Dagens Teori. Figur 4.1:

Dagens Teori 4.1 Funktioner En funktion är en regel som till varje objekt i en mängd A associerar ett objekt i en annan mängd B Figur 4.1: Första gången vi normalt hör talas om funktioner i matematisk mening, är i gymnasiets kurser i matematik. Då förknippas ordet funktion, med till exempel uttrycket f(x) = 3x 2 3x+1 som är en polynomfunktion. Vi plockar ett tal x ur mängden A, som här är mängden av reella tal och sätter in det i funktionen. Resultatet f(x) är ett tal ur mängden B, som också är mängden av reella tal. Det är inte trivialt, att säga vilka f(x) som är möjliga som funktionsvärden för godtyckligt valda x. Nästa gång ordet funktion dyker upp i utbildningen är kanske i samband med kurser i programmering. Dataloger och matematiker är ofta sysselsatta med att utveckla metoder för att snabbt kunna beräkna funktionsvärden float hyp(float a,float b){ return sqrt(a*a+b*b); } En funktion i C, som tar emot längden av två katetrar och returnerar längden hos tillhörande hypotenusa. Här är A mängden av alla par av tal (a, b), där a och b är positiva reella tal. Mängden B är mängden av alla positiva reella tal. Sättet att skriva funktionen varierar, beroende på i vilken miljö man befinner sig. Så här skrivs samma funktion i Mathematica f[x_,y_:=sqrt[x^2+y^2 Håkan Strömberg 1 KTH STH

4.1. FUNKTIONER och så här skulle en matematiker uttrycka sig f(a,b) = a 2 +b 2 Men ordet används också till vardags, som till exempel: Vilken funktion har den här knappen?. Vi trycker på en knapp och får som resultat att TV:n stängs av. Eller vi trycker på antal knappar i bestämd ordning och får som resultat att porten öppnas. Denna inledning kan sammanfattas med figuren: Figur 4.2: En funktion kan ses som en svart låda. Till vänster stoppar vi in ett objekt. Något händer inne i lådan och ut till höger kommer resultatet som ett objekt. I det fall funktionen kräver flera värden, ska man se objektet man sätter in i funktionen, som en ordnad lista av värden, ett element ur en kartesisk produkt. På samma sätt ska man betrakta utdata. Man kan säga att det alltid handlar om ett objekt som indata och ett som utdata. Tänk i fortsättningen på funktioner som något mer allmänt än en andragradsfunktion i matematiken. Det enda som är viktigt är att: För ett givet, tillåtet, inobjekt finns precis ett utobjekt. Att bestämma den framtida folkmängden n i ett land år m, baserad på demografiska modeller, är en funktion från mängden av årtal till mängden av heltal Kryptering är en funktion från mängden av meddelande i klartext till en, till synes, meningslös följd av tecken. En gång till.... En funktion f från en mängd A till en mängd B, skrivs ibland f : A B Detta är en regel, som till varje objekt a A tilldelar exakt ett objekt f(a) B. Definition 1 Mängden A kallas definitionsmängden, den mängd för vilka funktionen är definierad. Det vill säga den mängd av objekt för vilka det går att bestämma ett element i B. Håkan Strömberg 2 KTH STH

Definition 2 Mängden B kallas värdemängden av f, funktionens olika värden. Elementet f(a) är bilden av a eller värdet av f för a. En funktion f är ofta identifierad med dess graf (kurva) som skrivs {(a,b) a A och b = f(a)} Bilden av en funktion uttrycks f(a) = {f(x) x A} Exempel 1 Låt X = {1,2,3} och Y = {A,B,C}. Bildar vi nu den kartesiska produkten X Y får vi mängden X Y = {(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(3,A),(3,B),(3,C)} Genom att plocka ut lämpliga par ur denna mängd kan vi bilda olika funktioner. Till exempel f = {(1,B),(2,B),(3,C)} som kan åskådliggöras genom figur 4.3 För att avgöra om detta är en funktion har vi att Figur 4.3: kontrollera att det går en och endast en pil från varje element i X Exempel 2 Varför är detta ingen funktion (figur 4.5)? För f(1) är inte entydigt bestämt Figur 4.4: Exempel 3 Varför är detta ingen funktion (figur 4.5)? f(3) är inte definierat. Tittar vi tillbaka på X Y ser vi att vi kan bilda många funktioner, närmare bestämt 3 3 = 27 stycken. För varje x X har vi tre möjligheter att dra pilen, 3 3 = 9. Håkan Strömberg 3 KTH STH

4.1. FUNKTIONER Figur 4.5: Exempel 4 Hur många olika funktioner kan man konstruera då och X = {1,2,5,9,10} Y = {100,102,103,104,105,106,107} Eftersom X = 5 och Y = 7 kan man konstruera 7 5 = 16807 olika funktioner genom att plocka ut lämpliga par ur X Y. Vi ska nu studera funktioner med speciella egenskaper. 4.1.1 Injektiva funktioner En funktion f : X Y sägs vara injektiv om för alla a 1 a 2 X f(a 1 ) f(a 2 ). Vad innebär nu detta? Om vi håller oss till bilder, kan vi säga: att för en injektiv funktion, finns det aldrig två eller flera pilar, som pekar ut samma element i Y. Håller vi oss till den kartesiska produkten X Y, så förekommer elementen i Y i högst ett par. Exempel 5 Funktionen f i figur 4.6 är injektiv. Något man inte kan säga om funktionen g. Figur 4.6: Håkan Strömberg 4 KTH STH

Exempel 6 Hur många olika injektiva funktioner, kan man konstruera då och X = {1,2,5,9,10} Y = {100,102,103,104,105,106,107} För x = 1 har vi 7 olika möjligheter att välja y. För x = 2 har vi nu 6 olika möjligheter och så vidare till x = 10 då vi endast har tre möjligheter kvar. Antalet möjliga injektiva funktioner blir då 7 6 5 4 3 = 2520 Ett annat namn på injektiv funktion är ett-till-ett funktion. Exempel 7 Som ett exempel: Mängden och mängden X = {svenska medborgare} Y = {möjliga personnummer} Vi är nu intresserade av f : X Y. Väljer vi ut en godtycklig svensk medborgare, så kan myndigheterna ta reda på dennes personnummer. Väljer vi ut ett personnummer vilket som helst, så är det inte säkert (knappast troligt) att det finns någon person med detta personnummer. Funktionen f är injektiv eftersom det inte finns två människor med samma personnummer. Exempel 8 Om och X = {alla på jorden nu levande människor} Y = {n n motsvarar antalet hårstrån man har på huvudet} Vi är nu intresserade av funktionen f : X Y. Väljer vi ut en godtyckligt individ, kan vi på något sätt fastställa antalet hårstrån på huvudet, hos denna individ. Väljer vi däremot ut ett n, som står för ett visst antal hårstrån på huvudet, kommer vi inte med säkerhet att kunna avgöra, vilken individ som avses. Funktionen f är inte injektiv. Detta beror framför allt på att X är betydligt större än Y. Alltså att det finns fler människor på vårt klot än antalet hårstrån som någon människa har på sitt huvud. 4.1.2 Surjektiva funktioner En funktion f : X Y sägs vara surjektiv, om alla element i värdemängden Y är en bild till åtminstone ett element x X. Här passar vi på att införa två nya beteckningar när vi uttrycker definitionen för en surjektiv funktion Håkan Strömberg 5 KTH STH

4.1. FUNKTIONER Definition 3 y Y x X (f(x) = y) utläses för alla och utläses finns det. Det står alltså: För alla y som tillhör Y finns det x som tillhör X, sådana att f(x) = y Exempel 9 Funktionen f i figur 4.7 är surjektiv. Däremot är inte funktionen g surjektiv då D inte är bild till något element i X = {1, 2, 3, 4} Figur 4.7: Om vi i exemplet med personnummer, istället väljer Y till just nu använda personnummer Y = {just nu använda personnummer} är f surjektiv. Hade vi istället definierat Y, som mängden av alla tänkbara personnummer, hade funktionen inte varit surjektiv eftersom vi inser att antalet möjliga personnummer vida överstiger Sveriges folkmängd. När det gäller antalet hårstrån på huvudet, så har jag hittat en uppgift om att en människa har mellan 100000 och 300000 tusen hårstrån på huvudet. Tar vi för säkerhets skull till en övre gräns på 600000 hårstrån, så är definitivt X > Y. Om det sedan är så att det finns en person med precis ett hår på huvudet, kan vi inte veta säkert och därför kan vi inte avgöra om f är surjektiv. Exempel 10 Hur många olika surjektiva funktioner, kan man konstruera då och X = {1,2,5,9,10} Y = {100,102,103,104,105,106,107} Svaret är ingen. För att en funktion ska kunna vara surjektiv krävs att X Y. Så därför byter vi plats på mängderna och X = {100,102,103,104,105,106,107} Y = {1,2,5,9,10} och ställer samma fråga, som inte är så enkel att besvara! Vi inser att det måste vara < X Y. { } 7 5! = 16800 5 Håkan Strömberg 6 KTH STH

4.1.3 Bijektiva funktioner En funktion sägs vara bijektiv om den är både injektiv och surjektiv. Löst uttryckt. En bijektiv funktion är en funktion Där inga pilar från X går till samma element i Y Det går minst en pil till varje element i Y. Vad kan man då säga om X och Y? Jo att X = Y. Exempel 11 Funktionen f är inte bijektiv. Dels därför att f(2) = f(3) = B och därför att det inte finns något x X så att f(x) = D. Funktionen g är däremot bijektiv. Figur 4.8: Exempel 12 Exemplet med personnummer, där Y:s element är just nu använda personnummer, är bijektiv. Hur är det då med funktionen f : X Y, där X = {0,1,2,...} (de naturliga talen) och Y = {... 2, 2,0,1,2,...} (de hela talen). Vi skriver funktionen f(x) = x då x är jämnt 2 f(x) = 1 x 2 då x är udda Här handlar det om en definitionsmängd X och en värdemängd Y, där både X och Y är obegränsade. Det blir ofta lite knepigare då! Vi slår fast att för varje x X finns det precis ett y Y. Alltså handlar det om en funktion. För ett givet värde y Y kan vi bestämma vilket x X då f(x) = y. Är y negativt vet vi att x är udda. Genom sambandet x = 1 2y kan vi bestämma ett entydigt x. På samma sätt, om y är positivt, får vi x = 2y. Av detta sluter vi oss till att f(x) är bijektiv. Men hur är det då med X = Y. Har de två mängderna lika många element? Se nedan En bijektiv funktion f har alltid en invers, som skrivs f 1. Med detta avses att om vi byter plats på elementen i alla par så har vi fortfarande en funktion. Håkan Strömberg 7 KTH STH

4.1. FUNKTIONER Exempel 13 Den bijektiva funktionen har inversen f = {(1,4),(3,7),(5,6)} f 1 = {(4,1),(7,3),(6,5)} som är en funktion. Detta gäller inte för funktionen eftersom g = {(1,a),(2,b),(3,b)} g 1 = {(a,1),(b,2),(b,3)} inte är en funktion. g 1 (b) har inget entydigt värde. Exempel 14 Hur många bijektiva funktioner kan man skapa medx = {1,3,5,7} ochy = {a,aa,aaa,aaaa} Till x = 1 kan vi välja 4 olika bilder. Till x = 2 kan vi välja 3 och till x = 3 återstår 2 möjligheter. Till x = 4 har vi inget val, det finns bara en möjlig bild kvar. Vi kan skapa 24 bijektiva funktioner. Exempel 15 Hur är det med funktionerna är de injektiva, surjektiva och/eller bijektiva? 4 3 2 1 = 24 f(x) = 3x+1 g(x) = x 2 Definitionsmängden för båda funktionerna är X = R. Vilka är då värdemängderna? För Y f = R och för Y g = R +. f(x) är både injektiv och surjektiv och därmed bijektiv. g(x) är surjektiv men inte injektiv och därmed heller inte bijektiv. En bijektiv funktion har en invers. f 1 (y) = y 1 3 När man väl har räknat ut inversen ersätter man y med x och får g(x) har ingen ivers funktion ty f 1 (x) = x 1 3 g 1 (x) = ± x Vilket betyder att det till varje x finns två y Håkan Strömberg 8 KTH STH

4.1.4 Relationer Relationer mellan två mängder (eller fler) förekommer ofta inom matematiken och dess tillämpningar. Några exempel: Relationen mellan heltalen och deras delare, mellan 12 och (1,2,3,4,6,12) Relationen mellan de reella talen och log 10, mellan 240.78 och 2.38162 Relationen mellan läraren och hans studenter Relationen mellan städerna och vägarna mellan dem Relationen mellan personer och deras släktingar Vi utgår från personerna S = {Adam, Bertil, Curt, David} och genererar produktmängden S S, {{Adam,Adam}, {Adam,Bertil}, {Adam,Curt}, {Adam,David}, {Bertil,Adam}, {Bertil,Bertil}, {Bertil,Curt}, {Bertil,David}, {Curt,Adam}, {Curt,Bertil}, {Curt,Curt}, {Curt,David}, {David,Adam}, {David,Bertil}, {David,Curt}, {David,David}} Relationen son till är av delmängd av S S, till exempel {Adam,Bertil}, {Bertil,Curt}, {David,Curt} vilket betyder att Adams pappa heter Bertil, att Adams farfar heter Curt och att David är Adams farbror. Vi uttrycker R = {(x,y) : x son till y}. En relation kan utgöra en funktion om det till varje x finns precis ett y. Vårt exempel är därför en funktion då personer har en och endast en far. Vi skriver relation med stort R och där R S S. Ett element a A är relaterad till b B i relationen R om (a,b) R, arb. Just då A = B som i detta exempel, där A = B = S, kallar vi relationen en binär relation. En binär relation R på A kan ha följande egenskaper, där a,b,c A Reflexiv. En relation R är reflexiv då ara för alla a R. Hit hör till exempel likhetsrelationen. Däremot inte relationen mindre än eftersom inte både a < b och b < a kan gälla samtidigt. Relationen kan uttryckas predikatlogiskt som x(xrx) Symmetrisk. En relation R är symmetrisk då arb medför att bra. Till exempel relationen gift med x y(xry yrx) Antisymmetrisk En relation är antisymmetrisk då (a,b) R men då (b,a) R, utom då x = y. x y(xry yrx x = y) Transitiv. En relation är transitiv om arb och brc medför att arc. Till exempel är relationen mindre än transitiv. x y z(xry yrz xrz) Om en relation har alla dessa tre egenskaper kallas den för en ekvivalensrelation. En relation som är reflexiv och transitiv men inte symmetrisk är en ordningsrelation I figur 4.9 ser vi två sätt att åskådliggöra relationen R A B, där R = {(a,x),(b,y),(b,w),(c,v),(d,z),(d,v)} Håkan Strömberg 9 KTH STH

4.1. FUNKTIONER x y z v w a 1 0 0 0 0 b 0 1 0 0 1 c 0 0 0 1 0 d 0 0 1 1 0 Figur 4.9: Två sätt att åkådliggöra en relation En godtycklig binär relation R A A där A har n objekt, A = n kan bildas på 2 n2 sätt. För varje element i matrisen R(n n) har vi två val, med eller inte med i relationen. En reflexiv binär relation R A A där A har n objekt, A = n kan bildas på 2 n(n 1) sätt. Alla element i matrisen har två val utom de som ligger på huvuddiagonalen, 2 n2 n = 2 n(n 1) En symmetrisk binär relation R A A där A har n objekt, A = n kan bildas på 2 n(n+1)/2 sätt. Antal element över matrisens diagonal är n(n 1) 2 plus n. För antalet transitiva binära relationer R A A där A har n objekt, A = n finns ingen känd formel. Några exempel på relationer och vilka egenskaper de har Mängd Relation Reflexiv Symmetrisk Transitiv = ja ja ja nej ja nej R ja nej ja R < nej nej ja N {0} är en delare till ja nej ja Alla mängder av mängder ja nej ja Alla mängder av mängder nej nej ja Håkan Strömberg 10 KTH STH

4.1.5 Kardinaltal Varje mängd X kan tilldelas ett kardinaltal. Mängder med samma kardinalitet har samma kardinaltal. Kardinaltalet syftar till antalet element i mängden. Så länge det handlar om ändliga mängder är det inga problem. Kardinaltalet är då lika med antalet element. Antalet element i mängden A skrivs A. Värre blir det då vi rör oss med icke ändliga mängder, som till exempel N eller R. Då skiljer man i första hand mellan uppräkneliga och icke uppräkneliga mängder. N är uppräknelig men R är icke uppräknelig. Även Z är uppräknelig genom att skriva talen Z = {0, 1,1, 2,2, 3,3...} förstår man detta. Uppräkneliga mängder har alla samma kardinaltal. Detta skrivs ℵ 0. Mer om detta ingår inte i denna kurs. Alltså är funktionen i exempel 13 bijektiv. Håkan Strömberg 11 KTH STH

4.1. FUNKTIONER 4.1.6 Schemat från How to Solve It Denna arbetsplan, över hur man kan eller bör bete sig när man ska lösa ett problem är hämtad från boken How to Solve It. Detta är den mest kända boken inom området som skrevs redan 1945 av den kände matematikern G Polya. Det kan vara bra att konsultera dessa råd, då du inte omedelbart kan leverera en lösning till ett problem. Att förstå problemet För det första. Du måste verkligen förstå problemet som ska lösas Vad är det som söks? Vad är det som är givet? Hur lyder villkoret? Är det möjligt att uppfylla villkoret? Är villkoret tillräckligt för att bestämma den obekanta? Eller är det otillräckligt? Eller överflödigt? Eller motsägelsefullt? Rita en figur. Inför lämpliga beteckningar. Dela upp villkorets olika delar. Kan du skriva ned dem? Att göra upp en plan För det andra. Sök sambandet mellan de givna uppgifterna och den obekanta. Du kan bli tvungen att hitta på ett hjälpproblem ifall du inte kan finna sambandet direkt. Slutligen skall du komma fram till en plan för lösningen. Har du sett detta förut? Har du sett samma problem i en något annorlunda form? Känner du till något närbesläktat problem? Känner du till någon sats som skulle kunna användas? Betrakta den obekanta! Försök finna ett känt problem med samma eller liknande obekanta storhet. Här är ett närbesläktat problem, som är löst förut. Skulle du kunna använda det? Skulle du kunna använda dess resultat? Eller dess metod? Skulle du kunna införa någon hjälpstorhet för att kunna använda det? Håkan Strömberg 12 KTH STH

Om du inte kan lösa det givna problemet, försök först lösa något liknande problem. Kan du komma på något närbesläktat problem, som är lättare att angripa? Ett allmännare problem? Ett mer speciellt problem? Ett analogt problem? Skulle du kunna lösa en del av problemet? Behåll endast en del av villkoret, förkasta den andra delen. I vilken grad är den okända storheten då bestämd, hur kan den variera? Skulle du kunna härleda någonting användbart ur de givna uppgifterna? Kan du komma på andra data, lämpliga för att bestämma den okända storheten? Skulle du kunna ändra den obekanta eller det givna, eller bådadera om nödvändigt, så att den nya okända storheten och de nya givna uppgifterna ligger närmare varandra? Skulle du kunna formulera om problemet? Skulle du kunna formulera om det ytterligare? Gå tillbaka till definitionen. Använde du alla de givna uppgifterna? Använde du hela villkoret? Har du tagit hänsyn till alla nödvändiga begrepp som ingår i problemet? Att genomföra planen För det tredje Genomför planen. När du genomför den plan som utformats för lösningen, så kontrollera varje steg. Kan du klart se att steget är korrekt? Kan du bevisa att det är riktigt? Håkan Strömberg 13 KTH STH

4.1. FUNKTIONER Att se tillbaka För det fjärde. Granska den funna lösningen. Kan du kontrollera resultatet? Kan du kontrollera bevisföringen? Kan du härleda resultatet på något annat sätt? Kan du se det direkt? Kan du använda resultatet eller metoden på något annat problem? Mathematica Kartesisk produkt I Mathematica kan man ordna till en kartesisk produkt med hjälp av en funktion som nedan kartesi[a_,b_:=block[{m ={},i,j}, For[i=1,i<=Length[a,i++, For [j=1,j<=length[b,j++, AppendTo[m,{a[[i,b[[j} ; m kartesi[{1, 3}, {a, b, c} {{1, a}, {1, b}, {1, c}, {3, a}, {3, b}, {3, c}} Indata till proceduren är två mängder med vilket antal element som helst. Utdata ska vara en mängd med flera, två element långa listor (ordnade par). Att det handlar om en dubbelloop känns väl naturligt? Om vi vill bilda kartesiska produkten av tre mängder A B C borde man kunna anropa kartesi på följande sätt kartesi[{1, 3}, kartesi[{a, b}, {X, Y} {{1, {a, X}}, {1, {a, Y}}, {1, {b, X}}, {1, {b, Y}}, {3, {a, X}}, {3, {a, Y}}, {3, {b, X}}, {3, {b, Y}}} Idén är alltså att först bygga upp den kartesiska produkten för två mängder och sedan köra den mot den tredje mängden. Men som vi ser fungerar det inte helt och hållet. Vi får ett parentespar för mycket. Vi vill ju ha listor med 3 element i varje. För detta använder vi först Flatten för att ta bort alla underlistor och sedan Partition med argumentet 3 för att skapa listor med längden 3. Partition[Flatten[kartesi[{1,3},kartesi[{a,b},{x,y},3 {{1, a, x}, {1, a, y}, {1, b, x}, {1, b, y}, {3, a, x}, {3, a, y}, {3, b, x}, {3, b, y}} Håkan Strömberg 14 KTH STH

Ett urval Nu vill vi välja ut några av de ingående listorna i en kartesisk produkt. Vi ska då använda kommandot Select. Kommandot består av ett villkor som testas för alla element som ingår i en lista (eller mängd). m={2,3,4,6,12}; m2=kartesi[m,m f[x_ := Mod[x[[2, x[[1 == 0 Select[m2, f Vi startar med mängden m Vi skapar m m och får en mängd med 25 par (små listor). Vi definierar en funktion som returnerar True om det första elementet i listan x är en delare till det andra elementet, x 1 x 2. Med Select väljer vi nu ut de par i m m för vilka funktionen f returnerar true. Det finns inga överraskningar i resultatet, eller hur {{2,2},{2,4},{2,6},{2,12},{3,3},{3,6}, {3,12},{4,4},{4,12},{6,6},{6,12},{12,12}} Är det här urvalet från m m en funktion? Nej, det syns ju lång väg. Är detta en funktion? Vi ska skriva en rutin som slumpmässigt plockar ut en delmängd av A B och sedan testar om denna delmängd är en funktion. Vi startar med att skapa den kartesiska produkten. a={1,2,3,4}; b={1,4,5}; m=kartesi[a,b; Vi beskriver slantsingling i Mathematica genom slant[:=random[integer, {1, 2} Så kommer funktionen, som ska plocka ut en slumpmässig delmängd av A B. randsub[m_ := Block[{m1 = {}, i}, For[i = 1, i <= Length[m, i++, If[slant[ == 1, AppendTo[m1, m[[i; ; ; m1 randsub(m); [[1, 1,[2, 1,[2, 4,[3, 1,[4, 5 Håkan Strömberg 15 KTH STH

4.1. FUNKTIONER I detta försök visar det sig att urvalet inte kan vara en funktion. Varför? Om vi ska låta Mathematica testa om resultatet är en funktion kan funktionen test[m,length[a komma att se ut på följande sätt. test[m_,n_:=block[{s={},i}, s=table[m[[i,1,{i,1,length[m}; ns=length[union[s; Length[s==ns && n=ns Indata är en delmängd av den kartesiska produkten, här kallad m och Length[a antalet element i definitionsmängden. Rutinen går igenom alla par och plockar ut a ur alla par a,b, som sätts samman till en lista. I denna lista får inte finnas några dubbletter och antalet olika värden måste överensstämma med antalet element i mängden a, 4 i vårt exempel. Så funktionen som binder allt samman simulera[m_,n_:=block[{m1,k=0,i}, For[i=1,i<=10000,i++, m1=randsub[m; If[test[m1,n, k=k+1; ; k/100 // N simulera[m,length[a; 1.95 Ungefär 2% av alla slumpmässiga urval leder till en funktion. Så några funktioner som testar olika egenskaper hos en relation Slumpmässig relation a = {1, 3, 5, 6}; b = {2, 3, 4, 7}; skapa[a_, b_ := Block[{s = {}, i, j}, For[i = 1, i <= Length[a, i++, For[j = 1, j <= Length[b, j++, If[Random[Integer, {1, 2} == 1, AppendTo[s, {a[[i, b[[j}; ; s Håkan Strömberg 16 KTH STH

4.1.7 Test om reflexiv reflexiv[r_ := Block[{i, ok = True}, For[i = 1, i <= Length[r, i++, If[! MemberQ[r, {r[[i, 1, r[[i, 1}! MemberQ[r, {r[[i, 2, r[[i, 2}, ok = False; Break[ ; ok 4.1.8 Test om symmetrisk symmetrisk[r_ := Block[{i, ok = True}, For[i = 1, i <= Length[r, i++, If[! MemberQ[r, {r[[i, 2, r[[i, 1}, ok = False; Break[ ; ok 4.1.9 Test om antisymmetrisk antisymmetrisk[r_ := Block[{i, ok = True}, For[i = 1, i <= Length[r, i++, If[MemberQ[r, {r[[i, 2, r[[i, 1} && r[[i, 1!= r[[i, 2, ok = False; Break[ ; ok Håkan Strömberg 17 KTH STH

4.1. FUNKTIONER 4.1.10 Test om transitiv transitiv[r_ := Block[{i, j, ok = True}, For[i = 1, i <= Length[r, i++, For[j = 1, j <= Length[r, j++, If[r[[i, 2 == r[[j, 1 &&! MemberQ[r, {r[[i, 1, r[[j, 2}, ok = False; Break[ ; ok Test av framslumpade relationer testa[x_, y_ := Block[{i, r, fr}, fr = Table[0, {i, 1, 4}; For[i = 1, i <= 1000, i++, r = skapa[x, y; If[reflexiv[r, fr[[1++ ; If[symmetrisk[r, fr[[2++ ; If[antisymmetrisk[r, fr[[3++ ; If[transitiv[r, fr[[4++ ; fr En testkörning x = {1, 2, 3, 4}; y = {1, 2, 3, 4}; testa[x, y Kan till exempel ge 64,21,154,50, det vill säga det mest troliga är att en relation är antisymmetrisk. Håkan Strömberg 18 KTH STH

Perfekta tal Talet 12 har delarna 1,2,3,4,6,12. Summan av delarna är 28. Talet 6 har delarna 1,2,3,6. Summan av delarna är 12. De tal t vars delare summerar till 2t kallas perfekta tal. Därför är 6 ett perfekt tal, men inte 12. Skriv en procedur som tar reda på alla perfekta tal upp till en given gräns n perfect[n_:=block[{lista={},i,s}, For [i=1,i<=n,i++, s=apply[plus,divisors[i; If[s==2*i, AppendTo[lista,i ; lista Det perfekta talen < 10000 är 6,28,496,8128. Ingen vet om det finns något udda perfekt tal. Divisors. Mathematica-nyheter i detta program är Divisors[n som returnerar en mängd med delarna till n. Apply. Kommandot s=apply[plus,l summerar alla talen i listan l, där Plus är en fördefinierad funktion. Sociala tal Definition: Vi startar med ett tal n och bestämmer σ(n) (den matematiska beteckningen för summan av delarna till n). Vi bestämmer sedan s(n) = σ(n) n Detta tal bildar sedan n i nästa varv i iterationen. Iterationen avbryts när vi kommer tillbaka till det inledande talet n. Talen som ingår i denna slinga kallas sociala tal. Ett exempel: Vi startar med n = 12496 och får 12496 14288 15472 14536 14264 12496 Efter 5 varv är vi tillbaka. Perioden är därför 5 social[n_:=block[{i=0,m=n,ok=true}, While[ok, m=apply[plus,divisors[m-m; i=i+1; ok=m!=n; ; i Håkan Strömberg 19 KTH STH

4.1. FUNKTIONER Det finns inte så många kända sociala tal. Här några exempel Period Antal kända Talen 4 138 1264460, 2115324, 2784580, 4938136,... 5 1 12496 6 3 21548919483, 90632826380, 1771417411016 8 2 1095447416, 1276254780 9 1 805984760 28 1 14316 En sak till Om man vill ta reda på om variabelnaär ett heltal skriver man i Mathematica IntegerQ[a. Till exempel: If[IntegerQ[Sqrt(x),... Om villkoret ovan är sant är x en heltalskvadrat. Håkan Strömberg 20 KTH STH

Teoriuppgifter Problem 1 Vilken av funktionerna i figur 4.10, f eller g, är injektiv? Figur 4.10: Problem 2 Varför är inte f(x) = x 2 en surjektiv funktion då X = {1,2,3,4,5} och Y = {1,4,9,16,25,36}? Problem 3 Är funktionen f(x) = x 2 injektiv och/eller surjektiv då X = { 1,0,1,2} och Y = {0,1,4}? Problem 4 Vad är detta för typ av funktion? Vi skriver f(x) = 2x och X = {1,2,3,4,5} och Y = {2,4,6,8,10} Problem 5 Vi repeterar först följande beteckningar x Det största heltal n så att n x x Det minsta heltal n så att n x Vilken värdemängd har funktionen med definitionsmängden R f(x) = x x Problem 6 I figur 4.11 presenterar vi sex avbildningar. Bestäm för var och en av dem om det är ett exempel på injektiv funktion, surjektiv funktion, bijektiv funktion, funktion utan att vara varken surjektiv eller bijektiv, eller till sist inte ens en funktion Håkan Strömberg 21 KTH STH

4.1. FUNKTIONER Figur 4.11: Problem 7 Funktionen f(x) = 4x mod 6 har definitionsmängden X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} och värdemängden Y = X. Bestäm om funktionen är injektiv och/eller surjektiv. Figur 4.12: Håkan Strömberg 22 KTH STH

Problem 8 I figur 4.12 ser vi ett släktträd, där varje nivå utgör en generation. Relationen dotter till får följande utseende R = {(g,c),(h,d),(j,e),(k,f),(m,h),(p,k),(s,m)} om vi betecknar personen med första bokstaven i namnet. Bestäm följande relationer a) Mor till b) Bror till c) Kusin till Problem 9 Avgör för de fyra relationerna i problem 4.1.10, om de är reflexiva, symmetriska, antisymmeriska och/eller transitiva Problem 10 Uttryck i matematiskt språk delar-relationen över de naturliga talen, 2 R 12 tillhör denna relation eftersom 2 12. Problem 11 Vad kan man säga om följande relation? R = {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)} Problem 12 Är antisymmetrisk samma sak som inte symmetrisk Problem 13 Vilka av dessa två relationer är transitiva R 1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(a,e),(b,a),(b,b),(b,c),(b,e),(d,c),(d,d)} R 2 = {(a,b),(a,c),(a,e),(b,a),(b,b),(b,c),(b,e),(d,c),(d,d),(e,e)} Håkan Strömberg 23 KTH STH

4.1. FUNKTIONER Problem 14 Låt R 1 X Y och R 2 Y Z. Sammansättningen av dessa relationer, som vi betecknar R 2 R 1 är en relation från X till Z och som vi definierar Bestäm R 2 R 1 då R 2 R 1 = {(x,z) : (x,y) R 1 (y,z) R 2 för något y Y} R 1 = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} och R 2 = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} Lösningar Teoriuppgifter Lösning Teoriuppgift 1 Funktionen g är injektiv. Den är även surjektiv och därmed också bijektiv. Lösning Teoriuppgift 2 Det finns inget x X, så att f(x) = 36. Funktionen är dock injektiv. Lösning Teoriuppgift 3 Funktionen är inte injektiv eftersom f( 1) = 1 och f(1) = 1. Däremot är funktionen f surjektiv, eftersom elementen i Y alla är bilder till element i X. Funktionen är följaktligen då inte bijektiv. Lösning Teoriuppgift 4 Den är både injektiv och surjektiv och därmed också bijektiv. Lösning Teoriuppgift 5 Då x Z är f(x) = 0. För övriga x är f(x) = 1 Lösning Teoriuppgift 6 a) Ingen funktion b) Ingen funktion c) Surjektiv d) Bijektiv e) Surjektiv f) Funktion Håkan Strömberg 24 KTH STH

Lösning Teoriuppgift 7 f(x) är varken surjektiv eller injektiv. x f(x) 0 0 1 4 2 2 3 0 4 4 5 2 Lösning Teoriuppgift 8 a) R 1 = {(a,b),(a,c),(h,l),(h,m),(j,n),(k,o),(k,p),(m,s)} b) R 2 = {(b,c),(c,b),(d,e),(e,d),(f,g),(i,h),(l,m),(o,p)} c) R 3 = {(d,f),(f,d),(d,g),(g,d),(h,j),(j,h),(i,j),(j,i),(r,s),(s,r)} Lösning Teoriuppgift 9 Ingen av relationerna är reflexiv eftersom ingen kan vara, son, mor, bror eller kusin till sig själv. Kusinrelationen är symmetrisk. Bror till-relationen är inte symmetrisk eftersom, relationen inte är symmetrisk då en bror och en syster är inblandade. Dotter till-relationen och mor till-relationen är båda antisymmetriska, däremot inte kusin-relationen och bror-relationen Ingen av relationerna är transitiv Lösning Teoriuppgift 10 R = {(a,b) : a,b N a b} Lösning Teoriuppgift 11 Den är både reflexiv, symmetrisk och transitiv Lösning Teoriuppgift 12 R = {(a,b),(b,a),(b,c)}. R är inte symmetrisk eftersom (c,b) R. R är inte antisymmetrisk eftersom både (a,b) R och (b,a) R Håkan Strömberg 25 KTH STH

4.1. FUNKTIONER Lösning Teoriuppgift 13 R 2 R 1 = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)} Lösning Teoriuppgift 14 R 1 är transitiv, men inte R 2 ty (a,b) och (b,a) tillhör R 2, men inte (a,a) Laboration Laborationsuppgift 1. Summan delar produkten (2) När är summan av talen 1+2+3+...+n inte en delare till produkten av samma tal 1 2 3... n Producera med hjälp av Mathematica en lista för olika n. Försök sedan hitta ett mönster i denna lista. Summan av talen 1+...+n skriver man i matematiken n k k=1 Produkten av talen 1... n skriver man i matematiken n! Dessa skrivsätt återkommer vi till framöver, men det skadar inte att du får se det redan nu. Med hjälp av detta kan vi skriva problemet: För vilka n är n k n! k=1 Laborationsuppgift 2. Ett tal som summan av två heltalskvadrater (2) Talet 5 är summan av två heltalskvadrater 1 2 + 2 2. På samma sätt är 13 = 2 2 + 3 2 och 260 = 16 2 + 2 2. Däremot kan varken 27,31 eller 443 och många andra tal, skrivas som summan av två heltalskvadrater. Skriv en funktion i Mathematica, som tar emot ett tal och som returnerar en lista innehållande små listor med två tal, en för varje lösning. Till exempel för talet 85 ska vi få listan {85,{2,9},{6,7}} eftersom 85 = 2 2 +9 2 = 6 2 +7 2 Håkan Strömberg 26 KTH STH

Laborationsuppgift 3. Summan av heltalskvadrater på två sätt (2) Använd rutinen ovan för att ta reda på det minsta tal som kan skrivas som summan av två heltalskvadrater på två olika sätt. Svaret är alltså inte 85. Laborationsuppgift 4. Tre tal efter varandra (2) Använd funktionen från föregående uppgift för att hitta de tre minsta konsekutiva (efter varandra följande, till exempel 78,79,80) heltal som alla kan skrivas som summan av två heltalskvadrater på åtminstone ett sätt. Ledtråd: De är < 1000. Laborationsuppgift 5. Oläsligt tal (2) I den gamla matematikboken fanns talet 273?49?5 Där siffrorna på frågetecknens plats var oläsliga. Däremot vet man att både 9 och 11 är delare till talet. Ta reda på de oläsliga siffrorna. Laborationsuppgift 6. GCD-problem (2) Bestäm för alla par (a,b), där 1 a b 100 och gcd(a,b) = 1, värdet hos Vilka olika värden kan x anta? x = gcd(a+b,b a) Laborationsuppgift 7. Tal i olika baser (2) Ett tresiffrigt tal n i basen 7, kommer ut bak och fram då det skrivs i basen 9. Vilket är talet uttryckt i basen 10. Laborationsuppgift 8. Huvuddiagonalen (3) Skriv en funktion, som för ett givet n bestämmer summan av elementen i huvuddiagonalen för följande matris M(n n) Summan för n = 1...10 (1) 1 2 3... n n+1 n+2 n+3... 2n 2n+1 2n+2 2n+3..................... (n 1)n+1 (n 1)n+2......... En formel beroende på n, som direkt ger svaret (2) Laborationsuppgift 9. AAABBBCCC + 1 (2) Siffrorna A {1...9} och B,C {0...9} bildar ett niosiffrigt tal. Om vi adderar 1 till detta tal får vi en heltalskvadrat. Vilket tal står AAABBBCCC för? Håkan Strömberg 27 KTH STH

4.1. FUNKTIONER Laborationsuppgift 10. Banken gjorde fel (2) När en check med ett fyrsiffrigt belopp, i hela kronor, skulle betalas ut av banken, lästes beloppet baklänges. Istället för beloppet abcd betalades det ut dcba. Checkens ägare förlorade då ett belopp som motsvarade en heltalskvadrat i kronor. Vilka är de möjliga beloppen? Håkan Strömberg 28 KTH STH