LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas vara ortonormerade och positivt orienterande, om inte annat anges.. Bestäm för varje tal a antalet lösningar till ekvationssystemet ax + y + 4z = a x + y + a z =. x + y + az = Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.. a Beräkna volymen av tetraedern med hörn i punkterna P :,,, P :,,, P :,, och P 3 :,,..3 b Ange en ekvation på affin form för planet genom punkterna P, P och P..3 c Beräkna minsta avståndet mellan planet i b och punkten P 3 detta är en av höjderna i tetraedern..4 3. På denna uppgift skall endast svar ges. Avgör vilka av påståendena a e nedan som är sanna respektive falska. Alla matriser i denna uppgift är kvadratiska. a ABC = C B A.. b AB T = A T B T.. c deta = deta för alla inverterbara matriser A.. d Om en matris A har linjärt beroende kolonner så är deta =.. e Avbildningsmatrisen för den linjära avbildning F : R R som innebär rotation vinkeln π radianer moturs kring O är.. VÄND!
4. a Bestäm alla egenvärden och egenvektorer till A =..3 b Ge en geometrisk tolkning av den linjära avbildning F : R 3 R 3 vars avbildningsmatris är A ovan.. c Låt λ =, λ = vara egenvärden och X =, X = motsvarande egenvektorer till en -matris B. Beräkna BX och B X för X =..5 5. a Låt π vara planet med ekvation x y z =, och låt F : R 3 R 3 vara ortogonal projektion på π. Bestäm avbildningsmatrisen A för F..5 b Bestäm rangen av matrisen A i a.. c Låt U vara en n -matris sådan att U T U =. Låt vidare P = UU T och Q = I P. Beräkna Q..3 6. a Låt Q =. Beräkna X T x QX där X =.. x x b Låt X =. Bestäm en symmetrisk -matris Q och ett tal d så att x ellipsen 3x x x + 3x = 48 kan skrivas på formen X T QX = d..3 c Ange ett basbyte sådant att ellipsen i b i de nya koordinaterna kan skrivas utan blandad term, dvs. på formen aˆx + bˆx = c..5 LYCKA TILL & GOD JUL!
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR Linjär algebra 8 kl 4 9. Svar: Systemet har entydig lösning om a, a. Då a = har systemet oändligt många lösningar på formen x, y, z = 3t,t, t, t R. Då a = har systemet oändligt många lösningar på formen x, y, z = t, t,, t R. Lösning: Ekvationssystemet är inhomogent. När deta = har ekvationssystemet ingen eller oändligt många lösningar. När deta finns det entydigt bestämd lösning. Om a = deta = a 4 a a x + y + 4z = x + y + z = x + y + z = = a + 3a = a a =... x + y + 4z = y z = = Systemet har oändligt många lösningar på formen x, y, z = 3t,t, t när t R. Om a = x + y + 4z = x + y = x + y + z =... x + y + 4z = 4z = 7z = Systemet har oändligt många lösningar på formen x, y, z = t, t, när t R.. a Vi beräknar vektorerna P P =,,, P P =,, och P P 3 =,,. Vi bildar matrisen A med dessa tre vektorer som kolonner och beräknar det A = =. volymen av parallellogrammen Volymen av tetraedern = 6 = 6 det A = 6. b Vi beräknar normalen till planet: n = P P P P =,,. Planet ekvation måste vara x y + z = d. Vi stoppar in punkten P =,, som ligger i planet i ekvationen och får d =. Alltså är planets ekvation x y + z =. c Vi projicerar P P 3 på normalen,,,,, + +,, = 6,,. Längden av denna vektor är 6 + + = 6/6 = / 6, vilket är svaret på uppgiften. 3. a ABC = C B A SANT b AB T = A T B T. FALSKT Rätt formel är AB T = B T A T c deta = deta. FALSKT. Rätt formel är deta = deta T eller deta = det A d matris A med linjärt beroende kolonner måste ha deta = e FALSKT Rätt matris är SANT
4. a Alla egenvärdena ligger i diagonalen: λ =,λ =,λ 3 =. När λ = får vi systemet x y z = Egenvektorerna är x, y, z = t,, med t R, t. När λ = λ 3 = får vi x y = z Lösningarna måste uppfylla z = med x och y fria. Egenvektorerna är alltså x, y, z = s, t,,,, s, t R, vilket är alla vektorer i xy-planet z =. b Geometrisk tolkning: Matrisen A beskriver en projektion längs riktningen,, på xy-planet. Varje vektor i rummet kan nämligen skrivas som v = v +v, där komponenten v är parallell med,, och v ligger i xy-planet. Då är Av = λ v = och Av = λ v = v, dvs v ligger kvar oförändrad i xy-planet. Alltså är Av = Av +v = Av + Av = v. c Vi har att S BS = D. Alltså B = SDS när S =, D =. Beräkning ger S = För x =, vi har att Bx =, och B x = SD S x =,. 3 4. Alltså B = 3 5. a Svar: Se nedan Lösning. Den sökte avbildningsmatrisen ges av formeln A = I P där P betecknar avbildningsmatrisen för den ortogonala projektionen på planets normalriktning N = [ ] T som avläses ur planets ekvation på affin form. P = N N T N T N = =. 3. Det följer att A = =. 3 3 b Svar. Vi har ranga =. Lösning. Geometriskt är svaret uppenbart: värdemängden för den linjära avbildningen som är ortogonal projektion på ett plan är samma som planet själv. Avbildningsmatrisens rang är enligt definition samma som värdemängdens dimension, som i detta fallet är planets dimension, alltså två. Alternativt kan man beräkna rangen
av A algebraisk genom att bestämma en radekvivalent matris på echelonform med hjälp av Gausselimination: 3 3 3 3, 3 3 där symbolen betyder att två matriser är radekvivalenta. Två radekvivalenta matriser har samma rang. Den sista matrisen har rang två eftersom att den har två nollskilda pivotelement. Detta leder till svaret ovan. c Svar. Q = I. Lösning. Vi börja med att beräkna kvadraten på Q: Q = I P = I PI P = I 4P + 4P. Vi har att P = UU T samt U T U =. Därför blir P = UU T UU T = UU T UU T = UU T = P. Det följer nu av den första beräkningen att Q = I. x 6. a Vi har att Q = och x =. En enkel beräkning leder nu till svaret: x x T Qx = x x x + x x x = = x x x x + x + x x + x. 3 b Svar. Q = och d = 48. 3 Lösning. Med Q och d som i svaret är det lätt att verifiera att ekvationen 3x x x + 3x = 48 kan skrivas på formen xt Qx = d. c Svar. Med avseende på den ortonormerade basen ê =,, ê =, kan ellipsen i b skrivas på formen ˆx + ˆx = 4. Lösningen är inte entydigt bestämd och andra svar kan förekomma. Lösning. Från b vet vi att ellipsen ges av ekvationen x T Qx = 48. Eftersom att Q är symmetrisk kan den diagonaliseras med hjälp av en ortogonal basbytes-matris S, sådan att Q = SDS T d där D = är en diagonalmatris. Det följer härav att d 48 = x T Qx = x T SDS T x = ˆxD ˆx = d ˆx + d ˆx, som inte innehåller blandade termer. Ovan betecknar ˆx = S T x koordinaterna i den nya basen. Det återstår att bestämma S och D. Det är lätt att se att vektorerna ê =, och ê =, är egenvektorer till Q tillhörande egenvärdena λ = respektiva λ = 4. Dessa egenvektorer är ortogonala och valts så att de har längd ett. Därför kan vi välja, S = [ ê ê ] = och D =, 4 där basbytesmatrisen S är ortogonal med vektorerna i den nya ortonormerade basen som kolonner och D är diagonal med egenvärdena som diagonalelement. Det följer nu av beräkningen ovan att ellipsen ges av ekvationen ˆx + 4 ˆx = 48, som i svaret. GOD JUL!