Övningstentamen i MA00 Tillämpad Matematik II, 7hp Tentamen består av 30 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Hjälpmedel: Penna, radergummi och linjal Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell Övrig text som i en Text Cell Vektorer, dess belopp a, matrer, osv betecknas enligt konventionen i kompendieserien "Något om" För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen Lycka till! Bertil Bestäm längden av 3 (p) Lösningsförslag: Räkna på 3 7,, Längden Låt vektorerna,, 3, 3, 0, och 3,, Del A poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica a 7 b 3 c 3 3 d 3 3 e Inget av a till d Bestäm en enhetsvektor i riktningen (p) Lösningsförslag: Vi söker, där är vektorn enligt receptet i uppgiften Naturligtv är :an onödig att ta med 3, 0, a 3,0, 3,, b, 0, 0 c 3, 0, d,, e Inget av a till d 3 3 Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna respektive Sök ortsvektorn för den punkt P som ligger på sträckan AB fem gånger så långt från A som från B (p) Lösningsförslag: Linjärkombination 6 7 6, 7, 6 6 a 6 3,, b 6, 7, c 6 7,, 3 d 7,, 7 e Inget av a till d 6 Bestäm skalären s så att vektorn s blir vinkelrät mot (p) Lösningsförslag: Vi vet att s s 0, så
Solve s 0 s a Solve s 0 b c d e Inget av a till d Rätt svarsalternativ: b Beräkna vinkeln mellan och positiva z-axeln (p) Lösningsförslag: Vinkeln direkt ur definition på skalärprodukt 0, 0, ArcCos cos a arccos b Π 3 c Π d ArcCos 0,0, e Inget av a till d 6 Bestäm projektionen av på (p) Lösningsförslag: Eftersom vi har gott minne, behöver vi inte härleda formeln,, Rätt svarsalternativ: b a b 3,, c 7 3,, d 3,, e Inget av a till d 7 En kraft har storleken 0 N och verkar i punkten A som har som ortsvektor mot punkten B som har som ortsvektor Bestäm (p) Lösningsförslag: Först en vektor i riktning A mot B AB,, 7 Sedan kraften F F F AB 0 AB ABAB 0, 0 70, Rätt svarsalternativ: a a 0,, 7 b 0 0,, 7 3 c 0,, 7 d 0 7 3 0,, 3 e Inget av a till d 8 Bestäm vektorprodukten (p) Lösningsförslag: Räkna på!, 7, 3 a b, 7, 3 c, 7, 3 d, 7, 3 e Inget av a till d 9 Låt 7 3 6 Beräkna (p) Lösningsförslag: Räkna på! 7 3 6 0 0
9 6 3 Rätt svarsalternativ: e a 3 b 9 8 c 9 8 d 8 3 e Inget av a till d 0 Givet matrerna 3, och 3 Vilken matrmultiplikation är möjlig? (p) Lösningsförslag: Svaret ges efter en kontroll av typerna Bara alternativ b) duger! a b c d e Inget av a till d Rätt svarsalternativ: b Sök en matr så att a 3a a a 3a a (p) Lösningsförslag: Finns inget som kan göra linjärkombinationer av kolonner, däremot av rader a 3 b 0 3 c Finns ej d 0 3 e Inget av a till d Beräkna 3 0 7 0 (p) Lösningsförslag: Räkna på! Utveckla längs tredje kolonnen med många nollor 3 0 0 3 0 68 Det 3 0 7 0 8 Rätt svarsalternativ: a a 8 b 8 c 8 d Determinant 3 0 7 0 e Inget av a till d 3 Låt 0 Bestäm (p) Lösningsförslag: Vi har a b c d Det 0 d b c a, men ad bc 0 här, så är inte inverterbar 0 a 0 b 0 c ej inverterbar d Inv e Inget av a till d Bestäm alla egenvärden till (p) Lösningsförslag: Egenvärdena ges av sekularekvationen sekekv Det Λ 0 0 0 Λ Λ6 0 SolvesekEkv Λ, Λ 3 3
a SolveDet Λ0 b, c, 3 d, 3 e Inget av a till d Bestäm en egenvektor till det minsta egenvärdet till matren i föregående uppgift (p) Lösningsförslag: Egenvektor till Λ; x y x y x y 0 x y 0 Ok, parallella! Så exempelv e, Eigensystem 3,, a, b, c, d, e Inget av a till d Del B poäng med fokus på modellering och Mathematica 60 Sök arbetet som uträttas då en kraft med storleken N i riktning flyttar en låda 30 m i riktning 6 Bestäm (p) Lösningsförslag: Här gäller det att vaska fram kraften på vektorform, som vanligt med de två atomerna,, a b c d e Inget av a till d 7 Bestäm förflyttningsvektorn (p) Lösningsförslag: Här gäller det att vaska fram förflyttningen på vektorform 30 8, 0, Rätt svarsalternativ: e a 30 b 30 c 30 d 30 e Inget av a till d 8 Bestäm arbetet (p) Lösningsförslag: Arbetet med skalärprodukt 0 a b c d e Inget av a till d 9 Sök skärningspunkten mellan planet x 3 y z 0 och den linje som går mellan de två punkter som har respektive som ortsvektorer 9 Bestäm en normal till planet (p) Lösningsförslag: I normalformen avläser vi direkt en normal till planet, 3, eller varför inte gånger en konstant skild från noll, 3,, 6,
a, 3, b, 3, c, 6, d, 3, e Inget av a till d 0 Bestäm ortsvektorn P0 för en punkt i planet (p) Lösningsförslag: Ortsvektor P0 för punkt i planet, exempelv genom att prova 0, y P0,0 får vi P0 0, y, 0 Solve x 3yz 0 x 0, z 0 First 0, 3,0 a, 3, b, 3, c 0,,0 d,, 6 e Inget av a till d 3 Bestäm ortsvektorn L0 för en punkt på linjen (p) Lösningsförslag: Ortsvektor L0 för en punkt på linjen Efersom linjen är definierad av och har vi oändligt med val, exempelv L0 ; L0 ; L0,, a b c d e Inget av a till d Bestäm en riktningsvektor för linjen (p) Lösningsförslag: Vi har även oändligt med alternativ för linjens riktningsvektor, exempelv ; ;,, 7 a b c d e Inget av a till d 3 Bestäm det t som bestämmer skärningspunkten och spara den som regel i te (p) Lösningsförslag: Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet Så linjens ekvation L0 t insatt i planets ekvation P0 0 bestämmer t te Solve L0 t P0 0 First t a te Solve P0 t L0 0 b te Solve P0 t L0 0 c te Solve P0 L0 t 0 d te Solve P0 L0 t 0 e Inget av a till d Bestäm skärningspunkten (p) Lösningsförslag: Slutligen den sökta skärningspunkten genom att vandra t steg med steget från L0 L0 t te 8, 3, 8 8 a t L0 te b L0 t t te c L0 t te d L0 t t te e Inget av a till d
6 En fondplacerare delar upp 000 kr i tre poster, och, varav de två första tillsammans är tre gånger så stor som den tredje Dessa poster placeras sedan i olika värdepapper där den årliga avkastningen är %, % respektive 0% Totala avkastningen vid årets slut är 00 kr Formulera ekvationssystemet ekv som bestämmer posternas storlek (p) Lösningsförslag: En stunds funderande ger följande ekvationssystem a b c ekv ekv ekv ekv 3 3 0 0 3 0 3 d ekv 3 0 e Inget av a till d 0 000 0 00 ; 000 0 00 000 0 00 000 0 00 000 0 00 6 Lös ekv med lämplig funktion i Mathematica Spara lösningen på regelform i poster (p) Lösningsförslag: Lämplig funktion är naturligtv Solve, lösningen sparas på regelform i poster poster Solveekv 60, 00, 6 0 a poster Solvekv b poster Solveekv c poster Solveekv d Solveekv poster e Inget av a till d 730 Anpassa y kx m med (MKM) till mätvärdena x 0 y 7 Ange i det överbestämda ekvationssystemet k m (p) Lösningsförslag: Mätpunkterna möblerar och i det överbestämda ekvationssystemet k m för de sökta parametrarna k och m, där, 0 0,,, 0 Rätt svarsalternativ: b a 0 b 0 c 0 d 0 e Inget av a till d 6
8 Ange normalekvationerna till det överbestämda ekvationssystemet k m (p) Lösningsförslag: Normalekvationerna k m får vi genom att förmultiplicera båda sidor i det överbestämda ekvationssystemet k m med transponatet till, det vill säga k, m k,3m, Rätt svarsalternativ: e a k m b k m c k, m d k, m e Inget av a till d 9 Bestäm k och m med lämplig funktion i Mathematica (p) Lösningsförslag: Naturligtv är det Solve som är lämplig (som vanligt) I detta fall blir det en enkel match att lösa eftersom ekvationerna tydligen är okopplade, så slutligen det efterlängtade kåm Solvek, m k, m 3 Men, menbland alternativen är det Fit som är rätt och snabbaste vägen då vi har linjär (MKM)! Fit 0, x,, x x 0333333 a Solve k, m b Fit 0, x,, x Rätt svarsalternativ: b c Minimize 0, x,, x d Fit 0, x, x e Inget av a till d 30 Antag att k och m är sparade som regler i kåm Rita modellen där även mätpunkterna är markerade Pynta! (p) Lösningsförslag: En bild piggar alltid upp Plotk x m kåm, x,,, PlotRange,, PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize003, Red, Point 0 y 0 0 0 0 0 0 x 0 0 Rätt svarsalternativ: e 7
a PlotkÅm, x,,, PlotRange,, PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize003, Red, Point 0 b Plotk x m kåm, x,,, PlotRange,, PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize003, Red, Point 0 c Plotk x m: kåm, x,,, Range,, PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize003, Red, Point 0 d Plotk x m kåm,,, PlotRange,, PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize003, Red, Point 0 e Inget av a till d 8