Studietips info r kommande tentamen TEN inom kursen TNIU3 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande sidor i läroboken (se arbetsschemat) särskilt definitioner, satser och betydelsen av alla fetstilta begrepp Lös nu samtliga teorifrågor (från hemsidan) med svar som hämtas ur läroboken och föreläsningsanteckningarna Nu är du redo för att studera tidigare kontrollskrivningar och tentamina såsom denna alltså efter att ovanstående har bearbetats Komplettera nu med uppgifter från arbetsschemat
Peter Holgersson, ITN Linköpings Universitet Tel. 0705-9 99 9 petho@itn.liu.se Tentamen inom Envariabelanalys II Kompletterande tentamen för kursen VT07 Eamination: TEN inom kurs TNIU3 Ma: p betyg 5: 6 p betyg 4: p betyg 3: 8 p Bonus: 0- p grundad på KTR Lösningar: Fullständiga med tydliga förklaringar/beräkningar och tydligt angivna svar. Hjälpmedel: Skrivdon, passare, kurvmall och linjal Skrivtid: 07-08-6, kl. 08:00 3:00 Jour: Peter Holgersson, 0705-9 99 9. Bestäm den lösning till differentialekvationen y "" 3y " = 6 8 som uppfyller begynnelsevillkoren y 0 = 5 och y " 0 =. Den homogena ekvationen y "" 3y " = 0 löses och man får y, = A + Be. Ansatsen y 3 " = C + D med tillhörande derivata y 3 "" = C ger efter insättning i ekvationen Partikulärlösningen y 3 " = y 3 = 7 duger tack vare att konstanten A redan finns i y,. Den allmänna lösningen blir därmed y = A + Be + 7 med tillhörande derivata y " = 3Be + Med hänsyn till villkoren får man A + B = 5 3B + = B = 3 A = och lösningen utifrån villkoren blir y = + 3e + 7
. a) Lös differentialekvationen y " + y = cos, > 0 Differentialekvationen är linjär av första ordningen och löses eempelvis genom multiplikation med den integrerande faktorn. Man erhåller då y " + y = cos med ett vänsterled som kan skrivas som derivatan av en produkt enligt d d y = cos Ledvis integration och y löses ut Svar: y = @AB CD > 0 b) Bestäm den lösningen till differentialekvationen som uppfyller villkoret y 0 = + 7 yy " = 7, 0 Differentialekvationen är separabel. Variablerna separeras enligt Polynomdivision ger Ledvis integration ger y dy = 7 + 7 d y dy = + 7 d y 7 = arctan + C Till sist löses y ut y = arctan + D och konstanten anpassas till villkoret Svar: y = arctan + 4
3. a) Visa att täthetsfunktionen y =,, 4 0, övriga har olika väntevärde och median. Den sökta integrationsgränsen b i den bestämda integralen 7 Q d = ger medianen R.T = b = + 3.4 Integralen ger väntevärdet μ = R 7 V d 3.33, alltså olika median och väntevärde b) Bestäm P < 3 Integralen 7 7 d ger sannolikheten 0.5
4. Beräkna a) \ d 7 + 7 Partialbråksuppdelning enligt eempelvis 7 7 + = A + B ger efter förlängning till lika nämnare 7 + C + D + 7 7 7 + = A 7 + + B 7 + + C + D 7 7 7 + = A + C + B + D 7 + A + B 7 7 + ett smidigt ekvationssystem med lösningen A = 0 B = C = 0 D = och den förenklade generaliserade integralen \ 7 7 + d Generaliseringen hävs genom gränsvärdesstudie och standardprimitiver ger sedan värdet lim Q \ Q arctan = = π 4 b) arccos d 7 R Generaliseringen hävs genom gränsvärdesstudie. Kedjeregeln baklänges alternativt substitutionen med y = arccos och hi = j ger lösningen h k j lim Q l arccos 7 R Q = = π7 8
5. Bestäm volymen av den kropp som uppkommer då området innanför roterar runt -aeln. 7 9 + y7 6 = Man löser ut y ur ellipsens ekvation och får de två funktionerna y = ±4 7 9 som har skärningspunkter med -aeln i = 3 och = 3. Den övre funktionen väljs att rotera runt -aeln, skivformeln ger då volymelementet dv = πy 7 d = 6π 7 9 d Hela volymen blir V = 6π j 7 9 d = 6π = 64π 7 j
6. Bestäm längden av kurvan y = 7 då,. Då kurvan faktiskt beskriver den övre halvan av enhetscirkeln (!) bör svaret bli π längdenheter. Detta kan eempelvis visas enligt: y = 7 y " = 7 ds = + y " 7 d y " = 7 ds = + 7 7 = 7 7 + 7 7 = 7 Hela kurvans längd: s = j 7 d = arcsin j = π längdenheter
7. Bestäm den enda lösningskurvan y som uppfyller y + y t dt R = sin Ledvis derivering integralen med hjälp av Analysens huvudsats ger den linjära differentialekvationen y " + d d y t dt R yå@ { } ~B @ B@ ƒ ƒ}@ @ = cos y " + y = cos Ekvationen löses genom att man bestämmer y, och y 3 eller löser ekvationen med hjälp av integrerande faktor följt av partiell integration (den ursprungliga integralen uppkommer i högerledet) och man får allmänna lösningen y = Ce j + sin + cos y " = Ce j + cos sin Insättning av = 0 i den ursprungliga ekvationen (alla -värden skall fungera och = 0 ger enklast beräkning) nollställer integralen och man får ett begynnelsevillkor y + R y t dt R = sin 0 y 0 = 0 Med hjälp av detta fastställer man C = och enda lösningskurvan blir y = e j + sin + cos