < x < 1 f 3 (x) = x om 1 x < 1 x 2 om 1 < x < 2
Svar till tentamen i,. 1. f 1 är varken injektiv eller surjektiv. f 2 är inte injektiv men är surjektiv. f 3 är både injektiv och surjektiv. 2. Se lösningen. 3. Svaret är lösningen! 4. Se lösningen. 5. Nej. 6. f 1 och f 3 är inte funktioner. f 2 är bijektiv. f 1 kan göras om till funktion genom att se till att x = 1 endast får ett värde (ändra en av olikheterna till en strikt olikhet) f 3 är inte en funktion från rella linjen till sig själv eftersom den är odefinierad i x = 1. Vilket värde som helst duger.
Lösningar till tentamen i,. 1. Vi undersöker först f 1 : För y = 1 i målmängden så gäller att ±1 från definitionsmängden avbildas på y = 1. Därför är f 1 inte injektiv. Om vi tar y = 1 i målmängden så kan vi inte hitta något element i definitionsmängden som avbildas på 1. f 1 är alltså heller inte surjektiv. Nu studerar vi f 2 : Denna funktion skiljer sig från f 1 genom att målmängden inte innehåller negativa tal. Däremot så gäller resonemanget för y = 1 och vi kan därför dra slutsatsen att f 2 inte är injektiv. För surjektiviteten behöver vi visa att för alla y i målmängden så behöver vi hitta x i definitionsmängden så att y = x 2. Eftersom y 0 gäller för alla y R så ser vi att vi får lösningarna x = ± y. Detta betyder att funktionen är surjektiv. (Det faktum att vi får två olika lösningar för varje element i målmängden ger också att vi inte har injektivitet.) Slutligen betraktar vi den sista funktionen, f 3. Skilnaden från f 2 är att vi minskat definitionsmängden. Vilket innebär att minus lösningen i ovan inte inträffar här så att ekvationen y = x 2 endast kan ha en lösning för varje y i målmängden. Från detta förstår vi att funktionen måste vara bijektiv, men vi visar detta ordentligt: Injektiv: Låt a 2 = b 2. Vi måste visa att a = b. Vi har alltså att a 2 b 2 = 0. Faktorisera vänster led och vi får a 2 b 2 = (a + b)(a b) = 0. Detta ger två lösningar a = b eller a = b. Eftersom både a och b ligger i definitionsmängden som i detta fall är R så ser vi att endast a = b går att uppfylla här, vilket ger att vi har visat injektiviteten. Surjektiv: Här ska vi visa att y = x 2 har en lösning för alla y i målmängden. Som tidigare har vi att x = ± x, men bara ena av dessa (den positiva) ligger i vår definitionsmängd. Men detta räcker för surjektiviten. Bijektiv: Funktionen är bijektiv eftersom den både är injektiv och surjektiv. 2. a. En funktion är en regel som till varje element i en definitionsmängd tilldelar exakt ett element i målmängden. b. Om f(x) = f(y) x = y så är f injektiv. c. Låt f : A B så är f surjektiv om för alla y B det finns ett x A så att y = f(x). d. En funktion är bijektiv om den är både injektiv och surjektiv. e. f : R x x 2 R är injektiv men inte surjektiv f. f : R x x 2 R är surjektiv men inte injektiv. 3. Vi måste visa att funktionen är både injektiv och surjektiv. (Injektiv:) Vi måste visa att f(x) = f(y) medfor att x = y. x 5 + 1 = y 5 + 1 x 5 = y 5. Detta medför att beloppen måste vara lika: x = y. Men det betyder också att tecknen måste vara lika, ty 5 är udda. Alltså måste x = y. (Surjektiv:) Här måste vi visa att för alla y R det finns ett x så att f(x) = y. Detta måste vara sant eftersom f är kontinuerlig och går mot ±, då x ±. 4. (a) En funktion är en regel som till varje element i en definitionsmängd tilldelar exakt ett element i en värdemängd.
(b) En funktion är injektiv om varje element i värdemängden för högst ett element från definitionsmängden på sig. (c) Vi ser att funktionen definieras av f(x) = (x + 1) 2. Genom substitutionen t = x + 1 så får vi att funktionen kan skrivas om som f : [0, ] t t 2 R. Det är lätt att se att denna funktion är injektiv, ty givet ett y R så har ekvationen y = t 2 högst en lösning t = + y, om y 0 och ingen lösning om y < 0. 5. Nej, f är ej väldefinierad i punkterna x = ±1. 6. f 1 och f 3 är inte funktioner. f 2 är bijektiv. f 1 kan göras om till funktion genom att se till att x = 1 endast får ett värde (ändra en av olikheterna till en strikt olikhet) f 3 är inte en funktion från rella linjen till sig själv eftersom den är odefinierad i x = 1. Vilket värde som helst duger. 5