Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp

Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp (3) Introduktion Fourieranalys handlar om att bryta ner en periodisk funktion i komponenter i form av sinus- och cosinusfunktioner (om än ofta i form av den komplexa exponentialfunktionen) och sedan, omvänt, försöka sätta ihop bitarna igen till den ursprungliga funktionen. Härigenom får man insikt i många periodiska system. Ett känt exempel är, varför låter samma ton från en trumpet och ett piano olika? Tonen definieras av dess svängningsfrekvens, som i sin tur är uppbyggd av en svit harmoniska toner (d.v.s. sinusoch cosinusfuktioner) från en övertonsserie. Det är hur dessa övertoner vägs ihop som definierar klangen. Men musik är långt ifrån det enda tillfälle man vill bryta ner en periodisk funktion i harmoniska svängningar. Här ska vi dock inte titta på sådana tillämpningar, utan fokusera på själva den matematiska uppdelningen av en funktion som är T -periodisk. För att reducera komplexiteten i formlerna antar vi att T =, så att de harmoniska svängningarna är rena sinus- och cosinusfunktioner. Det är naturligtvis ingen reell inskränkning: det handlar bara om hur vi mäter tiden! Egenskaper hos Fourierkoefficienterna Vi ska i detta kapitel nämare diskutera det ortonormerade systemet e n (x) = e inx, n Z, i rummet R([, ]; C) av komplexvärda, Riemannintegrerbara funktioner med pseudoskalärprodukten (u, v) = u(x)v(x)dx. Om u R([, ]; C) så definierar vi dess Fourierkoefficienter genom c n = (u, e n ), d.v.s. () c n = c n (u) = u(x)e inx dx, n Z. När vi nu ska undersöka egenskaper hos Fourierkoefficienterna är det bekvämt att betrakta u som en -periodisk funktion definierad på hela R, ty e inx är en sådan och man kan då integrera över en godtycklig period i (). T.ex. gäller att Bessels olikhet säger att () c n = u(x)e inx dx. c n (u) u(x) dx = u, vilket visar dels att c n (u) u för alla n, dels att (3) c n (u) då n. Några andra viktiga egenskaper hos Fourierkoefficienterna ges i nästa lemma.

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp (3) Lemma Om u är kontinuerlig med period och styckvis C gäller att (4) c n (u ) = inc n (u). Om u är en -periodisk, Riemannintegrerbar funktion gäller att (5) c n (e ix u) = c n (u), (6) c n (τ a u) = e ina c n (u) där (τ a u)(x) = u(x a). Anmärkning Man säger att en funktion u är C på intervallet [α, β] om dess derivata u existerar och är en kontinuerlig funktion på [α, β]. (I ändpunkterna α och β definieras u (x) som höger- respektive vänsterderivatan.) Man säger att u är styckvis C på [α, β] om det finns en indelning α = x < x <... < x k = β och C funktioner u j på intervallen [x j, x j ], j =,..., k, sådana att u(x) = u j (x) då x j < x < x j. Observera att u inte måste vara kontinuerlig i punkterna x, x,..., x k. Derivatan u är inte heller entydigt definierad i dessa punkter. Däremot är Fourierkoefficienterna c n (u ) väldefinierade eftersom de endast beror på u :s värden i de öppna intervallen (x j, x j ). Bevis. Om u är C på hela R ger en partialintegration att c n (u ) = u (x)e inx dx = [ u(x)e inx] = in u(x)e inx dx = inc n (u), u(x)( in)e inx dx eftersom u()e i = u()e i p.g.a. periodiciteten. Om u bara är styckvis C men kontinuerlig får vi (4) genom att summera bidrag från delintervall (x j, x j ) i vilka u är C. Formeln (5) följer direkt ur c n (e ix u) = Slutligen har vi att e ix u(x)e inx dx = u(x)e i(n )x d = c n (u). c n (τ a u) = vilket är (6). u(x a)e inx dx = a a u(y)e in(y+a) dy = e ina c n (u), Om u är en given -periodisk funktion kallas den formella serien c n e inx för u:s Fourierserie. En sådan serie kallas konvergent om serierna c n e inx och c n e inx

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 3 (3) båda är konvergenta och summan definieras då som summan av dessa seriers summor. Fourierserien till en given funktion behöver inte konvergera i varje punkt. Det finns kontinuerliga funktioner sådana att deras Fourierserier divergerar i en icke-uppräknelig mängd punkter. Det finns till och med funktioner vars Fourierserier divergerar i varje punkt! Ur Bessels olikhet () får vi emellertid följande resultat. Lemma Om u är en kontinuerlig, -periodisk funktion som är styckvis C gäller att c n (u) <. Speciellt konvergerar Fourierserien under lemmats förutsättningar likformigt på hela den reella axeln. Vi skall i nästa avsnitt se att den konvergerar mot u. Bevis. Derivatan u är Riemannintegrerbar eftersom den är begränsad och styckvis kontinuerlig. Bessels olikhet ger att n c n (u) = c n (u ) u = u (x) dx. Här använde vi (4) i första likheten. För n gäller att c n = n n c n ( n + n c n ) (aritmetisk-geometriska olikheten) och det följer att c n är konvergent eftersom n är konvergent. 3 Fouriers inversionsformel Vi skall nu använda egenskaperna i föregående avsnitt till att visa följande viktiga sats. Sats Antag att u är en -periodisk, styckvis C funktion. Då gäller att (7) u(x) = c n e inx förutsatt att u är kontinuerlig i punkten x. Bevis. Låt oss först visa (7) i x = och dessutom anta att u() =. För att verifiera (7) skall vi då visa att c n =. För detta skriver vi u(x) = v(x)( e ix ), där v(x) = u(x) x x e ix är styckvis kontinuerlig och -periodisk. Notera att, eftersom u är kontinuerlig i x = med u() =, så gäller att u(x)/x u (+) då x och u(x)/x u ( ) då x. Enligt (5) har vi att c n (u) = c n (v) c n (v),

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 4 (3) varför det följer att N c n (u) = M N (c n (v) c n (v)) = c N (v) c M (v) M och c N (v) och c M (v) går mot noll då N respektive M går mot oändligheten enligt (3). Detta visar att c n(u) = om u() =. Om u() kan vi betrakta u (x) = u(x) u(). Då är { c n (u) då n c n (u ) = c (u) u() då n = och enligt vad vi redan visat är c n(u ) =. Det betyder precis att varför vi har visat (7) i x =. u() = c n (u), Slutligen, om u(x) är kontinuerlig i x = a blir w(x) = u(x + a) kontinuerlig i och enligt vad vi redan visat gäller då att Med hjälp av (6) får vi w() = c n (w). u(a) = w() = c n (w) = c n (u)e ina. Detta fullbordar beviset. Exempel Låt u(x) vara den -periodiska fyrkantsvågen {, om x < u(x) =, om x <. Om n gäller då att c n (u) = u(x)e inx dx = ( ( )e inx dx + e inx dx) = in ( ( )n ) = {, om n = k /in, om n = k +. Notera att c n = c n. Eftersom c = blir u:s Fourierserie därför c n e inx = (c n e inx + c n e inx ) = ic n sin nx

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 5 (3) = 4 (k + ) sin(k + )x = 4 (sin x + 3 sin 3x + sin 5x +...). 5 Enligt Sats gäller i alla punkter i det öppna intervallet (, ) utom att u(x) = 4 sin(k + )x, (k + ) d.v.s. Om vi speciellt tar x = / får vi att { /4, < x < sin(k + )x = k + /4, < x <. 4 = ( ) k k + = 3 + 5 7 +... Observera i Exempel ) att för x =, och är Fouriersumman ic n sin nx lika med noll, vilket är det aritmetiska medelvärdet av u:s höger- och vänstergränsvärden i dessa punkter. Detta är ett generellt fenomen som vi ska återkomma till nedan. 4 Parsevals formel Sats {e inx } n Z är en ortonormerad bas för R([, ]; C). Bevis. Till varje funktion u R([, ]; C) och varje ɛ > finns en kontinuerlig, styckvis C funktion v på intervallet [, ] sådan att (8) u v < ɛ/. Man kan välja v så att v() = v(). Då blir den -periodiska utvidgning av v kontinuerlig och styckvis C. Men Fourierserien till v konvergerar likformigt mot v, så om vi sätter N v N (x) = c n (v)e inx, N så kan man till varje ɛ > välja N sådan att sup x v(x) v N (x) < ɛ/. Det följer att v v N = v(x) v N (x) dx sup v(x) v N (x) < ɛ/. x Om man sätter ihop detta med (8) och använder triangelolikheten får man att u v N u v + v v N < ɛ om N är tillräckligt stor. Det följer att funktionerna e inx bildar en ON-bas för R([, ]; C). Som en direkt konsekvens av detta får vi

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 6 (3) Sats 3 Om u, v R([, ]; C) så gäller att (9) u(x)v(x)dx = c n (u)c n (v). Speciellt har vi Parsevals formel () u(x) dx = c n (u). Exempel Använder vi () på fyrkantsvågen i Exempel får vi d.v.s. Om vi istället betraktar funktionen för vilken blir Parsevals formel och vi får att dx = 4 (k + ), 8 = (k + ) = + 9 + 5 +... c n (u) = n u(x) = x då x < xe inx dx = i( )n, c (u) =, n n = x dx = 3, 6 = n = + 4 + 9 + 6 +... Anmärkning Låt c n vara Fourierkoefficienterna till funktionen u R([, ]; C) och sätt u M,N (x) = N c n e inx. M Att det ortonormerade systemet {e inx } n Z är en ON-bas för R([, ]; C) innebär att u u M,N = u(x) u M,N (x) dx då M, N. Däremot behöver u M,N inte konvergerar mot u(x) för varje x. Endast då u är kontinuerlig, -periodisk och styckvis C vet vi att så är fallet.

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 7 (3) 5 Cosinus- och sinusserier Om man ersätter e inx med cos(nx) + i sin(nx) i Fourierserien u(x) = c n e inx övergår denna i en serie av formen () u(x) = a + a n cos nx + b n sin nx. Tvåan i nämnaren på den konstanta termen är till för att ge enhetliga formler för koefficienterna. För att bestämma dessa observerar vi först att funktionerna (), cos x, sin x, cos x, sin x,... är sinsemellan ortogonala och alla har längden / m.a.p. den vanliga pseudoskalärprodukten i R([, ]; C). Om vi multiplicerar den vanliga skalärprodukten med och bildar (3) (u, v) = u(x)v(x)dx, så blir alltså funktionerna i () en ON-bas i R([, ]; C). Formlerna för koordianterna m.a.p. en ON-bas ger nu att (4) a n = (5) b n = Vi sammanfattar det ovanstående i följande sats. u(x) cos(nx)dx, n =,,,... u(x) sin(nx)dx, n =,,... Sats 4 Funktionerna i () bildar en ON-bas i R([, ]; C) m.a.p, pseudoskalärprodukten i (3). Om u är en -periodisk funktion som är styckvis C och a n, b n definieras av (4), (5), så gäller () i varje punkt x där u är kontinuerlig. Bevis. Det första påståendet är redan bevisat. Det andra följer av Sats och omskrivningen ovan. Då u är en reellvärd funktion kan det ibland vara fördelaktigt att skriva Fourierserier på formen () eftersom koefficienterna a n, b n då blir reella tal. Andra situationer när () kan vara att föredra är när u är en jämn funktion (d.v.s. u( x) = u(x) för alla x) eller en udda funktion (u( x) = u(x) för alla x). Om u är en jämn funktion blir integralerna i högerledet av (5) lika med noll, eftesom integranden är en udda funktion, och () blir en ren cosinusserie u(x) = a + a n cos(nx).

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 8 (3) I detta fall är även integranden i högerledet av (4) en jämn funktion, så integralen från till är lika med två gånger integralen från till : (6) a n = u(x) cos(nx)dx, n =,,... Om u är en udda funktion försvinner istället koefficienterna a n och () blir en sinusserie där (7) b n = u(x) = b n sin(nx) u(x) sin(nx)dx, n =,,... Med hjälp av dessa observationer kan vi bevisa följande sats. Sats 5 Låt u vara kontinuerlig och styckvis C på intervallet [, ]. Då kan u utvecklas i en cosinusserie (8) u(x) = a + a n cos(nx) x, där koefficienterna a n ges av (6) och a n <. Om dessutom u() = u() = kan u även utvecklas i en sinusserie (9) u(x) = b n sin(nx) där b n ges av (7) och b n <. Bevis. För att härleda (8) utvidgar vi först u till en jämn funktion på intervallet [, ] och därefter till en -periodisk funktion (se figuren) x Den utvidgade funktionen blir då en kontinuerlig och styckvis C funktion. Enligt Lemma är Fourierserien för denna funktion absolutkonvergent och eftersom funktionen är jämn kan Fourierserien skrivas som en cosinusserie. Detta bevisa (8). På liknande sätt kan man härleda (9). Här börjar man med att utvidga u till en udda funktion på intervallet [, ] och sedan till en -periodisk funktion. Enda skillnaden är att man nu måste kräva att u() = u() = för att den utvidgade funktionen ska bli kontinuerlig i punkterna, ±, ±,...

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 9 (3) Anmärkning Notera att man enligt första delen av satsen kan utveckla t.ex. funktionen sin x i en cosinusserie på [, ]: sin x = a + a n cos(nx), x. Likheten gäller emellertid inte för < x <. Istället blir summan där sin x, eftersom sin x är en jämn funktion. Funktionerna () /, cos x, cos x, cos 3x... bildar ett ortonormerat system m.a.p. skalärprodukten () (u, v) = u(x)v(x)dx. Detta följer direkt av att de är jämna funktioner och utgör ett ortonormerat system m.a.p. (3). Eftersom det för varje Riemannintegrerbar funktion u på intervallet [, ] och varje ɛ > finns en kontinuerlig, styckvis C funktion v sådan att () u(x) v(x) dx < ɛ så medför Sats 5 att funktionerna i () är en ON-bas för R([, ]; C) med pseudoskalärprodukten (). På liknande sätt följer att funktionerna sin x, sin(x), sin(3x),... är en ON-bas för R([, ]; C) m.a.p. pseudoskalärprodukten (). Enda skillnaden är att man måste välja funktionen v i () så att v() = v() =. Parsevals sats för dessa ON-baser kan formuleras på följande sätt. Sats 6 Låt u vara en Riemannintegrerbar funktion på intervallet [, ]. Då gäller att u(x) dx = a + ( a n + b n ), där a n ges av (6) och b n ges av (7). Vi avslutar detta avsnitt med ett till Sats 5 och den efterföljande diskussionen närbesläktat resultat. Sats 7 Om u är en kontinuerlig och styckvis C funktion på intervallet [, /] som uppfyller u() =, så gäller att u(x) = b k sin(k + )x, x, där och b k <. b k = 4 / u(x) sin(k + )x dx

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp (3) Specielt följer att funktionerna sin x, sin 3x, sin 5x,... är en ON-bas för R([, ]; C) försett med pseudoskalärprodukten (u, v) = 4 / u(x)v(x)dx. Bevis. Vi utvidgar först u till en kontinuerlig funktion på [, ] genom att utvidga den som en jämn funktion kring x = /, d.v.s. vi sätter u(x) = u( x) för x [/, ]. Den utvidgade funktionen, som blir kontinuerlig och styckvis C, uppfyller då u() = u() =, så enligt andra delen av Sats 5 kan u utvecklas i en absolutkonvergent sinusserie: u(x) = b n sin nx, x, där b n ges av (7). Eftesom u( x) = u(x) då x har vi att { b n = / } u(x) sin nx dx + u(x) sin nx dx { = / u(x) sin nx dx + = ( ( )n ) / / / u( x) sin n( x) dx u(x) sin nx dx. Det följer att b n = om n = k är ett jämnt tal. Sista delen av satsen följer som tidigare genom att vi approximerar en godtycklig Riemannintegrerbar funktion på [, /] med en kontinuerlig, styckvis C funktion som är noll i x =. } 6 Gibbs fenomen Exempel 3 Låt s(x) vara den -periodiska funktion som definieras av s(x) = ( x), x <. 3

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp (3) En kort räkning visar att denna har Fourierserien sin kx. k Från Sats vet vi att denna är lika med s(x) utom i diskontinuitetspunkterna x = k där k är ett heltal. I dessa punkter är Fourierserien lika med noll eftersom varje term är noll. Vi ska nu studera partialsummorna s n (x) = n sin kx k närmare. Vi har att s (x) = n cos kx, och om vi använder formeln sin α sin β = sin(α+ β) sin(β α) får vi att sin s n(x) = sin(x+ ) sin(x )+sin(x+ ) sin(x )+...+sin(nx+ ) sin(nx ) Vi har alltså = sin(n + )x sin x (3) s n(x) = sin(n + )x sin x nx = sin cos n + x. Ur det första uttrycket för s n(x) här får vi att s n (x) = x s n(t)dt = ( x) + x nx sin = cos (n+)x sin x sin(n + )t sin t dt, om < x <. Genom att partialintegrera (integrera sin(n+ t och derivera /( sin x ) ser man att det för varje δ > finns en konstant M δ sådan att integralen här kan uppskattas med M δ /(n+/) då δ x δ. Vi ser därför att s n (x) s(x) i < x < då n, vilket vi redan visat, och att konvergensen är likformig i varje intervall på formen δ x δ, δ >. Ur det andra uttrycket i (3) kan vi beräkna nollställen till s n. I intervallet < x < har s n(x) n stycken nollställen om n är udda, och n nollställen om n är jämn. Dessa nollställen är av formen n + < n < 3 n + < 4 n <... < (m ) n +. < m n <... Vi ser också att nollställena är omväxande lokala maxima och lokala minima till s n eftersom derivatan växlar tecken varje gång. Vidare gäller t.ex. att s n ( m n n ) = km sin k n = n sin x k x k (x k+ x k ) där x k = km n. Uttrycket i högerledet är en Riemannsumma och konvergerar därför, när n, mot integralen m sin tdt/t. Vi har alltså att (4) lim n s n ( m n ) = m sin t dt. t

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp (3) På samma sätt ser man att (5) lim n s n ( (m ) (m ) ) = n + sin t dt. t Av alla dessa integraler är det (5) med m = som är störst, vilket betyder att vi för varje δ > har att (6) lim max n [,δ] Detta ska jäföras med s(+) = /, Om g = s n (x) = sin t dt. t sin t dt =.789797... t ser vi att partialsummorna skjuter över målet med faktorn g då n. Detta fenomen kallas Gibbs fenomen. Anmärkning Av integralerna (4) och (5) är det (4) för m = som är minst. Partialsummorna i Fourierserien skjuter därför under målet då n med faktorn sin t dt =.9833... t Betrakta nu en reellvärd, -periodisk, styckvis C funktion u(x) med precis en diskontinuitetspunkt x sådan att x <. Då finns konstanter A och B sådana att om s (x) = As(x x ) + B, så är u(x) s (x) en -periodisk, kontinuerlig och styckvis C funktion förutsatt att den definieras som noll i u:s diskontinuitetspunkter. Villkoren u(x +) s (x +) = u(x ) s (x ) = är nämligen uppfyllda om A = (u(x + ) u(x )), B = (u(x +) + u(x )).

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 3 (3) Ur Lemma och Sats följer då att n (7) ( c k (u)e ikx A n n k sin k(x x ) B) u(x) s ( x) likformigt då n. Speciellt ser vi att om vi sätter x = x, så gäller att n c k (u)e ikx B = (u(x +) + u(x )) då n. n Vidare ser ur (7) att Gibbs fenomen gäller för u. Mer precist, eftersom n k sin k(x x ) s(x x ) liformigt på kompakta intervall som inte innehåller några diskontinuitetspunkter, så kommer funktionerna u n (x) = n n c k(u)e ikx att konvergerar likformigt mot u(x) då n och x x att komma nära varje värde på avstånd högst g u(x +) u(x ) / från (u(x +)+ u(x ))/. g u(x +) u(x ) x (u(x +) + u(x )) Motsvarande resultat gäller naturligtvis om u har mer än en diskontinuitetspunkt i intervallet x <, men man får då justera u med flera funktioner av typen s(x), en för varje diskontinuitetspunkt.