MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola Datum: -- kl 4 8 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel 3-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper Fyll i omslaget ordentligt Betygsgränser: - 9 p ger betyget 3, 3-39 p ger betyget 4 och 4 eller mer betyget 5 (Bonuspoäng från duggor / inkluderas) Lösningar läggs ut på kursens (/) webbsida senast / Resultat meddelas via Ladok senast ca tre veckor efter tentamenstillfället Därefter kan tentorna granskas och hämtas på MV:s exp öppen alla vardagar 9-3 Låt f(x, y, z) x y + z + 3xz och a (,, ) (a) Ange en ekvation för tangentplanet till nivåytan f(x, y, z) i punkten a (b) Beräkna riktningsderivatan av f i punkten a i riktningen u [/3, /3, /3 T (p) (a) Låt D vara den triangel som begränsas av y-axeln och linjerna y x, y Beräkna dubbelintegralen D cos y dxdy (b) Beräkna volymen av den kropp K som begränsas av paraboloiden z x + y samt planen z och z, dvs K {(x, y, z) R 3 : x +y z, z } Skissa kroppen π 3 Låt A vara en -matris för vilken vektorerna v egenvektorer med respektive egenvärde / och [ och v [ är (a) Bestäm matrisen A (b) För varje positivt heltal n bestäm A n samt gränsvärdet av A n, då n + 4 (a) Anpassa med hjälp av minsta kvadratmetoden en linje y kx+l till punkterna (, ), (, 4), (3, 5), (4, ) (b) Låt A 3 och b 4 5 Med hjälp av resultat i (a) bestäm den y i 4 A:s kolonnrum som ligger närmast b Var god vänd!
5 Bestäm största och minsta värde av funktionen f(x, y) x 3xy + y x + 4y på (6p) området y x 6 Låt F(x, y) (y + x)i + xj (a) Visa att vektorfältet F är konservativt i R genom att bestämma en potential φ till F (b) Antag att partikeln rör sig längs kurvan γ : r(t) (t, t ) från origo till (, ) Beräkna arbetet γ F dr som kraftfältet F uträttar på partikeln dels genom att använda potential i (a) och dels genom att utgå från definition av kurvintegralen Ange på formen y g(x) den kurva i planet som går genom (, ) och är vinkelrät (6p) mot alla nivåkurvor till f(x, y) x 4 + y 8 (a) Förklara vad som menas med att två vektorer i R n är ortogonala (6p) (b) Bevisa Pythagoras sats i R n
Lösningar (a) Man verifierar lätt att a (,, ) ligger på yttan: + + 3 Vi beräknar nu gradienten: f(x, y, z) (x + 3z, y, z + 3x) och f(,, ) (,, 8) Tangentplanets ekvation blir då (x ) (y ) + 8(z ) Svar: x y + 8z ( ) ( ) ( ) (b) Vi observerar först att u + + Riktningsderivatan 3 3 3 är (D u f)(,, ) u f(,, ) 8/3 (a) För att beräkna integralen integrerar vi först med avseende på x: vi har D {(x, y) : x y, y π/} och D cos y π/ ( y dxdy ) cos y dx dy π/ y cos y dy (b) Volymen av den kropp K som beskrivs i uppgiften ges av trippelintegralen: ( ) ( z ( π ) ) dv dxdy dz dθ rdr dz 3 (a) Låt K π ( [ x +y z z r ) P [ v v [ Den sökande matrisen A är följande: [ A P DP [ [ / dz π och D [ / zdz π [ [ z 3π [ / [ 4 [ 3 3 [ π/ sin y (b) För godtyckligt positivt heltal n har vi A n (P DP ) n P D n P [ [ + (/) n (/) n (/) n + (/) n [ (/) n n [ Eftersom (/) n då n + A n [ då n +
4 (a) Det gäller att bestämma minstakvadratlösningar (k, l) till systemet [ k 3 4 l 5 4 Låt A 3 och b 4 5 Minstakvadratlösningen ˆx uppfyller AT Aˆx 4 A T b Vi räknar: A T A och ˆx [ 3 4 [ 3 4 3 4 [ 53 8 Svar: Linjen y 6x + 5 [ 3 4 [ 4 3 [, A T 3 4 b [ 53 8 [ 6 5 (b) Den y som ligger närmast A:s kolonnrummet ges av y Aˆx, där ˆx är minstakavdratlösningen som bestämmdes i (a) Vi har alltså: [ y 6 3 3 5 53 4 69 5 Eftersom området D är kompakt antar f sina största oh minsta värde på D De antas antingen i kritiska punkter i det inre av triangeln eller i punkter på randen Vi börjar med att bestämma ev kritiska punkter till f Vi har f(x, y) (x 3y, 3x + y + 4) x 3y och 3x + y 4 Det senare systemet har unik lösning: x och y Man ser lätt att punkten (, ) ligger utanför triangeln D Vi undersöker nu de tre randsidorna: R : y x, x, R : x, y R 3 : y, x R : g (x) f(x, x) x 3x + x x + 4x x + 3x Vi har g (x) x + 3 x 3/ Punkten ligger ej i intervallet [, Funktionvärdena i ändpunkterna är g (), g () R : g (y) f(, y) y +y Vi har g (y) y + y / Punkten ligger ej i intervallet y Funktionvärdena i ändpunkterna är g (), g () R 3 : g 3 (x) f(x, ) x x g 3 (x) x x / Punkten ligger i intervallet och g 3 (/) /4 Funktionvärdena i ändpunkterna är g 3 () g 3 () Vi har alltså att funktionens största och minsta värde på triangeln är och respektive /4 4 5 [ 53 8
6 (a) Ett sätt att visa att fältet F är konservativt är att bestämma en potential, dvs en funktion φ : R R sådan att φ x F (x, y) y + x, φ y F (x, y) x Den första ekvationen ger φ(x, y) xy + x + C(y) för någon funktion C(y) Insättning i den andra ekvationen ger x + C (y) x varav C (y) och därmed C(y) D för någon konstant D Vi har därmed funnit att är potentialer till det givna fältet φ(x, y) xy + x + D (b) Den sökta kurvintegralen erhålles nu lätt: F dr φ(, ) φ(, ) γ Integralen kan beräknas m h a kurvintegralens definition enligt: γ F dr F(r(t)) r (t)dt (t + t, t) (, t)dt (t + t + t )dt [t 3 + t En normal till nivåkurvan f(x, y) x 4 + y C i en punkt (x, y) ges av f(x, y) (4x 3, ) En normal till sökande kurvan y g(x) i (x, y) är (g (x), ) För att kurvan y g(x) skall vara vinkelrätt mot alla nivåkurvorna f(x, y) C måste vektorerna (4x 3, ) och (g (x), ) vara ortogonala i varje punkt (x, y) Vi får alltså: (4x 3, ) (g (x), ) 4g (x)x 3 g (x) /4x 3 g(x) /(8x ) + C Vilkoret att kurvan y g(x) går genom (, ) ger g() /8 + C, varav C 9/8 Svar: y /(8x ) + 9/8 8 Se kursboken eller föreläsningsanteckningar