Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade!

Relevanta dokument
= 0 genom att införa de nya

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

x 1 1/ maximum

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Kontrollskrivning 1A

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

SF1625 Envariabelanalys

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

6. Samband mellan derivata och monotonitet

SF1625 Envariabelanalys

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Lösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.

SF1625 Envariabelanalys

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

Planering för Matematik kurs D

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 4 juni 2008 Tid:

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

Tentamen i Envariabelanalys 1

Lösningsskisser för TATA

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösning till kontrollskrivning 1A

Checklista för funktionsundersökning

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tips : Vertikala asymptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter.

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus. Matematik 1. Maplelaboration 2.

Kap Generaliserade multipelintegraler.

Uppgift 1. (3p) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( x) c) Bestäm inversen till funktionen h ( x)

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 13 jan 2014

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

Svar till tentan

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

R AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Transkript:

MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Annemarie Luger Lösningsförslag Anals, problemlösning, 7.5 hp Matematik I den 5 februari 4 Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade!. Undersök lokala extremvärden och asmptoter till funktionen f(x) = arctan x x Skissera grafen. Konvexitetsegenskaper behöver ej utredas. x ±. OBS: Lösningsförslag för uppgift innehåller även lite generella förklaringar utöver vad som krävs för redovisningen av själva uppgiften! Vi följer stegen som behöver genomföras i samband med kurvritning:. efinitionsmängd, punkter där funktionen är ej deriverbar, samt eventuellt smmetriegenskaper f är definierad och deriverbar för x ±. efinitionsmängden består alltså av unionen av tre öppna intervall: ], [ ], [ ], [ - Vi kan också konstatera att f är en jämn funktion, eftersom f( x) = f(x).. erivera och faktorisera derivatan så långt det går erivatan blir: f (x) = x(x ) x x (x ) x ( ) x = (x ) + x 4 + x. Teckenschema I teckenschemat tas med alla punkter där derivatan kan bta tecken (dvs punkter där derivatan inte är definierad samt derivatans nollställen). Här är det alltså: x = ± (derivatan ej definierad) och x = (derivatans nollställe). Teckenschemat ger: x + + + (x ) + x 4 + + + + + + + f + + f Här ser vi direkt att x = är en lokal maximipunkt.

3. Undersök funktionens beteende på randen av definitionsmängden etta innebär beräkningar av gränsvärden samt eventuella asmptoter. För den aktuella funktionen är definitionsmängden - är det alltså 6 gränsvärden, nämligen x ±, x ± samt x ±. f(x) = arctan x + x + = arctan = π 4, x f(x) = arctan x x + + x + + (x )(x + ) = π, x + f(x) = arctan x + x (x )(x + ) = π, t arctan är kontinuerlig och x då x + t x + och x > och därmed x + x+ (x )(x+) då x + + samt arctan t π då t + t x och x > och därmed x x+ (x )(x+) då x + samt arctan t π då t e resterande gränsvärdena kan beräknas på samma sätt, eller man använder att f är jämn. Man får x f(x) = π 4 x + f(x) = π x f(x) = π Asmptoter: inga lodräta asmptoter, t de ensidiga gränsvärdena reella tal). vågrät asmptot: = π 4 då ±. f(x) finns (som x ± ± Kommentar: Sneda asmptoter behöver inte undersökas t f(x) finns. x ± et kan vara bra att komplettera teckenschemat med informationen som vi har fått nu: x + + + (x ) + x 4 + + + + + + + f + + f π π 4 π π π π 4

4. Rita grafen utifrån beräkningarna Π Π 4 Π 5. Svar: Lokal maximivärde = i maximipunkten x =. asmptot = π 4 då ±. Beräkna dubbelintegralen där är området {(x, ) : x + 3, }. x + + dxd Integrationsområdet är en halvcirkelskiva. En möjlighet är att införa polära koordinater, men man kan även beräkna integralen som itererad integral. Variant : Vi inför polära koordinater: x = r cos ϕ, = r sin ϕ. Området kan då beskrivas som: r 3 och ϕ π och därmed blir integralen x + + dxd = Variant : 3 π r sin ϕ r r dϕdr =... = + 3 ( ) π dr r + Vi beräkna integralen som en itererad integral och utnttja smmetrin: sin ϕdϕ = ( 3 π 3 ) Variant 3: x + + dxd = = 3 3 3 x x + + ddx = ln 4 ln(x +)dx = 3 ln 4 x ln(x +) Igen som itererad integral men nu i den andra ordningen: x + + dxd = 3 = 3 3 x + + dxd = + arctan 3 + d = 3 3 3 = + 3 ln(x + + ) 3 3 x = dx x x x + dx =... = ( 3 π 3 ) + arctan t + arctan 3 t t + dt = x + 3 x= d

3 = 3 = + arctan 3 + d = + arctan 3 + d = =... = ( 3 π 3 ) en sista integralen kan beräknas med hjälp av partiell integration. 3. Lös differentialekvationen 3 3 (x ) = 6(x ) x e x3, () =. 3 t arctan dt =.. = t + t + 3 t arctan t + t + dt = et handlar om en linjär första ordnings differentialekvation, som kan lösas med hjälp av en integrerande faktor. Ekvation kan skrivas som och därmed är e ln x = x vilket ger Begnnelsevillkoret leder till C =. Svar: = (x )(e x3 ) 4. (a) x = 6(x )x e x 3 en integrerande faktor. Vi får ( x ) = 6x e x 3 x = 3 ex + C. ( xe x5 x (x sin x)(x arctan x) = x + x 5 + O(x ) ) x ( x (x x 3 3! + O(x5 )) )( x (x x3 3 + O(x5 )) ) =... = (b) = + O(x 5 ) ( 6 + O(x ) )( 3 + ) 8 då x. O(x ) ( ) ( n ( n + =... = + ) n ) ( + ) e n n n då n Svar: (a) 8 (b) e 5. Lös differentialekvationen 5 p f x + x f = x, f(, ) = e t.ex. genom att införa de na variablerna s = x och t = x. Med beteckningen f(s, t) = f(x(s, t), (s, t)) får vi med hjälp av kedjeregeln f x = f s + f t ( x) f = f s + f t

och därmed blir differentialekvationen som har lösningen f s = s f(s, t) = s + h(t) med en godtcklig funktion h. etta ger den allmänna lösningen och därmed f(, ) = h() = e. Svar: f(x, ) = x + e x. 6. Betrakta funktionen f(x, ) = x + h( x ) p(x) = x 3 3x +. (a) Bestäm (eventuella) största och minsta värde till p i intervallet [, 3]. (b) Bestäm (eventuella) största och minsta värde till p i intervallet ], 3[. (c) Bestäm följande mängd M = {t R; < p(t) < }. Vi börjar med att skaffa oss en uppfattning om funktionens beteende genom att derivera p och upprätta teckenschemat: erivatan blir: p (x) = 3x 6x = 3x(x ) Teckenschemat ger: x + + + x + p + + p 3 Vi beräkna även p() = och p(3) =. därmed får vi följande bild 3 (a) en kontinuerliga funktionen p antar både största och minsta värde på det slutna och begränsade intervallet [, 3]. Från grafen ser vi 3

att största värde av p är p(3) = och minsta värde är p() = 3. (b) Igen från grafen ser vi att på det öppna intervallet ], 3[ 3 antars minsta värde (är p() = 3 men inte största värde). (c) Vi kan antingen lösa olikheten < p(t) < dvs < t 3 3t + <. Eller så kan vi igen titta på grafen 3 3 3 Linjen = skär grafen i två punkter, nämligen (, ) och (3, ). För att hitta även skärningspunkterna mellan = och grafen löser man ekvationen t 3 3t + = vilket ger t = och t,3 = ± 3. ärmed får vi 3 < t < eller + 3 < t < 3 men t. Svar: (a) största värde:, minsta värde: 3 (b) största värde: finns ej, minsta värde: 3 (c) ] 3, [ ], [ ] + 3, 3[.