TENTAMEN HF006 och HF008 TEN 0 dec 0 Anals och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Svante Granqvist Anals och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och anals, HF006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic Betgsgränser: För godkänt krävs 0 av max 4 poäng För betg A, B, C, D, E, Fx krävs, 9, 6, 3, 0 respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betg Fx) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med krss på omslaget ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Dessa uppgifter (och ) behöver du som är godkänd på KS:en inte göra Bestäm nollställena till då (p) Beräkna gränsvärdet (p) cos lim -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 Bestäm den största möjliga omkretsen för en rektangel som är inskriven i en halvcirkel (3p) med radien R Rektangelns ena sida ska placeras längs halvcirkelns diameter Var god VÄND!!
4 Bara en av de följande två funktionerna har någon horisontell tangent i (3p) intervallet 0 Bestäm ekvationen för denna tangent En av funktionerna har inte någon horisontell tangent Varför? sin sin 5 Bestäm samtliga asmptoter till funktionen (3p) 35 6 Lös integralen (3p) 57 4 7 Lös följande separabla differentialekvation (p) ' = ( x + )( + 5) 8 Lös följande differentialekvationer (3p) a) 5 ' + 6 = 0 x b) ' = + 9 Bestäm, för t > 0, strömmen i( i nedanstående LR krets (3p) om L= H, R= 4 Ω och u( = 0e V Vid t=0 gäller följande villkor: i(0) = 0 A Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(
Lösningsförslag till TEN i kursen HF006 och HF008 Skrivningsdatum: 0 dec 0 Bestäm nollställena till då (p) Derivatans nollställe: 0 350 Svar: Derivatan till funktionen f( har ett nollställe: t = 3/5 Rättningsmall: Rät derivata p Allt rätt p Beräkna gränsvärdet (p) cos lim "0" 0 cos lim sin x, lim "0" 0 cos x, lim Svar: / Rättningsmall: Allt rätt p 3 Bestäm den största möjliga omkretsen för en rektangel som är inskriven i en halvcirkel (3p) med radien R Rektangelns ena sida ska placeras längs halvcirkelns diameter
4 Bara en av de följande två funktionerna har någon horisontell tangent i intervallet 0 Bestäm ekvationen för denna tangent (3p) En av funktionerna har inte någon horisontell tangent Varför? sin sin Vi har funktionerna sin och sin För de x-värden där derivatan är lika med noll hittar vi en horisontell tangent till respektive funktion 0 å För detta x-värde får vi Ekvationen för tangenten blir då För den andra funktionen får vi för alla x, dvs d 0 för alla x x
Svar: har en horisontell tangent som har ekvationen tangent eftersom saknar nollställen har ingen horisontell Rättningsmall: Rätt definition på horisontell tangent (f (x)=0 ) = p Rätt x-värde =+ p Rätt ekvation = +p 5 Bestäm samtliga asmptoter till funktionen 3p 35 35 44 4 För stora närmar sig asmptoten 4, vid finns en lodrät asmptot Svar: En sned asmptot =x+4 En lodrät asmptot =x+4 Rättningsmall: p för allt korrekt med den lodräta asmptoten, p för allt korrekt med den sneda asmptoten 6 Lös integralen (3p) 57 4 57 4 57 54 543 54 3 54 3 3 4 3 4 3 4 4 3 Svar: + ln( ) { Alternativa svar: ln(4) eller ln } 4 Rättningsmall: Rätt uppdelning av bråket i konstant och äkta bråk p, rätt partialbråksuppdelning p, allt helt rätt 3p Ok med flera termer med ln( ) i svaret, men ln() kvar i svaret ger p avdrag
7 Lös följande separabla differentialekvation (p) ' = ( x + )( + 5) Från = ( x + )( + 5) har vi d dx d = ( x + ) dx ( + 5) och därför d + 5) x = ( x + ) dx arctan( ) = + x + ( 5 5 C Eller på explicit form 5 5 5 Svar: arctan( 5 ) 5 x = + x + C 5x { Alternativt svar : = 5 tan + 5x + D Rättningsmall: p om en integral är korrekt löst Allt korrekt =p 8 Lös följande differentialekvationer (3p) a) 5 ' + 6 = 0 x b) ' = + a) Den karakteristiska ekvationen r 5r + 6 = 0 har rötterna r och r 3 = = Den allmänna lösningen blir då = C e x + C e 3x Rättningsmall a: Allt korrekt =p
b) Först homogena delen Den karakteristiska ekvationen r r = 0 har rötterna = 3 r och r 4 = Den allmänna lösningen till homogena delen är För en partikulär lösning har vi följande ansats: H = C e 3x + C e 4x = Ax + B A och = 0 som vi substituerar i ' = x + p p = p och får 0 A ( Ax + B) = x + dvs Ax A B = x + Härav A = och A B = Därför A = / och B = ( A) / = 3 44 Alltså p = Ax + B = x 3 44 Nu har vi = H + p = C e x 3x 4x + Ce 3 44 Svar: = C e x 3x 4x + Ce 3 44 Rättningsmall b: p för homogena delen Allt korrekt =p 9 Bestäm, för t > 0, strömmen i( i nedanstående LR krets (3p)
om L= H, R= 4 Ω och u( = 0e V Vid t=0 gäller följande villkor: i(0) = 0 A Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Från kretsen får vi följande diff ekv di( L + R i( = u( (ekv) dt Efter subst L, R och C har vi (ekv ) i ( + 4i( = 0e Först löser vi homogena delen i ( + 4i( = 0 som har den karakteristiska ekvationen: r + 4 = 0 r = 4 som ger i H = ce Ansatsen för en partikulär lösning är i p Ae = i p = Ae som vi substituerar i ( ekv ) och får Ae + 4Ae = 0e Ae = 0e A = 5 Därför i( = i H + i p = Ce + 5e dvs i( = Ce + 5e Villkoret i(0) = 0 ger 0 = C + 5 C = 5 Därför i( = 5e + 5e Svar: i( = 5e + 5e Rättningsmall: a) p för korrekt lösning till homogena ekvationen, p för den partikulära lösningen, allt korrekt = 3p