Kommentarer till tunneleffekten och övningsuppgift 3:5 I läroboken Kvantvärldens fenomen diskuteras tunneleffekten på sidorna 54 6. På sidan 57 föreslås följande approximativa uttryck för transmittansen: T e 2κa 1) där a är barriärens bredd och κ = 2mV o E)/ h 2 2) Det konstateras vidare att E måste ligga nära barriärens topp V o för att transmittansen skall bli stor. Detta illustreras med ett räkneexempel på sidorna 57 58. Här studeras en elektron som faller in mot en barriär med V o =5eVocha = 1 nm. Ett av de resultat som redovisas är att transmittansen.5 erhålls då V o E =4.8 1 3 ev. Även om resultatet är matematiskt korrekt, är det fysikaliskt orimligt. Transmittansen kan inte nå värdet.5 för den aktuella barriären och därför är approximationen inte användbar i detta fall. 1.9 Tunnling exakt) Tunnling approximation 1).8.7.6 T.5.4.3.2.1 1.7 1.72 1.74 1.76 1.78 1.8 1.82 1.84 1.86 1.88 1.9 1.92 1.94 1.96 1.98 2 Fig. 1. Transmittansen beräknad med hjälp av det approximativa uttrycket i ekvation 1) blå kurva) och exakt enligt ekvation 3) röd kurva). Det korrekta uttrycket för transmittansen är V 2 o 4EV o E) sinh2 ) 1 a 2mV o E)/ h +1) 2 3)
vilket ges som svar till övningsuppgift 6 i kapitel 3. Enligt detta uttryck fås maximal transmittans i gränsen E V o. Denna maximala transmittans är T max = 2 h 2 V o ma 2 +2 h 2 4) Med insatta värden på a och V o fås T max =.296. Transmittansen kommer med andra ord aldrig i närheten av.5. I övningsuppgift 5 i kapitel 3 uppmanas studenten att använda approximationen i ekvation 1) för att beräkna för vilken energi transmittansen blir.5 för en barriär med bredden 2 nm och höjden 2 ev. I facit ges svaret E =2. ev, vilket motsvarar toppen av barriären. Den korrekta transmittansen för E = V o =2eVär enligt ekvation 4).187. Större än så kaninte transmittansen bli. Den korrekt beräknade transmittansen visas som funktion av E i figur 1 röd kurva) tillsammans med approximation 1) blå kurva). Nära toppen av barriären divergerar kurvorna dramatiskt. Observera att transmittansen enligt approximationen alltid når värdet 1 då E = V o.området närmast är uppförstorat i figur 2. Här syns tydligt att den korrekt beräknade transmittansen når värdet.187 för E = V o =2eV.Båda kurvorna faller snabbt av mot noll då E minskar och ser ut att sammanfalla för E<1.87 ev..2.18 Tunnling exakt) Tunnling approximation 1).16.14.12 T.1.8.6.4.2 1.7 1.72 1.74 1.76 1.78 1.8 1.82 1.84 1.86 1.88 1.9 1.92 1.94 1.96 1.98 2 Fig. 2. En uppförstoring av figur 1 för T<.2. För att möjliggöra en bättre jämförelse mellan approximationen 1) och den korrekta transmittansen visas i figur 3 den naturliga) logaritmen av T som funktion av elektronens energi. Figuren visar att approximationen i grova drag återger transmittansens exponentiellt växande uppförande, men överensstämmelsen är bristfällig. I gränsen E = har den korrekt beräknade
transmittansen värdet noll. Detta visas inte i figur 3, eftersom då går mot. Approximationen ger det ändliga värdet e 2a 2mV o/ h 2 5) vilket för den aktuella barriären resulterar i ln 28.981. 2 8 1 12 14 16 18 2 22 24 26 28 Tunnling logskala exakt) Tunnling logskala approximation 1).1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 Fig. 3. Logaritmen av transmittansen beräknad med hjälp av det approximativa uttrycket i ekvation 1) blå kurva) och exakt enligt ekvation 3) röd kurva). Under en av föreläsningarna härleddes en bättre approximation approximation 2) för transmittansen: T 16EV o E) e 2κa 6) Vo 2 Denna approximation gäller med stor noggrannhet för alla energier som uppfyller villkoret att E<<V o h2 2ma 2 7) I figur 4 visas en jämförelse mellan denna approximation och den korrekt beräknade transmittansen. Överensstämmelsen är mycket god utom då E ligger mycket nära V o =2eV.Figur5 visar en delförstoring av området 1.9 ev <E<2. ev. Här syns tydligt hur approximationen avviker från den korrekt beräknade transmittansen. För approximationen gäller att T och därmed att )då E V o, vilket framgår av ekvation 6). För den aktuella
8 1 12 14 16 18 2 22 24 26 28 3 32 Tunnling logskala exakt) Tunnling logskala approximation 2).1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 Fig. 4. Logaritmen av transmittansen beräknad med hjälp av det approximativa uttrycket i ekvation 6) blå kurva) och exakt enligt ekvation 3) röd kurva). Tunnling logskala exakt) Tunnling logskala approximation 2).5 5 5.5.5 7 7.5 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2 Fig. 5. Delförstoring av figur 4 för E>1.9 ev.
barriären krävs enligt ekvation 7) att E<<1.995 ev för att approximationen skall gälla och figur 5 visar att approximationen ger mycket tillförlitliga värden för E<1.95 ev. Det kan även konstateras att approximationen ger det korrekta värdet för E =. Transmittansen kan också beräknas för det fall då E > V o,dvs.då elektronens energi är tillräckligt stor för att den skall kunna ta sig förbi barriären utan att tunnla genom den. I detta fall blir transmittansen V 2 o 4EE V o ) sin2 ) 1 a 2mE V o )/ h +1) 2 8) Observera att detta uttryck för transmittansen medför att 2 h 2 V o ma 2 +2 h 2 9) då E = V o, vilket enligt ekvation 4) är identiskt med den maximala transmittansen vid tunnling. Detta innebär att transmittansen som funkltion av elektronens energi är kontinuerlig i punkten E = V o. Till sist ges här några sifferexempel att begrunda. För att transmittansen vid tunnling genom en 1 nm bred barriär skall vara.5 får barriären inte vara högre än.152 ev. För att transmittansen vid tunnling genom en 2 nm bred barriär skall vara.5 får barriären inte vara högre än.38 ev. För att transmittansen vid tunnling genom en 5 ev hög barriär skall vara.5 får barriären inte vara bredare än.175 nm. För att transmittansen vid tunnling genom en 2 ev hög barriär skall vara.5 får barriären inte vara bredare än.276 nm.