TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN jan 06 Tid 5-75 Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Inge Jovik Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär algebra och analys, HF006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs 9 av ma poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs 0, 7, 5,, 9 respektive 8 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 8 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) arccos( ) b) (p) Om g( ) bestäm inversen g ( ) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim 0 tan() d) (p) Beräkna gränsvärdet lim 0 sin( ) + sin() Uppgift (p) a) (p) Anta att y är deriverbar funktion av som satisfierar ekvationen + 6y + y 8 Bestäm derivatan y genom implicit derivering b) (p) Bestäm derivatan till / + f ( )
Uppgift (p) Låt f ( ) a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) Rita funktionens graf Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) ln d b) d + 5 Uppgift 5 (p) Lös differentialekvationen y y, y()0 Uppgift 6 (p) Bestäm den allmänna lösningen differentialekvationen y ( ) + y ( ) + 5y( ) Uppgift 7 (p) Bestäm strömmen i( och laddningen q( i nedanstående LRC krets L R C i( U om induktansen L henry, resistansen R 0 ohm, kapacitansen C 00 farad och spänningen U volt Begynnelse villkoren: i(0)0 ampere och i ( 0) ampere/sekund Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( Lycka till
Facit: Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) arccos( ) b) (p) Om g( ) bestäm inversen g ( ) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim 0 d) (p) Beräkna gränsvärdet tan() lim 0 sin( ) + sin() Lösning: a) b) Vi löser ut ur ekvationen g( ) y y y y y y y y y Därmed f y ( y) y eller (om vi betecknar oberoende var med ) f ( ) c) 0 lim [typ, L' Hospitals 0 0 ( ) lim 0 regel] d) tan() lim [typ 0 sin( ) + sin() 0 0, L' Hospitals regel] cos () lim 0 cos( ) + cos() +
Svar: a) b) Rättningsmall: a),b),c),d) f ( ) rätt eller fel c) d) / Uppgift (p) a) (p) Anta att y är deriverbar funktion av som satisfierar ekvationen + 6y + y 8 Bestäm derivatan y genom implicit derivering b) (p) Bestäm derivatan till Lösning / + f ( ) a) + 6y + 6y + yy 0 y ( 6 + y) 6y + 6y + y y 6 + y + y b) Lösning: Metod Vi logaritmerar båda sidor + ln f ( ) ln ln + ln Vi deriverar båda sidor ekvationen ln f ( ) ln + ln och får f '( ) f ( ) ( + ) ( ) Härav f ( ) + f '( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) / / Metod Kedjeregeln: / + ( )( + ) /
/ + ( ) ( + ) + f ( ) / / ( ) ( ) ( ) ( + ) / Svar: a) + y + y b) f ( ) f '( ) ( / / ) ( ) ( + ) Rättningsmall: a) Korrekt derivering dvs uttrycket + 6y + 6y + yy 0 ger p Allt korrekt p f '( ) b) Metod : Korrekt till uttrycket ger p f ( ) ( + ) ( ) / + ( ) ( + ) Metod : Korrekt till uttrycket f ( ) ger p ( ) Allt korrekt p Uppgift (p) f ( ) Låt a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) Rita funktionens graf Lösning a) Stationära punkter f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f () 0 0 ( ) 0
Funktionen f ( ) är inte definierad i och Förstaderivatans teckenstudie: 0 + + + + + 0 + + + + + + 0 0 + ( ) + + + 0 + + + 0 + + + f () + 0 ej def 0 ej def 0 + f () ma ej def terrass punkt ej def min I punkten har funktionen (lokal maimum ( ) f ( ) ( ) Punkten 0 är en terrasspunkt där f ( 0 ) 0 I punkten har funktionen (lokal minimum ( ) f ( ) ( ) b) Asymptoter till f ( ) I punkter ± är nämnaren 0 och täljaren 0 Därför f () ± då och därmed är och två vertikala asymptoter Polynomdivision: f ) + Då är y en sned asymptot ( c) Grafen till f ( )
Svar: a) är en maimipunkt, 0 är en terrasspunkt, är en minimipunkt b) två vertikala/lodrätta asymptoter och, samt en sned asymptot y c) se grafen Rättningsmall: a) Allt korrekt p Korrekta punkter (men fel typ för minst en av punkterna) p Korrekt en stationärpunkt och punktens typp b) rätt eller fel c) rätt eller fel Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) ln d b) d + 5 Lösning: a) Vi använder partiell integration: f ( ) g ( ) d f ( ) g( ) f ( ) g( ) d Part int f ( ) ln f ( ) g ( ) g( )
d d d + C ln ln ln ln 9 b) Först delar vi i partiella bråk: + 5 ( + 5) A B + A( + 5) + B ( A + B) + 5A ( + 5) + 5 Härav 5A A + B 0, som ger A / 5 och B / 5 och därmed /5 /5 + 5 + 5 /5 /5 Slutligen d d ln ln + 5 + + 5 + 5 5 5 C Svar: a) ln + C 9 b) ln ln + 5 + C 5 5 Rättningsmall: a) Allt korrekt p b) Allt korrekt p Uppgift 5 (p) Lös differentialekvationen y y, y()0 Lösning: Ekvationen är både separabel och linjär METOD (separabel DE) dy dy d dy d y y y y + ( y + ) d y + y + ln y + ln + C Vi använder villkoret y()0 ln( y + ) ln( ) + C ln + C C ln C C y + e y + e e y + e y + ± e som vi kan skriva på C enklare sätt y + D (eftersom ± e är en konstan Vi använder villkoret y()0 och får 0 + D D Därmed y + eller y METOD (linjär DE) Från ekvationen får vi
P( ), Q( ) För att bestämma integrerande faktor F beräknar vi P( ) d Lägg märke till att en konstant C redan finns i formel () så att vi behöver endast en primitiv funktion P( ) d d ln [eftersom > 0] ln och därför F e P( ) d ln e Den integrerande faktorn substituerar vi i formel () y( ) F ( C + F Q( ) d) och får y ( ) F ( C + F Q( ) d) y ( ) ( C + d) y ( ) ( C + d ) y ( ) ( C ) y C (den allmänna lösningen) För att bestämma C använder vi villkoret y()0 och får 0 C C Därmed y Svar: y Rättningsmall: Korrekt till y ( ) ( C + d) ger p Allt korrektp Uppgift 6 (p)
Bestäm den allmänna lösningen differentialekvationen y ( ) + y ( ) + 5y( ) Lösning: i) Vi bestämmer först den homogena lösningen y H, d vs den allmänna lösningen till ekvationen y ( ) + y ( ) + 5y( ) 0 Den karakteristiska ekvationen r + r + 5 0 har två komplea rötter har två komplea rötter r ± i Härav får vi två baslösningar y e cos( ) och y e sin( ) y c, y c y ce ce och därför är sin( ) cos( ) H ii) För att bestämma en partikulär lösning ansätter vi + För att bestämma koefficienter A och B beräknar vi derivator y p A, y 0 p + y p A + B och substituerar i ekvationen y ( ) + y ( ) + 5y( ) 0 + A + 5( A + B) 5 A + A + 5B Identifiering av koefficienter ger följande system med två ekvationer: 5A A + 5B 0 Från första ekvationen har vi A/5andra ger B /5, Detta ger y 5 p 5 Slutligen y( ) y ( ) + y ( ) H p y( ) ce sin( ) + ce cos( ) + 5 5 Svar: y( ) ce sin( ) + ce cos( ) + 5 Rättningsmall: Korrekt lösning till homogena ekvationen p En partikulär lösning p Uppgift 7 (p) 5 Bestäm strömmen i( och laddningen q( i nedanstående LRC krets
L R C i( U om induktansen L henry, resistansen R 0 ohm, kapacitansen C 00 farad och spänningen U volt Begynnelse villkoren: i(0)0 ampere och i ( 0) ampere/sekund Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( Lösning: METOD Från kretsen får vi följande diff ekv di( L + Ri( + q( u( ( efter subst L, R och C ) dt C i ( + 0i( + 00q( (ekv) Vi eliminerar en obekant q( genom att derivera ekvationen Derivering ger (eftersom q ( i( ) i ( + 0i ( + 00i( 0 0t 0t Härav i( C e + C e För att bestämma C och C använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) 0 och i ( 0) som vi substituerar i i( C e + C e 0t 0t och i 0t 0t ( 0Ce 0Ce Vi får två ekvationer: C + C 0 och 0C 0C Härav C / 0 och C / 0 Slutligen i( e 0 e 0 0t 0t Metod a för laddningen
Från ekvationen i ( + 0i( + 00q( får vi q( ( i ( 0i( ) / 00 [ ( e [ e 0t + e 0t ]/ 00 0t 0t Alltså q( ( e + e ) / 00 0t + e Metod b för laddningen efter att vi har bestämt i ( q( kan vi få genom att integrera i ( : 0t ) 0( 0t 0t 0t 0t q( ( e e ) dt e + e + C (*) 0 0 00 00 0 e 0t 0 e 0t ))]/ 00 Från ekvationen i ( + 0i( + 00q(, kan vi bestämma q(0) genom att substituera t0: i ( 0) + 0i(0) + 00q(0) + 0 + 00q(0) q(0) / 00 Från (*) har vi nu 00 + 00 + C C 00 00 0t 0t Alltså q( e + e + 00 00 00 t e + e 00 0 0t METOD Man kan eliminera q( ur ekvationen i ( + 0i( + 00q( (ekv) genom att substituera q ( i( och därför q ( i ( Vi får q ( + 0q ( + 00q( (ekv) Ett begynnelse villkor för q ( får vi genom att substituera i(0)0 och i ( 0) i i ( + 0i( + 00q( (ekv) Detta gör q ( 0) / 00 Andra villkoret får vi ur q ( i( och i ( 0) 0 som gör q ( 0) i(0) Därmed löser vi ekvationen q ( + 0q ( + 00q( (ekv), med villkoren q ( 0) / 00 och q ( 0) 0t 0t Standard lösningsmetod gör q( ( e + e ) / 00 Slutligen strömmen i( q ( e 0 0t 0t e 0
0t 0t 0t 0t Svar: i( e e ampere, q( ( e + e ) / 00 coulomb 0 0 Rättningsmall: Korrekt upställning av ekvationen i ( + 0i( + 00q( p 0t 0t Korrekt allmän lösning i( Ce + Ce p p för korrekta konstanter C / 0, C / 0 Alt korrekt p