5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e

5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för 1.04. Derivera denna funktion t ln 1.04 b(t) = 10000 e b t ln 1.04 (t) = 10000 ln 1.04e Hur ska man tolka b (4)? Först beräknar vi dess värde b (4) = 10000 ln 1.04e 4 ln 1.04 459 Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x) Figur 5.1: Av grafen att döma skulle man kunna tro att beloppets utveckling b(x) är linjär, men så är icke fallet. Möjligtvis kan man se det på b (x) som stiger lite, lite grann. Om b(x) hade varit linjär hade b (x) varit konstant eller hur?

2 Blandade problem Vi kan säga att alla funktioner som vi sysslar med kan tyckas vara linjära, bara man tittar på ett tillräckligt litet intervall. För att skingra alla tvivel tittar vi på b(t) i ett större intervall, hela 100 år (se fig 5.2) 300000 250000 200000 150000 100000 50000 20 40 60 80 100 Figur 5.2: Grafen nedan visar ett så kallad kastparabel där utkastet skett från origo. Efter att det utkastade föremålet nått sin högsta punkt dalar det och slår ner någon stans kring 50 meter. 10 8 6 4 2 10 20 30 40 50 Figur 5.3: Parabelns funktion är Vi ska besvara följande frågor f(x) = 2x2 125 + 4x 5 a) Var slår föremålet ned? b) Efter hur många meter når föremålet sin högsta punkt och hur hög är denna? c) Vilken utkastvinkel har föremålet? Den första frågan är lätt att besvara. Vi behöver bara lösa ekvationen f(x) = 0 2x2 125 + 4x 5 = 0 x ( 4 5 2x 125) = 0 Vi har ett faktoriserat andragradsuttryck, där en rot är x 1 = 0. Den andra får vi genom att lösa ekvationen 4 5 2x 125 = 0 4 5 = 2x 125 x = 4 125 5 2 x 2 = 50

5.1 Dagens Teori 3 Föremålet slår alltså ned efter exakt 50 meter. För att ta reda på funktionens maxpunkt (för det är helt tydligt en maxpunkt vi ser), deriverar vi funktionen f (x) = 4x 125 + 4 5 Vi studerar derivatans graf 0.75 0.5 0.25-0.25-0.5-0.75 10 20 30 40 50 Figur 5.4: Vi ser att derivatan är > 0 (positiv) från x = 0 fram till ungefär x = 25 då den är exakt 0. Därefter blir derivatan < 0 (negativ), fram till att föremålet slår i marken. Om vi vill ta reda på exakt var f (x) = 0 löser vi motsvarande ekvation: 4x 125 + 4 5 4 5 = 0 = 4x 125 x = 4 125 5 4 x = 25 Då x = 25 vet vi att funktionen nått sitt maximum. För att ta reda på hur högt det är bestämmer vi f(25) f(25) = 2 252 125 + 4 25 = 10 5 Vi vet nu att maxpunkten är (25, 10). När funktionen som ska undersökas är mer komplicerad brukar man skissa kurvan på följande sätt x x < 25 x = 25 x > 25 f (x) + 0 f(x) max Utkastvinkel har förstås med f (0) = 4 5 vi vill ha svaret i grader skriver vi att göra. Tangentens k-värde i punkten (0, 0). Om Ett samband vi inte nämnt tidigare. v = arctan 4 5 38.7

4 Blandade problem 5.2 Lösta problem Övning 5.1 Ett päron föll från sin gren ned mot marken. Hur många meter päronet fallit efter en given tid i sekunder, kan vi bestämma med funktionen s(t) = 9.82 t2 2 Päronet nådde marken efter 1 sekund. Vilken hastighet hade päronet när det nådde marken? Vi deriverar s(t) = 9.82t2 2 och får s (t) = 9.82t Denna funktion ger päronets hastighet efter t sekunder. s(1) = 9.82 meter/sekund ger oss svaret. Övning 5.2 Grafen till följande funktioner finns att beskåda här nedan. Vilken är vilken? A) f(x) = x 3 B) f(x) = x(x + 1)(x 1) C) f(x) = x(x + 1)(x 1) D) f(x) = x 3 1.5 1 0.002 0.5 0.001-2 -1 1 2-0.5-0.4-0.2 0.2 0.4-0.001 1) -1-1.5 2) -0.002 1.5 0.002 1 0.001 0.5-0.4-0.2 0.2 0.4-0.001-2 -1 1 2-0.5 3) -0.002 4) -1-1.5 Vi klarar detta då vet vilka funktioner som återges som grafer. Annars skulle man aldrig med säkerhet kunna bestämma funktionens utseende. A) hör ihop med 2) B) hör ihop med 4) C) hör ihop med 1) D) hör ihop med 3) Övning 5.3 Här har vi plottat de tre funktionerna (figur 5.5) 1) f(x) = x 4 2) g(x) = x 2 3) h(x) = x 6

5.2 Lösta problem 5 Vilken är vilken? Figur 5.5: För att klara uppgiften måste man ha klart för sig vad som är störst f(0.1), g(0.1) eller h(0.1). 1) hör ihop med B 2) hör ihop med C 3) hör ihop med A Övning 5.4 Värdeminskningen hos en dator antar modellen f(t) = 8500 0.70 t där f(t) är datorns värde efter t år. Efter hur lång tid efter inköpet tappar datorn värdet 1000 kr/år Vi startar med att skriva om funktionen med basen e, så att vi enklare kan derivera. Nu deriverar vi Vi ska nu lösa ekvationen f (t) = 1000 t ln 0.7 f(t) = 8500 e f t ln 0.7 (x) = 8500 ln 0.7 e 8500 ln 0.7 e t ln 0.7 = 1000 e t ln 0.7 = 1000 8500 ln 0.7 ln e t ln 0.7 = ln 1000 8500 ln 0.7 t = t 3.1 ln 1000 8500 ln 0.7 ln 0.7 Svar: Efter 3.1 år är värdeminskningshastigheten 1000 kr/år

6 Blandade problem Övning 5.5 Lös ekvationen 5e x 2 = 100 Svar: x = 6 5e x 2 = 100 ( e x 2 ) = 20 ln e x 2 = ln 20 x = ln 20 2 x = 2 ln 20 x = ln 20 2 x = ln 400 x 6 Övning 5.6 Antal åskådare som anlänt till matchen som börjar vid t = 0 följer modellen f(t) = 20000e 3t 50 a) Hur många åskådare kom till matchen? b) Hur många åskådare hade kommit 1 timme för matchstart? c) Vid vilken tid hade hälften av åskådarna anlänt? d) Hur många personer/timmen passerade vändkorsen precis vid matchstart? a) Vid t = 0 får vi b) Vid t = 1 får vi c) Vi löser ekvationen f(t) = 19950 2 f(0) = 20000e 3 0 50 = 19950 f( 1) = 20000e 3 ( 1) 50 946 20000e 3t 50 = 9975 e 3t 9975 + 50 = 20000 ln ( ( ) e 3t) 9975 + 50 = ln 20000 ( ) 9975 + 50 3t = ln 20000 t = ln ( ) 9975+50 20000 3 t 0.23

5.2 Lösta problem 7 Svar: 0.23 timmar före matchstart, det vill säga 13.8 minuter innan avspark. d) Här ska vi ta reda på f (0). Derivatan är f (t) = 20000 3 e 3t vilket ger f (0) = 20000 3 e 3 0 = 60000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000-2 -1.5-1 -0.5 Figur 5.6: Övning 5.7 Bestäm f (x) = 0 då f(x) = 1 x + 1 x 2 Vi skriver om funktionen så att det ska bli lättare att derivera Derivatan f (x) = 0 ger ekvationen f(x) = x 1 + x 2 f (x) = x 2 + ( 2)x 3 = 1 x 2 2 x 3 1 x 2 2 x 3 = 0 1 x 2 = 2 x 3 x2 1 x 2 = x2 2 x 3 1 = 2 x x = 2 Vi plottar f(x) och ser antagligen att det finns en minimipunkt i ( 2, 1 4 ).

8 Blandade problem 3 2.5 2 1.5 1 0.5-4 -3-2 -1 1 2 3-0.5-1 Figur 5.7: Övning 5.8 En modell N(t) beskriver ett förlopp. Bestäm tillväxthastigheten vid tiden t = 3. N(t) = 1000 + t 3 Vi bestämmer N (t) och därefter N (3) och vi har svaret. N (t) = 3t 2 och sedan N (3) = 3 3 2 = 27 Svar: Tillväxthastigheten är 27 (sorten är vadå förnå t ) Övning 5.9 Derivera f(x) = x 5 och g(x) = 5 x ger f (x) = 5x 4 g(x) = 5 x = e x ln 5 g (x) = ln 5e x ln 5 Övning 5.10 a) Vad krävs av f (x) för att f(x) ska var växande? b) Kan f (x) > 0 fast f(x) < 0? c) Om både f (x 1 ) = 0 och f(x 1 ) = 0 för ett värde x = x 1, vad kan man då säga om ett av f(x) s nollställen? d) För ett polynom p(x) finns x = x 1, x = x 2 och x = x 3 sådana att p (x 1 ) = 0, p (x 2 ) = 0 och p (x 3 ) = 0. Vilket är det minsta gradtal p(x) kan ha? e) För ett visst värde x = x 1 är f (x) > 0 för ett annat x = x 2 där x 2 > x 1 är f (x) < 0. Vad kan man säga om f(x) i intervallet [x 1, x 2 ]? a) Att f (x) > 0 b) Javisst c) Att det handlar om en dubbelrot d) Polynomet har en en term med minst gradtalet 4

5.2 Lösta problem 9 e) f(x) måste ha ett maximum i intervallet Övning 5.11 En extrempunkt hos en funktion är ett antigen en: maxpunkt, minpunkt eller terrasspunkt. Ta med dosans hjälp reda på vilka extrempunkter denna funktion har f(x) = x4 4 5x3 3 + 7x2 2 3x Det är inte lätt att avgöra grafiskt, men antagligen har den en minpunkt och terrasspunkt. När man använder dosan för att plotta en graf gäller det att förstora upp 1 0.5-0.5-1 -1.5-2 1 2 3 4 Figur 5.8: den del av av grafen där det händer saker. Den här grafen, figur 5.9, av samma funktion är inte till mycket nytta 250 200 150 100 50-10 -5 5 10 Figur 5.9: Övning 5.12 En funktion f(x) är hela tiden växande (eller avtagande) om den saknar x för vilka f (x) = 0. Hur är det med f(x) = 13x + x 3 i detta avseende? Planen går ut på att först derivera f(x) och sedan lösa ekvationen f (x) = 0. Om det visar sig att ekvationen saknar rötter är funktionen genomgående växande eller avtagande. Genom att bestämma f (x 1 ) för något x = x 1 får man reda på vilket. f (x) = 13 + 3x 2

10 Blandade problem f (x) = 0 ger ekvationen 13 + 3x 2 = 0 x 2 = 13 3 x = ± Ekvationen saknar reella rötter. Eftersom f (0) = 13 > 0 är funktionen f(x) ständigt växande. Plotta den på dosan! Ibland kommer vi att få besöka av två personer Karl-Tore Hansson (KTH), matematiklärare på KTH och Tobbe Bengtsson (TB), som studerar på Tekniskt Basår. Vi får då följa dem då de löser uppgifter tillsammans. Övning 5.13 Värdet y kr på en bil avtar enligt modellen y = 225000 e kx, där x är bilens ålder i år och k en konstant. 13 3 a) Då x = 5 är bilen värd 100 000 kr. Bestäm konstanten k i modellen b) Beräkna den hastighet som bilens värde ändras med då x = 5. TB: V(t) = 225000 e kt, värdet V, som funktion av tiden t. V(5) = 100000. Med hjälp av det villkoret ska vi kunna bestämma k 225000 e 5k = 100000 e 5k = 100000 225000 ln e 5k = ln 100000 225000 5k = ln 100000 225000 Konstigt att minustecknet bara försvinner! k = ln 100000 225000 / 5 0.162186 KTH: ln 1 = 0, då är det ju inte så konstigt att ln x < 0 då x < 1 TB: Nu ska jag alltså bestämma derivatan f (x) = 225000 0.162186 e 0.162186x och med hjälp av den f (5) 16218.6. Bilens värde avtar alltså med cirka 16200 kr/år just när den är 5 år gammal. Har vi inte räknat ett sådan tal förut? TB: Tidigare har vi uttryckt denna formel som ( V(t) = S 1 + r 100 Med den får man bättre koll på tillväxtfaktorn tycker jag. Kan man inte skriva om funktionen ovan på denna form? KTH: Eftersom Så får vi som du vill e 0.162186x = ) t ( e 0.162186) x = 0.850283 V(t) = 22500 0.850283 t Värdet avtar med cirka 15% per år. Ganska mycket eller hur?

5.2 Lösta problem 11 Övning 5.14 Per har studerat hur Sveriges folkmängd kommer att utvecklas under första hälften av 2000-talet. Han anser att följande andragradsfunktion kan användas för att beskriva hur folkmängden förändras: y = 0.000338x 2 + 0.0232x + 8.89 Där y är folkmängden i miljoner x år efter 2000. Beräkna och tolka a) y (20) b) y (40) TB: Nu över till Per och hans funderingar kring befolkningsexplosionen. Han har antagit f(x) = 0.000338x 2 +0.0232x+8.89. f(0) = 8.89 vilket betyder att det fanns 8.89 miljoner själar i Sverige vid millennium-skiftet. Skulle vara kul att se hur grafen av hans funktion ser ut: 9.2 8.8 20 40 60 80 100 8.6 8.4 Figur 5.10: Om den här prognosen är sann kommer Sveriges befolkning att börja dala omkring år 2040. Hur gammal är du då? KTH: 94 år TB: Vad var det nu de ville ha reda på? Jo vilken förändring i folkmängden (människor/år), det kommer att vara år 2020 och år 2040. För att kunna svara på den frågan måste jag derivera f(x) och därefter beräkna f (20) och f (40) f (x) = 0.0232 0.000676x f (20) = 0.00968 och f (40) = 0.00384. År 2020 kommer Sveriges befolkning, enligt Per att öka med 9680 personer och 2040, precis som jag förutspådde, befolkningen att avta med 3840 personer. Övning 5.15 Lös ekvationen y = 0, om y = x 3 + 243 x

12 Blandade problem TB: Givet funktionen f(x) = x 3 + 243 x Man är ute efter f (x) = 0. Jag måste alltså först derivera f(x). Vidare f (x) = 1 3 243 x 2 f (x) = 0 1 3 243 x 2 = 0 x 2 = 3 243 x = ± 3 243 x 1 = 27 x 2 = 27 Övning 5.16 En sjukdom sprids inom ett samhälle, med 5000 mottagliga invånare. Erfarenhetsmässigt vet man att antalet N, som fått sjukdomen efter t dygn kan beräknas med formeln 5000 N(t) = 1 + 49 e 0.1t Beräkna N (10) numeriskt och tolka värdet. TB: Den här funktionen som ska deriveras ser jobbig ut Hur ska jag kunna derivera den här? N(t) = 5000 1 + 49e 0.1t KTH: Ja, jag förstår faktiskt inte hur du ska klara av att derivera den här funktionen. Derivatan är N 24500 e0.1t (t) = (49 + e 0.1t ) 2 Med hjälp uttrycket kan vi nu bestämma N (10) = 24.8985 TB: Nu flummar du iväg utan att tänka på att jag inte har en chans att hänga med. KTH: Jag har givit dig ett svar och nu ska du uppskatta derivatan med hjälp av en differenskvoter TB: Det var ett tag sedan sist jag använde mig av differenskvoten. Jag beräknar N(10) = 262.797 och till exempel N(10.01) = 263.046 och kan nu beräkna differenskvoten: y δx = 263.046 262.797 10.01 10 = 24.91 Även jag har kommit fram till att 25 personer insjuknar under ett dygn kring den 10:e dagen. Det är lite jobbigt att inte veta om man kan lösa en uppgift exakt eller måste ta till approximativa metoder.

5.2 Lösta problem 13 KTH: Det gäller alla, på alla nivåer. Men läser vi problemtexten en gång till ser vi att det står att problemet ska lösas numeriskt. Det är detta ord som öppnar dörren till att använda dosan. Övning 5.17 Under ett försök växer antalet bakterier y i 1 liter mjölk enligt sambandet y (x) = 10 2 x, där x är tiden i timmar. Lös ekvationen y (x) = 1000 och tolka resultatet. TB: Funktionen B(t) = 10 2 t, Antalet bakterier B som funktion av tiden t (i timmar). Jag ska nu beräkna B (t) = 1000. B (t) = ln 2 10 2 t Ekvationen som ska lösas är B (t) = 1000 ln 2 10 2 t = 1000 2 t = 100 ln 2 e ln 2t 100 ln = e ln 2 t ln 2 = ln 100 ln 2 t = 100 ln ln 2 ln 2 7.17262 Efter 7.17 timmar är tillväxten ungefär 1000 bakterier/timme

14 Blandade problem Logaritmer, lg x I) lg a b = lg a + lg b II) III) lg a b = lg a lg b lg a b = b lg a IV) lg 1 a = lg a Nödvändigt är att a, b > 0. Tre viktiga fakta 10 lg a = a lg 10 = 1 lg 1 = 0 Logaritmer, ln x I) ln a b = ln a + ln b II) III) ln a b = ln a ln b ln a b = b ln a IV) ln 1 a = ln a Nödvändigt är att a, b > 0. Tre viktiga fakta e ln a = a ln e = 1 ln 1 = 0 Omskrivning av a b a b = e ln ab = e b ln a Exponentialfunktioner Några exempel f(x) = 10 x g(x) = e x h(x) = e 2x 3e x + e x k(x) = 4 x + 2 x Deriveringsregel där k är en konstant. f(x) = e x g(x) = e kx f (x) = e x f (x) = ke kx där a > 0. h(x) = a x h(x) = e x ln a h (x) = ln a e x ln a ln a a x