3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur 3.: Vi konstaterar följande: Då x är ett stort negativt tal Då x är ett litet negativt tal Då x är ett litet positivt tal Då x är ett stort positivt tal är y ett litet negativt tal är y ett stort negativt tal är y ett stort positivt tal är y ett litet positivt tal Dessutom kan vi konstatera att f(x) saknar extrempunkter. f (x) = x 2
2 Potensfunktioner f (x) = 0 ger f (x) = 0 har helt enkelt inga rötter. x 2 = 0 x 2 x 2 = 0 x 2 = 0 Däremot kan man fortfarande tänka sig följande uppgift: Bestäm funktionens f(x) = x största värde då x 0. Det största värdet i ett intervall x x x 2, för en funktion som saknar extrempunkter måste alltid var något av f(x ) eller f(x 2 ). Självklart eller hur? För exemplet ovan får vi f() = och f(0) = 0. Maxvärdet är alltså. Över till funktionen med grafen f(x) = x 2 8 6 4 2-3 -2-2 3 Figur 3.2: Vad krävs av x för att f(x) < 0? Vilket värde x än har kommer f(x) > 0 I de två graferna ovan närmar sig kurvorna x- och y-axlarna. Ju större x vi sätter in desto närmare kommer kurvan axeln. När en kurva närmar sig en linje utan att någonsin nå fram kallas det linjen asymptot. Vi tar en annan funktion och försöker ta reda på kurvans asymptoter. f(x) = x + + 2 Figur 3.3: Av grafen att döma finns det två asymptoter här. Ingen av dem är koordinatsystemets axlar. Den ena har ekvationen y = 2 och den andra x =.
3. Dagens teori 3 Att vi får en lodrät asymptot då x = är lätt att förstå. Funktionen f(x) är inte definierad för x =. Men däremot är den definierad för x = 0.999999 och för x =.00000. f( 0.999999) = 0.999999 + + 2 = 000002 och f(.00000) =.00000 + + 2 = 999998 Efter en förflyttning på 0.000002 på x-axeln har vi förflyttat oss 2000000 på y-axeln. Den andra asymptoten förklarar vi så här: När x är ett relativt litet negativt tal, är den första termen i uttrycket som dominerar f(x) = x + + 2 som dominerar. Till exempel då x = 0.95 bidrar den första termen med 20 och den andra med 2, för att få ge f( 0.95) = 22. När däremot x har inte längre termen x+ något större inflytande, medan den andra förblir 2. Vi skriver lim = x x + + 2 = 2 och lim = x x + + 2 = 2 Linjen y = 2 är alltså en asymptot till funktionen. Även denna funktion saknar extrempunkter. De kan vi inte visa därför att vi inte lärt oss derivera denna typ av funktioner ännu. De tre funktioner vi sett här har alla två grenar och är brutna, icke kontinuerliga. Vi avslutar denna diskussion, med en för oss alldeles för svår funktion, bara för att visa hur det kan se ut f(x) = (x 2) 2 + (x + 3) 2 (x 6) 2 + 2 6 4 2-0 -5 5 0-2 -4-6 Figur 3.4: Vi har inte lärt oss att derivera denna typ av funktioner. Men vilka asymptoter den har, bör vi kunna se. Det finns fyra stycken: y = 2, x = 2, x = 3 och x = 6. Vi klarar av att derivera funktioner med x n i nämnaren så länge x n är ensamt. Till exempel utgör funktionen f(x) = x 3 x + 3 x 2
4 Potensfunktioner inga problem f (x) = 3 x 4 x 2 + ( 2) 3 x 3 = 3 x 4 + x 2 6 x 3 En annan typ av funktioner, är de där exponenterna till x är både positiva och negativa. Till exempel f(x) = 2x + x = 2 x + x Vi har stött på dem tidigare. De är intressanta därför att vi klarar av att derivera dem och därför att de har extrempunkter. Grafen till denna funktion ser ut så här: 6 4 2-2 2 4 6-2 -4-6 Figur 3.5: Vi ser extrempunkterna och ska snart ta reda på dem, men först en fråga om grafens asymptoter. Hur många kan du se? Att x = 0, det vill säga y-axeln är en asymptot förstår vi från den inledande diskussionen. Det finns en till! En asymptot är en linje och en linje kan beskrivas med linjens ekvation. Den andra asymptoten har ekvationen y = x. När x bidrar den första termen in funktionen med ett allt mindre tillskott och termen x tar då överhand. visar med all tydlighet detta. f(000) = 000.002 Vi bestämmer nu extrempunkterna till f(x) genom att som vanligt bestämma f (x) och sedan lösa ekvationen f (x) = 0. f (x) = 2 x 2 2 x 2 = 0 = 2 x 2 x 2 = 2 x = 2 x 2 = 2
3. Dagens teori 5 Andra derivatan ger f (x) = 4 x 3 För f ( 2) = 4 ( 2) 3 = 2 < 0 vilket betyder att vi funnit en maxpunkt. För f ( 2) = 4 ( 2) 3 = 2 > 0 vilket betyder att vi funnit en minpunkt. Allt stämmer när vi jämför med grafen. Funktionen f(x) = x = x 2 är också en potensfunktion, fast exponenten inte är ett heltal. Vi har lärt oss att, till exempel, ekvationen x 2 = 4 har två rötter x = ±2. Om vi för varje x till funktionen f(x) = x skulle få två värden skulle kurvan se ut så här:.5 0.5-0.5 - -.5 0.5.5 2 2.5 3 Figur 3.6: Kurvan finns, men inte funktionen! Vi har tidigare nämnt, att till ett givet x får finnas högst ett värde f(x ), om f(x) ska vara en funktion, inte två som här. För att komma till rätta med detta problem har man bestämt, att det är den positiva grenen, som gäller när man talar om f(x) = x. Här är den grafen:.75.5.25 0.75 0.5 0.25 0.5.5 2 2.5 3 Figur 3.7: Att funktionen inte är definierad för x < 0 visste vi redan. Så är det förresten för alla potensfunktioner där inte samtliga exponenter är heltal. Finns det någon asymptot hos kurvan i figur 3.7? Svaret är nej, även om man inte kan se det med blotta ögat.
6 Potensfunktioner Övning 3. Skissa kurvan till funktionen f(x) = x + x När man står inför uppgiften att skissa en kurva, som man direkt ser att den har asymptoter, tjänar man ofta på att rita in dem först. Figur 3.8: Från inledningen av denna föreläsning får vi att det finns två asymptoter: x = 0 och y = x. Observera de olika skalorna på axlarna, som gör att asymptoten y = x vid första påseende ser felaktig ut. Nu tar vi reda på extrempunkterna med metoder som vi använt snart 00 gånger! f (x) = 0 leder till f (x) = x 2 x 2 = 0 = x 2 x = x 2 = Vi har hittat två extrempunkter och ska nu klassificera dem genom f (x) som ger f (x) = 2 x 3 f ( ) = 2 = 2 < 0 ( ) 3 maxpunkt f ( ) = 2 = 2 > 0 3 minpunkt Då f( ) = 2 får vi maxpunkten (, 2) och genom f() = 2 får vi minpunkten (, 2). Vi prickar in dessa punkter i grafen och med den vetskap vi har om asymptoter blir resten av skissandet enkelt. Vi får till slut Det är i och för sig inget hinder att asymptoterna finns med i den slutliga grafen.
3. Dagens teori 7 5 0 5-2 2 4-5 -0-5 Figur 3.9: Övning 3.2 Ta reda på allt du kan om f(x) = x + x2 Vi kan ta reda på a) Funktionens asymptoter b) Funktionens nollställen c) Funktionens extrempunkter d) Funktionens definitionsmängd e) Funktionens värdeförråd Asymptoter. x = 0, det vill säga y-axeln är en asymptot till funktionen. Funktionen är inte definierad för x = 0. När x närmar sig vår kurva, kurvan y = x 2, eftersom den första termen i funktionen tappar betydelse. Man kan nog säga att det närmandet är asymptotiskt, men någon asymptot som linje finns det inte. När x inträffar samma sak. Kurvan närmar sig asymptotiskt y = x 2. Nollställen till funktionen får vi genom att lösa ekvationen f(x) = 0. x + x2 = 0 x 2 = x x 3 = x = Funktionen skär x-axeln i en enda punkt (, 0) Extrempunkter får vi som vanligt genom att lösa ekvationen f (x) = 0 f (x) = 2x x 2
8 Potensfunktioner som ger 2x x 2 = 0 2x = x 2 Det finns alltså bara en, men av vilken typ? x 3 = 2 x = 3 2 x 0.79 f (x) = 2 + 2 x 3 Vi får f ( 3 2 ) = 6 > 0 Vilket innebär en minpunkt i ( ( )) 3 2, f 3 (0.79,.89) 2 Definitionsmängd. Funktionen är definierad på hela x-axeln utom för x = 0. Värdeförråd. Vilka värden kan f(x) anta? Alla som vi skriver < f(x) < 40 20-2 2 4-20 Figur 3.0: Om vi beskådar grafen till f(x) = (x 3)2 x 2 + 6 i figur 3. ser vi ett exempel på en funktion som har ett mycket begränsat värdeförråd, 5 2 f(x) 0 Funktionen är just nu alldeles för komplicerad för oss. Här kommer nu några problem som mycket väl kan dyka upp på KS eller tentamen. Jag har försökt klassificera dem i tre grupper L Lätta uppgifter som alla måste kunna lösa för att ha en chans att bli godkänd på kursen
3. Dagens teori 9 2.5 2.5 0.5-0 -5 5 0 Figur 3.: M Lite svårare uppgifter som kan vara bra att kunna klara av om man missat någon av de enklare på tentamen. S Svårare uppgifter främst för dem som siktar på ett högre betyg. Jag ska försöka använda den här klassificeringen under resten av kursen. Övning 3.3 (L) Bestäm f (0) till f(x) = e x e 3x + e 2x 2 e x f (x) = e x + 3e 3x 2 e 2x 2 e x = ex + 3e 3x 2 e 2x 2ex = 3e 3x 2 e f (0) = 3e 3 0 2 e 2 0 e0 = 3 2 = 0 2x ex Övning 3.4 (L) Bestäm derivatan till f(x) = x 3 med hjälp av derivatans definition Så här definieras derivatan Vi sätter in aktuell funktion f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h f (x) = lim h 0 (x + h) 3 x 3 h Det jobbigaste med detta exempel blir att utveckla (x + h) 3. Antingen utgår man från (x+h)(x+h)(x+h) och multiplicerar två parenteser i taget, eller så slår man upp formeln i formelsamlingen, eller så kommer man ihåg Pascals triangel. f (x) = lim h 0 x 3 + 3x 2 h + 3h 2 x + h 3 x 3 h = lim h 0 3x 2 h + 3h 2 x h 3 h h(3x 2 + 3hx h 2 ) lim = lim 3x 2 + 3hx h 2 = 3x 2 h 0 h h 0 =
0 Potensfunktioner Övning 3.5 (L) I den punkt på kurvan till funktionen f(x) = 3x 2 0x + som har x-koordinaten x = dras en tangent till kurvan. Bestäm ekvationen för denna tangent. Vi bestämmer först f() för att få tangeringspunkten. f() = 3 2 0 + = 6 Nu deriverar vi för att sedan bestämma f () som är tangentens k-värde. f () = 4 Ett nytt sätt att bestämma linjens ekvation f (x) = 6x 0 y y x x = y y 2 x x 2 där högra sidan är k-värdet, som vi ju redan har y y x x = k Detta ger ger y = 4x 2 y ( 6) x = 4 20 0-3 -2-2 3-0 Figur 3.2: Avsluta gärna med att plotta funktionen på dosan, så får du en bekräftelse på att du räknat rätt. Övning 3.6 (S) En affisch ska tryckas. Marginalerna över och under trycket ska vara 6 cm. Marginalerna på sidorna däremot 4 cm. Själva trycket ska vara ha en area på 384 cm 3. Bestäm affischens höjd och bredd då den har så liten area som möjligt med givna villkor.
3. Dagens teori Figur 3.3: Antag att tryckets höjd är h och dessa bredd är b. Arean A = bh. Då arean är given till 384 kan vi skriva h = 384/b. Hela affischens area kan nu skrivas A a (b, h) = (4 + 4 + b)(h + 6 + 6). Substituerar vi h får vi affischens area som funktion av enbart b, A(b) = (8 + b)(384/b + 2). Om vi deriverar A(b) och söker derivatans nollställe hittar vi en extrempunkt, som förhoppningsvis är en minpunkt A(b) = 8 384 b ( ) 384 A(b) = (8 + b) b + 2 + 8 2 + 384 + 2b A(b) = 3072 b + 480 + 2b A (b) = 3072 b 2 + 2 3072 A (b) = 0 ger b = ± 2 = ±6 När b = 6 är h = 24 vilket ger affischens höjd 36 och och bredd 24. Arean är då A(6) = 864. Att det verkligen är en minpunkt, kan vi se om vi beräknar till exempel A(24) = 896 och A(24) = 896, som båda är större. Dessutom vet vi att det endast finns en extrempunkt. Övning 3.7 (L) Derivera funktionen där a, b och n är konstanter f(x) = a b x n f (x) = a n b x n+
2 Potensfunktioner Övning 3.8 (M) Graferna till funktionerna f(x) = 2a + 2x x 2 och g(x) = ax 5 skär varandra bland annat då x = 3. Bestäm den andra skärningspunkten. Att de två funktionerna har en gemensam punkt för x = 3 är samma sak som f(3) = g(3) 2a + 2 3 3 2 = a 3 5 2a + 6 9 = 3a 5 a = 2 Vi kan nu skriva funktionerna f(x) = 4 + 2x x 2 och g(x) = 2x 5 och kan ta reda på den andra gemensamma punkten genom ekvationen f(x) = g(x). 4 + 2x x 2 = 2x 5 4 x 2 = 5 x 2 = 9 x = ± 9 x = 3 x 2 = 3 Den andra gemensamma punkten är ( 3, g( 3)) = (3, ). Vilket grafen visar 5-4 -2 2 4-5 -0-5 -20-25 Figur 3.4: Övning 3.9 (M) En rät linje f(x) skär y-axeln för y = 4 och x-axeln för x = 3/2. En annan g(x) skär y-axeln i punkten y = 3. De två linjerna skär varandra under rät vinkel. Var skär g(x) x-axeln? De två funktionerna g(x) = k g x+m g och f(x) = k f x+m f måste bestämmas för att svaret ska kunna ges. Vi vet att f(0) = 4 och f(3/2) = 0 ur detta kan vi bestämma k f k f = 4 0 0 3 2 = 8 3 Vi vet redan att m f = 4 och kan nu skriva f(x) = 8 3 x + 4. Genom texten vet vi att k g = 3 8 eftersom k g k f =. Vi vet också att m g = 3 och kan skriva g(x) = 3 8 x 3. Då vi löser ekvationen g(x) = 0 får vi den efterfrågade roten. g(x) skär x-axeln i (8, 0) 3 8 x 3 = 0 x = 8
3. Dagens teori 3 Övning 3.0 (M) Bestäm den exponentialfunktion vi söker, på vars kurva två punkter är kända: P(4, 09.808) och P2(6, 32.867). Vi ansätter f(x) = C a x och ska alltså bestämma C och a med hjälp av f(4) = 09.808 och f(6) = 32.867. Vi får ett ekvationssystem: { C a 4 = 09.808 C a 6 = 32.867 Från första ekvationen får vi C a 4 = 09.808 C = 09.808 a 4 Vi substituerar C i den andra ekvationen och får 09.808 a 4 a 6 = 32.867 09.808 a 2 = 32.867 a 2 = 32.867 09.808 32.867 a = ± 09.808. Vi vet nu att a =.0 och kan använda det för att bestämma C. C = 09.808.0 4 75 Vi tecknar till sist funktionen f(x) = 75.0 x Övning 3. (S) När x förpackningar av en vara produceras och säljs blir kostnaden K(x), intäkten I(x) och vinsten V(x). K(x) = 20000 + 0x + 0.05x 2 där 00 < x < 500 I(x) = 290x 0.x 2 där 00 < x < 500 a) Ange ett förenklat uttryck för V(x) b) Beräkna marginalvinsten när 300 förpackningar säljs c) Hur många förpackningar ska säljas för att marginalvinsten ska bli 200 kr/förpackning? Vinsten V(x) = I(x) K(x) vilket är detsamma som V(x) = 290x 0.x 2 (20000 + 0x + 0.05x 2 ) = 280x 0.5x 2 20000 Marginalvinsten är M(x) = V (x) eller M(x) = 280 0.3x M(300) = 90 kr. Till sist söker vi M(x) = 200. 280 0.3x = 200 x 267 förpackningar.
4 Potensfunktioner Övning 3.2 Derivera y = x + x TB: Den här uppgiften blir inga problem f(x) = x + x f(x) = x + x 2 Bara en massa tekniskt manipulerande. f (x) = x 2 x 3 2 f (x) = x 2 2x x Övning 3.3 Derivera och bestäm för vilka x funktionen har extrempunkter. y = 5x + 20 x 2 2 TB: f(x) = 5x + 20 x 2 f(x) = 5x + 20x 2 f (x) = 5 40x 3 f (x) = 5 40 x 3 f (x) = 0 då 5 40 x 3 = 0 x 3 = 8 x = 2
3. Dagens teori 5 Övning 3.4 Mellan hastigheten y km/h för en bil och bromsspårens längd x m gäller under vissa förutsättningar på däck och väglag att y = 5 x Beräkna och tolka y (00) TB: f(x) = 5 x f(x) = 5x 2 f (x) = 5 2x 2 f (x) = 5 2 x f (00) = 5 20 = 0.75 KTH: Ska du tolka detta resultat också? TB: Då bromsspåren kommer att bli 00 m långa så avtar bilens hastigheten med 0.75 km/tim för varje meter av bromsspåret. Bromsspåren blir 00 m då hastigheten är 50 km/tim. Det här stämmer ju inte! KTH: Nej, f(00) = 50 det är korrekt. Då f(0) 50.748 Detta betyder att om bromsspåret blir meter längre så har bilen ökat sin hastighet med 0.75 km/tim Övning 3.5 Ett företag tillverkar knivar. Den genomsnittliga kostnaden g(x) kr/enhet för att producera x knivar ges av funktionen. g(x) = 2 + x 000 + 4000 x då x > 0. Vilket antal ger lägst genomsnittskostnad? TB: Ett enkelt problem. Vi har funktionen g(x) = 2 + 0.00x + 4000 x som vi ska söka ett minimum för. Vi deriverar g (x) = 0.00 4000 x 2
6 Potensfunktioner Nu ska vi lösa ekvationen g (x) = 0 0.00 4000 x 2 = 0 x 2 = 4000000 x = ±2000 Den negativa roten förkastar vi och får svaret x = 2000. g(2000) = 6. När man tillverkar 2000 knivar kommer kostnaden för en kniv att bli 6 kr. KTH: Det är så riktigt så. Övning 3.6 En cylinderformad konservburk av plåt rymmer 000 cm 3. Bestäm höjd och diameter så att materialåtgången blir så liten som möjligt. KTH: Här ska du få en klassisk uppgift som finns i varje matematikbok. TB: Säger du det! Jag börjar med en figur Figur 3.5: Jag vet att volymen för en cylinder tecknas V c = hπr 2. Det är bestämt att burken ska rymma 000 cm 3 ( liter). Nu blir det lite knepigare, när jag ska teckna burkens totala area A c = 2πr 2 + 2πrh. Är det rätt? Den första termen är arean för de två locken och den andra är arean av den rektangel som utgör den tredje delen av burken. En sida i den rektangeln är h och den andra är 2πr, som är lika med lockens omkrets. Eftersom V c = hπr 2 = 000 kan vi lösa ut h = 000 πr 2 Detta gör att vi kan substituera bort h och få ett uttryck av arean A c som bara beror av r Jag putsar lite A c (r) = 2πr 2 + 2πr 000 πr 2 A c (r) = 2πr 2 + 2000 r Det är den här funktionen vi ska hitta ett minimum för. Då måste jag först derivera A c(r) = 4πr 2000 r 2
3. Dagens teori 7 Jag börjar kunna derivera funktioner med x i nämnaren ganska bra nu. Vi ska nu lösa ekvationen A c(x) = 0 4πr 2000 r 2 = 0 r 3 = 500 π r = 3 500 π 5.4926 Jag räknar dessutom ut höjden h 0.8385. Höjden h är alltså dubbelt upp mot radien r, eller diametern är lika med höjden. KTH: Om du vill kan du nu ta reda på hur burkens form ändras om man tar bort ena locket. TB: Jag tror inte jag är så intresserad just nu. Övning 3.7 Bestäm talet a, så att f (0) = 6, om f(x) = 3 e ax TB: En enkel uppgift igen. f(x) = 3 e ax har derivaten f (x) = 3a e ax. Vi kan nu bestämma a eftersom f (0) = 6 som är samma sak som 3a e a 0 = 6 ger a = 2 Övning 3.8 Anna slår upp en kopp kaffe, som får stå och svalna i rumstemperatur. Enligt en matematisk modell för avsvalning kommer då temperaturen y C att avta med tiden x minuter enligt ekvationen y = 20 + 75 e 0.0354x a) Lös olikheten y(x) < 50 och tolka resultatet. b) Bestäm y (30) och tolka detta värde TB: Här är funktionen T(t) = 20 + 75e 0.0354t. Temperaturen T som funktion av tiden t. Grafen ser ut så här: 90 80 70 60 50 40 20 40 60 80 Figur 3.6: Observera origos placering. Det är inte så som det kan se ut, att kaffets temperatur går
8 Potensfunktioner under noll. Först ska vi besvara frågan: När blir kaffet svalare än 50 C? 20 + 75e 0.0354t = 50 e 0.0354t = 50 20 75 e ln e 0.0354t = eln 0.4 e 0.0354t = eln 0.4 0.0354t = ln 0.4 t = ln 0.4 0.0354 25.88 Efter 25.88 minuter har kaffets temperatur sjunkit till 50 C. Det var inte nog med detta, vi ska också ta reda på T (30) och tolka resultatet. T(t) = 20 + 75e 0.0354t T (t) = 0.0354 75e 0.0354t T (30) 0.98002 Detta betyder att efter 30 minuter så sjunker temperaturen med cirka 0.98 grader/minut. Övning 3.9 Skriv en problemtext som leder till ekvationen ( 0000 = 2500 7 ) x 00 TB: Vilken konstig uppgift, men ganska bra! Jag startar med 2500 kr som jag sätter in på banken till 7% ränta. Hur många år dröjer det innan beloppet har stigit till 0000 kr? Övning 3.20 Så här beräknar jag värdet av min bil säger Sven Dubbelsvenne Svensson. Jag använder bara formeln y = 280000 0.85 x där y är bilens värde och x är bilens ålder i år a) Visa grafiskt hur bilens värde avtar b) Vilken är den årliga värdeminskningen i procent? c) Beräkna y (5) genom att derivera. Tolka värdet! c) Vilken grafisk tolkning har y (5)?
3. Dagens teori 9 TB: Så här ser grafen, som visar bilens värde de närmaste 20 åren, ut: Bilens värde avtar 250000 200000 50000 00000 50000 5 0 5 20 Figur 3.7: med 5% per år. V(t) = 280000 0.85 x V(t) = 280000 ex ln 0.85 V (t) = ln(0.85)280000 e V (5) 2090.9 x ln 0.85 Efter 5 år rasar bilens värde med cirka 20000 kr/år. I grafen visas detta med en tangent till kurvan i punkten (5, 24237). Tangenten har k-värdet 2090.9. Övning 3.2 Ange en exponentialfunktion y = C a x sådan att y(0) = 3 och y = 5y TB: Vi har funktionen f(x) = C a x, där C och a är konstanter som ska bestämmas. Vi har två fakta om funktionen: f(0) = 3 och f (x) = 5 f(x). Ur f(0) = C a 0 = 3 får vi omedelbart att C = 3. Den andra ledtråden är svårare att förstå sig på. KTH: Läs bara vad som står och sätt upp ekvationen TB: OK. Jag måste ta fram f (x) och skriver först om f(x) = 3e x ln a och får då f (x) = 3 ln a e x ln a Nu får jag ekvationen Nu kan jag skriva funktionen f(x) = 3 e 5x f (x) = 5 f(x) 3 ln a e x ln a = 5 3e x ln a ln a = 5 a = e 5