Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

Relevanta dokument
1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

Tentamen: Lösningsförslag

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

Lösning till kontrollskrivning 1A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

Kontrollskrivning 1A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

Övningstenta: Lösningsförslag

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,

Provtentamen i Matematik 2, 5B1116, för B,E,I,IT,M,Media och T, ht 2001

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Lösningar till Matematisk analys

Kap Generaliserade multipelintegraler.

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Uppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

y= x dx = x = r cosv $ y = r sin v ,dxdy = rdrdv ' 2* så får vi att

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

Kap Dubbelintegraler.

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

1. Beräkna volymen av det område som begränsas av paraboloiden z = 4 x 2 y 2 och xy-planet. Lösning: Volymen erhålles som V = dxdydz.

Lösningar till tentamen i Matematik II, 5B1116, 5B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004.

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 2004.

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentan , lösningar

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

MMA127 Differential och integralkalkyl II

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson

TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med

Tentamen: Lösningsförslag

Transkript:

Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 25 6 3, kl 8 3 5B9, Vektoranalys, för Open Uppgifterna 4 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga examinationen Av dessa uppgifter skall man bara lösa dem som svarar mot moment man inte blivit godkänd på under kursens gång Bedömning här är Godkänd/Underkänd Uppgifterna 6 poängsätts med maximalt 4 poäng per uppgift Betygsgränser: A och 5: godkänt på alla momenten 5 och 4 2 poäng på uppgifterna 6 B och 4: godkänt på alla momenten 5 och 3 poäng på uppgifterna 6 C och 4: godkänt på alla momenten 5 och 8 poäng på uppgifterna 6 och 3: godkänt på alla momenten 5 och 5 7 poäng på uppgifterna 6 E och 3: godkänt på alla momenten 5 och 3 4 poäng på uppgifterna 6 F och U: underkänt amtliga behandlade uppgifter skall förses med utförliga lösningar och motiveringar Inga hjälpmedel är tillåtna kriv program och grupp tydligt på omslaget Lycka till! 4 Beräkna linjeintegralen xy 2 + 2y dx + 2x2 y + 3x dy Γ där Γ är randen av kvadraten x, y genomlöpt i positiv led 5 Låt f(x,y,z) = x 2 z + 2y och F = (3x + z 2, 2x + y, yz) Avgör vilka av följande uttryck som har mening och beräkna dem i förekommande fall: a div grad f c grad rot F b rot grad f d div rot F Vgvänd

OBERVERA u får välja om du vill räkna: uppgift 6 eller uppgift 6A uppgift 8 eller uppgift 8A uppgift 9 eller uppgift 9A essutom räknar du uppgifterna 7 och 6 Beräkna volymen av den ändliga kroppen som begränsas av ytorna z = 8 x 2 + y 2 och z = x 2 + 3y 2 7 Beräkna flödesintegralen (4y, 3x, z + x 2 ) nˆ d där är den del av ytan z = 3x 2 + 4y 2 där x 2 + y 2 Enhetsnormalen nˆ har positiv z komponent 8 Bestäm konstanterna a och b så att fältet F = (axy + 3yz, x 2 + 3xz + by 2 z, bxy + y 3 ) är konservativt Bestäm för dessa värden på a och b en potential till F 9 Undersök konvergensen av den generaliserade dubbelintegralen då ges av x, y, x + y 4x + y (x 2 + 4y 2 ) dxdy 2 En tunn platta som ges av z =, x 2 + y 2 har masstätheten + x 2 + y 2 per ytenhet i varje punkt (x,y,z) på plattan Bestäm plattans totala massa ALTERNATIVA uppgifter 6A, 8A och 9A 6A Bestäm största och minsta värdet av funktionen f(x,y) = 6x + 2y på den slutna ellipsskivan 3x 2 + y 2 6 8A Visa att funktionen f(x,y) given av u = 2x + sin y f : v = sin x + y + är lokalt inverterbar i varje punkt (x,y) Bestäm inversens Jacobimatris svarande mot punkten (x,y,u,v) = (,,,) Ange de partiella derivatorna x och y i denna punkt u v 9A Undersök om det finns något tal a sådant att x 2 + 4xy + ay 2 + 2x y = är ekvationen för en parabel Lösningsförslag kommer att finnas på http://wwwmathkthse/~bronek/amelia2/repetition/opententamen2563pdf

Lösningsförslag till tentamen i 5B9 för Open, den 25 6 3 4 Låt Vi har P = xy2 + 2y och Q = 2x2 y + 3x P ý = x2 y 2 + 2xy + 2 och () 2 Q x = 2x2 y 2 + 4xy + 3 () 2 Låt beteckna kvadraten x, y Enligt Greens formel får man P dx + Q dy = (Q x P ý ) dxdy = dxdy = arean av = Γ var: 5 a grad f = f = (2xz, 2, x 2 ) och div grad f = grad f = 2z b grad f = f = (2xz, 2, x 2 ) rot grad f = grad f = (,,) (vilket inträffar för alla f) c rot F är en vektor, grad är ej definierad för en vektor, alltså grad rot F ej definierad d rot F = F = (z, 2z, 2) div rot F = rot F = (vilket inträffar för alla F) var: div grad f = 2z, rot grad f = (,,), grad rot F ej definierad, div rot F = 6 Ytorna skär varandra längs kurvan z = 8 x 2 + y 2 z = x 2 + 3y 2 Kurvans projektion i xy-planet fås genom att eliminera z ur ekvationssystemet vilket ger x 2 + 3y 2 = 8 x 2 + y 2, dvs en cirkel med ekvationen x 2 + y 2 = 4 Om betecknar området inom cirkeln, får vi V = (8 x 2 + y 2 x 2 3y 2 ) dxdy = 2 (4 x 2 y 2 ) dxdy = = { polära koordinater, övergår på G: r 2, v } = = 2 G 2 (4 r 2 )r drdv = 2 2 (4r r 2 ) dr dv = 4π (4r r 2 ) dr = 6π 7 Låt beteckna cirkelskivan x 2 + y 2 Vi har nˆ d = ±( z x, z ý, ) dxdy = { nˆ har positiv z komponent } = ( 6x, 8y, ) dxdy och = (4y, 3x, z + x 2 ) nˆ d = (z + x 2 ) dxdy = (4y, 3x, z + x 2 ) ( 6x, 8y, ) dxdy = (4x 2 + 4y 2 ) dxdy = = { substitution: x = r cos v, y = r sin v, övergår på G: r, v } = = 4r 3 drdv = dv var: 6π 4r 3 dr = var:

9 Konvergensegenskaperna ändras inte om man istället integrerar över området x 2 + 4y 2 4, x, y ubstitutionen x = 2r cos v, y = r sin v överför detta område på G: r, v Funktionaldeterminanten för substitutionen är det d(x,y) = 2r varför den givna dubbelintegralen har samma konvergensegenskaper som d(r,v) dubbelintegralen G 8r cos v + r sin v 6r 4 = [ 2 8 3r 3/2 ] dvs en konvergrent dubbelintegral 2r drdv = 8 8 cos v + sin v dv = 2 r dr 5/2 8 cos v + sin v dv = 8 cos v + sin v dv var: Konvergrent Vi parametriserar ytan,, genom r(x,y) = (x, y, z) där z = Plattans totala massa är + x 2 + y 2 dσ Vi har dσ = r x r ý = + (z x) 2 + (z ý ) 2 dxdy = + x 2 + y 2 dxdy alltså massan är ( + x 2 + y 2 ) dxdy där är cirkelskivan x 2 + y 2 Polär substitu- tion ger dv r( + r 2 ) dr = 3π 2 var: 3π 2 6A Eftersom f(x,y) = 6x + 2y är kontinuerlig och den tillåtna mängden 3x 2 + y 2 6 är sluten och begränsad så antar f både ett största och ett minsta värde i mängden etta sker antingen i en inre kritisk punkt eller i en kritisk punkt på randen eller i en singulär punkt Inre kritiska punkter fås ur ekvationesystemet f x =, f ý = Här är f x = 6 alltså det finns inga inre kritiska punkter Kritiska punkter på randen g(x,y) = 3x 2 + y 2 6 = kan fås med hjälp av Lagranges metod dvs genom att lösa ekvationssystemet grad f = t grad g under bivillkoret g(x,y) = : f x = t g x f ý = t g ý g = dvs 6 = 6tx 2 = 2ty 3x 2 + y 2 6 = Ur den första och den andra ekvationen fås x = y vilket, insatt i den tredje ekvationen, ger x = ±2, dvs man får punkterna (2,2) och ( 2, 2) Några singulära punkter finns inte ammanfattningsvis får vi två kritiska punkter (2,2) och ( 2, 2) I dessa punkter antar f värdena 6 och 6 var: törsta värdet = 6, minsta värdet = 6 8A Vi har J f = u x u ý = 2 cos y v x v ý cos x och det J f = 2 cos x cos y för alla (x,y) vilket medför att funktionen f är lokalt inverterbar i en godtycklig punkt (x,y) Jacobimatrisen för den inversa funktionen f ges av

J f- = x ú x v = u x u ý y ú y v v x v ý = 2 cos y cos x = { i punkten (x,y,u,v) = (,,,) } = 2 peciellt ser vi att x ú (,) = och y v(,) = 2 = = 2 var: x ú (,) =, y v(,) = 2, J f - = 2 9A en kvadratiska delen x 2 + 4xy + ay 2 beskrivs av matrisen A = 2 Om den givna 2 a ekvationen skall vara en ekvation för en parabel så måste ett av egenvärdena till matrisen A vara lika med noll Egenvärdena fås ur ekvationen det(a λe) = : λ 2 = ( λ)(a λ) 4 = 2 a λ För λ = får vi a = 4, vilket alltså är det enda tänkbara värdet för vilket den givna ekvationen beskriver en parabel en karakteristiska ekvationen är då ( λ)(4 λ) 4 = och man får rötterna och 5 Egenvektorerna bestäms ur ekvationen (A λe)v =, v För λ = 5 får vi 4 2 2 b c = 2b c = En motsvarande egenvektor är v = Egenvektorerna till det andra egenvärdet λ = är 2 vinkelräta mot v och en egenvektor är därför v 2 = 2 e båda valda egenvektorerna har längden 5 Koordinatbytet med transformationen x = 5 u 2 v 5 y = 2 u + v 5 5 ger ekvationen 5u 2 5v = v = 5u 2, alltså en parabel var: Parabeln a = 4