Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna. en riktning v 1 och två punkter P 1 och P 2 i planet är givna. tre punkter P 1, P 2 och P 3, som inte ligger på en rät linje, i planet är givna. På ett liknande sätt som för linjen kan vi föra ett resonemang som leder fram till planets ekvation på vektorform r = r 0 + v 1 s+ v 2 t För varje par av värden på s och t får vi en ny punkt i planet. Den snarlika framställningen av planet på parameterform ser ut så här x = x 0 +α 1 s+α 2 t y = y 0 +β 1 s+β 2 t z = z 0 +γ 1 s+γ 2 t Här är P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) en punkt i planet och vektorerna v 1 = (α 1,β 1,γ 1 ) och v 2 = (α 2,β 2,γ 2 ) riktningar parallella med planet. Det kanske vanligaste sättet att återge ett plan är på normalform. Betraktar vi parameterframställningen som ett ekvationssystem med de obekanta s, t och z, kommer lösningen på z att bli ett uttryck i x och y. Vi skriver om detta på formen Ax+By+Cz+D = 0 och kallar framställningen planets ekvation på normalform. Vi ska nu titta närmare på vektorn n = (A,B,C) som vi konstruerar med hjälp av koefficienterna från planets ekvation Ax + By + Cz + D = 0. Genom att bestämma x och y kan vi beräkna z och på det sättet finna punkter som ligger i planet. Med de tre punkterna P 1 = (x 1,y 1, (D+Ax 1 +By 1 )/C) P 2 = (x 2,y 2, (D+Ax 2 +By 2 )/C) P 3 = (x 3,y 3, (D+Ax 3 +By 3 )/C) Håkan Strömberg 1 KTH Syd
kan vi bestämma två riktningar som är parallella med planet. v 1 = P 1 P 2 och v 2 = P 1 P 3. När vi nu väljer att beräkna n v 1 och n v 2 får vi v 1 = P 1 P 2 = (P 1 P 2 ) = (x 1 x 2,y 1 y 2,(D+Ax 2 +By 2 D Ax 1 By 1 )/C). Denna vektor skalärt med n ger (x 1 x 2,y 1 y 2,(Ax 2 +By 2 Ax 1 By 1 )/C) (A,B,C) = A(x 1 x 2 )+B(y 1 y 2 )+(Ax 2 +By 2 Ax 1 By 1 ) = Ax 1 Ax 2 +By 1 By 2 +Ax 2 +By 2 Ax 1 By 1 = 0 På samma sätt finner vi att n v 2 = 0. Detta betyder att n är vinkelrät mot två vektorer v 1 och v 2 i planet, vilket betyder att n är vinkelrät mot alla vektorer i planet och därmed är vinkelrät mot planet! Sats 1. Vektorn n = (A, B, C), är en normalvektor till planet Ax+By+Cz+D = 0 Exempel 1. Tre punkter P 1 = (1,4,2), och P 2 = (0,2,1) och P 3 = (1,0,1) är givna. Tre punkter som inte ligger på en rät linje bestämmer ett plan. Med punkterna som hjälp, kan vi bilda två riktningar som är parallella med planet. v 1 = P 1 P 2 = (1,4,2) (0,2,1) = (1,2,1) och v 2 = P 1 P 3 = (1,4,2) (1,0,1) = (0,4,1). Vi kan nu skriva planets ekvation på vektorform r = (1,4,2) +(1,2,1)s+(0,4,1)t Som du förstår finns det många olika val att göra denna framställning på. Det kan ibland vara svårt att se om två olika framställningar av ett plan på parameterform definierar samma plan. På parameterform kan vi direkt skriva det hela x = 1+s y = 4+2s+4t z = 2+s+t Genom till exempel s = t = 1 framställer vi punkten (2,10,4), som alltså ligger på planet. När vi nu ska bestämma planets ekvation på normalform ska vi alltså lösa ekvationssystemet ovan med avseende på s, t och z. Ur första ekvationen får vi s = x 1. Detta insatt i andra ekvationen leder till y = 4+2(x 1)+4t y = 4+2x 2+4t t = (y 2x 2)/4 Med dessa uttryck på s och t kan vi till sist uttrycka den tredje ekvationen utan inblandning av s och t. z = 2 + (x 1) + (y 2x 2)/4. Efter en del räknande kommer vi fram till planets ekvation på normalform 2x+y 4z+2 = 0 Håkan Strömberg 2 KTH Syd
Problemställningar Vi har nu definierat punkten, linjen och planet i rummet för att kunna lösa problem med dessa objekt inblandade. Skärningar. Vi börjar med skärningen mellan två linjer l 1 och l 2. x = x 0 +v x t x = x 1 +u x t l 1 = y = y 0 +v y t l 1 = y = y 1 +u y t z = z 0 +v z t z = z 1 +u z t I praktiken kan man säga att det endast är i undantagsfall, som två linjer i rummet skär varandra. För att få reda på om l 1 och l 2 har någon gemensam punkt ska vi finna värden på t och s, så att x 1 +u x t = x 0 +v x s y 1 +u y t = y 0 +v y s z 1 +u z t = y 0 +v z s Observera att t i l 1 och t i l 2, som linjerna framställs från början, inte är samma parameter och att vi här inför s som den andra linjens parameter. Eftersom (x 1,y 1,z 1 ), (u x,u y,u z ), (x 0,y 0,z 0 ) och (v x,v y,v z ) alla är kända har systemet två obekanta s och t och tre ekvationer. Systemet är överbestämt och vi kan ur de två första ekvationerna lösa s och t. Om dessa värden satisfierar den tredje ekvationen är punkten (x 1 +u x t,y 1 +u y t,z 1 +u z t) gemensam för de båda linjerna. Skärning mellan en linje och ett plan. En linje kan förhålla sig till ett plan på tre olika sätt: Linjen skär planet Linjen är parallell med planet och har ingen gemensam punkt med planet. Linjen ligger i planet. Det första fallet inträffar så fort linjens riktningsvektor inte är parallell med planet. I de två andra fallen är riktningsvektorn dock parallell med planet. x = x 0 +u x t x = x 1 +w x s+v x t l = y = y 0 +u y t pl = y = y 1 +w y s+v y t z = z 0 +u z t z = z 1 +w z s+v z t Från linjen l och planet pl skapar vi nu ett ekvationssystem med tre obekanta x 0 +u x p = x 1 +w x s+v x t y 0 +u y p = y 1 +w y s+v y t z 0 +u z p = z 1 +w z s+v z t där de tre obekanta är p, s och t. Från kapitlet om linjära ekvationssystem känner vi till att detta system kan ha en, ingen eller oändligt många lösningar. Var och en av dessa fall motsvarar ett förhållande mellan linjen och planet enligt punkterna ovan. Skärning mellan två plan. Precis som tidigare reder vi ut vilka fall som är möjliga. Två plan kan förhålla sig till varandra på tre olika sätt Håkan Strömberg 3 KTH Syd
Planen skär varandra efter en rät linje. Planen är parallella med varandra och har ingen gemensam punkt. Planen sammanfaller. Det första fallet inträffar då planens normalvektorer inte är parallella. I de andra två fallen är just normalvektorerna parallella! De två planen pl 1 och pl 2, vi ska studera har följande ekvationer på parameterform. x = x 0 +w x s+v x t x = x 1 +u x s+r x t pl 1 = y = y 0 +w y s+v y t pl 2 = y = y 1 +u y s+r y t z = z 0 +w z s+v z t z = z 1 +u z s+r z t där P 0, P 1, w, v, u, r alla är givna. Vi får följande ekvationssystem x 0 +w x s 1 +v x t 1 = x 1 +u x s 2 +r x t 2 y 0 +w y s 1 +v y t 1 = y 1 +u y s 2 +r y t 2 z 0 +w z s 1 +v z t 1 = z 1 +u z s 2 +r z t 2 därs 1, t 1, s 2 och t 2 är obekanta. Ett ekvationssystem med fyra obekanta och tre ekvationer. Ett underbestämt system som aldrig kan ha en unik lösning. Två plan kan aldrig skära varandra på ett sådant sätt att de endast har en gemensam punkt. Vi har av ekvationssystemet att vänta oss antingen en enparametrig lösning planen har en gemensam linje. ingen lösning planen är parallella utan gemensamma punkter. en tvåparametrig lösning planen sammanfaller. Avstånd. Vi börjar med avståndet mellan två punkter i rummet, som vi förresten meddelat tidigare. Då P 1 = (x 1,y 1,z 1 ) och P 2 = (x 2,y 2,z 2 ) är två punkter i rummet är P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 När vi nu ska bestämma avståndet från en punkt till en linje där punkten P inte ligger på linjen l, så är det förstås det vinkelräta avståndet från P till linjen som ska bestämmas avståndet från P till en punkt P 1 = (x 1,y 1,z 1 ) på linjen l l = x = x 0 +u x t y = y 0 +u y t z = z 0 +u z t Vi förstår att vektorn PP1 u. Eftersom punkten P 1 ligger på linjen l räcker följande ekvationssystem för att finna P 1 = (x 1,y 1,z 1 ) x 1 = x 0 +u x t y 1 = y 0 +u y t z 1 = z 0 +u z t u x (x x 1 )+u y (y y 1 )+u z (z z 1 ) = 0 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Den sista ekvationen uttrycker skalärprodukten u PP1 = 0. När väl punkten P 1 är bestämd återstår endast att bestämma avståndet PP1. För avståndet från en punkt till ett plan menas avståndet från punkten P = (x,y,z) vinkelrätt mot planet pl. x = x 0 +u x s+v x t pl = y = y 0 +u y s+v y t z = z 0 +u z s+v z t Ungefär som för avståndet från en punkt till linjen ska vi finna en punkt P 1 = (x 1,y 1,z 1 ) i planet sådan att PP1 är vinkelrät mot både u och v. x 1 = x 0 +u x s+v x t y 1 = y 0 +u y s+v y t z 1 = z 0 +u z s+v z t v x (x x 1 )+v y (y y 1 )+v z (z z 1 ) = 0 u x (x x 1 )+u y (y y 1 )+u z (z z 1 ) = 0 De två sista ekvationerna uttrycker v PP1 = 0 och u PP1 = 0. Ett ekvationssystem med fem ekvationer, där u, v, P 0 och P är kända och där de fem obekanta är P 1 = (x 1,y 1,z 1 ), s och t. Värden för parametrarna s och t är vi mindre intresserade av, men då vi får reda på P 1 kan vi bestämma PP1. Avståndet mellan två linjer l 1 och l 2 x = x 0 +u x t y = y 0 +u y t z = z 0 +u z t x = x 1 +v x t y = y 1 +v y t z = z 1 +v z t Här handlar det om att finna två punkter P 2 = (x 2,y 2,z 2 ) och P 3 = (x 3,y 3,z 3 ), som ligger på var sin linje, sådana att det P 2 P 3 är vinkelrät mot både u och v. Detta leder till följande ekvationssystem x 2 = x 0 +u x s y 2 = y 0 +u y s z 2 = z 0 +u z s x 3 = x 1 +v x t y 3 = y 1 +v y t z 3 = z 1 +v z t v x (x 2 x 3 )+v y (y 2 y 3 )+v z (z 2 z 3 ) = 0 u x (x 2 x 3 )+u y (y 2 y 3 )+u z (z 2 z 3 ) = 0 Åtta ekvationer och åtta obekanta, P 2 = (x 2,y 2,z 2 ) och P 3 = (x 3,y 3,z 3 ), s och t. När P 2 och P 3 är bestämda kan P 2 P 3 bestämmas och problemet är löst. Att tala om avståndet mellan två plan är endast meningsfullt då planen är parallella och ej sammanfallande. Alla punkter i det ena planet ligger lika långt ifrån det andra planet och därmed är problemet återfört till avståndet från en punkt till ett plan. Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Avståndet mellan en linje och ett plan är det meningsfullt att tala om endast då linjen är parallell med planet och de saknar gemensamma punkter. Eftersom alla punkter på linjen då ligger lika långt från planet kan vi välja ut en punkt och problemet är återfört till avståndet från en punkt till ett plan. Vinklar. Vi börjar med att bestämma vinkeln mellan två plan genom att definiera att vinkeln mellan två plan är lika med vinkeln mellan två normalvektorer till planen. Om planens ekvationer är givna på formen A 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 = 0 och A 2 x+b 2 y+ C 2 z+d 2 = 0 är det vinkeln mellan n 1 = (A 1,B 1,C 1 ) och n 2 = (A 2,B 2,C 2 ) vi är ute efter. Vinkeln θ mellan två vektorer bestäms som vi tidigare meddelat genom cosθ = n 1 n 2 n 1 n 2 Vinkeln mellan två linjer l 1 och l 2, bestäms genom vinkeln mellan linjernas riktningsvektorer v 1 och v 2. Detta oavsett om linjerna skär varandra eller inte. Vinkeln mellan en linje och ett plan är π/2 arccosθ, där θ är vinkeln mellan en normalvektor till planet och en riktningsvektor till linjen. Om linjen är parallell till planet är θ = 0 Extra 1. Bestäm ekvationen för det plan i vilket punkterna P 1 (1,2,3), P 2 (2,4,5) och P 3 (4,5,6) ligger. Lösning: Vi har de tre punkterna P 1 (1,2,3), P 2 (2,4,5) och P 3 (4,5,6) och bildar två vektorer v = (2,4,5) (1,2,3) = (1,2,2) och u = (4,5,6) (2,4,5) = (2,1,1). Observera att vi kan göra andra val och få andra vektorer som också fungerar. Nu kan vi enkelt skriva planets ekvation på parameterform: x = 1+s+2t y = 2+2s+t z = 3+2s+t Men nu var det planets ekvation på normalform det var frågan om. Ett sätt är att lösa ut s och t ur de två första ekvationerna. { x = 1+s+2t y = 2+2s+t Vi får s = 3+x 2y 3 t = y 2x 3 Dessa två uttryck substituerar vi sedan med i den tredje ekvationen. z = 3 2(3+x 2y) y 2x 3 3 3z = 9 6 2x+4y y+2x 3z = 3+3y z y = 1 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Ett alternativt sätt att lösa problemet: Vi använder vektorerna v och u från ovan och tar reda på en vektor som är vinkelrät mot dessa och därmed också vinkelrätt mot planet. e x e y e z n = 1 2 2 2 1 1 = 2 e x +4 e y + e z 2 e x e y 4 e z = (0,3, 3) n innehåller nu koefficienterna A,B,C till Ax+By+Cz+D = 0 och vi får 3y 3z+D = 0. För att få tag i D sätter vi in en av punkterna P 1,P 2 eller P 3 i denna ekvation och får med P 1, 3 2 3 3+D = 0 ger D = 3. Vi skriver nu ekvationen 3y 3z+3 = 0 eller y z+1 = 0. För att få samma svar som vid första lösningen avslutar vi med att multiplicera båda leden med ( 1). z y = 1 Extra 2. Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkten P = (1,2,4) och som har ritningen v = (1, 1, 2). Bestäm sedan skärningspunkten mellan denna linje och planet x+3y 4z = 5. Lösning: En punkt P(1, 2, 4) och en vektor v = (1, 1, 2) ger oss linjens ekvation x = 1+t y = 2+t z = 4+2t Denna linje skär planet x+3y 4z = 5 då 1+t+3(2+t) 4(4+2t) = 5 1+t+6+3t 16 8t = 5 t = 7 2 Med detta t = 7 2 insatt i linjens ekvation får vi skärningspunkten ( 52, 32, 3 ) Extra 3. Bestäm vinkeln mellan planen 2x+y 2z = 5 och 3x 6y 2z = 7. Lösning: Från ekvationerna för de två planen 2x + y 2z = 5 och 3x 6y 2z = 7, plockar vi ut normalvektorerna n 1 = (2,1, 2) och n 2 = (3, 6, 2). Svaret får vi genom att bestämma vinkeln mellan dessa vektorer. cosθ = n 1 n 2 n 1 n 2 (2,1, 2) (3, 6, 2) cosθ = 2 2 +1 2 +( 2) 2 3 2 +( 6) 2 +( 2) 2 cosθ = 4 21 θ 1.38 Extra 4. Givet de två punkterna P = (3,1,2) och Q = (1, 2, 4) och tillhörande positionsvektorer a = (3,1,2) och b = (1, 2, 4). Beräkna ekvationen för det plan som går genom Q och som är vinkelrätt mot PQ. Lösning: Vektorn n = a b = (3,1,2) (1, 2, 4) = (2,3,6) är normalvektor till planet. Därför kan vi direkt skriva 2x+3y+6z+D = 0. D kan vi nu bestämma genom att sätta in punkten Q(1, 2, 4), som vi vet ligger i planet. Vi får 2 1+3 ( 2)+6 ( 4)+D = 0 ger D = 28 och ekvationen kan skrivas 2x+3y+6z+28 = 0 Håkan Strömberg 7 KTH Syd
Extra 5. Bestäm avståndet från punkten S = ( 1,1,1) till planet 2x+3y+6z+28 = 0 Lösning: Avståndet från punkten P( 1, 1, 1) till planet 2x+3y+6z+28 = 0 ska bestämmas. Vi startar med att bestämma ekvationen för den linje som går genom punkten P och som är parallell med normalvektorn (2,3,6). Vi får x = 1+2t y = 1+3t z = 1+6t Nu vill vi veta var denna linje skär planet. Vi får ekvationen Med detta t = 5 7 2( 1+2t)+3(1+3t)+6(1+6t)+28 = 0 2+4t+3+9t+6+36t+28 = 0 t = 5 7 kan vi nu ta reda på skärningspunkten x = 1 10 y = 1 15 7 = 8 7 z = 1+ 30 7 = 23 7 7 = 17 7 Vi avslutar så med att bestämma avståndet mellan de två punkterna ( 1+ 17 ) 2 +( 1+ 8 2 ( + 1+ 7 7) 23 ) 2 = 5 7 Om Du lyckas lära dig formeln d = Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D A 2 +B 2 +C 2 så är det fritt fram att använda den d = 2 ( 1)+3+6+28 = 5 2 2 +3 2 +6 2 Extra 6. Bestäm först ekvationen för linjen genom punkterna (1, 1,3) och (3,3, 1). Visa att denna linje går vinkelrät mot planet 2x+4y 4z = 5. Avsluta med att bestämma vinkeln mellan aktuell linje och planet med ekvationen 12x 15y+16z = 10. Lösning: P(1, 1,3) och Q(3,3, 1) ger v = (3,3, 1) (1, 1,3) = (2,4, 4). Planet 2x+4y 4z = 5 har normalvektorn n = (2,4, 4). Eftersom v = n går vektorn v vinkelrätt planet. Det andra planet med ekvationen 12x 15y+16z = 10 har normalvektorn n = (12, 15, 16). Vi får (2,4, 4) (12, 15,16) cosθ = 2 2 +4 2 +( 4) 2 12 2 +( 15) 2 +16 2 θ 48.2 (överensstämmer inte med facit!) Håkan Strömberg 8 KTH Syd
Extra 7. Ta reda på om linjen genom punkterna P 1 = (2,0, 1) och P 2 = (1,2,3) skär linjen genom punkterna P 3 = (0,0,1) och P 4 = (1,0,1) Lösning: Vi löser ut t ur de tre ekvationerna och får Den andra linjens ekvation x = 1+(1 2)t = 1 t y = 2+(2 0)t = 2+2t z = 3+(3+1)t = 3+4t 1 x = y 2 2 = z 3 4 x = 0+(0 1)t = t y = 0+(0 0)t = 0 z = 1+(1 1)t = 1 Vi ser direkt att denna linje inte skär den första. Extra 8. Bestäm avståndet mellan linjerna x = 4+2t y = 2+t z = 3 t x = 7+3s y = 2+2s z = 1+s Lösning: Först de två linjernas ekvationer x = 4+2t y = 2+t z = 3 t x = 7+3s y = 2+2s z = 1+s Vi söker nu en vektor som är vinkelrät mot v = (2, 1, 1) och u = (3, 2, 1) { (11 3s+2t, 2s+t,2 s t) (2,1, 1) = 0 (11 3s+2t, 2s+t,2 s t) (3,2,1) = 0 (11 3s+2t, 2s+t,2 s t) är den vektor som bildas då man väljer ett t på första linjen och ett s på den andra. Lösningen t = 1 och s = 2 ger vektorn (3, 5,1). Denna vektor är vinkelrät mot riktningsvektorerna hos de båda linjerna. Längden hos denna vektor är liktydigt med det kortaste avståndet mellan linjerna. d = 3 2 +( 5) 2 +1 2 = 35 Extra 9. Bestäm ekvationen för det plan som innehåller linjen l och är parallell med linjen s. x = 1+2t l = y = 3+t z = 4+t x = 1+2t s = y = 3+t z = 4+t Lösning: Att skriva ned planets ekvation på parameterform är busenkelt! x = 1+2t+s y = 3+t+2s z = 4+t+3s Håkan Strömberg 9 KTH Syd
För att få det på normalform löser vi först ut s och t ur de två första ekvationerna. { x = 1+2t+s y = 3+t+2s med lösningen s = 7+x 2y 3 t = 5 2x+y 3 Vi sätter så in dessa uttryck för s och t i den tredje ekvationen och får z = 4+t+3s z = 4+ 5 2x+y 7+x 2y 3 3z = 12 (5 2x+y)+3(7 x+2y) 3z = 12 5+2x y+21 3x+6y x 5y+3z 28 = 0 Vi kan nu teckna ekvationen x 5y + 3z + D = 0. Genom att sätta den givna punkten (1, 3,4) kan vi till sist bestämma D. 1 5 ( 3)+3 4+D = 0 ger D = 28 och ekvationen x 5y+3z 28 = 0 Extra 10. Bestäm (x,x,x) (x, x,x). Lösning: Vi får determinanten Som ger Svar: (2x 2,0, 2x 2 ) v u = (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) x x x x x x x 2 e x +x 2 e y x 2 e z x 2 e z x 2 e y +x 2 e x = 2x 2 e x 2x 2 e z = 2x 2 (1,0,0) +2x 2 (0,0,1) = (2x 2,0, 2x 2 ) 1 Vi har två punkter och ett plan givna och önskar skärningspunkten mellan den linje, som går genom de två punkterna, och planet. Vilken är din plan? 2 Vi har tre punkter givna och vill ha ekvationen för det plan som innehåller dessa punkter. Vilken är din plan? 3 Vi har en vektor v och vill ha dess projektion på vektorn u. Vilken är din plan? 4 Vi vill lösa olikheten Vilken är din plan? x 2 +x 2 x+3 > 0 Håkan Strömberg 10 KTH Syd
1 1 Ta fram linjens ekvation på parameterform. 2 Ersätt x, y och z i planets ekvation med motsvarande uttryck i t. 3 Lös den uppkomna ekvationen med avseende på t. 4 Sätt in detta t-värde i linjens ekvation 2 1 Bilda två vektorer v och u med hjälp av de tre punkterna 2 Eftersom de bildade vektorerna v och u är parallella med planet är v u en normalvektor till planet. Ta fram denna normalvektor n. 3 Vi kan nu skriva planets ekvation för allt utom den konstanta koefficienten. Denna får vi fram genom att sätta in en av de tre punkterna. 3 1 Bestäm en enhetsvektor r i samma riktning som v 2 Beräkna u r 3 Beräkna ( u r) r 4 1 Faktorisera täljaren 3 Sortera nollställena i täljare och nämnare i stigande ordning och ställ upp tabell för teckenstudium. 4 Utläs svaret ur tabellen Håkan Strömberg 11 KTH Syd