ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på varje inlämnat blad. Alla uppgifter ger 5 poäng utom uppgift 4 som ger 7 poäng och uppgift 5 som ger poäng.. Beräkna alla lösningar till ekvationssystemet 2x + y + z = 4 x + y = x 2y z = 2. Här har vi binomekvationen z = 8 (a) Skriv ekvationens båda led på polär form. (b) Beräkna alla ekvationens lösningar (c) Skriv lösningarna på rektangulär form. [ poäng] [ poäng] [ poäng]. (a) Beräkna matrisen för den linjära avbildning som först roterar alla vektorer kring origo med vinkeln π och sedan speglar vektorerna i y-axeln. Matriserna för alla ingående matriser skall redovisas likaså hur den resulterande avbildningens matris beror av deloperationernas matriser. Rita figurer. [4 poäng] (b) Vilken geometrisk operation svarar den resulterande matrisen mot? [ poäng] 4. För matrisen A = (a) Beräkna en bas för matrisens kolonnrum (b) Beräkna en bas för matrisens nollrum (c) Beräkna en bas för matrisens radrum 2 2 2 2 2 4 (d) Beräkna en ortogonal bas för matrisens radrum. [2 poäng] [2 poäng] [ poäng] [2 poäng]
5. Bestäm arean för begränsningsytan till den parallellepiped som radvektorerna till matrisen M spänner upp [ poäng] M = 2 2 2 2 6. Beräkna den räta linje som i minstakvadratmening bäst anpassar sig till punkterna i figur 4 2 2 Figure : Figur till uppgift 6 7. Låt A(t) = 2 5 t 2 t Bestäm parametern t så att matrisen A(t) blir inverterbar. Beräkna inversen för det minsta positiva värde på t som gör matrisen inverterbar. 8. Låt B = 2 (a) Varför är matrisen diagonaliserbar? (b) Beräkna egenvärdena. (c) Beräkna egenvektorerna som hör till egenvärdena. (d) Beräkna en diagonaliserande matris. (e) Vad blir diagonalmatrisen? 2
Svar till tentamen i Linjär algebra, 225.. x y z = 2. (a) Binomekvationen på polär form är t + 2 z e iφ = 8e i(π+2πk (b) Lösningarna blir z = 2e i(π/+k 2π/), k =,, 2 (c) På rektangulär form kan lösningarna skrivas z = 2i, (k = 2), och z = ± i, k =,. Matrisen blir [ som geometriskt är en spegling i x-axeln 4. Se lösningen. 5. 2 84 + 2 8 + 2 66 6. y = 7x/ + 2/5 7. Matrisen är inverterbar bara inte t = eller t = 5. Inversen för t =, som är det minsta postiva värdet som gör matrisen inverterbar, blir: 7 ] 5 5 8. (a) Matrisen är symmetrisk och symmetriska matriser är diagonaliserbara. (b) Egenvärdena blir,, (c) (,, ), (,, ), (, 2, ) (d) En diagonaliserande matris har egenvektorerna som kolonner. Matrisen P = 2 (e) Diagonalmatrisen har egenvärdena på diagonalen och nollor i övrigt Ordningen på egenvärdena måste stämma överens med ordningen av egenvektorerna i den diagonaliserande matrisen P,
Lösningar till tentamen i Linjär algebra, 225.. Ekvationssystemet blir på matrisform som vi direkt radreducerar: 2 4 2 2 Från detta ser vi att z = t är en fri variabel och att vi från rad får x = t + och från rad 2 y = t + 2 så att systemets lösning kan skrivas x y = t + 2 z 2. För att lösa vår binomekvation så skriver vi om den på polär form: z e iφ = 8e iπ+2πk, k Z, där vi angett alla möjliga argument för 8 som blir π + 2πk där k är ett godtyckligt heltal. Denna polära ekvation ger oss nu en ekvation för beloppet och en ekvation för argumentet: z = 8 z = 2, φ = π + 2πk φ = π + 2π k, k Z Eftersom algebrans fundamentalsats säger att vår binomekvation ska ha precis tre lösningar så noterar vi att vi får detta från ovan genom att välja tre på varandra följande värden av k, t.ex. k =,, som då ger oss lösningarna z = 2e i(π/ 2π/) = 2e iπ/ = 2(cos( π/) +i sin( π/) ) = i }{{}}{{} =/2 = /2 z = 2e i(π/) = 2e iπ/ = 2(cos(π/) +i sin(π/) ) = + i }{{}}{{} =/2 = /2 =π {}}{ z = 2e i( π/ + 2π/) = 2, där vi i de högra leden har uttryckt lösningarna på rektangulär form.. Från figur 2 ser vi att vektorn (, ) (i rött) avbildas på sig själv och vektorn (, ) (i blått) avbildas till (, ). Detta ger därför att matrisen för vår avbilgning blir [ ] som är en spegling i x-axeln. Det går också att uttrycka avbildningen mha rotationsmatrisen R π och speglingsmatrisen S y. Då får man att vår avbildning matris ges som produkten S y R π = [ ] [ ]
Figure 2: Figur till problem 4. Börja med att radeliminera matrisen 2 2 2 2 2 4 4 5 Från detta får vi att de två första raderna är en bas för radrummet. Dessa två är dock inte ortogonala så vi måste använda Gram-Schmidts metod för att göra om dem till en ortogonal bas för radrummet. Eftersom de två pivotpositionerna står i kolonn och 2 så är kolonn och 2 i matrisen A en bas för kolonnrummet. Nollrumsbasen bestäms mha de tre fria variablerna x = s, x 4 = t och x 5 = u. Rad och två hjälper oss att uttrycka x och x 2 mha de fria variablerna. Från rad får vi att x = x / x 4 4x 5 / = s t 4u obs!!! att vi sätter s och u är bara för att slippa få bråktal i nollrumsbasen och från rad 2 får vi och därför blir nollrummet x x 2 x x 4 x 5 x 2 = 5x / x 5 / = 5s u = 5 s + t + Slutligen: för att beräkna en ortogonal bas för radrummet kan vi sätta de två nollskillda raderna i ovan till o resptektive b. För att få en basvektor o 2 som är vinkelrät mot o så använder vi oss av Gram-Schmidts metod som i vårt fall innebär att 4 u o 2 = b proj o b = b b o o 2 o = (,, 58,, ) 5 En snabb kontroll visar att denna vektor verkligen är ortogonal mot o. Nu spelar längderna för den ortogonala basen ingen roll så vi kan korrigera vektorerna så att deras komponenter inte har några bråk. Vi kan därför svara med den ortogonala basen {(,,,, 4), (,, 58,, )}, där den första vektorn är o och den andra vektorn är 5 o 2. Det finns naturligtvis oändligt många andra möjliga ortogonala baser för vårt radrum så många olika svar, beroende på hur räkningarna är utförda, är möjliga. 5
5. Om vi kallar våra radvektorer för r, r 2 och r så består begränsningsarean av tre par av areor som vardera kan beräknas mha längderna av kryssprodukterna r r 2 = (2, 4, 8), r r = ( 8, 7, 5) samt r 2 r = ( 4,, 7) Vi får alltså att vår area A ges av A = 2 A + 2 A 2 + 2 A = = 2 r r 2 +2 r }{{} r +2 r }{{} 2 r = }{{} = 4++64= 84 = 64+49+25= 8 = ++49= 66 = 2 84 + 2 8 + 2 66 6. Linjeanpassningen leder till den inkonsistenta matrisekvationen 2 [ ] k 2 = m 2 2 4 För att hitta minstakvadratlösningen så multiplicerar vi båda led med transponatet till matrisen till vänster. Vi får då [ ] [ ] [ ] k 7 = 5 m 2 som ger oss lösningen så att minstakvadratlinjen ges av ekvationen Denna lösning visas i figur : k = 7/ och m = 2/5 y = 7x/ + 2/5 4 2 2 Figure : Lösning till vårt minstakvadratproblem 7. Beräkna matrisens determinant: det A(t) = 2t 2 8t. Nollställena blir och 5 och för dessa värden så har A(t) ingen invers. Det minsta positva värdet på t som gör matrisen inverterbar är t = och för detta värde så räknar vi ut inversen genom att ställa upp den utvidgade matrisen [A() I ] och utföra radreduktion: 2 5 2 6 7 5 5
8. Det karakteristiska polynomet det(a λi) = λ + 4λ 2 λ har nollställena, och och dessa värden är våra egenvärden. För att hitta egenvektorerna så måste vi lösa (A λi)x = för varje egenvärde: λ = :: (A λi)x = blir här: 2 som ger oss egenvektorn (,, ), λ = :: Här får vi: Skriver vi upp lösningarna så får vi egenvektorn (,, ) λ = :: I detta fall blir de utvidgade matriserna 2 2 Denna utvidgade matris ger oss egenvektorn (, 2, ). 2 Genom att ställa upp dessa tre egenvektorer som kolonner i en matris så får vi nu den diagonaliserande matrisen P = 2 När man beräknar matrisprodukten P AP så får man motsvarande diagonalmatris. Diagonalmatrisen är noll förutom längs huvuddiagonalen där egenvärdena står. Och egenvärdena står i den ordning som deras motsvarande egenvektorer står i matrisen P. M.a.o. diagonalmatrisen är D = 7