En matematisk modell av släggkastets rotationsfas

Institutionen för naturvetenskap och teknik En matematisk modell av släggkastets rotationsfas Caroline Hermansson Anton Karlsson

Örebro universitet Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik C En matematisk modell av släggkastets rotationsfas Caroline Hermansson Anton Karlsson Juni 014 Handledare: Mårten Gulliksson och Henrik Andreasson Examinator: Marcus Sundhäll Självständigt arbete, 15 hp Matematik, Cnivå

Sammanfattning Med vår uppsats visar vi hur det med hjälp av Lagranges metod går att ta fram en matematisk modell av rotationsfasen i ett släggkast. Släggkastaren och släggan utgörs i uppsatsen av en sammansatt stelkroppsmodell. Vi tar fram kastarens rörelseekvationer vilka vi får genom Lagranges ekvation. I uppsatsen har vi härlett Lagranges ekvation genom Newtons andra lag och Hamiltons princip. Resultatet av modellen presenteras i form av en plot i Matlab av slägghuvudets position under olika tider under rörelsen.

Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 Inledning............................. 5 1. Bakgrund............................. 5 1..1 Kinetisk energi...................... 6 1.. Potentiell energi..................... 9 1..3 Eulervinklar........................ 10 Lagranges funktion och ekvation 13.1 Härledning av Lagranges ekvation genom Newtons andra lag. 14.1.1 Satsen om generellt koordinatbyte........... 17. Hamiltons princip......................... 19.3 Ett exempel på Lagranges metod................ 1 3 Släggkastets rotationsfas utifrån Lagranges metod 6 3.1 Beräkning av rörelseekvationer för vår modell......... 6 3.1.1 Cylinderns kinetiska energi............... 8 3.1. Punktmassans kinetiska energi............. 9 3.1.3 Cylindern och punktmassans potentiella energi.... 30 3.1.4 Lagrangefunktionen för kroppen............ 30 3.1.5 Rörelseekvationer..................... 30 3. Lagranges ekvationer på matrisform.............. 31 3.3 Implementering i Matlab av matrisformuleringen....... 3 3.4 Avancerad simulering....................... 33 3.5 Resultat.............................. 33 4 Diskussion 38 A Matlabkod för ett exempel på Lagrange metod 4 B Matlabkod för släggkastets rotationsfas 44 C Rörelseekvationer för släggkastets rotationsfas 47

Kapitel 1 Introduktion 1.1 Inledning Tanken med uppsatsen är att bygga upp en matematisk modell av rotationsfasen som utförs i friidrottsgrenen slägga, utifrån en sammansatt stelkroppsmodell. Genomgående för uppsatsen är att vår modell samt alla exempel kommer att utgå ifrån att kroppen benner sig i R 3 om inte annat anges. Läsaren antas vara matematikstuderande på universitet- eller högskolenivå. Uppsatsen kan även vara av intresse för den friidrottsintresserade som vill se hur den matematiska teorin bakom släggkastets rotationer kan se ut. Vi har valt att strukturera uppsatsen på så sätt att vi delat in den i fyra kapitel. Första kapitlet innehåller en bakgrund där de viktigaste begreppen denieras och där vi använder exempel för de denitioner vi anser kräver ytterligare beskrivning. I kapitel två beskrivs vilken metod vi använder oss av och varför vi använder den, samt visar hur metoden kan härledas från Newtons andra lag och genom Hamiltons princip. Tredje kapitlet innehåller vår stelkroppsmodell där vi med hjälp av Lagranges metod tar fram rörelseekvationer för vår valda kropp. Rörelseekvationerna är kopplade, icke-linjära andra ordningens ordinära dierentialekvationer. I detta kapitel nns även resultatet av vår modell där slägghuvudets rörelse under rotationsfasen i ett släggkast visualiseras i form av en plot från Matlab. Kapitlet tar även upp mer avancerad modellering och simulering. Det sista kapitlet innehåller en diskussion där vi bland annat jämför vår uppsats med en tidigare studie inom samma område. 1. Bakgrund Inom den klassiska mekaniken, som grundar sig i Isaac Newtons rörelselagar, åternns den analytiska mekaniken. Denna inrikning kom under 1700-talet främst att utvecklas av Leonhard Euler och Joseph-Louis Lagrange och det är framförallt i deras teorier vi grundar vår uppsats. Tröghetsmoments- och 5

dierentialkalkylsberäkning är exempel på begrepp som används inom den analytiska mekaniken och som vi kommer att använda []. Inom idrotten kan den analytiska mekaniken, som en del av biomekanik, komma till hjälp vid rörelseanalys och utveckling av teknik i specika grenar [5]. Det är här vi tar vår utgångspunkt och tanken är att ta fram en matematiskt modell av rotationsfasen i ett släggkast. För att få en bild av hur släggkastet ser ut följer nedan en kort besrkivning av dess rörelser; ˆ Släggkastaren står längst bak i kastringen med ryggen mot kastriktningen och håller i släggan så att den är placerad på marken framför kroppen. ˆ För att påbörja kastet och få upp hastigheten på släggan gör kastaren ett par försvängar, det vill säga att armarna roteras i axelhöjd så att släggan i sin tur roteras kring kroppen. ˆ Därefter påbörjas rotationerna i fötterna och benen så att kastaren roterar 4.5 varv, samt föryttas i en rak linje bakåt mot utkastriktningen, innan släggan släpps. Genom att se människokroppen som en tredimensionell stel kropp, det vill säga en kropp som ej är deformerbar [4], fås en modell att utgå ifrån. Denna kommer att rotera likt rotationerna i den tredje ovannämnda punkten av släggkastet. Modellen kommer så småningom, genom Lagrangefunktionen, att utvecklas till Lagranges ekvationer som sammansatta rörelseekvationer. Lösningen till dessa ekvationer beskriver den stela kroppens läge i varje ögonblick av rörelsen [4]. Vi vill lyfta fram och förtydliga vissa geometriska begrepp som vidare kommer att användas. Vi kommer hädanefter att beteckna det rumsxa koordinatsystemet som OXY Z och det lokala koordinatsystemet som Oxyz, se gur 1.1, för en partikel [17]. 1..1 Kinetisk energi Som referens till de denitioner som ges här, hänvisar vi till [4]. Då vi så småningom vill beräkna rörelseekvationerna för vår framtagna modell krävs att tröghetsmomentet beräknas. Denna storhet beskriver ett partikelsystems förmåga att ändra sin rotationshastighet och denieras för ett partikelsystem som I Q = m k rk k där Q betecknar partikelsystemets momentaxel, det vill säga den axel som partikelsystemet roterar kring. r k är det vinkelräta avståndet från varje partikel till Q och m k är varje partikels massa. Vid en kontinuerlig massfördelning 6

Figur 1.1: Lokalt koordinatsystem, Oxyz, i en partikel i ett globalt koordinatsystem, OXYZ. i kroppen ges tröghetsmomentet istället av I Q = rx, y, z dm där rx, y, z är det vinkelräta avståndet från x, y, z till Q och där dm = ρx, y, z dv och ρx, y, z är partikelsystemets densitet och dv är varje litet volymselement. Tröghetsmomenten för ett partikelsystem kring x-, y- respektive z- axeln i ett tredimesionellt koordinatsystem denieras som I xx = k m k y k + z k, I yy = k m k z k + x k, I zz = k m k x k + y k. Om kroppen har en kontinuerlig massfördelning ersätts summorna med I xx = y + z dm, I yy = z + x dm, I zz = x + y dm där dm = ρx, y, z dv = ρx, y, z dx dy dz. Låt nu en cylinder med jämt fördelad massa utgå från origo i Oxyz och rotera denna kring z - axeln. Cylindern antas ha radien r, höjden l 1, massan m 1 och volymen V, se gur 1.. För denna rotation ges tröghetsmomentet av x I zz = x + y dm = + y ρ dx dy dz = ρ x + y dx dy dz. Efter beräkningar av integralen, där vi antar konstant densitet ρx, y, z = m/v, får vi I zz = l 1 m 1. 7

Figur 1.: Cylinder som roterar kring Z axeln. Där r = radien, m = massan, h = höjden och V = volymen. Beräkningen av I zz kommer att användas som en del i beräkningarna av tröghetsmomenten för vår modell i kapitel 3. Eftersom att vår kommande modell utgår ifrån ett tredimesionellt koordinatsystem med x-, y- respektive z - axel kommer det även att uppstå så kallade tröghetsprodukter [4]. Dessa ger utöver tröghetsmomenten ytterliggare information om massfördelningen i kroppen. Om någon tröghetsprodukt är skild från noll betyder det att det är asymmetri i massfördelningen vid de två axlarna som produkten utgörs av. För rotation kring t.ex. x - respektive y - axeln deneras tröghetsprodukten för ett partikelsystem som I xy = I yx = k m i x i y i. För en kontinuerlig massfördelning i kroppen har vi I xy = I yx = xy dm. För cylindern i ovanstående exempel skulle tröghetsprodukten som uppstår kring x- respektive y - axeln denieras enligt I xy = I yx = xy dm = xyρ dx dy dz = ρ xy dx dy dz. Efter beräkningar av integralen får vi I xy = I yx = 0. Tröghetsmomenten, tillsammans med tröghetsprodukterna, bildar en tröghetstensor. Denna utgörs av en 3 3 matris som består av tröghetsmomenten 8

kring x-, y- och z - axeln och tröghetsprodukterna. Matrisen är alltid symmetrisk och har 6 oberoende element, I xx I xy I xz I = I yx I yy I yz. I zx I zy I zz Energin som en kropp har på grund av en viss rörelse kallas för kinetisk energi. Den kinetiska energin utgörs dels av rotationsenergi, dels av translationsenergi. Translationsenergi är den energi som kroppen använder vid en linjär rörelse, det vill säga en rörelse utan rotation [17]. För att kunna ta fram Lagrangefunktionen krävs att den kinetiska energin beräknas. Till denna krävs vinkelhastigheten, ω = dθ/dt där θt är rotationsvinkeln och där även dθ/dt kan uttryckas som θ [16]. Om rotationerna sker kring er än en axel har vi generellt ω = [ω x, ω y, ω z ] T, där ω x, ω y och ω z är vinkelhastigheterna kring respektive axel. Antag att vi har en kropp som rör sig fritt i OXY Z vars tyngdpunkt har translationshastigheten v = [v x, v y, v z ] T och rotationen kring tyngdpunkten är ω. Translationsenergin och rotationsenergin denieras då som T tra = mv T v/ och T rot = ω T Iω/ där m är kroppens massa. Genom att addera dessa två uttryck fås den sammanlagda formeln för den kinetiska energin enligt T = T tra + T rot = 1 mvt v + 1 ωt Iω. 1.1 Om vi istället har en punktmassa med massan m blir den kinetiska energin där T = 1 mv p T v p, 1. v p = v + w r 1.3 och r = [x, y, z] T är positionsvektorn för punktmassan i förhållande till origo. 1.. Potentiell energi Genomgående för uppsatsen är att alla exempel och beräkningar utgår ifrån att kropparna benner sig i ett konservativt kraftfält. För att deniera det konservativa kraftfältet antar vi att vi har en partikel eller kropp som påverkas av en kraft F r, r = rx, y, z. Den potentiella energin i en punkt b relativt en punkt a denieras i sin tur som arbetet att föra en partikel eller kropp från punkt a till punkt b. Om det existerar en potential V sådan att F = V sägs kraftfältet vara konservativt. Följande sats, härledd ifrån [7], gör det möjligt att beräkna potentialen för ett konservativt kraftfält vilket vi senare kommer att behöva. 9

Sats 1..1. Låt F vara ett kraftfält med potentialen V, det vill säga F = V, i det öppna området Ω. För varje kurva γ i Ω gäller då att F dr = V a V b där a och b är start- respektive slutpunkt för γ. γ Bevis. Låt r = rt, α t β, vara en parameterframställning av γ. Speciellt är rα = a, rβ = b. Enligt kedjeregeln är d V rt = V rt ṙt = F rt ṙt. dt Utifrån detta får vi att β F dr = F rt ṙt dt = γ α β α d V rt dt = V rα V rβ dt = V a V b. Notera här att potentialen ej är unik ty en godtycklig konstant C kan adderas till V utan att värdet efter beräkning av V påverkas. Det är även så att energin i ett konservativt kraftfält bevaras enligt konserveringslagen. Detta innebär att T +V är konstant och att systemet vinner lika mycket kinetisk energi T som det förlorar potentiell energi V [6]. För att ta fram den fullständiga Lagrangefunktionen krävs även den potentiella energin. Tyngdkraften på en kropp är F = mge z där e z är enhetsvektorn i z - led, m är kroppens massa samt g är gravitationsaccelerationen. Genom att beräkna integralen i satsen ovan givet F får vi potentialen V = mgz där z utgörs av höjden över xy - planet. Vi har här antagit att att V 0 = 0. Följdaktligen är F konservativt och på så sätt kan vi skriva den potentiella energin som V = mgz. 1.4 1..3 Eulervinklar När vi i kapitel 3 presenterar vår modell kommer positionen för kroppen att beskrivas med hjälp av Eulervinklar. Dessa beskriver förhållandet mellan det lokala koordinatsystemet Oxyz för kroppen och det globala, rumsxa, koordinatsystemet OXY Z. För att beskriva rotationen mellan koordinatsystemen används tre rotationsvinklar, t.ex. θ 1, θ och θ 3, som i sin tur kallas Eulervinklar. Det nns sex olika sätt att utföra rotationerna kring axlarna; 10

X-y'-x, X-z'-x, Y-x'-y, Y-z'-y, Z-x'-z, Z-y'-z, där ' och står för varje ny axel som bildas efter föregående vridning. Varje rotation beskrivs av en 3 3 matris varpå det nns en sådan till varje axel. Dvs en matris om rotationen sker kring en x - axel, en matris om rotationen sker kring en y - axel samt en matris för rotation kring en z - axel [9]. Vi ska nu beskriva de s.k klassiska Eulervinklarna. Välj OXY Z och Oxyz samt i vilken ordning rotationerna ska ske. I detta fall väljer vi rotationer moturs kring Z-x -z, se gur 1.3. Rotationen kring Z - axeln denieras genom vinkeln θ 1, vilket ger oss ett nytt koordinatsystem Ox y z. Rotationen ser ut enligt följande R z θ 1 = cos θ 1 sin θ 1 0 sin θ 1 cos θ 1 0 0 0 1. 1.5 Utifrån detta görs rotationen kring x - axeln genom vinkeln θ, vilket ger koordinatsystemet Ox y z och rotationen sker enligt 1 0 0 R x θ = 0 cos θ sin θ. 1.6 0 sin θ cos θ Till sist görs rotationen kring z - axeln genom vinkeln θ 3, vilket ger oss det sökta koordinatsystemet Oxyz. Denna rotation görs enligt cos θ 3 sin θ 3 0 R z θ 3 = sin θ 3 cos θ 3 0. 1.7 0 0 1 En anmärkning i avseende med ovanstående rotationsmatriser är att de gäller vid rotation moturs av ett koordinatsystem xt i en kropp, i ett globalt koordinatsystem. En annan möjlighet är att tänka sig en vektor, xt i en kropp som moturs roterar i ett globalt koordinatsystem, vilket i sin tur genererar transponatet av rotationsmatriserna, se [13]. För att beräkna rotationsenergin i den kinetiska energin för en kropp krävs även vinkelhastighetsvektorn ω = [ω x, ω y, ω z ] T, där ω x, ω y och ω z är vinkelhastigheten kring respektive axel. Vid rotation med Eulervinklar gäller enligt [17] att ω x ω y ω z = s s 3 c 3 0 s c 3 s 3 0 c 0 1 θ 1 θ θ 3 = θ 1 s s 3 + θ c 3 θ 1 c 3 s θ s 3 θ 1 c + θ 3 1.8 där s 1 = sinθ 1, s = sinθ, s 3 = sinθ 3, c 1 = cosθ 1, c = cosθ och c 3 = cosθ 3 11

Figur 1.3: Eulervinklar. θ 1, θ och θ 3 är vridningar moturs kring Z, x' respektive z - axeln. Vi kan även ta fram en rotationsmatris genom produkterna av 1.5, 1.6 samt 1.7 vilket ger oss [8] R = R z θ 3 R x θ R Z θ 1 c 1 c 3 c s 1 s 3 c 1 s 3 c c 3 s 1 s 1 s = c 3 s 1 + c1c s 3 c 1 c c 3 s 1 s 3 c 1 s. s s 3 c 3 s c 1

Kapitel Lagranges funktion och ekvation Den funktion som inom den klassiska mekaniken används för att förklara rörelseekvationerna för ett konservativt mekaniskt system kallas för Lagrangefunktionen. Funktionen uttrycks som dierensen mellan systemets kinetiska och dess potentiella energi, det vill säga L = T V. Genom att sätta in Lagrangefunktionen i Lagranges ekvationer fås systemets rörelseekvationer, som är ett system av andra gradens ordinära dierentialekvationer, vilka generellt är ickelinjära [4]. Ett alternativ till Newtons metod för att ta fram ett systems rörelseekvationer, att se på framställningen av dynamiken för ett mekaniskt system, är Lagranges ekvationer. Newtons metod baseras på sambandet mellan vektorstorheter så som momentekvationen som ger oss sambandet mellan vinkelaccelerationen och kraftmomentet. Istället för att betrakta dessa vektorstorheter använder sig Lagranges metod av systemets energi [8]. Vid en första anblick kan Lagranges formulering av mekaniken se ut som en abstrakt omskrivning av Newtons andra lag, men fördelen i denna ligger i att vilken typ av koordinatsystem vi än väljer att använda så kommer formuleringen inte att ändras. Newtons vektorstorheter skulle däremot fallerat om det mekaniska systemet istället skulle uttryckas i mer generella koordinater [8]. Då det nns så kallade tvångskrafter, som ofta är okända, förenklar Lagranges ekvationer våra beräkningar genom att inte ta hänsyn till dessa. Om systemet skulle bestå av tvångskrafter väljs istället lämpliga generaliserade koordinater och därefter formuleras Lagranges ekvation i termer av de valda koordinaterna. Metoden ger däremot ingen garanti för att ekvationerna, i förhållande till Newtons, skulle bli enklare att i slutänden beräkna utan fördelen ligger alltså i reduceringen av tvångskrafterna [16]. 13

.1 Härledning av Lagranges ekvation genom Newtons andra lag För att visa att Lagranges ekvationer är oberoende av vilka koordinater som väljs, kommer vi med hjälp av [8] att göra en härledning av Lagranges ekvationer genom Newtons andra lag. Antalet frihetsgrader för ett system anger hur många oberoende variabler som krävs för att beskriva en kropps position. En partikel som får röra sig fritt i ett tredimenssionellt rum har tre frihetsgrader. För ett partikelsystem som är uppbyggt av N stycken partiklar gäller det att antalet frihetsgrader är 3N. Fortsättningvis kommer antalet frihetsgrader att vara ekvivalent med antalet generaliserade koordinater som krävs för att beskriva ett systems rörelse [16]. Låt ett partikelsystem ha N partiklar, där den n:te partikeln har läget r n = [x n, y n, z n ] T. För att lättare kunna förklara förändringar av rörelser för partikelsystemet vill vi koppla samman dessa kartesiska koordinater med ett generaliserat s-koordinatsystem. Detta gör vi genom att deniera s 1 = x 1, s = y 1, s 3 = z 1,..., s D = x N, s D 1 = y N, s D = z N,.1 där D = 3N är partikelsystemets frihetsgrader. Sätt s = s 1, s, s 3,..., s D. De generaliserade krafterna F i, för i = 1,..., D, tillhörande s-koordinatsystemet kopplas sedan samman med partiklarnas krafter som F 1 = f x1, F = f y1, F 3 = f z1,..., F D = f zn.. Även de generaliserade massorna M i, för i = 1,..., D, tillhörande s-koordinatsystemet kopplas samman med massorna för varje partikel, genom M 3K+i = m k+1,.3 där k = 0, 1,..., N 1 och i = 1,, 3. Med dessa omskrivningar kan Newtons andra lag skrivas om till s-systemet, som F i = M i d s i dt.4 för i = 1,..., D. Den totala kraften f k = [f xk, f yk, f zk ] T som verkar på k:te partikeln i ett partikelsystem, i ett konservativt kraftfält, kan beskrivas genom en partiell derivering av en potentialfunktion, V r 1,..., r N, t. Dock kan det nnas delar i f k som inte uppkommer då vi deriverar potentialen, dessa betecknas f NP k. Vi får att f k = r k V r 1,..., r N, t + f NP k..5 14

Potentialen V r 1,..., r N, t skrivs om till s-systemet genom.1 enligt V r 1,..., r N, t = V s, t..6 Genom att använda.1,. och.6 fås.5 utryckt i s-systemet F i = s i V s, t + F NP i.7 för i = 1,..., D. Från 1. kan den kinetiska energin för ett partikelsystem skrivas om till s-systemet som T = 1 i=1 M i s i..8 Utifrån.8 och.6 denieras Lagrangefunktionen uttryckt i s-systemet som L s, ṡ, t = T ṡ V s, t = 1 M i s i V s, t..9 Genom att partiellt derivera Lagrangefunktionen med avseende på s i och s i fås L s, ṡ, t = V s, t.10 s i s i och L s, ṡ, t = s i 1 s i 1 i=1 M i s i = M i s i..11.7 sätts lika med.4 och genom att använda.10 och.11 får vi d Ls, ṡ, t Ls, ṡ, t = F NP i.1 dt ṡ i s i vilket är Lagranges ekvationer i s-systemet. Som vi har visat är s-koordinatsystemet en omskrivning av de kartesiska koordinaterna. Vi inför nu de generaliserade koordinaterna, q i. Antag att varje s i kan skrivas som en funktion av q-variabler och tiden t. Sätt q = q 1, q,..., q D. Detta ger s i = s i q, t.13 för i = 1,..., D. Vi antar att sq, t är inverterbar med avseende på q och q och därför kan q skrivas som en funktion av s, dvs qs, t. Vi kan även skriva varje ṡ i som ṡ i = ṡ i q, q, t.14 15

för i = 1,..., D. Genom att använda ekvationerna.13 och.14 i.9 fås Lagrangefunktionen att bero på q, q och t enligt Lq, q, t = Lsq, t, ṡq, q, t, t..15 Genom att använda kedjeregeln på.13, med avseende på tiden t, fås att ṡ i kan uttryckas som en funktion av q och dess tidsderivator ṡ i = ds iq, t dt = s i q, t dq j q j dt + s iq, t..16 t j=1 Låt Q NP j beteckna kraften för ett generaliserat q - koordinatsystem. Kraften ges av ekvationen Q NP j = i=1 F NP s i q, t i.17 q j som har inversen F NP i = j=1 Q NP q j s, t j..18 s i Lemma.1.1. Vi har att och ṡ i q, q, t q j = s iq, t q j ṡ i q, q, t q j = d dt si q, t q j..19 Bevis. Eftersom funktionerna s i q, t/ q j och s i q, t/ t i ekvation.16 endast beror på q och t innebär det att koecienten framför q j i.16 är den enda som kvarstår då vi partiellt deriverat med avseende på q j, vilket i sin tur ger oss bevis på att den första delen av.19 håller. För att bevisa den andra delen av.19 skrivs VL om som ṡ i q, q, t q j = k=1 q j si q, t q k dqk dt + q j si q, t HL kan, för en godtycklig funktion hq, t, skrivas om som t..0 dhq, t dt = k=1 hq, t dq k q k dt hq, t +..1 t 16

Låt sedan hq, t = s i q, t/ q j vilket ger d dt si q, t = q j k=1 q k si q, t q j dqk dt + t si q, t q j. det vill säga lika med VL..1.1 Satsen om generellt koordinatbyte Vi vill med följande sats visa att.1 är oberoende av vilka koordinater som väljs. Sats.1.1. Antag att vi gjort ett byte från s - koordinatsystemet till q - koordinatsystemet utifrån ekvation.13 och deniera Lagrangefunktionen genom.15. Deniera även den generaliserade kraften för q - koordinatsystemet genom ekvation.17. Då gäller om och endast om för i, j = 1,..., D. d dt d dt Ls, ṡ, t ṡ i Lq, q, t q k Ls, ṡ, t = F NP i.3 s i Lq, q, t = Q NP q k.4 k Bevis. Vi visar först att ekvation.3 ger.4. Multiplicera både HL och VL i ekvation.3 med D i=1 s iq, t/ q k, vilket ger s i q, t d Ls, ṡ, t s i q, t Ls, ṡ, t s i q, t = F NP i. q i=1 k dt ṡ i q i=1 k ṡ i q i=1 k.5 Låt f och g vara två godtyckliga funktioner. Från produktregeln fås att fdg/dt = dfg/dt gdf/dt. Sätt f = s i q, t/ q k och g = Ls, ṡ, t/ ṡ i. Detta ger att den första termen i.5 kan skrivas i=1 s i q, t q k d Ls, ṡ, t = dt ṡ i i=1 i=1 d si q, t Ls, ṡ, t dt q k ṡ i d si q, t Ls, ṡ, t ṡ i dt q k. 17

Här ersätts både den första och den andra termen i HL av termerna i.19 i=1 = d si q, t Ls, ṡ, t dt q k ṡ i i=1 i=1 d ṡi q, t Ls, ṡ, t dt q k ṡ i Vidare fås att.5 ges av vilket ger D i=1 i=1 d ṡi q, t Ls, ṡ, t dt q k ṡ i i=1 Ls, ṡ, t s i s i q, t q k + Ls, ṡ, t ṡ i i=1 i=1 s i q, t q k Ls, ṡ, t s i = d si q, t dt q k Ls, ṡ, t ṡ i ṡ i q, q, t q k. Ls, ṡ, t ṡ i ṡ i q, q, t q k i=1 D d Ls, ṡ, t ṡ i q, t dt ṡ i=1 i q k i=1 s i q, t F NP i q k.6 Ls, ṡ, t ṡ i q, q, t = Q NP ṡ i q k..7 k Här har HL i.7 ersatts av.17. Den första parentesen i VL i.7 är en utvidgning av kedjeregeln för Lsq, t, ṡq, q, t, t/ q k. Den andra parentesen i.7 är en utvidgning av kedjeregeln med avseende på Lsq, t, ṡq, q, t, t/ q k. Ovanstående ekvation och.15 ger oss slutligen.4 d dt Lq, q, t q k Lq, q, t = Q NP q k. k Vi visar nu att.4 ger.3 genom att göra ovanstående bevis baklänges och vi får d Lq, q, t Lq, q, t = Q NP dt q k q k k vilket ger j=1 d dt Ls, ṡ, t ṡ j q, t ṡ j q k j=1 Ls, ṡ, t s j s j q, t q k + Ls, ṡ, t ṡ j q, q, t = Q NP ṡ j q k k j=1 18

och j=1 d ṡj q, t Ls, ṡ, t dt q k ṡ j j=1 j=1 s j q, t q k Ls, ṡ, t s j = Ls, ṡ, t ṡ j ṡ j q, q, t q k j=1 s j q, t q k F NP j..8 Utifrån omskrivningen av ekvation.6 gäller j=1 s j q, t q k d Ls, ṡ, t dt ṡ j j=1 = s j q, t q k Ls, ṡ, t ṡ j j=1 s j q, t q k F NP j..9 Slutligen multipliceras.5 med inversen till s j q, t/ q k, vilket är q k s, t/ s j där k = 1,..., D, och vi har d Ls, ṡ, t Ls, ṡ, t = F NP j. dt ṡ j s j. Hamiltons princip Vi har, med hjälp av Newtons andra lag, visat att Lagranges ekvationer är oberoende av vilka generaliserade koordinater som väljs. En mer generell metod för att nna rörelseekvationer är att använda sig av Hamiltons princip, vilken vi utifrån [4] kommer att härleda. Hamiltons princip är en grundläggande princip inom mekaniken som beskriver ett systems rörelse från punkt A till punkt B, mellan tidpunkterna t 0 och t 1. Genom den så kallade verkningsintegralen S = t1 fås Hamiltons variationsprincip enligt t 0 Lq, q, t dt t1 δs = δ Lq, q, t dt = 0.30 t 0 där δs är variationen av S. Det q som uppfyller.30 ger den rörelse mellan A och B där S har ett extremum, vilket också benämns den verkliga vägen. 19

Antag att variationen av en generaliserad koordinat q i kan skrivas som en funktion av tiden t på intervallet [t 0, t 1 ] och där variationen av denna kan skrivas enligt δq i t = ɛη i t.31 där η i t är en godtycklig kontinuerlig funktion som uppfyller η i t 0 = η i t 1 = 0 och ɛ är godtyckligt liten. Antag att variationen av S, för något q, kan skrivas som t1 [ L δs = q η + L ] q η dtɛ..3 t 0 Genom att använda.3 samt omskrivningen i.31 och därmed beräkna variationen av S fås att t1 t1 L δs = δ Lq, q, t dt = δq i + L δ q i dt = 0.33 t 0 q i q i där vi enligt.31 får att t 0 i δ q i = ɛ d dt η it = d dt ɛη it = d dt δq i..34 Vidare sätts.34 in i den andra termen i.33 och vi får genom partiell integration av den termen att = t1 t 0 [ i L δ q i dt = q i i L q i δq i ] t1 t1 t 0 t 0 t1 t 0 i i d dt L d q i dt δq i dt L q i δq i dt..35 Eftersom att δq i t 0 = δq i t 1 = 0 kommer uttrycket inom klammern i.35 att bli noll. Det gäller då att t1 t1 [ L δs = δ Lq, q, t dt = d ] L δq i dt = 0..36 t 0 q i dt q i t 0 i De generaliserade koordinaterna är oberoende och således även variationerna av dem. På så sätt kan till exempel δq k 0 och δq i = 0, i k på [t 0, t 1 ], vilket medför i.36 att t1 L t 0 [ L q k d dt q k ] δq k dt = 0..37 Då vi vet att δq k 0 kan väljas godtyckligt innebär det att klammern i.37 måste vara noll på hela [t 0, t 1 ]. På samma sätt fås att koecienterna framför δq, δq 3,..., δq s måste vara noll, dvs att L q i d dt L = 0.38 q i 0

för i = 1,..., s. Lösningen till Lagranges ekvation ger oss s ordinära dierentialekvationer, vilket beskriver systemets rörelse längs med den verkliga vägen. Denna rörelse motsvarar kraften som uppkommer från den potentiella energin i Lagrangefunktionen. Det som ovanstående härledning visar är alltså att δs = 0, gäller endast då variationerna av en vald väg motsvaras av den verkliga vägen. Detta ekvationssystem kallas för Lagranges ekvationer för ett konservativt system. Vi vill belysa att ovanstående bevis håller i vårt fall, då endast kontinuerliga funktioner används. I annat fall kan det nnas diskreta funktioner då beviset inte längre håller. Här ses även att termerna i VL i.38 har bytt plats i förhållande till tidigare härledning. Detta beror på olika traditioner att använda sig av Lagranges ekvationer. Inom mekaniken används formuleringen enligt härledningen från Newtons andra lag medan den inom variationskalkylen formuleras enligt härledningen från Hamiltons princip. Det vi även kan notera är att utifrån vår härledning från Hamiltons princip är högerledet noll på grund av att det är ett system utan geometriska tvångsvillkor; villkor som innebär att en partikel eller kropp endast får röra sig på ett visst sätt, på en viss yta eller liknande. Eventuella tvångsvillkor delas in i holonoma och icke-holonoma tvång, där de holonoma tvången innebär ett samband mellan systemets koordinater och tiden [4]. Om systemet skulle påverkas av så kallade icke-holonoma tvångsvillkor, det vill säga att det nns ett samband mellan koordinaterna och tiden men även med systemets hastigheter, används istället härledningen enligt [10], där högerledet blir lika med någon generaliserad kraft Q j..3 Ett exempel på Lagranges metod Antag att vi har ett tvådimensionellt koordinatsystem. Låt en stång, med längden l, fästas i Origo så att den hänger i negativt y - led och låt ϕ vara vinkeln mellan stången och den positiva x - axeln. Masscentrum, G, antas sitta i mitten av stången se gur.1. Vi vill använda Lagranges funktion, L = T V, för att sedan härleda systemets rörelseekvationer. Vi behöver därför den kinetiska samt den potentiella energin, T respektive V. Enligt denitionen för kinetisk energi gäller att T = Iω /, där ω = ϕ är systemets vinkelhastighet. För den potentiella energin gäller enligt denition att V = mgy G, där y G är stångens masscentrums y-koordinat. Enligt denitionen för tröghetsmoment I för en stång som är upphängd i sin ena ände fås I = ml /3, se [4]. Vi får alltså L = T V = 1 Iω mgy G = 1 ml 3 ϕ mg l ml sin ϕ = 6 ϕ +mg l sin ϕ. 1

Figur.1: Pendlande stång. ϕ = vinkel mellan stången och den positiva x - axeln, l = stångens längd För att ta reda på rörelseekvationerna för systemet sätts ovanstående funktion in i Lagranges ekvation. Vi antar Q NP j = 0 och får d Lϕ, ϕ, t Lϕ, ϕ, t = Q NP j dt ϕ ϕ vilket ger d ml dt 3 ϕ mgl cos ϕ = 0 och vi får ml 3 ϕ mg l cos ϕ = 0. För en entydig lösning till denna dierentialekvation krävs även två begynnelsevillkor. Om vi nu antar att begynnelsevillkoren för stången är ϕ0 = 0 samt ϕ0 = π/4, får vi en lösning på rörelseekvationerna. Vi löser ut ϕ och får 3g cos ϕ ϕ =. l Sedan inför vi två nya variabler, u 1 och u, och sätter vilket ger u 1 = ϕ, u = ϕ u 1 = u = ϕ, u = ü 1 = ϕ = 3g cos ϕ l = 3g cos u 1. l Detta ger oss istället för en andra ordningens dierentialekvation, två stycken första ordningens dierentialekvationer som går att lösa med lösaren ode45 i Matlab. Att använda ode45 går till på så sätt att vi sätter

Figur.: Position för stångens masscentrum vid olika tillfällen under rörelsen med begynnelsevillkoren ϕ0 = π/4 och ϕ0 = 0. 1 [TOUT,YOUT] = ode45'fpendelum',[0; 1],[pi/4; 0], där inte alla kommandorader är utskrivna. Det som då behövs är en Matlabfunktion fpendelumt,yin som är just dessa två dierentialekvationer, tidsintervallet och de begynnelsevillkor vi beskrivit ovan. Vi har antagit att l = 0.01 och g = 9.81 och vi plottar sedan ut positionen för stångens masscentrum under rörelsen. Fullständig Matlabkod kan ni se i bilaga A. Om begynnelsevillkoren ändras så att till exempel ϕ0 = 0, resuluterar det i att rörelsen för stången blir längre och att stången därmed inte hinner pendla lika många gånger under tidsintervallet. 3

Figur.3: Vinklarna ϕ och ϕ under rörelsen, med begynnelsevillkoren ϕ0 = π/4 och ϕ0 = 0. Figur.4: Position för stångens masscentrum vid olika tillfällen under rörelsen med begynnelsevillkoren ϕ0 = 0 och ϕ0 = 0. 4

Figur.5: Vinklarna ϕ och ϕ under rörelsen, med begynnelsevillkoren ϕ0 = 0 och ϕ0 = 0. 5

Kapitel 3 Släggkastets rotationsfas utifrån Lagranges metod För att ta fram en modell som bäst beskriver släggkastets rotationsfas, men begränsa ramen för arbetet, har vi valt att utgå ifrån stela kroppar. Människokroppen som håller i släggan får i denna uppsats antas utgöras av en cylinder medan slägghuvudet antas vara en punktmassa fäst i en masslös tråd. Anledningen till att vi inte använder oss av människokroppen som den ser ut i verkligheten är att vi bland annat då måste ta hänsyn till muskeloch senkrafter samt yttre krafter som kan komma att forma eller påverka kroppen på annat sätt. Det skulle samtidigt innebära att tröghetsmomentet för kroppen blir alltför kompicerat att beräkna. Att slägghuvudet antas vara fäst i en masslös tråd beror på att beräkningen då kan göras på tröghetsmomentet som uppstår kring punktmassan samt kring cylindern. Vi kan alltså bortse från tröghetsmomentet kring vajern som släggan vanligtvis är fäst vid, vilket ger oss enklare beräkningar. Vi kommer i beräkningarna inte att ta hänsyn till yttre krafter så som friktion och luftmotstånd. Vi antar att de så kallade försvängarna i släggkastet redan gjorts så att punktmassan roterar med en viss hastighet vilket ger begynnelsevärden i modellen. 3.1 Beräkning av rörelseekvationer för vår modell Antag att vi har en homogen cylinder C med masscentrum G C, vars ena ände är fäst i Origo. Cylindern antas ha radien r, höjden l 1, massan m 1 och volymen V. Vi väljer ett koordinatsystem OXY Z samt Ox y z med gemensamt origo och Ox y z, så att Ox y z är xt i cylindern och Ox y z xt i punktmassan, se gur 3.1. Sätt c 1 = cosθ 1, c = cosθ, c 3 = cosθ 3, c 4 = cosθ 4, s 1 = sinθ 1, s = sinθ, s 3 = sinθ 3 och s 4 = sinθ 4 där θ 1, θ, θ 3 är Eulervinklar enligt avsnitt 1..3 och θ 4 är given enligt gur 3.. Vinkeln 6

Figur 3.1: Modell av släggkastaren. För cylindern gäller: r = radien, l 1 = höjden, m 1 = massan, V = volymen och G C = masscentrum. För punktmassan gäller: m = massan, G P = masscentrum och l = längden av tråden ut till punktmassan. Figur 3.: Modell av släggkastaren utifrån Ox y z. För cylindern gäller: l 1 = höjden och m 1 = massan. För punktmassan gäller: m = massan och l = längden av tråden ut till punktmassan. Vinkeln mellan z - axeln och punktmassan denieras θ 4. x 0 = l sin θ 4 och z 0 = l 1 + l cos θ 4 är det vinkelräta avståndet från punktmassan till x - axeln respektive z - axeln. 7

θ 4 införs för att beskriva punktmassans position i förhållande till Ox y z. Utifrån Eulervinklarna fås vinkelhastighetsvektorn ω enligt 1.8 ω = ω x ω y ω z = θ 1 s s 3 + θ c 3 θ 1 c 3 s θ s 3 θ 1 c + θ 3 På toppen av cylindern fästs en tråd, med längden l, i ena änden och där det i den andra änden av tråden fästs en punktmassa, P, med massan m och masscentrum G P. Punktmassans ursprungsläge antas beskrivas genom positionsvektorn r 0 = [x 0, 0, z 0 ] T. Fortsättningsvis, då vi pratar om vår kropp, menar vi cylindern och punktmassan inkl. den masslösa tråden. Låt nu kroppen rotera likt det tidigare beskrivna släggkastet. Vinkeln θ 1 beskriver rotationen kring Z - axeln. Den vinkel som beskriver rotationen i fötterna/benen på kastaren antas vara θ 3. Vinklarna θ och θ 4 beskriver lutningen på kastaren i förhållande till Z - axeln respektive vinkeln mellan z - axeln och slägghuvudet. Släggkastarens rörelse mot kastriktningen, som vi antar är i negativt x - led, kommer att beskrivas med hjälp av en translatorisk rörelse där v = [ v X, 0, 0] T antas vara konstant. Beräkningar av den kinetiska energin görs utifrån det xa koordinatsystemet Ox y z. 3.1.1 Cylinderns kinetiska energi Utifrån 1.1 fås rotationsenergin som T rotc = ω T I C ω / där tröghetsmomenten kring respektive axel ges av I x x = y + z dm = y + z ρ dx dy dz C = m 1 πr y + z dx dy dz = m 1 r πl 4 l 1 C πr 1 l 1 4 + πr l3 1 = m 1 3r + 4l 1. 3 1 Tack vare symmetri kring x - respektive y - axeln är I y y = I x x. Vidare fås att I z z = x + y dm = x + y ρ dx dy dz = m 1 πr x + y dx dy dz = m 1 l 1 C πr l 1 C. πr 4 l 1 = m 1r. Efter ytterligare beräkningar fås att tröghetsprodukterna I x y = I x z = I y x = I y z = I z x = I z y = 0 vilket ger oss tröghetstensorn I x x 0 0 I C = 0 I y y 0. 0 0 I z z 8

Detta ger T rotc = 1 I x x ωx + ω y + 1 I z z ω z = 1 I x x θ + θ 1 sin θ + 1 I z z θ3 + θ 1 cosθ där I x x, I z z är oberoende av θ i. Utifrån 1.1 samt antagandet att v är konstant ges translationsenergin utifrån T trac = 1 m 1 + m v T v = 1 m 1 + m v X så att cylinders totala kinetiska energi är T C = T trac + T rotc = 1 m 1 + m vx + 1 I x x θ + θ 1 sin θ + 1 I z z θ3 + θ 1 cosθ. 3.1. Punktmassans kinetiska energi 3.1 Punktmassans hastighetsvektor, v = [ v x, v y, v z ] T, i Ox y z - systemet ges dels av rotationen kring toppen av cylindern, dels av kroppens rotation, dvs w uttryckt i Ox y z - systemet. Vi får då att den totala hastigheten ges av 1.3 så att v = v 0 + w r 0 där v 0 = ẋ 0 0 ż 0, r 0 = och där x 0 = l sinθ 4 och z 0 = l 1 + l cosθ 4 samt att ẋ 0 = l cosθ 4 θ 4 och ż 0 = l sinθ 4 θ 4. Detta ger v x = ẋ 0 + w y z 0 = l cosθ 4 θ 4 + θ1 c 3 s θ s 3 l 1 + l cosθ 4, v y = w z x 0 w x z 0 = θ1 c + θ 3 l sinθ 4 θ1 s s 3 + θ c 3 l 1 + l cosθ 4, v z = ż 0 ω y x 0 = l sinθ 4 θ 4 θ1 c 3 s θ s 3 l sinθ 4. Vi får utifrån 1. att den kinetiska energin för punktmassan ges av T P = 1 m v T v = 1 m vx + v y + v z = 1 m ẋ0 + ω y z 0 + 1 m ω z x 0 ω x z 0 + 1 m ż0 ω y x 0 vilket kan förenklas till T P = 1 m ẋ 0 + ż0 + m ẋ0 w y z 0 ż 0 w y x 0 + 1 m wy z 0 + w z x 0 w x z 0 + wy x 0. x 0 0 z 0 3. 9

3.1.3 Cylindern och punktmassans potentiella energi Utifrån 1.4 fås att den potentiella energin hos cylindern V C och punktmassan V P är V C = mgz G = m 1 g l 1 cos θ 3.3 respektive V P = mgz G = m gl 1 cos θ + l cos θ 4. 3.4 3.1.4 Lagrangefunktionen för kroppen För att ta fram den fullständiga Lagrangefunktionen L = T V, används T = T C + T P från 3.1 samt 3. och V = V C + V P från 3.3 samt 3.4, vilket ger L = T V = T C + T P V C + V P = 1 I x x ω x + ω y + 1 I z z ω z + 1 m l θ 4 + m ẋ0 w y z 0 ż 0 w y x 0 + 1 m wy z 0 + w z x 0 w x z 0 + wy x 0 = 1 θ 1 s Ix x + m l1 + c I z z + c 4 s s 3 m l + c 3 s m l +c s 4 m l + c 4s m l 1 l c s s 3 s 4 m l 1 l c c 4 s s 3 s 4 m l + 1 θ + 1 θ 4 Ix x + m l1 + c 3 c 4 m l + s 3 m l + c 4m l 1 l + 1 θ 3 Iz z + s 4 m l m l + θ 1 θ c3 c 4 s s 3 m l c c 3 s 4 m l 1 l c 3 s s 3 m l c c 3 c 4 s 4 m l + θ 1 θ3 c I z z + c s 4 m l s s 3 s 4 m l 1 l c 4 s s 3 s 4 m l + θ 1 θ4 c3 c 4 s m l 1 l + c 3 s m l θ θ3 c3 s 4 m l 1 l + c 3 c 4 s 4 m l θ θ4 c4 s 3 m l 1 l + s 3 m l m 1 g l 1 c + m g l 1 c + l c 4. 3.1.5 Rörelseekvationer Vi antar att vinklarna θ 1, θ, θ 3 och θ 4 är generaliserade koordinater där de fortsättningsvis benämns θ 1 = q 1, θ = q, θ 3 = q 3 samt θ 4 = q 4. Efter att vi 30

tagit fram Lagrangefunktionen för kroppen vill vi ta fram Lagranges ekvationer, det vill säga kroppens rörelseekvationer. För att göra detta bestäms de partiella derivatorna av L, för varje generaliserad koordinat q 1, q, q 3 och q 4, vilka vi behöver för att formulera rörelseekvationen för respektie koordinat. Från.4 fås rörelseekvationen för respektive generaliserad koordinat. Genom att först derivera L med avseende på q i och därefter derivera det vi får ut, med avseende på tiden t fås den första termen i VL i Lagranges ekvation. Den andra termen i VL fås genom att vi deriverar L med avseende på q i. Den generaliserade kraften Q NP sätts som givna moment M i t och vi får d dt L q i i L q i = M i t där i = 1,..., 4. För resultat av dessa rörelseekvationer se bilaga C. 3. Lagranges ekvationer på matrisform Vår uppsats har genomgående handlat om att ta fram Lagranges ekvationer, från ett systems kinetiska -och potentiella energi, för att få dess rörelseekvationer. Det vi efter beräkningar har insett är att arbetet med denna metod och dessa rörelseekvationer blir alltför omfattande för att kunna göra en simulering i Matlab. Till följd av detta har vi istället valt att använda oss av en annan metod där Lagranges ekvationer skrivs på matrisform och fortsättningsvis antar vi att θ 4 är konstant, dvs θ 4 = 0. Vid implementering av Lagranges ekvationer i Matlab är det enklast att deniera ekvationerna med matriser och vektorer. Detta kan göras på ett kompakt och systematiskt sätt, se [1] för en mer detaljerad beskrivning. Här ska vi endast ge de ekvationer som fås. Antag att a är en vektor och vi inför beteckningen [a] = a = a 1 a a 3 0 a 3 a a 3 0 a 1 a a 1 0 Med ω betecknar vi den i det kroppsxa systemet givna rotationsvektor som fås då det kroppsxa systemet roterar med Eulervinkelhastigheterna och vi har ω = W θ. 31

där W = s s 3 c 3 0 s c 3 s 3 0 c 0 1, θ = och c 1 = cosθ 1, s 1 = sinθ 1, c = cosθ,.... Antag att tröghetsmomentet för cylindern är I C och för punktmassan I P taget i det kroppsxa koordinatsystemet och sätt I T ot = I C + I P. Då fås följande Lagrangeekvationer θ 1 θ θ 3 där W T I T ot W θ + W T I T ot Ẇ + W T [W θ]i T ot W θ Ẇ = j W θ j θj V θ θ = Q och V θ är potentialen. I Matlab löses detta, andra ordningens system, som ett system av första ordningens ekvationer genom att införa en ny variabel σ = θ vilket ger och W T I T ot W σ + W T I T ot Ẇ + W T [W σ]i T ot W σ θ = σ. V θ θ = Q 3.5 3.3 Implementering i Matlab av matrisformuleringen I Matlab nns ett ertal lösare till system av dierentialekvationer som t.ex. ode45 som kan hantera systemet 3.5. I Matlabs notation skrivs system som 1 Mt,y*y' = ft,y där y, Mt,y och ft,y motsvaras av [ θ σ ] [ W, T I tot W 0 0 I ] [, W T I tot Ẇ + W T [W σ]i tot W σ + V θ σ ]. Förutom en Matlabfunktion för ft,y krävs en Matlabfunktion för Mt,y enligt följande från help ode45 1 ode45 can solve problems Mt,y*y' = ft,y with mass... matrix M that is nonsingular. Use ODESET to set the... 'Mass' property to a function handle MASS if MASST,Y... returns the value of the mass matrix. 3

Vi behöver alltså använda odeset vilket går till på följande sätt, där inte alla kommandorader är med 1 options=odeset'mass',@name_of_m_function [t,y]=ode45@name_of_f_function,tspan,y0,options För fullständig Matlabkod se bilaga B. 3.4 Avancerad simulering Den modell vi använt är en grov förenkling av den verkliga rörelsen. För att få en mer realistisk modell blir vi tvungna att modellera kroppen mer detaljerat med hänsyn till leder och muskler. Ett sådant simuleringsverktyg är [3] som har använts i era sammanhang som t.ex. skidstakning med intressanta resultat, se [11],[14]. Ett alterantivt simuleringsverktyg till Matlab är ODE [15]. I ODE baseras simuleringen på de s.k. Euler-Newtons ekvationer [17] vilket kort sagt integrerar rörelsen givet krafter och moment krafter och moment ger via integration translationsacceleration och vinkelaccelreation som i sin tur ger translationshastighet och vinkelhastighet, vilket slutligen ger rörelsen. Via länken http://youtu.be/hkzozwa7axm ses en enkel simulering i ODE av ett släggkast. 3.5 Resultat För att kunna plotta ut slägghuvudets rörelse i Matlab behöver vi anta värden på de komponenter som används. Vi antar att släggkastaren är en man och att längden från fötterna upp till axlarna på han är 1.70 m, vilket ger längden på cylindern l 1 = 1.70. Vi har även antagit att vikten på en manlig släggkastare är cirka 100 kg och att radien på dennes kropp är 0.0 m. Dessa värden motsvarar i vår modell m 1 = 100 respektive r = 0.0 hos cylindern. Längden på en släggas vajer är 1.0 m och vi har antagit att släggkastarens armar är 0.60 m. Dessa två värdena adderas, vilket ger att l = 1.80 m. Vikten på slägghuvudet är 7.6 kg, vilket ger värdet på m = 7.6. Vi har även antagit att gravitationskraften g = 9.81 och som vi tidigare angivit antas θ 4 = 0 då vi antar att θ 4 = π under hela rörelsen. I modellen används en konstant translatorisk rörelse i negativt x-led. Tiden det tar för en släggkastare att rotera 4.5 varv och utföra kastet uppskattas till ungefär 3 sekunder, vilket betyder att t [0, 3] i våra resultat. Begynnelsevärdena för vinklarna antar vi är θ 1 0 = 0, θ 0 = π 6, θ 30 = 0, θ 1 0 = 0, θ 0 = 0, θ 3 0 = π 4. För att få plotten att likna slägghuvudets rörelse under rotationsfasen i ett släggkast, använder vi oss av momenten, M i t där i = 1,, 3, och 33

Figur 3.3: Vinklarnas värde under rotationsfasen i ett släggkast. begynnelsevärdet för θ 3. Dessa moment och begynnelsevärdet för θ 3 påverkar i sin tur vinklarna, θ 1, θ och θ 3 på olika sätt. Genom att sätta rätt värden på momenten de värden på momenten som vi använder oss av går att se i bilaga B vill vi få θ 3 att växa hela tiden, vilket betyder att släggkastaren roterar kring sin egen axel. För att få slägghuvudet att rotera 4.5 varv behöver θ 3 bli 4.5 π 8, 7 under de 3 sekunder som rotationerna ska ske. Samtidigt som θ 3 ska växa får θ 1 och θ inte bli för stora. Vi vill hålla θ 1 litet och θ nära π/6, då θ 1 är släggkastarens rotation kring Z - axeln och vi vill endast att släggkastarens rotationer ska ske i fötterna och på så sätt kring sin egen axel. Om släggkastaren samtidigt skulle rotera kring Z - axeln genererar det en felaktig rörelse. Att hålla θ nära π/6 är viktigt då θ är vinkeln mellan släggkastaren och Z - axeln. Vi vill ha en liten lutning på släggkastaren, men om θ blir för stor betyder det att han faller mot marken. Därför har vi anpassat momenten för att få de värdena vi vill ha på θ 1, θ och θ 3 och få den rörelsen på slägghuvudet som vi vill. I plotten börjar θ 3 växa direkt men ändå börjar inte slägghuvudet rotera direkt i plotten. Vi vet inte varför detta sker men bortser vi från den korta tid som vi bara har en translatorisk rörelse, ser resterande del av plotten ut som rotationsfasen i ett släggkast. I gur 3.3 presenteras vinklarnas värden under de 3 sekunder som rotationen sker. Som önskat växer θ 3 under hela intervallet upp mot värdet 8.7. θ 1 och θ varierar istället lite, men håller sig runt de värden vi vill ha dem. Figur 3.4-3.7 visar slägghuvudets position under de 4.5 rotationer som sker, sett ifrån olika håll. Slägghuvudet rör sig likt rörelsen i ett släggkast, från en låg position när släggkastaren har ryggen mot kastriktningen 34

Figur 3.4: Positionen för slägghuvudet vid olika tillfällen under rotationsfasen i ett släggkast sett snett bakifrån. Figur 3.5: Positionen för slägghuvudet vid olika tillfällen under rotationsfasen i ett släggkast sett från sidan. 35

Figur 3.6: Positionen för slägghuvudet vid olika tillfällen under rotationsfasen i ett släggkast sett bakifrån. Figur 3.7: Positionen för slägghuvudet vid olika tillfällen under rotationsfasen i ett släggkast sett uppifrån. 36

negativ x-led till en högre position när släggkastarens kropp roterar mot kastriktningen. Efter 4 varv roteras släggkastarens kropp det sista halva varvet mot kastriktningen och släggan rör sig mot en högre position innan den släpps iväg. 37

Kapitel 4 Diskussion Bakgrunden till vårt val av ämne går tillbaka till det genuina idrottsintresse vi har, som vi om möjligt ämnat att koppla samman med matematiken. För oss resulterade det i att vi såg möjligheten att använda släggkastet som något att utgå ifrån. Kontentan av det blev att vi tillägnat oss kunskaper i mekanik för att ta fram stelkroppsmodellen och nna en användbar metod för att matematiskt beskriva släggkastets rotationsfas. Ytterligare ett led i processen har varit att tillägna oss kunskaper i matematisk simulering i Matlab för att på så sätt få fram en bild av resultatet. Arbetet har varit omfattande och tidskrävande dels på grund av den ovan beskrivna processen, dels för att komplexiteten i de rörelseekvationer som vi tagit fram med Lagranges metod blev för avancerade att lösa i Matlab. Av den anledningen blev vi tvungna att tänka om och försöka tillämpa en annan metod för att simuleringen skulle bli möjlig. Det vi istället har gjort är att använda oss av Lagranges ekvationer på matrisform och därmed kan sägas att de resultat vi åstadkommit är framtagna med hjälp av implementering av dessa matriser i Matlab. Inspiration till uppsatsen är som sagt hämtad ifrån vårt intresse för idrott, men även hämtad från en studie, se [1]. I denna studie används en modell, vilken utgörs av 15 sammanlänkade segment. Detta anser vi går att jämföra med vår modell, men där vi gör modellen mer simpel med endast två segment. En skillnad mellan vår uppsats och studien är att vi använder oss av Lagranges ekvationer medan studien använder sig av Newtons och Eulers ekvationer. Studiens resultat och diskussion utgår ifrån hur rörelsen på masscentrum för släggan respektive släggkastaren, påverkar kroppens drivande moment i olika positioner av rörelsen. Den utvecklingspotential vi ser med vår uppsats utifrån den stelkroppsmodell vi tagit fram, är att denna skulle kunna bli mer lik en människokropp, som i [1]. Tanken med att få modellen att gestalta en människokropp i så stor utsträckning som möjligt, är att i slutänden kunna genomföra en analys över tekniken i ett släggkast med hjälp av matematiska beräkningar. I lik- 38

het med [1] som presenterar till exempel att det är fötternas rotation som påverkar ingången i varje ny rotation, snarare än de drivande momenten i släggkastarens överkropp. Det skulle vara intressant att utifrån detta även ta hänsyn till de yttre krafter som påverkar kroppen, så som luftmotstånd och friktion, som vi i uppsatsen har förbisett. Ytterligare en utvecklingspotential vi ser är att matematiskt istället använda sig av kvaternioner. De är enkla att använda och inga singulariteter nns, därför är de också ett populärt alternativ för att beskriva stela kroppars rörelser [9]. 39

Litteraturförteckning [1] Advanced classical mechanics/rigid bodies. [Hämtad:014-01-8] http://en.wikiversity.org/wiki/advanced_classical_mechanics/rigid_bodies [] Analytisk mekanik. [Hämtad:013-1-06] http://www.ne.se.db.ub.oru.se/analytisk-mekanik. [3] Anybody Technology. [Hämtad:014-01-8] http://www.anybodytech.com/ [4] Apazidiz, N 01: Mekanik II - Partikelsystem, stel kropp och analytisk mekanik. Lund: Studentlitteratur AB [5] Borgström, A 1998: Utveckling av tekniken i spjutkastning. Svensk idrottsforskning. Nummer 1, sid. 5-30. [Hämtad: 01-1-10] http://www.gih.se/documents/cif/tidningen/1998/1-1998/svif19981hela.pdf [6] Bull Andersen, T och Kristensen, L B 007: Biomekanik och rörelselära - analys av människans rörelser. Stockholm: Liber AB [7] Böiers, L-C och Persson, A 005: Analys i era variabler. Lund: Studentlitteratur AB [8] Davis Johns, O 005: Analytical mechanics for relativity and quantum mechanics. New York: Oxford University press [9] Diebel, J 006: Representing attitude: Euler angles, unit quaternions and rotation vectors. Stanford, California: Stanford University. [Hämtad: 014-01-15] ftp://sbai009.ene.unb.br/projects/gps- IMU/George/arquivos/Bibliograa/79.pdf [10] Goldstein, H, Poole, C och Safko, J 00: Classical mechanics. Upper Saddle River: Pearson education. [11] Holmberg, L J och Lund, A M 008: A musculoskeletal full body simulation of crosscountry skiing. Proc. IMechE, Part P: J. Sports Engineering and Technology. Volym, upplaga 1, sid. 11-40

[1] T. K. Karalis, X 1991: Control torque components of center-of-mass motions in hammer throwing. Archive of Applied Mechanics. Volym 61, upplaga 5, sid. 344-360 [13] Li, Z, Murray, R M och Sastry, S S 1994: Mathematical introduction to robotic manipulation. Pasadena, California: California institute of technology. [Hämtad: 014-06-09] http://www.cds.caltech.edu/ murray/mlswiki [14] Lund, M, Ståhl, F och Gulliksson, M 008: Regularity aspects in inverse musculoskeletal biomechanics. Numerical analysis and applied mathematics, AIP conference proceedings. sid. 368-371 [15] Open dynamics engine. [Hämtad:014-05-07] http://ode.org/ [16] Taylor, J R 005: Classical mechanics. Sausalito, California: University science books [17] Winter, D A 009: Biomechanics and motor control of human movement. Hoboken, New Jresey: John Wiley and sons 41

Bilaga A Matlabkod för ett exempel på Lagrange metod För Matlabfunktionen fpendelum är kommandoraderna 1 function yout = fpendelumt,yin g = 9.81; 3 L = 0.01; 4 const = 3*g/*L; 5 yout = zeros,1; 6 yout1 = yin; 7 yout = const*cosyin1; 8 end Sedan för att plotta ut rörelsen används kommandoraderna 1 clear format short e 3 clf 4 5 L = 0.01; 6 7 [TOUT,YOUT] = ode45'fpendelum',[0; 1],[0; 0]; 8 9 plottout,yout:,1,tout,yout:, 10 11 y = L*sinYOUT:,1; 1 x = L*cosYOUT:,1; 13 14 axis[ 0.0 0.0 0.0 0.0] 15 hold on 16 n = lengthtout; 17 for k=1:n 18 pause0.1 19 plotxk,yk,'*' 0 end 4