VIII.1. Fermi-Dirac fördelningen

VIII.1. Fermi-Dirac fördelningen Vi betraktar ett idealgassystem av partiklar så beskaffade att varje kvanttillstånd högst kan ockuperas av en enda partikel (exklusionprincipen). Sådana partiklar kallas Fermi- partiklar eller fermioner. Alla partiklar vars impulsmomentkvanttal antar halva heltalsvärden är fermioner. Viktiga exempel är elektroner, protoner, neutroner. Termofysik, Kai Nordlund 2006 1

Betrakta det subsystem som bildas av partiklarna i det k:te kvanttillståndet med energin ɛ k. Sannolikheten för att detta delsystem innehåller n k ( = 0,1) partiklar är då ε k n k ε 2 n 2 ε 1 n 1 ε 0 n 0 1 Alltså fås vidare n P nk = e (Ω k +µn k n k ɛ k )/k B T (1) Summan över alla sannolikheter är givetvis 1, så X P nk = 1 1 = e Ω/kBT n k n 1 + e (µ ɛ k )/k B T o (2) där vi använt oss av det faktum att då n k = 0, 1 kan man lätt skriva ut all termer i summan! Ω k = k B T ln n 1 + e (µ ɛ k )/k B T o (3) Den kemiska potentialen kan vara positiv eller negativ (i motsats till Bose-Einstein distributionen där den ju måste vara negativ). Termofysik, Kai Nordlund 2006 2

Medelockupationen är < n k >= Ω k µ = k 1 BT 1 + e (µ ɛ k )/k B T e(µ ɛ k )/k B T 1 k B T (4) = 1 e (ɛ k µ)/k B T + 1 (5) n k = 1 e (ɛ k µ)/k B T + 1 (6) Detta är Fermi-Dirac-fördelningsfunktionen! Gränsfallet < n k ><< 1 motsvarar e (µ ɛ k )/k B T >> 1 och vilket är Boltzmann-fördelningen (som väntat) n k e (µ ɛ k )/k B T (7) Termofysik, Kai Nordlund 2006 3

Tillståndsekvationen ges som vanligt av Ω = X k Ω k = k B T X k ln h 1 + e (µ ɛ k )/k B T i (8) N = X n k = X k 1 e (ɛ k µ)/k B T + 1 (9) Vid T = 0 är e (ɛ k µ)/k B T = j e = 0, ɛ k < µ e + =, ɛ k > µ eller alltså n k = j 1 ɛk < µ 0 ɛ k > µ (10) Detta betyder att distributionen har vid T = 0 resp. högre temperatur följande form: Termofysik, Kai Nordlund 2006 4

n k 1 T = 0 T > 0 ε F ε Detta betyder att vid T = 0 är alla nivåer under µ är fyllda Fermigaser med T 0 kallas degenererade Fermigaser. P.g.a. den centrala rollen av kemiska potentialen vid T = 0 kallas µ(t = 0) ɛ F = Fermi-energin (11) Termofysik, Kai Nordlund 2006 5

VIII.1.1. Fermi-idealgaser Vi beräknar nu Fermi-idealgasers egenskaper Ω = k B T X k ln 1 + e (µ ɛ k )/k B T (12) Vi gör igen (jämför kapitlena på Boltzmann- och Bose-Einstein-gasen) ersättningen Byte av integrationsvariabel: X k = Z d 3 rd 3 p h 3 = = V (2π ) 3 ɛ = p2 2m Z Z d 3 Z p d 3 r (2π ) 3 {z } V (13) dωp 2 dp (14) dɛ = pdp m (15) p = 2mɛ (16) Termofysik, Kai Nordlund 2006 6

ger Ω = k B T V 8π 3 34π 2m m Ω = V k BT m 3/2 2π2 3 Z 0 Z 0 dɛɛ 1/2 ln dɛɛ 1/2 ln h 1 + e (µ ɛ)/k B T i (17) h 1 + e (µ ɛ)/k B T i (18) Om partiklarnas impulsmomentkvanttal eller spinn är S bör uttrycket multipliceras med degenerationsfaktorn g = (2S + 1) För elektroner, neutroner och protoner är S = 1/2 och alltså g = 2. Vi använder igen fugacitetsparametern z = e µ/k B T : Ω = g V k BT m 3/2 2π2 3 Z dɛɛ 1/2 ln h1 i + ze ɛ/k B T {z } I 1 (19) Då ɛ 1/2 = d 2 dɛ 3 ɛ3/2 (20) Termofysik, Kai Nordlund 2006 7

fås med kedjeregeln för integrering I 1 =, 2 3 ɛ3/2 ln h1 i + ze ɛ/k B T 0 {z } =0 (21) 2 Z dɛɛ 3/2 1 3 1 + ze ɛ/k B T ze ɛ/k B T ( ) {z k B T } +2 3k B T R dɛɛ 3/2 ze ɛ/k B T 1 + ze ɛ/k B T {z } A (22) Nu ser vi att termen A är summan av en geometrisk serie: A = X ( 1) n+1 (ze ɛ/k B T ) n = n=1 X ( 1) n+1 z n e nɛ/k B T (23) n=1 Termofysik, Kai Nordlund 2006 8

Så man får att hela uttrycket är I 1 = 2 3k B T X Z ( ) n+1 z n dɛɛ 3/2 e nɛ/k B T n=1 0 {z } B (24) Med variabelbytet kan man skriva integralen ɛ = x 2 dɛ = 2xdx ɛ 3/2 = x 3 (25) B = 2 Z Vi beräknar integralen med det följande bekanta tricket I 2 = Z 0 dxx 4 e αx2 = dxx 4 e nx2 /k B T d2 dα 2 och med att derivera två gånger med avseende på α fås I 2 = 3 π 8 Z dxe αx2 0 {z } π 2 α 1/2 (26) (27) 1 (28) α 5/2 Termofysik, Kai Nordlund 2006 9

Med att sammansätta resultaten för I 1, I 2 och B fås Ω = g V k BT m 3/2 2π2 3 2 3k B T 3 π 4 (k BT ) 5/2 X ( ) n+1 z n n=1 X = gv (k B T )n c ( 1) n+1 z n n=1 n n 5/2 (29) 5/2, (30) där vi igen definierat (denna definition är identisk med den för Bose-Einstein-systemet): n c ( mk BT 2π 2 )3/2 (31) Om vi vidare definierar serieutvecklingen som en funktion av exponenten på n: f S (z) X ( 1) n+1 z n n=1 n s (32) kan resultatet sammanfattas i den funktionellt enkla formen Ω = gv (k B T )n c f 5/2 (z) (33) Termofysik, Kai Nordlund 2006 10

där alltså allt beroende på z är i funktionen f Funktionen f S uppenbart): kan lätt beräknas med ett datorprogram. (notera att om z > 1 divergerar den awk BEGIN { for(z=0;z<=1;z+=0.001) { \ s=0; \ for(n=1;n<100;n++) s+=(-1)^(n+1)*z^n/(n^1.5); \ print z,s; \ } \ exit; } > f3over2_100.dat vilket ger Termofysik, Kai Nordlund 2006 11

f S (z) 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 f 1/2 f 3/2 f 5/2 f 7/2 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 z (Orsaken att mindre värden på S ger mindre f S är helt enkelt att termen n = 2 drar neråt summan och resten av det kan inte kompensera). Det totala partikeltalet: N = Ω µ = Ω z z µ, (34) Termofysik, Kai Nordlund 2006 12

Då är Den andra delen vi behöver är z = e µ/k B T, (35) z µ = 1 z; (36) k B T f 5/2 (z) z = X ( ) n+1 z n 1 1 n 3/2 k B T z (37) n=1 så man får och därmed vilket är tillståndsekvationen! N = +gv (k B T )n c X n=1 j N = gv nc f 3/2 (z) Ω = P V = gv n c (k B T )f 5/2 (z) ( ) n+1 z n 1 n 3/2 1 k B T z (38) (39) Termofysik, Kai Nordlund 2006 13

Boltzmannstatistiken återfås om µ << 0 och därmed z << 1: Vi ser vad som händer då z 0 : (40) Då faller termerna i summan på f S mycket snabbt med ökande n, och kvar blir bara termen n = 1: f 5/2 (z 0) ( 1) 2 z 1 1 5/2 (41) f 3/2 (z 0) ( 1) 2 z 1 (42) 1 3/2 Alltså gäller att f 5/2 1 då z 0 (43) f 3/2 Om man dividerar ekvationen för N med ekvationen för Ω i ekvationerna 39 ser man alltså att man får Tillståndsekvationen P V N k BT då z 0 (44) Termofysik, Kai Nordlund 2006 14

vilket ju är den klassiska idealgaslagen! Termofysik, Kai Nordlund 2006 15

Vi beräknar nu FD-gasens inre energi VIII.1.2. Den inre energin: E = X k ɛ k < n k > (45) g V T m3/2 2π2 2 Z 0 dɛɛ 3/2 1 1 z eɛ/k B T + 1 Detta är samma integral som uppträder i uttrycket för Ω, B, och dess resultat kan skrivas som så vi får B = 3 2 π Jämförelse av detta med uttrycket för Ω visar att (46) 2 (k BT ) 5/2 f 5/2 (z) (47) E = 3 2 gn cv k B T f 5/2 (z) (48) P V = 2 3 E (49) Termofysik, Kai Nordlund 2006 16

vilket vi ju tidigare sett gälla också för en klassiskt Maxwell-Boltzmann-idealgas och Bose-Einsteinidealgasen. Alltså gäller E = 3 2 P V (50) för alla tre huvudtyper av idealgaser: MB, BE och FD! Termofysik, Kai Nordlund 2006 17

VIII.1.3. Tillståndsekvationen vid höga temperaturer: Vi beräknar nu tillståndsekvationen då T är stor, d.v.s. fugaciteten z = e µ/k B T kring 1. " # N = gv n c f 3/2 (z) = gv n c z z2 2 + 3/2 P V = gv n c (k B T )f 5/2 (z) = gv n c (k B T ) " # z z2 2 + 5/2 (51) (52) Vi introducerar hjälpvariabeln λ N gv n c = n = f 3/2 (z) = z z2 + (53) gn c 23/2 För att lösa detta med avseende på z skriver vi z = α 1 λ + α 2 λ 2 (54) Termofysik, Kai Nordlund 2006 18

och sätter in detta i uttrycket för λ, behållande termer högst av ordningen λ 2 : λ = α 1 λ + α 2 λ 2 α2 1 λ2 2 2 (55) För att detta skall gälla bör vi ha α 1 = 1 samt α 2 = 1 2 2 ; (56) så z = λ + 1 2 2 λ2 (57) Tillståndsekvationen P V = gv n c (k B T ) z 4 2 blir nu alltså till andra ordningen " = gv n c (k B T ) λ + 1 2 2 λ2 λ # 2 4 2 " z2 # (58) (59) Termofysik, Kai Nordlund 2006 19

och med insättning av λ = n/gn c : eller alltså = gv n c (k B T ) n gn c = gv (k B T ) N gv P V = Nk B T» 1 + 1 4 2» 1 + 1» 1 + 1 1 g ( n ) +... n c 4 1 2 g ( n ) +... n c 4 1 2 g ( n ) +... n c Alltså är trycket i en Fermigas större än i en idealgas pga. exklusionsprincipen! (60) (61) (62) Detta är motsatt resultat till det som erhölls för Bose-Einstein-gasen, men ett mycket naturligt resultat då man inte kan sätta många fermioner i samma tillstånd (och vice versa för bosoner!) Termofysik, Kai Nordlund 2006 20

VIII.2. Degenererade Fermisystem n k 1 T = 0 ε F Vi byter än en gång summan till en integral: ε X k Vi betraktar nu i mer detalj det degenererade Fermisystemet: V (2π ) 3 n k = j 1 ɛk < ɛ F (63) 0 ɛ k > ɛ F Z dω p 2 dp (64) {z } {z } 2mɛ mdɛ 4π Men den avgörande skillanden är nu den att i alla integraler över n k räcker det med att integrerar till Fermi-energin ɛ F! Termofysik, Kai Nordlund 2006 21

Alltså är t.ex. N = X k n k = g 4πV 2mm (2π ) 3 Z ɛf dɛɛ 1/2 0 {z } 2 3 ɛ3/2 F (65) N = V m 3/2 2ɛ 3/2 F g (66) 3 π 2 3 Detta binder fast värdet på ɛ F om partikeltätheten n = N/V är känt, och man får:! ɛ F = 2 3π 2 2/3 m n2/3 g (67) 2 Detta ger också villkoret för när ett fermionsystem är praktiskt taget degenerarat, eller termodynamiskt kallt: Nu kan man också definiera flera relaterade storheter: ɛ F >> k B T (68) Termofysik, Kai Nordlund 2006 22

Fermi-temperaturen: Fermi-impulsen (rörelsemängden) T F = ɛ F k B (69) p F = 2mɛ F (70) Som funktion av denna kan man skriva = n 1/3 2( 3π2 2g ) 1/3 (71) n = ( p F 2g 1 )3 3π 2 2 2 = g F 6π 2(p )3 (72) Fermi-hastigheten definieras logiskt av v F = p F /m (73) Termofysik, Kai Nordlund 2006 23

VIII.2.1. Exempel på kalla Fermionsystem VIII.2.1.1. Elektrongasen i metaller: För elektroner är som sagt g = 2. Lednings-elektrondensiteten i metaller kan uppskattas som att varje atom avger av storleksordningen 1 elektron till den ledande elektrongasen (för alkalimetaller stämmer detta med god noggrannhet, transitionsmetaller avger i själva verket några fler). Atomernas storlek ges av storleksordningen på atomradien 1 Å. Alltså fås 1 n el n jon n at 4π1 Å 3 /3 0.2Å 3 0.2 10 30 m 3 Insättning av detta och g = 2 i ekvationen för ɛ F ger (74) ɛ F = 2 m e n 2/3 ( 3π2 2 2 )2/3 12 ev (75) och motsvarande Fermitemperatur T F 140000 K (76) Termofysik, Kai Nordlund 2006 24

Jämförelse av detta med rumstemperatur 300 K 1 40 ev (77) visar att elektrongasen i metaller är extremt kall vid rumstemperatur! Jämförelse av detta med typiska smälttemperaturer på metaller 2000 K 0.2 ev visar att elektrongasen i metaller är mycket kall i fasta metaller vid alla temperaturer!! Detta är den första stora orsaken varför FD-distributionen är så viktig i fasta ämnens fysik: ledningselektronerna beter sig helt enligt Fermistatistik vid nästan degenerarat tillstånd, som ju totalt avviker från den klassiska Boltzmann-statistiken! Här är ännu en tabell på några verkliga värden på ɛ F : Termofysik, Kai Nordlund 2006 25

Metall ɛ F (ev) Li 4.7 Na 3.1 K 2.1 Cu 7.0 Ag 5.5 Au 5.5 Vår enkla uppskattning var alltså ung. en faktor 2 för stor, men detta förändrar inte den kvalitativa slutsatsen. VIII.2.1.2. Kärnmaterie Nukleonerna (protoner och neutroner) är av storleksordning 1 fm så n 1 4π1 fm 3 /3 0.2fm 3 0.2 10 45 m 3 (78) Termofysik, Kai Nordlund 2006 26

och deras massa är ung. 1 u så: och motsvarande Fermitemperatur ɛ F = 2 u n2/3 ( 3π2 2 2 )2/3 68 MeV (79) T F 7.9 10 11 K (80) Alltså är kärnmaterian helt otroligt termodynamiskt kall vid rumstemperatur. Alla nukleoner är garanterat i grundtillståndet. Kärnmaterien blir exciterad (varm) först vid T ɛ F 70 MeV. Detta är faktiskt en riktigt bra uppskattning: det ger en första förklaring till varför kärnexcitationsenergier typiskt är av ordningen MeV. För att verkligen hetta upp kärnor krävs högenergetiska (>> MeV) partikelacceleratorer. VIII.2.1.3. Vita dvärgstjärnor Termofysik, Kai Nordlund 2006 27

Vita dvärgstjärnor består huvudsakligen av He atomer. För vita dvärgar gäller typiskt (experimentella obsevationer): M exp 2M ; M = 2 10 30 kg (81) ρ 10 7 g/cm 3 (82) Att temperaturen är så hög innebär att alla He-atomer är joniserade: T 10 7 K (83) 10 7 K 10 3 ev >> 10eV = He atomens jonisationsenergi. (84) Så man inser att vita dvärgar består av He-kärnor och elektroner i ett plasma. För elektronsystemet gäller då (vi approximerar att He-kärnans massa är 4u): n el = N V = 2M/4u M/ρ = ρ 2u (85) Termofysik, Kai Nordlund 2006 28

107 g/cm 3 2 1.7 10 24 g 3 106 Å 3 (86) och därmed ɛ F = 2 m ( 3π2 2 2 n)2/3 0.8 MeV >> 1 kev (87) Alltså är vita dvärgars temperatur ungefär 10 miljoner grader Kelvin, men de är ändå termodynamiskt kalla! Termofysik, Kai Nordlund 2006 29

VIII.2.2. Den inre energin hos att degenererat fermisystem [Landau-Lifshitz 57] Vi räknar nu inre energin för den degenererade Fermigasen. Integralen behöver givetvis bara göras till ɛ F : E = U = X n k ɛ k (88) V m3/2 2π2 3 Z ɛf 0 dɛ ɛɛg {z } 2 5 gɛ5/2 F (89) = E = 2 Jämförelse med det tidigare resultatet, ekvation 66 5 V m 3/2 g π 2 3 ɛ 5/2 F (90) N = V 3 2m 3/2 g π 2 3 ɛ 3/2 F (91) Termofysik, Kai Nordlund 2006 30

Jämförelse av dessa två ekvationer visar att: E N = 3 5 ɛ F (92) vilket ger energin per fermion! Termofysik, Kai Nordlund 2006 31

Nu har vid den märkbara förenklingen att VIII.2.3. Tillståndsekvationen vid T = 0 E = F (T = 0) (93) så P = F V = E V (94) Med hjälp av resultatet för E/N (ekv. 92) får man P = 3 5 N ɛ F V = 3 5 N( ɛ F n ) dn dv (95) Då Så man får för trycket n = N V = dn dv = N V 2 (96) P = + 3 5 n2 ( ɛ F n ) (97) Termofysik, Kai Nordlund 2006 32

Då så trycket blir och genom att skriva ut ɛ F Då ser man att ɛ F = 2 m ( 3π2 g 2 )2/3 n 2/3 = ɛ F n = 2 3 ɛ F n (98) P = 3 2 ɛ F 5 n2 3 n = 2 5 nɛ F (99) P = 2 2 5m n5/3 ( 3π2 g 2 )2/3 (100) n = ρ m (101) P ρ 5/3 P V 5/3 (102) Vi kan nu använda oss av detta för att räkna ut ljudets hastighet i en degenererad Fermigas. Ljudets hastighet c kan skrivas som c = 1 ρκs, κ S = 1 V ( V P ) S (103) Termofysik, Kai Nordlund 2006 33

där κ S är den isentropiska kompressibiliteten. Vid T = 0 är κ S = κ T Vu räknar nu så κ S = 1 V ( V P ) = 1 1 V ( P V ) (104) P V 5/3 = P V = 5 P (105) 3 V κ S = 1 V ( 3 5 )V P = 3 5P c = 1 q ρ 3 5P = s 5 P 3 (106) ρ ρ1/3 (107) Då ρ = mn kan man skriva ut detta som c = q mn 3 5 5m 1 2 2n 5/3 ( g 2 3π 2 )2/3 = q (108) 3 m 2 n 2/3 ( g 2 3π 2 )2/3 Termofysik, Kai Nordlund 2006 34

Om man tillämpar detta på en elektrongas i metaller (jämför vårt tidigare estimat) får man P = 2 5 nɛ F = 0.4 0.2 10 30 12eV = 1.5 10 11 Pa (109) Kompressibiliteten blir och därmed bulkmodulen κ S = 3 5 1.5 10 11 Pa = 4 10 12 (110) B = 1 κ S = 2.5 10 11 Pa (111) Ljudets hastighet: c = 1.2 10 q3 6 m/s (112) m e 2 (0.2 1030 ) 2/3 ( 2 2 3π 2 )2/3 Termofysik, Kai Nordlund 2006 35

Vad betyder dessa värden? Kompressibiliteten är helt vettig, verkliga metallers bulkmoduler är typiskt av storleksordningen 2.5 10 11 Pa. Detta är faktiskt en av de viktiga komponenterna för kompressibliteten i metaller! [Ashcroft-Mermin kap. 2] Det inre trycket å andra sidan kan uppenbart inte vara den enda tryckkomponenten i en metall ty 10 11 Pa = 1 Mbar, en miljon gånger normaltryck. Det som ger en motstående komponent är attraktionen mellan elektronerna och de positivt laddade metalljonerna. Ljudets hastighet är mycket större än de som experimentellt observeras, 1 km/s. Elektrongasen kan alltså inte förklara ljudets framskridande i metaller; istället är det fononerna/gittervibrationerna som gör det. Orsaken hänger igen ihop med växelverkan med jonerna, dock inte på något enkelt sätt. [för mer info se Ashcroft-Mermin kap. 26]. På denna kurs går vi inte djupare in i ämnet gitter-elektron-växelverkningar. Termofysik, Kai Nordlund 2006 36

VIII.3. Elektrongasen i metaller Potentialenergin för elektroner i kristaller har kvalitativt sett följande form: E x φ ε F Fri yta 0 jon jon jon jon För att en elektron i det översta elektronbandet ( = de elektroner som är svagast bundna till jonerna) skall kunna frigöras från en metallyta bör den ha en energi som överstiger arbetsfunktionen φ. Arbetsfunktionens storlek är i allmänhet några ev. Termofysik, Kai Nordlund 2006 37

De elektroner vars hastighetskomponent vinkelrätt mot den fria ytan är positiv och vars energi > φ frigörs från kristallen och bildar en s.k. emissionsström. Vi vill nu räkna ut denna ström. Då skall man räkna hur många elektroner som har en tilläcklig hastighet att komma över barriären φ i en dimension x. N = X k n k = V (2π ) 3 Z d 3 g p e (ɛ µ)/k B T + 1 (113) För elektroner är som känt Då så dn(v) = g = 2 (114) p = mv (115) d 3 p = m 3 d 3 v (116) V d 3 1 v (2π ) 32m3 e (ɛ µ)/k B T + 1 (117) Termofysik, Kai Nordlund 2006 38

Vi vill nu integrera bort dimensionerna y och z: dn(v x ) = V Z Z 1 dv (2π ) 32m3 x dv y dv z e (ɛ µ)/k B T + 1 (118) Vi byter om till polära koordinater i de 2 dimensionerna y och z: ɛ = 1 2 m(v2 x + v2 y + v2 z ) (119) j vy = ρcosϕ v z = ρsinϕ (120) ρ 2 = v 2 y + v2 z (121) dv y dv z = dϕρdρ (122) så man får e (ɛ µ)/k B T = e 1 2 mρ2 /k B T e (1 2 mv2 x µ/k B T ) (123) Vi gör variablebytet a = e (1 2 mv2 x µ)/k B T : Termofysik, Kai Nordlund 2006 39

samt ζ e mρ2 /2k B T så man ser att dn(v x ) = Z 2V 2π Z m3 (2π ) 3dv x dϕ 0 0 = dζ = mρ 2 /2kB k B T dρemρ T ρdρ = dζ m k B T emρ2 /2k B T 1 ρdρ ae mρ2 /2k B T + 1 = k BT m Integreringsgränserna blir nu 1 och ty ρ = 0 ger ζ = e 0 = 1 dζ ζ (124) (125) (126) Alltså blir dn(v x ) = 2V m3 (2π ) 3dv x2π k BT m Z 1 dζ ζ(aζ + 1) (127) Integralen blir Z 1 1 dζ ζ(aζ + 1) = Z 1 dζ 1 ζ a aζ + 1 =, 1 ln ζ ln(aζ + 1) (128) Termofysik, Kai Nordlund 2006 40

= ln ln 1 ln(a + 1) + ln(a + 1) (129) = ln ln 1 ln a( + 1a «) + ln a(1 + 1a «) (130) = ln 1 ln = z } { + 1 a 1 + 1 a (131) = ln 1 1 + 1 a = ln(1 + 1 ); (132) a Alltså blir dn(v x ) = 4πV k B T (2π ) 3dv x m ff j1 ln + e (1 2 mv2 x µ)/k B T (133) Termofysik, Kai Nordlund 2006 41

A v x t v x Emissionsströmtätheten är Antalet elektroner som emitteras genom ytan med en hastighet mellan (v x ) och (v x + dv x ) per tidsenhet dt och ytenhet da ges av följande resonemang. Antalet partiklar dn V i volymen dv = dav x dt är denna volym gånger tätheten av partiklar dn(v x )/V : dn V = dav x dt dn(v x) (134) V Antalet som kommer ut per tidsenhet och areaenhet är detta dividerat med dadt eller alltså j = e Z dn(v x ) v 0 V dn(v x ) V v x (135) v x (136) där e är elektronens laddning och gränshastigheten v 0 ges av 1 2 mv2 0 = φ + ɛ F v 0 = s 2(φ + ɛ F ) m (137) Termofysik, Kai Nordlund 2006 42

Alltså j = e V m2 k B T 2π 2 3 V Z v 0 ff dv x v x ln j1 + e (µ 1 2 mv2 x )/k B T (138) µ är i termodynamisk kalla system ungefär ɛ F. För att en elektron skulle emitteras från metallen bör det gälla at elektronen har en kinetisk energi som är klart ovanför ɛ F (kom ihåg formen på Fermi-distributionen). Alltså är µ 1 2 mv2 x < 0 (139) Å andra sidan är i termodynamiskt kalla system kt << ɛ F (140) så (µ 1 2 mv2 x )/k BT << 0 och därmed e (µ 1 2 mv2 x )/k B T << 1 (141) Därmed kan man approximera ff ln j1 + e (µ 1 2 mv2 x )/k B T e µ/k B T e 1 2 mv2 x /k B T (142) Termofysik, Kai Nordlund 2006 43

så j = e m2 k B T 2π 2 3 eµ/k B T Z mv 2 x /k B T dv x v x e 1 2 v 0 {z } A (143) A = k BT m Z d dv x e 1 2 mv 2 v 0 dv x x /k B T (144) så Då fås = k BT m ( )e 1 2 mv vilket är känt som Richardson-Dushmans ekvation. 2 0 /k B T (145) j = e m(k BT ) 2 2π 2 3 e (φ µ+ɛ F )/k B T (146) µ ɛ F (147) j e m 2π 2 3(k BT ) 2 e φ/k B T (148) Termofysik, Kai Nordlund 2006 44

Detta avviker klart från resultatet för Boltzmann statistik som skulle ha gett: j T e φ/k B T (149) Richardson-Dushmans ekvation visar sig stämma väl överens med experiment vid höga temperaturer. Nedan är färskt data över ln j/t 2 vs. 1/kT som ju skall bli en rak linje om Richardson-Dushmans ekvation stämmer: Termofysik, Kai Nordlund 2006 45

[Cushman, Heering, CMS HCAL Hybrid Photodiode Design and Quality Assurance Stations, ICFA Instrumentation bulleting Vol.25 (2002)] Alltså kan en helt makroskopisk strömmätning användas för att bestämma φ, som är helt mikroskopisk till sitt ursprung! Termofysik, Kai Nordlund 2006 46

Man kan räkna ihop konstanterna till A = e m 2π 2 3k2 B = 120.2 A cm 2 K 2 (150) vilket är mycket nära det experimentella värdet på A = 120 A cm 2 2 för Cs, och rätt storleksordning K för många andra metaller! [Paakkari sid. 152] Termofysik, Kai Nordlund 2006 47

VIII.4. Fermigaser vid låga temperaturer Nu skall vi se på Fermigasen vid låga temperaturer, som alltså är högre än temperaturen T = 0 vi just såg på! Skillnaden är nu att vi inte kan mera betrakta Fermidistributionen som en box, utan måste betrakta den lilla avvikelsen från boxformen. Vid låga temperaturer är µ > 0 för fermigaser (ty µ avviker bara litet från ɛ F, som ju måste vara positiv enligt ekvation 67) vilket innebär att fugaciteten z är >> 1: z = e µ/k B T >> 1. (151) De allmänna uttryckena N = gv n c f 3/2 (z) (152) Ω = P V = gv n c (k B T )f 5/2 (z), (153) med funktionerna f givna som potensserier av z blir då värdelösa då serierna inte konvergerar snabbt: X f S (z) = ( 1) k+1 z k (154) k n k=1 Termofysik, Kai Nordlund 2006 48

För att få användbara uttryck nära T = 0 måste funktionerna skrivas i sin ursprungliga form som integraler (jämför ekv. 23-32). Integralerna är f 3/2 (z) = 2 π Z f 5/2 (z) = 4 3 π 0 Z Man kommer fram till dessa former genom att räkna: 0 dx x1/2 1 z ex + 1 dx x3/2 1 z ex + 1 (155) (156) Z 0 dx x1/2 1 z ex + 1 = Z 0 dx ze x x 1/2 1 + ze x (157) Den senare delen är summan av en geometrisk serie så man får = X Z n=0 0 dxze x x 1/2 ( 1) n z n e nx (158) Termofysik, Kai Nordlund 2006 49

= X Z k=1 0 dxz k ( 1) k+1 x 1/2 e kx (159) = X z k ( ) k+1 k=1 2 Z dxx 1/2 e kx 0 Z {z } k dyy 2 e ky2 0 Z {z } dye ky2 0 {z } π 2 k 1/2 {z } π 4 k 3/2 (160) = π 2 X ( 1) k+1 z k k=1 k 3/2 (161) Termofysik, Kai Nordlund 2006 50

Vi definierar en allmän I n : I n = Z 0 xn dx 1 z ex + 1 = Z 0 x n dx e x µ/k B T + 1 (162) Nu är alltså n = 1 2, 3 2 intressanta fall. Vi delar upp integralen i två olika intervall: I n = Z µ/kb T 0 x n dx e x µ/k B T + 1 + Z µ/k B T x n dx e x µ/k B T + 1 (163) och förlänger den första integralens kvot med e x+µ/k B T : = Z µ/kb T 0 dx xn e x+µ/k B T e x+µ/k B T + 1 + Z µ/k B T x n dx e x µ/k B T + 1 (164) Nu kan man skriva om den första integranden som x n e x+µ/k B T e x+µ/k B T + 1 = e x+µ/kbt + 1 1 xn e x+µ/k B T + 1 (165) Termofysik, Kai Nordlund 2006 51

= x n x n 1 1 + e x+µ/k B T (166) och därmed dela den första integralen i två delar: I n = Z µ/kb T 0 dxx n + Z µ/k B T x n dx e x µ/k B T + 1 Z µ/kb T 0 x n dx e x+µ/k B T + 1 (167) Vi gör variabelbytena x µ/k B T = y i andra integralen och x + µ/k B T = y i tredje (168) vilket innebär att integreringsgränserna också ändras: µ/k B T 0; i andra integralen (169) 0 µ/k B T ; µ/k B T 0 i tredje integralen (170) Men i tredje integralen är också dx = dy så det slutliga integreringsintervallet blir samma som det ursprungliga efter teckenbyte! Termofysik, Kai Nordlund 2006 52

Därmed får man I n = Z µ/kb T 0 dxx n + Z 0 ( µ k dy B T + y)n e y + 1 Z µ/kb T 0 ( µ k dy B T y)n e y + 1 (171) Då k B T 0 blir den sista integralen approximativt Z 0 ( µ k dy B T y)n e y + 1 (172) Med denna approximation och med att utföra den första integralen får man I n 1 (n + 1) ( µ k B T )n+1 + Z 0 ( µ k dy B T + y)n ( µ k B T y)n e y + 1 (173) Termofysik, Kai Nordlund 2006 53

= 1 (n + 1) ( µ k B T )n+1 + ( µ Z k B T )n 0 dy (1 + yk BT µ )n (1 yk B T µ )n e y {z + 1 } 2k B T n µ y e y + 1 (174) där vi använt oss av det faktum att då k B T 0 ger Taylorutvecklingen av (1 + x) n 1 + nx. Alltså blir I n = 1 (n + 1) ( µ k B T )n+1 + 2n( µ Z k B T )n 1 y dy e y + 1 0 {z } π 2 12 (175) Alltså fås för de två intressanta fallen: I 1/2 ( 2 3 )( µ k B T )3/2 + 2 1 2 ( µ k B T ) 1/2 π 2 12 +... (176) = 2 3 ( µ k B T )3/2 {1 + π2 8 (k BT µ )2 } (177) Termofysik, Kai Nordlund 2006 54

I 3/2 2 5 ( µ k B T )5/2 + 2 3 2 ( µ π 2 k B T )1/2 12... (178) = 2 5 ( µ k B T )5/2 [1 + 5 8 π2 ( k BT µ )2 +..] (179) Därmed får vi nu tillståndsekvationen för Fermigasen nära T = 0: N = V gn c f 3/2 (z) = V gn c 2 π I 1/2 (180) : Ω = P V = gv n c (k B T )f 5/2 (z) = V gn c (k B T ) 4 3 π I 3/2 (181) VIII.4.0.1. Den kemiska potentialen nära T = 0 Vi har nu alltså: N = V gn c 2 π 2 3 ( µ k B T )3/2 [1 + π2 8 (k BT µ )2 ] (182) Termofysik, Kai Nordlund 2006 55

Å andra sidan är ju ɛ F = 2 m n2/3 3π 2 2/3 g 2 där n = N/V (utan någon approximation). Om man löser ut N ur detta får man N = V g 2 π 2 3 ( ɛ F k B T )3/2 ( m 2π 2)3/2 (183) För att dessa två ekvationer skall vara konsistenta med varann bör man ha 1 = ( µ " # ) 3/2 1 + π2 ɛ F 8 (k BT µ )2 (184) Detta ger oss nu första approximationen på temperaturnberoendet av µ(t ). För att få den gör vi en ansats µ(t ) = ɛ F + αt 2 + O(T 4 ): 1 = " 1 + αt # 2 3/2 " # 1 + π2 8 (k BT ) 2... ɛ F ɛ F (185) där vi genast lämnat bort termer av ordningen T 4 /ɛ 4 F. Termofysik, Kai Nordlund 2006 56

Alltså är med Taylorserien (1 + x) n 1 + nx: 1 " 1 + 3 # " # αt 2 1 + π2 2 8 (k BT ) 2 ɛ F ɛ F (186) " # 3 1 1 + T 2 α + π2 k 2 2 ɛ F 8ɛ 2 F +... (187) För att denna likhet skall gälla bör vi givetvis ha 3 α 2 ɛ F = π2 k 2 B 8ɛ 2 F (188) varur α = π2 k 2 B 12ɛ F (189) Termofysik, Kai Nordlund 2006 57

Alltså är i denna approximation µ(t ) = ɛ F " µ(t ) = ɛ F π2 k 2 B T 2 1 π2 12 12ɛ F (190) «kb T 2 +...# ɛ F (191) Detta är alltså den kemiska potentialens temperaturberoende! VIII.4.0.2. Tillståndsekvationen nära T = 0 Vi kan nu också beräkna tillståndsekvationen ur vårt resultat för Ω, ekv. 181: P V = Ω = V g( m (k 2π 2)3/2 B T ) 5/2 4 3 2 π 5 ( µ j k B T )5/2 1 + 5 8 π2 ( k ff BT µ )2 +... (192) Termofysik, Kai Nordlund 2006 58

= V g( m j 8 2π 2)3/2 15 π µ5/2 1 + 5 8 π2 ( k ff BT µ )2 +... (193) Vid T = 0 har vi alltså (då där är µ = ɛ F ): P V = V g( m 2π 2)3/2 8 15 π ɛ5/2 F (T = 0) (194) Men tidigare härledde vi P V = 2 3 E; E = 3 5 Nɛ F (T = 0) (195) P V = 2 5 Nɛ F (T = 0) (196) Jämförelse av de två uttryckena för P V vid T = 0 visar att vi måste ha: 2 5 Nɛ F = V g( m 2π 2)3/2 8 15 π ɛ5/2 F ; (197) Termofysik, Kai Nordlund 2006 59

Därmed kan uttrycket för P V vid ändlig T skrivas i enklare form som P V = 2 5 Nɛ F ( µ ɛ F ) 5/2 " {z } # 5/2 1 π2 12 (k BT ) 2 ɛ F {z } 1 5π2 24 (k B T ɛ F ) 2 j 1 + 5 8 π2 ( k ff BT µ )2 +...» {z } 1 + 5 8 π2 ( k BT ) 2 ɛ F (198) varvid till andra ordningen: P V = 2 5 Nɛ F " 1 5π2 24 (k BT ) 2 + 5 ɛ F 8 π2 ( k # BT ) 2 +... ɛ F (199) P V = 2 5 Nɛ F» 1 + 5 12 π2 ( k BT ) 2 +... ɛ F (200) Termofysik, Kai Nordlund 2006 60

Här är det intressant att notera att (för första gången på denna kurs) reduceras denna gastillståndsekvation inte uppenbart till P V = Nk B T med något enkelt gränsvärde! För Fermigaser vid godtycklig T gäller VIII.4.0.3. Det specifika värmet nära T = 0: E = U = 3 2 Ω = 3 2 P V (201) Vår approximation för P V ger därmed för energin E = 3 5 Nɛ F {1 + 5 12 π2 ( k BT ɛ F ) 2 +...} (202) varvid C V = E T = 3 5 Nɛ 5 F 12 π2 2 k2 B T ɛ 2 F (203) Termofysik, Kai Nordlund 2006 61

C V = π2 2 (k2 B T ɛ F ) (204) C V T 3 Alltså kan man genom att anpassa kurvor av typen T Då elektrongasen är en kall Fermigas gäller för metaller vid ytterst låga temperaturer där blott elektrongasens specifika värme spelar någon roll att C V T. Vid högre temperaturer gäller Debye s teori och C V T 3. C V = γt + AT 3 C V /T = γ + AT 2 (205) till experimentellt C V -data testa Fermi-elektrongasmodellen. Om man plottar data i formen C V /T vs. T 2 borde man ha ett linjärt beroende som skär x-axeln vid ett ändligt värde Här är en sådan plot för K: Termofysik, Kai Nordlund 2006 62

som alltså följer teorins förutspåelse extremt bra! Termen γ testar då elektrongas-bidraget och T 3 Debye-modellens fononer. Här är en tabell av experimentella resultat, och resultat som fåtts med formeln (204) Termofysik, Kai Nordlund 2006 63

Termofysik, Kai Nordlund 2006 64

I de allra flesta fall stämmer teorin alltså bra överens med resultaten, men i några (Nb, Fe, Mn, Bi, Sb) misslyckas den fenomenalt. Termofysik, Kai Nordlund 2006 65

VIII.5. Fermigasernas paramagnetism Den magnetiska suskeptibiliteten definieras som M = χb/µ 0 (M = χh) (206) Paramagnetism har per definition χ > 0 och diamagnetism χ < 0. Vid låga temperaturer uppvisar fermisystem både paramagnetiskt och diamagnetiskt beteende. Fermisystemens paramagnetism kallas Pauli-paramagnetism. En elektrongas suskeptibilitet är en kombination av den paramagnetiska och den diamagnetiska suskeptibiliteten: χ = χ P + χ D (207) I allmänhet är χ P >> χ D. Energin hos en elektron i ett yttre magnetiskt fält (flödestäthet) B är om elektronens magnetiska Termofysik, Kai Nordlund 2006 66

moment är m: ɛ = p2 2m m 0 B (208) För elektroner kan spinnet vara lika riktad med fältet eller motsatt riktat med fältet: m 0 B eller m 0 B där den första pilen symboliserar elektronens och den andra fältets riktning. För de elektroner som har spinn parallelt till fältet m B är medan för de som har m B ɛ = p2 2m m 0B, (209) ɛ = p2 2m + m 0B. (210) En elektrongas i ett yttre fält kan betraktas som en kombination av två skilda fermigaser: den ena med alla spinn (magnetiska moment) upp (dvs. i fältets riktning) och den andra med spinn ned. Vi betecknar: N = totalt antal elektroner Termofysik, Kai Nordlund 2006 67

N + = # el. med spinn upp m 0 : + N = # el. med spinn ned m 0 : N + + N = N (+) systemets kemiska potential är µ + = µ(n + ) m 0 B (211) µ(n + ) = kemisk potential för ett fermisystem med N + partiklar och degenerationsfaktorn 1. ( ) systemets kemiska potential är µ = µ(n ) + m 0 B (212) Termofysik, Kai Nordlund 2006 68

Om (+) och ( ) systemen är i jämvikt gäller µ + = µ (213) så 2m 0 B = µ(n + ) µ(n ) (214) I fallet B = 0 är µ(n + ) = µ(n ) varav följer att N + = N = N/2, vilket ju är ett helt naturligt resultat. Om B 0 kommer magnetfältet att förflytta energinivån för de två systemen i obalans: Termofysik, Kai Nordlund 2006 69

Vi definierar ν = överskott av partiklar: N + = N 2 + ν, (215) Termofysik, Kai Nordlund 2006 70

N = N 2 ν. (216) Med denna definition är 2m 0 B = µ( N 2 + ν) µ(n 2 ν) (217) Om B är ett svagt fält kan ν förväntas vara litet varigenom µ( N «µ 2 + ν) µ(n 2 ) + ν N N/2 +... (218) så man får µ( N «µ 2 ν) µ(n 2 ) ν N N/2 «µ 2m 0 B 2ν N «µ m 0 B ν N N/2 N/2 +... (219) (220) (221) Termofysik, Kai Nordlund 2006 71

Magnetiseringen är M = 1 V [m 0N + m 0 N ] = m 0 2ν; (222) V eller med insättningen av ν löst ur ekv. 221 M = m2 0 V B ( µ N ) N/2 (223) Då ser man att detta ger M = χh; B = µ 0 H (224) χ = 2m2 0 µ 0 V µ N 1 N/2 (225) Vid termodynamiskt kalla system eller alltså nära T = 0 är µ(n) = ɛ F (N) = 2 m (3π2 n g s 2 ) 2/3 (226) Termofysik, Kai Nordlund 2006 72

När vi nu betraktar elektroner med enbart ett spinntillstånd åt gången är degenerationsfaktorn 1: g s = 1 µ(n) = 2 m (3π2 N V 2 )2/3 (227) och därmed så µ N = 2 µ(n) 3 N «µ = 2 µ(n/2) N N/2 3 (N/2) = 2 2 3 N 2 (228) m ( 3π2 N V 2 2 )2/3 (229) Om vi jämför detta med ɛ F för det totala fermisystemet då B = 0 med både spinn-upp och spinn-ner ( + )-elektroner (g = 2) ɛ F = 2 m (3π2 n 2 2 )2/3 (230) Termofysik, Kai Nordlund 2006 73

ser man att man kan skriva varmed vi får från ekv. 225 «µ N N/2 = 4 3N ɛ F (231) χ = 2m2 0 µ 0 V 3N 4ɛ F = 3 2 m 2 0 µ 0n ɛ F (232) Detta kan vi jämföra med vårt resultat från klassisk Curie-teori (se kapitel 6): χ = m2 0 nµ 0 T (233) som beskrev elektroner med Boltzmann-statistik. Vi ser alltså en dramatisk skillnad vid låga T mellan det klassiska och kvantmekaniska beteendet: Termofysik, Kai Nordlund 2006 74

3 -- m 0 µ 0 --------------- n 2 ε F χ klassisk Langevin-teori T Men som det konstaterades tidigare på kursen (kapitel III.5) kan inte Curies lag gälla vid T = 0 p.g.a. III grundlagen. Nu har vi alltså äntligen härlett det korrekta beteendet! Termofysik, Kai Nordlund 2006 75