Om vektorfält och flöden

Analys 360 En Webbaserad Analyskurs Differentialtopologi Om vektorfält och flöden på mångfalder Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

Om vektorfält och flöden på mångfalder 1 (14) 1 Introduktion Att känna till vilka typer av vektorfält som förekommer på en mångfald kan ge oss en hel del information om mångfaldens topologi. I detta kapitel ska vi diskutera några aspekter av detta. Bland annat ska vi se varför man inte kan kamma en sfär utan att det blir en virvel någonstans. För detta måste vi dock först klargöra vad ett glatt vektorfält är och deras relation till flöden. Vi gör detta först för undermångfalder till R n, som ibland kallar konkreta mångfalder, och då diskuterar vi också nollställen till vektorfält och deras index. Vi avslutar sedan kapitlet med ett appendix i vilket vi diskuterar hur vektorfält definieras för abstrakta mångfalder. Principen är densamma, men vi har inte tillgång till det omgivande rummet och dess skalärprodukt, vilket komplicerar situationen en del. 2 Vektorfält på konkreta mångfalder Vi kan tänka på ett vektorfält som vindar på en mångfald. I varje punkt x på en konkret mångfald M har vi en vektor v(x) som anger vindriktning och vindstyrka och som är en vektor i motsvarande tangentrum T x M. Men en tangentvektor är hastighetsvektorn ċ(0) för ett kurvstycke γ = {c(t); t ( ɛ, ɛ)} genom x = c(0). Om ψ(u) är en parametrisering av en omgivning kring x har varje sådan kurva c(t) på M en urbild u(t) i R k sådan att u(0) = ψ 1 (x). Villkoret c(t) = ψ(u(t)) medför att ċ(t) = dψ(x)[ u(0)], så vi ser att v R n är en tangentvektor till M i punkten x om och endast om v kan skrivas som en linjärkombination av 1 ψ(p),..., k ψ(p) med x = ψ(p). Alltså T x M = dψ(p)[r k ]. Speciellt ser vi att det är ett k-dimensionellt vektorrum 1 och vi brukar visualisera det genom att parallellförflytta det till punkten x (och det blir därmed ett affint rum). Att detta rum inte beror av valet av parametrisering följer av att varje annan parametrisering kan skrivas ψ φ där φ är en lokal diffeomorfism i R k. För att kunna precisera vad vi menar med att ett vektorfält är glatt, behöver vi sätta ihop de olika tangentrummen till en mångfald T M så att vi kan uppfatta ett vektorfält som en glatt avbildning mellan M och T M. Betrakta först en glatt yta M i rummet, såsom enhetssfären. Till varje punkt x M finns då tangentplanet T x M, och om vi varierar även x, får vi en mängd T M, kallad tangentknippet till M, som består av alla par (x, v) M R 3 där x M, v T x M. T M är därför en delmängd av den 5-dimensionella mångfalden M R 3 och bör vara en 4-dimensionell mångfald. Vi kan uppfatta T M som att vi har familj vektorrum T x M som varierar med en parameter x. De varierar dessutom kontinuerligt (och även glatt) med x, vilket vi inser geometriskt genom att betrakta tangentrummen T x M och T y M för två närliggande punkter x, y. Vi kan då ortogonalt projicera punkter i T y M på punkter på T x M, med vara hjälp vi får en bijektiv och linjär avbildning av T y M på T x M. Men en sådan avbildning är glatt, så vi ser att T x M varierar glatt med x. Vi har alltså att T M är en glatt undermångfald till R 6. Hur ser vi då att T M är 4-dimensionell? T M är glatt därför att om x M ligger på ystycket Σ = {ψ(t); t ω}, så gäller att T x M = dψ(t)[r 2 ] där x = ψ(t), vilket betyder

Om vektorfält och flöden på mångfalder 2 (14) att vi har en avbildning Ψ : {(x, v) T M; x U, v T x M} ω R 2 där Ψ(x, v) = (ψ 1 (x), dψ(ψ 1 (x))[v]), som är en diffeomorfism, varför vi ser att vi lokalt kan identifiera en bit av T M med den 4-dimensionella mångfalden ω R 2. Men denna konstruktion generaliseras direkt till godtyckliga undermångfalder till R n. Vi börjar med att definiera mängden tangentknippet T M som unionen av alla tangentrum T M = T x M = {(x, v) M R n ; v T x M} x M och projektionsavbildningen π : T M M genom π(x, v) = x. Vi definierar sedan topologin på T M med hjälp av mängderna π 1 (U) där U är kartområden i M. Mer precist, om (U, φ) är en karta på M, så definierar vi Φ : π 1 (U) U R k som inversen till U R k (x, v) φ(x) + dφ(x)[v]) π 1 (U). En atlas på T M får man då genom kartorna (π 1 (U), Φ), vars övergångsfunktionerna blir (Φ Ψ 1 )(x, v) = Φ(ψ(x) + dψ(x)[v]) = ((φ 1 ψ)(x), d(φ 1 ψ)(x)[v]). Det följer att om M är en C k mångfald, så är T M en C k 1 -mångfald. Om därför M är en glatt mångfald så blir T M också en glatt mångfald. Om det gäller att vi inte bara lokalt, utan även globalt att det finns en diffeomorfism mellan T M och M R k, så sägs tangentknippet vara trivialt. Att T M är trivialt betyder precis att det finns k stycken (globalt definierade) vektorfält v 1,..., v k som är linjärt oberoende i varje punkt på M. Om så är fallet kan vi genom (x, u) (x, i u iv i (x)) identifiera T M med M R k. En mångfald M för vilken T M är trivialt sägs vara parallelliserbar Exempel 1 På S 1 R 2 har vi vektorfältet (x, y) ( y, x) som aldrig är noll. Alltså är T S 1 = S 1 R. På S 3 R 4 har vi på motsvarande sätt de tre vektorfälten v 1 (x) = ( x 2, x 1, x 4, x 3 ), v 2 (x) = ( x 3, x 4, x 1, x 2 ), v 3 (x) = ( x 4, x 3, x 2, x 1 ), vilka aldrig är linjärt beroende på S 3. Alltså är T S 3 = S 3 R 3. Däremot gäller att t.ex. S 2 inte är parallelliserbart, vilket vi ska se senare i detta kapitel.

Om vektorfält och flöden på mångfalder 3 (14) Om f : M N är en diffeomorfism mellan två glatta mångfalder kan man transportera vektorfält på M till N och tvärtom med hjälp av f. Om t.ex. w är ett vektorfält på N så kan det dras tillbaka till ett vektorfält v = f w på M genom (f w)(x) = df 1 (f(x))[w(x)]. Har vi istället ett vektorfält v på M, kan vi förflytta det till ett vektorfält w på N genom att använda f 1. Vi betecknar denna avbildning f v = (f 1 ) v, vilken explicit ges av (f v)(f(x)) = df(x)[v(x)]. Anmärkning Ett vektorfält flyttas alltså fram från M till N av f. Man säger att f opererar kovariant på vektorfält, medan f, som flyttar vektorfält från N till M, opererar kontravariant. Ett vektorfält är mer än en samling vektorer, det är en specifikation för rörelse. När vi tittar på ett vektorfält så är det ofta lätt att identifiera vägar som vektorerna är tangentriktningar till; en partikel som flyter med en strömning på mångfalden rör sig längs en väg som hela tiden är tangentiellt till vektorfältet. Det betyder att det finns en tydlig relation mellan ett vektorfält på M och ett flöde på M. Vi påminner om definitionerna 2. En glatt avbildning sådan att Φ : R M M (1) Φ(0, x) = x och Φ(t + s, x) = Φ(t, Φ(s, x)) kallas ett dynamiskt system, eller flöde, på M. Vi ser direkt att för flödet gäller att Φ(t, Φ( t, x)) = x, vilket betyder att avbildningarna Φ t : M M definierade av Φ t (x) = Φ(t, x), är diffeomorfismer på M med invers Φ 1 t = Φ t. Man refererar till {Φ t } som flödets enparametriska grupp. Definitionen innebär att vägarna t Φ(t, x) för alla x är globalt definierade, och eftersom det inte alltid är fallet inför vi också begreppet ett lokalt flöde, i vilket fall det finns en öppen mängd A R M som omfattar 0 M A sådan att Φ : A M är sådan att den uppfyller (1) när de ingående storheterna är definierade. Relationen mellan vektorfält på M och (lokala) flöden är att om v är ett vektorfält så definieras c(t) = Φ(t, p) som lösningen till ċ(t) = v(c(t)), c(0) = p. Omvänt, om vi har ett flöde så definieras vektorfältet genom v(x) = t Φ(0, x). Följande sats följer nu ur teorin för ordinära differentialekvationer. Sats 1 Varje vektorfält på M är infinitesimal generator till något maximalt definierat lokalt flöde. Om M är kompakt är detta ett globalt flöde. Det vi behöver för att genomföra stegen i beviset för denna sats är att översätta relationen mellan flöden och vektorfält från en mångfald till R n. Vi sammanfattar den nödvändiga observationen i nedanstående lemma, men lämnar resten av beviset för satsen till läsaren.

Om vektorfält och flöden på mångfalder 4 (14) Lemma 1 Låt h : M N vara en diffeomorfism och Φ ett flöde på M med infinitesimal generator v. Då gäller att h v är infinitesimal generator till flödet Ψ t = h Φ t h 1 på N. Bevis. För y N gäller att t Φ t (h 1 (y)) är en kurva som genereras av v(h 1 (y)), så kurvan t (h Φ t )(h 1 (y)) genereras av (dh)(h 1 (y))(v(h 1 (y))) = h v(y). 3 Kommutatorn av två vektorfält Låt som vanligt M vara en undermångfald till R n. Om T M är trivialt, så blir ett vektorfält en avbildning x (x, ξ(x)) av M på M R k. Här är alltså ξ en avbildning från M till R n, och dess differential definierar då en avbildning T ξ : T M T R n = R n R n sådan att T ξ(x, v) = (ξ(x), dξ(x)[v]). Under dessa förutsättningar kan vi definiera kommutatorn av två vektorfält genom [ξ, η](x) = dξ(x)[η(x)] dη(x)[ξ(x)]. Detta blir ett nytt vektorfält på M. Explicit har vi att [ξ, η](x) = i (η i (x) i ξ(x) ξ i (x) i η(x)). Om T M inte är trivialt är motsvarande definition lite mer komplicerad, eftersom vi endast kan göra definitionen ovan lokalt, och måste kontrollera att den fungerar också när vi byter kartblad. Vi ska därför definiera kommutatorn på en allmän mångfald genom att först införa en alternativ karakterisering av vad vi menar med vektorfält på en mångfald. Ett alternativt sätt att beskriva vektorer i x R n är genom att ge riktningsderivatorna i dess riktning av olika reellvärda funktioner, d.v.s. en vektor v definierar i en punkt x en avbildning X : C (R n ) f df(x)[v]. Denna är en linjär avbildning som uppfyller Leibniz produktregel för derivation: (2) X(f + g) = X(f) + X(g), X(fg) = g(x)x(f) + f(x)x(g). Men här gäller omvändningen också, nämligen att varje avbildning C (Ω) R som uppfyller dessa villkor kan skrivas X(f) = df(x)[v] för någon vektor v R n. En linjär avbildning C (R n ) R som uppfyller (2) kallas en derivation i punkten x. För att se omvändningen här, antar vi att x = 0 för att förenkla beteckningarna. Ur Leibniz regel följer att ett X som uppfyller (2) måste uppfylla X(1) = 2X(1), och alltså X(1) = 0. Eftersom f är differentierbar i origo gäller vidare att n f(x) = f(0) + x i f i (x), där f i (0) = i f(0). Men då följer ur (2) att i=1 X(f) = X(f(0)) + i (X(x i )f i (0) + 0 X(f i )) = i X(x i ) i f(0). Men v = (X(x 1 ),..., X(x n )),så vi har att X(f) = df(0)[v], vilket visar påståendet.

Om vektorfält och flöden på mångfalder 5 (14) Anmärkning Egentligen behöver funktionerna vi beräknar X på endast vara definierade i en omgivning av punkten x. Denna observation leder till en lite alternativ definition, som bygger på ett begrepp groddar, vilka är ekvivalensklasser av funktioner definierade i någon omgivning av en punkt. Vi antar istället att om vi har en funktion som är lokalt definierad i en omgivning av x, så kan vi utvidga den till hela M på något sätt. Hur spelar ingen roll. Med hjälp av denna alternativa beskrivning av tangentvektorer kan vi nu definiera kommutatorn av två vektorfält även när T M inte är trivialt. Vi uppfattar alltså ett vektorfältsom en avbildning X : C (M) R sådan att (2) gäller i varje punkt på M. En sådan avbildning kallas en derivation på M och vi har sett att en sådan lokalt kan skrivas på formen k X(f) = df(x)[ξ(x)] = ξ i (x) i f(x). Med derivationsbeskrivningen av ett vektorfält kan vi betrakta upprepad derivation där vi första applicerar en tangentvektor Y och sedan en tangentvektor X: i=1 X(Y (f)) = X( k η i (x) i f(x)) = 1 k (X(η i ) i f(x) + η i (x)x( i f)) 1 = k k ( (ξ j (x) j η i (x) i f(x) + η i (x)ξ j (x) ijf(x)). 2 1 1 Eftersom här ingår andra-derivator av f definierar detta ingen derivation, däremot gäller att k k X(Y (f)) Y (X(f)) = ( ξ j (x) j η i (x) η j (x) j ξ i (x)) i f(x) i=1 j=1 blir en derivation på M och jämför vi med formeln ovan ser vi att denna definierar kommutatorn av vektorfälten ξ, η. Anmärkning Av diskussionen ovan är det naturligt att lokalt skriva ett vektorfält som ξ(x) = n i=1 ξ i (x) x i = n ξ i (x) i, i=1 och då uppfatta vektorfälten i = / x i, i = 1,..., n som en lokal bas på T M. Anmärkning Om h : M N är differentierbar så har vi ovan definierat avbildningen h som avbildar vektorfält på M på vektorfält på N genom (h v)(h(x)) = dh(x)[v(x)]. Med hjälp av operatorformalismen kan den alternativt skrivas h (X)(f) = X(f h). För kommutatorn av två vektorfält gäller två viktiga räkneregler. Först att den är skevsymmetrisk: (3) [ξ, η] = [η, ξ],

Om vektorfält och flöden på mångfalder 6 (14) och sedan Jacobis identitet (4) [ξ, [η, ζ]] + [ζ, [ξ, η]] + [η, [ζ, ξ]] = 0. De räkningar som krävs för att visa dessa identiteter överlämnas åt läsaren. Notera att Jacobis identitet är en cyklisk summa: vi roterar (ξ, η, ζ) ett steg per term. Vi säger att två vektorfält kommuterar om [ξ, η] = 0. Att basfälten 1,..., n kommuterar svarar mot att derivationsordning inte spelar någon roll för andraderivator. Det finns en omvändning till detta: om ξ 1,..., ξ n är linjärt oberoende vektorfält sådana att de alla parvis kommuterar, så gäller att man kan välja koordinater x 1,..., x n så att ξ i = i. Vi har också en geometrisk tolkning av kommutatorn. Låt Φ t vara flödet till ξ och Ψ t flödet till η. Fixera en punkt x och följ först ξ:s flödet tiden h och därefter η:s samma tid. Börja sedan om och gör det i den andra ordningen. Skillnaden i slutpunkt ges då av Ψ h (Φ h (x)) Φ h (Ψ h (x)). Ψ h (x) h 2 [ξ, η] Φ h (Ψ h (x)) Ψ h (Φ h (x)) Men vi har att x så Ψ h (x + k) Ψ 0 (x + k) + h Ψ 0 (x + k) = x + k + hη(x + k) = x + k + hη(x) + hdη(x)(k), Φ h (x) Ψ h (Φ h (x)) Ψ h (x + hξ(x)) x + hξ(x) + hη(x) + h 2 dη(ξ), Skillnaden i slutpunkt blir därför Ψ h (Φ h (x)) Φ h (Ψ h (x)) = h 2 [ξ, η](x) + O(h 3 ). Kommutatorn mäter alltså hur mycket en infinitesimalt liten rektangel, vars sidor utgörs av flödeslinjer, misslyckas med att sluta sig själv. En konsekvens av detta är följande viktiga observation: flödena Φ t och Ψ t till de två vektorfälten ξ respektive η kommuterar (dvs Φ t Ψ s = Ψ s Φ t ) om och endast om [ξ, η] = 0. Vi kan därför använda dessa flöden som ett (rörligt) koordinatsystem precis då vektorfälten kommuterar. 4 Nollställen till vektorfält och deras index Vi ska nu addressera en följa som vi kan formulera på följande sätt: I vilken grad kan formen på en mångfald reducera vilken typ av vektorfält som kan definieras på den? Vi ska se att den geometriska strukturen på en mångfald kan leda till att vektorfält inte kan se ut hur som helst. T.ex. kan det inte finnas något vektorfält på en sfär som inte har något nollställe. Vi kommer att fokusera diskussionen på fall vi kan visualisera, men diskussionen är allmännare. Från ett lokalt perspektiv händer det intressanta med ett vektorfält i dess nollställen. Runt en punkt a sådan att v(a) 0 ändrar sig ju inte vare sig storlek eller riktning på

Om vektorfält och flöden på mångfalder 7 (14) ett dramatiskt sätt, men i närheten av ett nollställe kan riktningen ändras drastiskt i en liten omgivning. Vi ska därför titta närmare på uppförandet av ett vektorfält nära sina nollställen. Innan vi gör det kan vi börja med att konstatera att om v är generatorn till flödet Φ, så gäller att ett nollställe till v svarar mot en stationär lösning till flödet: Φ(t, x) = x. Som illustration, betrakta regnvatten som strömmar ner för ett landskap definierat av en funktionsyta. Vi tänker oss att flödet hela tiden går brantast väg nedåt. Om ytan är z = f(x, y), (x, y) ω, så ges vektorfältet som genereras av detta flöde av df(x, y)[v(x, y)], där v(x, y) = grad f(x, y), som är ett flöde i ω. Detta vektorfält har nollställen där f har stationära punkter, och vi säger att ett sådant är icke-degenererat om dv (som här är f (x, y)) är icke-singulär i punkten. Definition Låt v : R n R n vara glatt och ha ett nollställe i a. Vi säger då att a är ett icke-degenererat nollställe om dv(a) är inverterbar och vi definierar nollställets index som I(v, a) = sign det dv(a). Anmärkning Vi kan notera att I( v, a) = ( 1) n I(v, a), så index för v och v är samma då dimensionen är jämn. Exempel 2 I planet har vi tre möjligheter, eftersom orienteringen inte spelar någon roll för index. Fallen bestäms av tecknen på egenvärdena till dv(a): om dessa är reella med samma tecken är index +1, är de reella med olika tecken är index 1 och är de komplexa är index +1. I det senare fallet får vi spiraler. Dessa fall illustreras nedan. +1 1 +1 Spiralfallet har ett urartningsfall i form av cirkulation runt nollstället flödets vägar är då koncentriska ellipser med gemensam medelpunkt i nollstället. Exempel 3 Betrakta grafen nedan till vänster.

Om vektorfält och flöden på mångfalder 8 (14) I den ser vi att det finns två lokala maxima och ett lokalt minima (i origo), vilka svarar mot icke-degenererade nollställen för gradientfältet som har index 1, medan det dessutom finns två sadelpunkter, vilka har index 1. I nivåkurveplotten till höger är gradientfältets banor indicerade efter hur regnvatten (som kommer rakt ovanifrån) skulle rinna om det hela tiden rann i den riktning det är brantas nedåt. I det här fallet ser vi att summan 5 I(v, a k ) = 1, k=1 där a k är de 5 nollställena till v = grad f. Anmärkning Om vi tänker oss att vi tar den yttre konturen i högerfiguren och drar den nedåt och samtidigt drar ihop den till en punkt, sydpolen, samtidigt som vi plattar till topografin men behåller rinningsvägarna, så får vi en sfär med sex stycken nollställen till flödet: de ursprungliga samt en brunn i sydpolen. Den senare har index +1, så indexsumman för alla nollställena på sfären blir 2. Men hur gör vi med nollställen som är degenererade? Vi kan då generalisera definitionen ovan på följande sätt. Låt a vara ett isolerat nollställe till v(x), som vi uppfattar som en avbildning R n R n genom att använda lokala koordinater kring a. Låt S ɛ vara en liten sfär med a som medelpunkt och radien ɛ. Då blir u(x) = v(x)/ v(x) en avbildning S ɛ S n 1 och man ser lätt att dess avbildningsgrad beror varken på val av sfär eller lokala koordinater. Vi kan därför definiera I(v, a) = deg(u). Om denna definition har vi följande observationer: a) För n = 2 har vi följande beskrivning av detta index. Vi har att deg(u) är antalet lösningar, räknat med tecken, till ekvationen u(x) = e för ett reguljärt värde e S 1. Det är detsamma som att räkna antalet skärningar mellan kurvan v(s ɛ ) och halvstrålen från a som har riktningen e, där skärningarna räknas med högerregeln, d.v.s. med +1 om kurvan har företräde och 1 annars. Vi räknar alltså antalet varv kurvan roterar runt punkten a, där vi använder +1 om rotationen är moturs men 1 om den är medurs. En motsvarande beskrivning finns då n > 2. b) Om a är icke-degenererad gäller att v är en lokal diffeomorfism sådan att deg(v) är +1 om den bevarar orienteringen men 1 om den kastar om orienteringen. Men då gäller detta även u, vilket betyder att I(v, a) är +1 om v är orienteringsbevarande och 1 annars. Men det betyder precis att I(v, a) är vår gamla definition som tecknet på determinanten av dv(a). Exempel 4 Exempel på hur isolerade, degenererade, nollställen kan se ut får vi om vi med hjälp av vektorfältet z k (i C) som har index k i origo, medan z k har index k där.

Om vektorfält och flöden på mångfalder 9 (14) +2 +3 2 Om f : U U är en diffeomorfism och v ett vektorfält på U, så gäller att I(v, a) = I(f v, f(a)). Detta betyder att den naturliga definitionen av index för ett vektorfält på en undermångfald M R n blir oberoende av val av karta. Låt nu Ω R m vara en öppen delmängd med glatt rand Ω. Låt N : Ω S m 1 vara den utåtriktade enhetsnormalen. Vi har då följande viktiga lemma. Lemma 2 Låt v vara ett vektorfält på Ω som endast har isolerade nollställen x 1,..., x k i Ω och är sådant att det pekar ut från Ω på Ω. Då gäller att I(v, x k ) = deg(n). Speciellt ser vi att vänsterledet är oberoende av v. k Bevis. Låt Ω vara Ω med ett litet klot borttaget runt varje nollställe, så litet att vi inte rör randen Ω. Funktionen u(x) = v(x)/ v(x) avbildar Ω på S m 1. Det följer att summan av avbildningsgraden för u på de olika randdelarna är noll. Det följer att summan av v: indices i nollställena är lika med avbildningsgraden för restriktionen av u på Ω. Men denna funktion i sin tur är homotop med N och avbildningsgraden på de övriga randkomponenterna summerar sig till k I(v, x k) (minustecknet uppkommer därför att varje liten sfär får fel orientering). Härur följer resultatet. Följdsats Om a är ett degenererat nollställe till v och D är ett litet klot med medelpunkt i a så kan vi ändra v i D till ett vektorfält v 1 sådant att v 1 = v utanför D och v 1 har ändligt många nollställen x 1,..., x k i D sådana att k j=1 I(v 1, x j ) = I(v, a). Bevis. Vi sätter helt enkelt v 1 (x) = v(x) + ρ(x)w där ρ är 1 nära x och 0 utanför D och w en fix vektor (vi arbetar i en koordinatomgivning). Om w är ett reguljärt värde till v så kommer v 1 att endast ha ändligt många nollställen som alla är icke-degenererade. Eftersom v = v 1 på D följer påståendet av lemmat. Anmärkning Det följer att om v är ett vektorfält med endast ändligt många nollställen så finns ett vektorfält w vars nollställen är ändliga och icke-degenererade som har samma indexsumma som v. Vi kan dessutom få w genom att göra en godtycklig liten förändring av v nära dess nollställen. Exempel 5 För cirkelskivan D i planet gäller att deg(n) = 1. Det följer att det för varje vektorfält v i D med endast isolerade nollställen och som pekar utåt på randen gäller att I(v, x k ) = 1. k

Om vektorfält och flöden på mångfalder 10 (14) Speciellt måste det av nödvändighet finnas minst ett nollställe till v. Om vi nu tänker oss att vi deformerar cirkelskivan så att randen snörps ihop till sydpolen på en sfär, så kommer sydpolen av nödvändighet att bli en sänka på sfären. Och detta för alla vektorfält som pekar utåt på D. Det följer att för en sfär gäller att I(v, x k ) = 2. k Detta kallas ibland the hairy-ball theorem och innebär alltså att varje vektorfält på en sfär måste ha ett nollställe (det går inte att kamma en sfär utan att få minste en virvel). Figuren nedan visar på två exempel på vektorfält som har två nollställen, i polerna. Motsvarande gäller inte för enhetscirkeln i planet. På den har vi ett vektorfält som aldrig är noll, nämligen enhetstangenten i moturs riktning. Anmärkning Vi kan observera att exemplet ger restriktioner på hur landskapet kan se ut på en ö. Antalet toppar och djupa kratrar måste balanseras av ett korrekt antal sadelpunkter. Vi vill nu utvidga detta resultat till allmännare mångfalder. Betrakta därför en kompakt mångfald M R k utan rand. Låt N ɛ betrakta tub av diameter ɛ till M. Om ɛ är tillräckligt liten är den en mångfald med rand. Sats 2 Låt v vara ett vektorfält på M som endast har isolerade nollställen. Då gäller att k I(v, x k) = deg(n), där N : N ɛ S m 1 är den utåtriktade enhetsnormalen på randen till tuben. Bevis. För x N ɛ, låt r(x) M beteckna den punkt på M som ligger närmast x på M. Då gäller att vektorn x r(x) är normal till T r(x) M och funktionen r blir glatt om ɛ är tillräckligt litet. För en punkt x N ɛ gäller då att den utåtriktade enhetsnormalen ges av g(x) = (x r(x))/ɛ. Vi kan nu utvidga v till ett vektorfält på N ɛ genom w(x) = (x r(x)) + v(r(x)).

Om vektorfält och flöden på mångfalder 11 (14) Då gäller att w pekar utåt på randen, eftersom w(x) g(x) = ɛ > 0. Vidare kan w bara vara noll när v är det, eftersom termerna som definierar den är ortogonala. Vi har nu för x M att dw(x)(h) = dv(x)(h), h T x M, dw(x)(h) = h, h T x M, vilket betyder att det dw(x) = det dv(x). Det följer att I(w, x) = I(v, x). Men enligt ett lemma ovan vet vi vad k I(w, x k) är. Detta visar satsen i fallet att vi endast har icke-degenererade nollställen på en mångfald utan rand. I det allmänna fallet utan rand, betrakta först ett vektorfält v på en öppen U med ett isolerat nollställe i z. Låt λ ta värdet 1 i en liten omgivning till z och värdet noll utanför en lite större omgivning V. Om y är ett tillräckligt litet reguljärt värde till v gäller då att vektorfältet v (x) = v(x) λ(x)y är icke-degenerat 3 i N ɛ. Vi kan då beräkna summan av indices i V som avbildningsgraden för v : V S m 1. Ur detta följer sedan att varje vektorfält med endast isolerade nollställen kan ersättas med ett som har icke-degenerade nollställen utan att ändra indexsumman. Om M R k har en rand, så kan varje vektorfält som pekar utåt långs M utvidgas till en omgivning N ɛ, så att det pekar utåt längs N ɛ. Här finns dock vissa svårigheter kring vad gäller regularitet kring M N ɛ blir bara en C 1 -mångfald och alltså blir w endast ett kontinuerligt vektorfält nära M. Men man kan i princip använda argumentet ovan genom att se att vi egentligen inte behövde differentierbarhet. Exempel 6 På sfären S m finns ett vektorfält som pekar norrut 4 i alla punkter. Detta har index +1 i sydpolen men index ( 1) m i nordpolen. Det följer att k I(v, x k) = 0 eller 2 beroende på om m är udda eller jämn. Varje vektorfält på en sfär av jämn dimension måste därför ha ett nollställe. För en godtycklig mångfald utan rand av udda dimension är I(v, x k ) = 0, ty om vi ersätter v(x) med v( x) multipliceras alla index med ( 1) m = 1. Exempel 7 För torusen måste gälla att k I(v, x k) = 0, eftersom det finns vektorfält på den som saknar nollställen. Två exempel illustreras i nedanstående figur: Det vänstra uppkommer genom att vi roterar hela torusen runt sin rotationsaxel, med det vänstra innebär att vi så att säga roterar runt centralcirkeln (vilket dock inte låter sig göras fysiskt). Vi ser från exemplen att indexsumman för ett vektorfält på en kompakt yta är något välkänt, Eulerkarakteristiken för en triangulering på ytan. Vi kan ge ett direkt bevis för detta genom att konstruera ett speciellt vektorfält.

Om vektorfa lt och flo den pa ma ngfalder 12 (14) Sats 3 (Poincare ) Pa en kompakt, orienterad sammanha ngande yta M ga ller att X I(v, xk ) = χ(m ), k da r χ(m ) a r Eulerkarakteristiken fo r ytan. Bevis. Till en given triangulering av ytan kan vi definiera ett vektorfa lt i varje triangel enligt +1 a) En sa nka i varje ho rn, index +1 b) En sadelpunkt i mitten pa varje sida, index 1 1 c) en ka lla i tyngdpunkten pa varje triangel, index +1 Om V a r antal ho rn, E antal kanter och F antal ytor P i trianguleringen fo ljer da att k I(v, xk ) = V E F, vilket a r Eulerkarakteristiken fo r M. 1 +1 +1 1 +1 Anma rkning I ho gre dimensioner fa r vi analogt att indexsumman a r lika med n X ( 1)j (antalet ytor av dimension j). j=0 Vi kan kan anva nda detta till att besta mma Eulerkarakteristiken fo r den sammanha ngande summan av g torusar. Det vi go r a r sta ller den pa ho gkant och la ter regnet falla. Sedan underso ker vi vilka nollsta llen vektorfa ltet till motsvarande flo de har, och deras index. Fo r P den sammanha ngande summan av tva torusar ga ller att k I(v, xk ) = 2, vilket vi ser ur figuren till ho ger. Vi ser da r att om vi sta ller den pa ho gkant och la ter regnet rinna la ngs den, sa kommer det att finnas en ka lla i toppen, fra n vilket allt vatten rinner bort, och en sa nka i botten, till vilket allt vatten rinner. Dessutom finns det fyra sadelpunkter, som a r sa dana att det ba de rinner vatten till dem och rinner vatten fra n dem. De fo rsta tva, ka llan och sa nkan, har index +1 och de fyra sadelpunkterna har index 1, sa totalsumman a r 2. Generellt ser vi att den sammanha ngde summan av g torusar har P att k I(v, xk ) = 2 2g, eftersom vi har en ka lla, en sa nka och 2g sadelpunkter. Appendix A Tangenter till en abstrakt ma ngfald Att definiera vad vi menar med en tangentvektor pa en abstrakt ma ngfald, da r vi inte har na got omgivande euklidiskt rum att anva nda oss av, kan i princip go ras pa tre olika

Om vektorfält och flöden på mångfalder 13 (14) sätt. Från den tidigare diskussionen har vi två (ekvivalenta) sätt: a) Vi kan definiera en tangentvektor i x som en ekvivalensklass av kurvstycken genom x. Två kurvstycken sägs tangera varandra om (φ c 1 ) (0) = (φ c 2 ) (0) i någon karta (om det gäller i en karta, gäller det i alla kartor) och två sådana betraktas som ekvivalenta. En tangentvektor är nu en ekvivalensklass av sådana kurvstycken genom x. Givet en karta (U, φ) runt x kan vi här identifiera R k med T x M genom avbildningen v [t φ 1 (φ(x) + tv)] där [..] står för ekvivalensklassen av kurvan. b) Vi kan definiera en tangentvektor som en derivation i x. Anmärkning Identifikationen mellan de här två definitionerna är antydd ovan, men låt oss upprepa den. Om v är en tangentvektor enligt kurvdefinitionen, dvs om det i en karta (U, φ) gäller att u = (φ c) (0), så definierar vi X u (f) = (f c) (0) som blir en derivation i x. Om (U, φ) är en karta nära x på M och x 1,..., x n är motsvarande lokala koordinater, så definieras en bas x1,..., xn i T x M genom xi f(x) = i (f φ 1 )(φ(x), där i betecknar den vanliga i:te partiella derivatan i R n. Ett tredje sätt att beskriva vektorerna i T x M bygger på att vi till ett givet x M betraktar tripletter (U, φ, u) där (U, φ) är en karta runt x och u R n. Vi identifierar då två sådana tripletter (U, φ, u) och (V, ψ, v) om det gäller att d(ψ 1 φ)(φ(x))[u] = v. Motsvarande ekvivalensklasser utgör tangentvektorerna. Ekvivalensen mellan denna definition och den med kurvstycken är nästan självklar: ett kurvstycke c i kartan (U, φ) som definierar en viss tangentvektor enligt första definitionen avbildas på ekvivalensklassen av (U, φ, (φ c) (0)). Vi definierar sedan tangentknippet T M som unionen av alla tangentrum T M = T x M x M och projektionsavbildningen π : T M M genom π(v) = x om v T x M. Topologin på T M definieras med hjälp av mängderna π 1 (U) där U är kartområden i M. Funktionen F : U R n π 1 (U) definierad som F (x, v) = [(U, φ, v)] är bijektiv, och dess invers Φ = F 1 definierar en trivialisering av π 1 (U). Om skärningen mellan kartorna (U, φ) och (V, ψ) på M är icke-tom gäller att Ψ Φ 1 : φ(u V ) R n ψ(u V ) R n ges av Ψ Φ 1 (x, v) = (ψ φ(x), d(ψ φ 1 )(x)[v].

Om vektorfält och flöden på mångfalder 14 (14) Noteringar 1. Att dimensionen är k följer av att dψ är injektiv 2. För mer detaljer, se kapitlet Om existens och entydighet av ordinära differentialekvationer. 3. Att v är icke-degenererad i den mindre omgivningen är självklart, och om y är tillräckligt liten kommer v inte ha några nollställen i mellanområdet. 4. Tag t.ex. v(x) = N (N x)x där N är nordpolen.