freeleaks NpMaB ht000 (40) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 000 3 Del I, 0 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4 Del II, 9 uppgifter med miniräknare, fullständiga lösningar 7 Del III, stor uppgift med miniräknare, fullständig lösning 0 MaB HT 000 LÖSNINGAR Del I, 0 kortsvarsuppgifter med miniräknare Del # (/0) Sannolikhet...................... Del # (/0) Olikhet......................... 3 Del # 3 (/0) Likformighet..................... 4 Del # 4 (/0) Konjugatregeln.................... 5 Del # 5 (3/0) Graf till funktion................... 6 Del # 6 (/0) Randvinkelsatsen och vinklar............. 7 Del # 7 (/0) Förenkla........................ 8 Del # 8 (0/) Ekvationssstem.................... 9 Del # 9 (0/) Linje.......................... 0 Del # 0 (0/) Olikheter........................ Del II, 9 uppgifter med miniräknare, fullständiga lösningar Del # (4/0) Lös ekvationen.................... Del # (/0) Linjärt ekvationssstem................ 3 Del # 3 (4/) Sannolikhet...................... 5 Del # 4 (/0) Rät linje........................ 7 Del # 5 (0/) Liksidig triangel................... 8 Del # 6 (0// ) Median......................... 9 Del # 7 (0/4) Välvt tak....................... 30 Del # 8 (0/4/ ) Pappersark...................... 3 Del # 9 (0/3) Sannolikhet...................... 34 Del III, stor uppgift med miniräknare, fullständig lösning 35 Del 3 # 0 (4/7/ ) Skärningar mellan kurvan = och räta linjer.. 35 c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
freeleaks NpMaB ht000 (40) Förord Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma. Innehållet i den äldre kursen Ma B hör nu till Ma och/eller Ma. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter som är lämpliga till respektive kurs. 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Ma 3 9 Ma a Ma bc Kom ihåg Matematik är att vara tdlig och logisk Använd tet och inte bara formler Rita figur (om det är lämpligt) Förklara införda beteckningar Du ska visa att du kan Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning. Analsera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet. Genomföra bevis och analsera matematiska resonemang. Värdera och jämföra metoder/modeller. Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk. c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
Np MaB ht 000 freeleaks NpMaB ht000 3(40) Del # (/0) Sannolikhet På uppgift -0 behöver du bara ange svar på respektive uppgifts svarsrad.. I en burk finns enbart röda och svarta kulor. Sannolikheten att dra en röd kula ur burken är 75 %. Ge ett förslag på hur många röda och svarta kulor det kan finnas i burken. Svar: (/0). Ange något värde på så att < 3 Svar: (/0) Det finns många olika möjliga svar. Svar 3. ) Följande 75 röda två och sehörningar 5 svarta är kulor. likformiga. Bestäm s. Svar: (/0) Svar ) 3 röda och svart kula. 9,4 7, s 3,6 4. Vilket av följande uttrck är en förenkling av ( )( + )? A. 4 + 4 B. + 4 + 4 C. + 4 D. 4 E. + F. Svar: (/0) c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
På uppgift -0 behöver du bara ange svar på respektive uppgifts svarsrad.. I en burk finns enbart röda och svarta kulor. Sannolikheten att dra en röd kula ur burken är 75 %. freeleaks NpMaB ht000 4(40) Ge ett förslag på hur många röda och svarta kulor det kan finnas i burken. Svar: (/0) Del # (/0) Olikhet. Ange något värde på så att < 3 Svar: (/0) Notera problemets formulering: ange något värde. Vi behöver alltså inte ange en 3. Följande två sehörningar är likformiga. Bestäm s. Svar: (/0) fullständig lösning till olikheten utan endast något värde. Försök med något enkelt, eempelvis = 0. Med = 0 får vi < 3 vilket är sant. Alltså duger = 0. Svar = 0. Kommentar. Om 9,4 uppgiften hade varit att7, lösa olikheten så blir lösningen följande. < 3 + < 3 + addera till bägge sidor 3,6 < 4s < dividera med Räknereglerna för likheter gäller också för olikheter med ett viktigt undantag. Vid multiplikation eller division med negativt tal så bter olikhetstecknet riktning. 4. Vilket av följande uttrck är en förenkling av ( )( + )? A. 4 + 4 B. + 4 + 4 C. + 4 D. 4 E. + F. Svar: (/0) c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
burken är 75 %. Ge ett förslag på hur många röda och svarta kulor det kan finnas i burken. Svar: (/0) freeleaks NpMaB ht000 5(40). Ange något värde på så att < 3 Svar: (/0) Del # 3 (/0) Likformighet 3. Följande två sehörningar är likformiga. Bestäm s. Svar: (/0) 9,4 7, s 3,6 4. Vilket av följande uttrck är en förenkling av ( )( + )? Att figurerna är likformiga betder s 9,4 A. = 3,6 7, 4 + 4 s B. = 3,6 + 4 9,4 + 4= 0,5 9,4 = 4,7 7, Svar 4,7 C. + 4 D. 4 E. + F. Svar: (/0) c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
9,4 7, freeleaks NpMaB ht000 6(40) Del # 4 (/0) s Konjugatregeln 3,6 4. Vilket av följande uttrck är en förenkling av ( )( + )? A. 4 + 4 B. + 4 + 4 C. + 4 D. 4 (4) E. + Formler till nationellt prov i matematik kurs F. Svar: (/0) Använd Algebra FORMELSAMLINGEN. Regler ( a + b) = a + ab + b ( a b) = a ab + b ( a + b)( a b) = a b Andragradsekvationer + p + q = 0 p = ± p q Konjugatregeln ger att ( )( + ) = 4. Alternativ D är rätt. Svar Aritmetik Alternativ D med 4 är rätt. Prefi T G M k h d c m µ n p tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko 0 0 9 0 6 0 3 0 0-0 - 0-3 0-6 0-9 0 - Potenser c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0 + a a a = a = a ( a ) = a a = a a a b = ( ab) a b a = n n b a = a 0 = a
freeleaks NpMaB ht000 7(40) Del # 5 (3/0) Graf till funktion Np MaB ht 000 5. Figuren till höger visar grafen till en funktion = f () a) Bestäm f (0) Svar: (/0) 4 3 = f () b) Ange lösningarna till ekvationen f ( ) = 0 Svar: (/0) -3 - - - - -3 3 6. Punkterna P, Q och R ligger på en cirkel. O är cirkelns medelpunkt. PQ är cirkelns diameter. R P 5 O Q f( ) = 0 f() = 0 a) Bestäm vinkeln. Svar: (/0) b) Bestäm vinkeln. Svar: (/0) f(0) = 7. Vilka tre av följande uttrck kan förenklas till t? t A. a) Bestäm f(0) t t + t Svar a) B. f(0) =. t b) Lösningarna till f() = 0 C. t t Svar b) D. = och t t =. E. t t + Svar: (/0) c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
a) Bestäm f (0) Svar: (/0) 3 b) Ange lösningarna till ekvationen f ( ) = 0 freeleaks NpMaB ht000 - Svar: (/0) 8(40) - - Del # 6 (/0) Randvinkelsatsen och vinklar 6. Punkterna P, Q och R ligger på en cirkel. O är cirkelns medelpunkt. PQ är cirkelns diameter. R -3 - -3 3 P 5 O Q a) Bestäm vinkeln. Svar: (/0) b) Bestäm vinkeln. Svar: (/0) a) Bestäm vinkeln Triangeln ORQ är likbent eftersom sträkorna OR och OQ är lika. Då blir = 5 7. Vilka tre. av följande uttrck kan förenklas till t? t Svar a) A. Vinkeln = 5. t 4(4) b) Bestäm vinkeln Använd FORMELSAMLINGEN där finns randvinkelsatsen. t + t B. t Kordasatsen C. t t ab = cd u = v D. t t Randvinkelsatsen E. t t + Svar: (/0) Smbolen Pthagoras sats POR = PQR = 50 c = a + b Triangeln OPR är likbent vilket ger ORP = OPR = Avståndsformeln betecknar vinkel. Enligt randvinkelsatsen gäller att Triangeln OPR har vinkelsumman 80 80 = + + 50 Då blir = 65 Svar b) Vinkeln = 65. Trigonometri a sin v = c b cos v = c tan v = a b Mittpunktsformeln c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se d = ( ) + ( ) 06-0-0 m = och m = + + Statistik och sannolikhet
a) Bestäm vinkeln. Svar: (/0) freeleaks b) Bestäm vinkeln. NpMaB ht000 Svar: 9(40) (/0) Del # 7 (/0) Förenkla 7. Vilka tre av följande uttrck kan förenklas till t? A. t t B. t + t t C. t t D. t t E. t t + Svar: (/0) A B t t t + t t = t Förenklas till t = C t t = t Förenklas till t D t t = t t E t + t = t Förenklas till t Svar Fallen A, C och E kan förenklas till t. c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
freeleaks NpMaB ht000 0(40) Del # 8 (0/) Np Ekvationssstem MaB ht 000 8. Ge ett eempel på ett ekvationssstem som har lösningen = och = 3. Svar: (0/) Svar = och = 3 som är ett ovanligt enkelt ekvationssstem. 9. Punkten ( 50, a ) ligger på linjen med ekvationen + = 5 Kommentar Geometriskt kan ekvationerna till ett ekvationssstem med två obekanta tolkas som Bestäm två räta a. linjer i ett plan. Lösningen är linjernas Svar: skärningspunkt. Du behöver (0/) inte rita grafen för att få poäng. linjen = Np MaB ht 000 0. Summan av två tal, och, är minst lika stor som deras produkt. Uppg. Bedömningsanvisningar Hur skrivs detta villkor med hjälp av matematiska linjen tecken = 3 och smboler? Poäng 6. A. + Ma /0 a) B. Korrekt + svar ( = 5 ) + g C. + < b) D. Korrekt + > svar ( = 65 ) + g E. + = Svar: (0/) 7. Ma /0 Kommentar = och 3 = 9 är också ovanligt enkelt. t t t Korrekt svar (, t t och + ) Kommentar Skolverket t ger i sin rättningsnorm följande möjliga svar. + g 8. Ma 0/ Godtagbart ekvationssstem = + = 3 + vg Det 9. finns naturligtvis oändligt många olika sstem av ekvationer som har lösningen Ma 0/ = och = 3. Korrekt svar ( a = 95) + vg c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0 0. Ma 0/ Korrekt svar ( + ) + vg. Ma 4/0
8. Ge ett eempel på ett ekvationssstem som har lösningen = och = 3. freeleaks NpMaB ht000 (40) Svar: (0/) Del # 9 (0/) Linje 9. Punkten ( 50, a ) ligger på linjen med ekvationen + = 5 Bestäm a. Svar: (0/) Linjens ekvation är 0. Summan + av två = tal, 5 och, är minst lika stor som deras produkt. och punkten (50, a) ligger på linjen vilket ger =50 Hur {}}{ skrivs detta villkor med hjälp av matematiska tecken och smboler? + = 5 }{{} A. = 95 + B. + Svar a C. = 95 + < D. + > E. + = Svar: (0/) c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
Svar: (0/) 9. Punkten ( 50, a ) ligger på linjen med ekvationen + = 5 freeleaks NpMaB ht000 (40) Bestäm a. Svar: (0/) Del # 0 (0/) Olikheter 0. Summan av två tal, och, är minst lika stor som deras produkt. Hur skrivs detta villkor med hjälp av matematiska tecken och smboler? A. + B. + C. + < D. + > E. + = Svar: (0/) Enligt svensk standard för matematiska beteckningar gäller Beteckning Tillämpning Benämning eller betdelse = likhetstecken = är lika med olikhetstecken är inte lika med är mindre än eller lika med är mindre än eller lika med är större än eller lika med är större än eller lika med < är mindre än < är mindre än > är större än > är större än är mcket mindre än är mcket mindre än är mcket större än är mcket större än approimationstecken är ungefär lika med är approimativt lika med proportionalitetstecken är proportionell mot Inom geometrin betder tecknet är likformig med = är kongruent med Frågan gäller tolkningen av den språkliga varianten minst lika stor som. Rätt svar är B. Svar Alternativ B. c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
Np MaB ht 000 freeleaks NpMaB ht000 3(40) Du måste redovisa dina lösningar till uppgift -9 på särskilda skrivningspapper. Del # (4/0) Lös ekvationen. Lös ekvationerna (4) a) 4 45 = 0 (/0) Formler till nationellt prov i matematik kurs b) 8 3 = 3 (/0) Deluppgift. Lös ekvationssstemet A Algebra Lös ekvationen 3 6 = 4 45 = 0. Använd FORMELSAMLING. Regler = Andragradsekvationer (/0) ( a + b) = a + ab + b ( a b) = a ab + b 3. TRISS-lotten är en populär skraplott. På baksidan pav en TRISS-lott p finns följande ( a + b)( vinstplan: a b) = a b = ± q Lös ekvationen 0 = 4 }{{} Aritmetik, = ± p= 4 45 }{{} q= 45 ( 45) = ± 49 = ± 7 = 9 tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko Deluppgift B 0 0 9 0 6 0 3 0 0-0 - 0-3 0-6 0-9 0 - Lös ekvationen a) Beräkna 8 3 sannolikheten = 3. Använd för att FORMELSAMLINGEN. du får en vinst om du köper en TRISS-lott. (/0) Börja med b) attberäkna städa upp. sannolikheten Skriv omför somatt du får en vinst som är större än 0 000 kr om 0 = du }{{} köper 3 en trisslott. + 3 8 (/0) Potenser ska vara Normalisera c) ekvationen. Om du köper Alltså trisslott dividera i veckan (dela) under ekvationen ett år, hur med många 3. Vi 5 får kronorsvinster då en ekvation som + kan du rimligen a förvänta dig att få under året? (/) a a ser = ut a som i FORMELSAMLINGEN. = a ( a ) = a a = 0 = + a a 6 = 0, 5 + 0, 5 ( 6) = 0, 5 + 6, 5 = 0, 5 +, 5 = a a 4. En rät a b = ( ab) linje går genom = punkterna (, n3) och n (, 9). b b a = a a 0 = = 0, 5 0, 5 ( 6) = 0, 5, 5 = 3 Svar B Bestäm linjens ekvation på formen = k + m (/0) = och = 3 + p + q = 0 Svar Prefi A = 9 och = 5 TIPS: Kontrollera alltid att lösningen uppfller ekvationen. T G M k h d c m µ n p Logaritmer c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0 = 0 = lg lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg
. Lös ekvationerna a) 4 45 = 0 (/0) freeleaks NpMaB ht000 4(40) b) 8 3 = 3 (/0) Del # (/0) Linjärt ekvationssstem. Lös ekvationssstemet 3 6 = = (/0) Ett ekvationssstem med två obekanta löses enklast med substitutionsmetoden. 3. 3 TRISS-lotten 6 = är en populär skraplott. På baksidan av en TRISS-lott finns följande vinstplan: = Välj nedre ekvationen och och fltta om så att blir ensamt i vänsterledet. Behåll första ekvationen oförändrad. Svar 3 6 = = + Substituera i övre ekvationen. 3 ( + ) 6 = = + Skapa ordning i övre ekvationen, förenkla. 3 a) Beräkna sannolikheten för att du får en vinst om du köper en TRISS-lott. (/0) + 3 6 = b) Beräkna sannolikheten = för att du får en vinst som är större än 0 000 kr om + Förenklingen du köper geren trisslott. (/0) 3 = c) Om du köper trisslott i veckan under ett år, hur många 5 kronorsvinster kan du rimligen = förvänta dig att få under året? (/) + Bestäm ur övre ekvationen = 6 4. En rät linje går genom punkterna (, 3) och (, 9). Bestäm linjens ekvation = + på formen = k + m (/0) Det återstår att bestämma, använd nedre ekvationen. = + 6 = 3 = 3 Kommentar lämplig. och = 3 För sstem med fler än två obekanta är substitutionsmetoden icke c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
freeleaks NpMaB ht000 5(40) Alternativ lösning Lös ekvationssstemet Svar 3 6 = :a ekvationen = :a ekvationen 3 6 = :a ekvationen ( 4 ) = 4 3 n :a ekv = :a ekv - :a ekv 3 3 6 = :a ekvationen = 3 ger = 6 3 6 = = 6 ger = 3 = 3 = 6 = 3 Kommentar och = 6. Svara eakt, svara inte med decimaltal 0,3333 eller 0,667. c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
b) 8 3 = 3 (/0). Lös ekvationssstemet freeleaks 3 6 = NpMaB ht000 6(40) (/0) = Del # 3 (4/) Sannolikhet 3. TRISS-lotten är en populär skraplott. På baksidan av en TRISS-lott finns följande vinstplan: a) Beräkna sannolikheten för att du får en vinst om du köper en TRISS-lott. (/0) b) Beräkna sannolikheten för att du får en vinst som är större än 0 000 kr om du köper en trisslott. (/0) c) Om du köper trisslott i veckan under ett år, hur många 5 kronorsvinster kan du rimligen förvänta dig att få under året? (/) a) 4. Totala En rät antalet linje går lotter genom är punkterna 8 000 000 varav (, 3) och 600 ( 500, 9) är. vinter. Sannolikhet för vinst är 600 500 Bestäm linjens ekvation på formen = k + m (/0) 8 000 000 = 0,0006. Svar a) Sannolikheten för vinst är 0,0 alternativt uttrckt som 0%. b) Vinstplanen är Antal Vinst 4 500 000 kr 6 50 000 kr 64 00 000 kr 608 0 000 kr ej över 0 000 kr Det finns 4 + 6 + 64 = 84 vinster över 0 000 kr. Sannolikheten att få en vinst över 0 000 kr är 84 8 000 000 = 0,000005. Svar b) Sannolikheten att få en vinst över 0 000 kr är 0,000005 vilket är ungefär chans på 00 000. c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
freeleaks NpMaB ht000 7(40) Np MaB ht 000 c) Av 8 000 000 lotter är 7 000 5-kronorsvinster. Sannolikheten att en vecka vinna 7 000 5Uppg. kronor är Bedömningsanvisningar. Ett år har 5 veckor. Lottdragningen olika veckor är oberoende 8 000 000 Poäng händelser. Uttrcket förväntas ska tolkas som medelvärde i det långa loppet. 5 7 000 Sannolikheterna 3. adderas, = 4,68. Ma 4/ 8 000 000 Svar c) a) Det Redovisad är rimligt godtagbar att förvänta beräkning 4,6av vinster. sannolikheten (0,0) + g b) Redovisad godtagbar metod + g Kommentar med Skolverkets godtagbart svar rättningsnorm (0,000005) skriver följande. + g c) Redovisad godtagbar beräkning av sannolikheten för en 5 kronorsvinst + g Redovisad godtagbar beräkning av antalet vinster (4,6 vinster) + vg Naturligtvis 4. är det rimligt att förvänta att antalet vinster är ett heltal,,, 3, Ma 4, /0 5... Logiskt finns Redovisad inte bråkdelar godtagbar av vinster metod men uttrcket förväntas ska tolkas som + g medelvärde imed långa korrekt loppet. svar ( = 3 + 6 ) + g Kommentar Tabellen visar sannolikheten för antal vinster vid köp av en lott varje vecka 5. under ett år. Om frågan hade gällt tpvärde är svaret 4 vinster. Att beräkna Ma 0/ denna tabell ingår inte i kursen Ma eller MaB. Redovisad godtagbar metod + vg med godtagbart Antal svar ( Sannolikhet = + 60 ) + vg vinster % 0 0,8 6. 4,0 Ma 0// 9,9 Redovisat lämpligt eempel med antdan till jämförelse + vg Redovisad godtagbar 3 jämförelse 6, + vg 4 9,4 sannolikast utfall 5 8, Eempel på bedömda elevlösningar 6 till uppgift 3,9 6 7 8,9 Nedan ges eempel på tre olika 8lösningar och 4,9 hur de poängsätts. Andra lösningsförslag ska bedömas på likvärdigt sätt. 9,3 Elev ( vg) 0, 0,0 0,4 Kommentar: Eleven ger ett eempel och förklarar mcket kortfattat, men det går att läsa ut att eleven förstår när median är lämpligare än medelvärdet. c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
a) Beräkna sannolikheten för att du får en vinst om du köper en TRISS-lott. (/0) b) Beräkna sannolikheten för att du får en vinst som är större än 0 000 kr om freeleaks du köper en trisslott. NpMaB ht000 (/0) 8(40) c) Om du köper trisslott i veckan under ett år, hur många 5 kronorsvinster kan du rimligen förvänta dig att få under året? (/) Del # 4 (/0) Rät linje (4) 4. En rät linje går genom punkterna (, 3) och (, 9). Bestäm linjens ekvation på formen = k + m (/0) Använd Funktioner FORMELSAMLINGEN. Räta linjen = k + m Andragradsfunktioner k = = a + b + c a 0 Potensfunktioner Givet är a = C(, ) = (, 3) (, ) = (, 9) Eponentialfunktioner = C a a > 0 och a Då blir 9 3 k = Geometri ( ) = 6 = 3. Nu återstår att bestämma m. Använd formeln = k + m och någon av de två kända punkterna. Triangel Med punkten (, 3) får vi Parallellogram 3 = 3 ( ) + m vilketbh A = bh A = ger m = 6 Svar Linjens ekvation är = 3 + 6. Parallelltrapets h( a + b) A = Cirkel d π A = πr = 4 O = πr = πd Cirkelsektor Prisma v b = πr 360 v br A = πr = 360 V = Bh c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
freeleaks NpMaB ht000 9(40) Np MaB ht 000 Del # 5 (0/) Liksidig triangel 5. C D ABC är en liksidig triangel. Sträckan AD bildar vinklarna och med triangelsidorna såsom figuren visar. Bestäm sambandet mellan och. A B Triangeln 6. Förklara ABC ärmed likbent ett eempel och därmed när det är lämpligt alla vinklarna att använda lika median 80 = istället 60. för medelvärde. 3 (0// ) Lösning / Studera triangeln ACD. 7. En badmintonhall har ett välvt tak. I figuren nedan ser du badmintonhallens ena ACD = 60 gavel inlagd i ett koordinatsstem. Det välvda taket blir då en kurva i koordinatsstemet. Denna kurva CDA kan = beskrivas 80 genom sambandet = 0,67 0,08 DAC = ACD + CDA + m DAC = 60 + (80 ) + }{{} 80 0 = 60 + Svar Sambandet är = 60 +. = 60 + Lösning / Studera triangeln ABD. 4,0 ABD = 60 BDA = DAB = 60 ABD + BDA + DAB }{{} 80 = 60 + + (60 ) 80 = 0 + 60 + = a m Svar Sambandet a) Bestäm ärgavelns = 60bredd +. a. (0/) Kommentar b) Som Det du finnas ser i figuren nästanär alltid hallens flera lägsta olika takhöjd möjliga 4,0 m. lösningar. Hur stor är den högsta takhöjden? (0/) c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
5. freeleaks NpMaB ht000 0(40) A C D Del # 6 (0// ) Median B ABC är en liksidig triangel. Sträckan AD bildar vinklarna och med triangelsidorna såsom figuren visar. Bestäm sambandet mellan och. 6. Förklara med ett eempel när det är lämpligt att använda median istället för medelvärde. (0// ) Talen 7. En badmintonhall har ett välvt tak. I figuren nedan ser du badmintonhallens ena gavel 8 9inlagd 0 i ett koordinatsstem. Det välvda taket blir då en kurva i koordinatsstemet. Denna 0 ochkurva medelvärdet kan beskrivas 0. genom Båda lägesmått sambandet är = lika. 0,67Talen 0,08 8 9 0 0 har medianvärdet m har medianvärdet 0 och medelvärdet 0. Vilket lägesmått som är lämpligt att använda beror på sftet. När man vill att att kraftigt avvikande värden inte ska ha stort infltande på lägesmåttet så är medianvärde lämpligare. 4,0 a m a) Bestäm gavelns bredd a. (0/) b) Som du ser i figuren är hallens lägsta takhöjd 4,0 m. Hur stor är den högsta takhöjden? (0/) c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
Bestäm sambandet mellan och. A B freeleaks NpMaB ht000 (40) 6. Förklara med ett eempel när det är lämpligt att använda median istället för medelvärde. (0// ) Del # 7 (0/4) Välvt tak 7. En badmintonhall har ett välvt tak. I figuren nedan ser du badmintonhallens ena gavel inlagd i ett koordinatsstem. Det välvda taket blir då en kurva i koordinatsstemet. Denna kurva kan beskrivas genom sambandet = 0,67 0,08 m 4,0 a m a) Bestäm gavelns bredd a. (0/) b) Som du ser i figuren är hallens lägsta takhöjd 4,0 m. Hur stor är den högsta takhöjden? (0/) Det välvda taket beskrivs med funktionen = 0, 67 0, 08. Bestäm a 0 = }{{} =0 Gavelns bredd blir a = 3, 93 m. (0, 67 0, 08 ) }{{} = 0,67 0,08 =3,9 Svar a) Bredden a = 3, 9 m. (Den andra lösningen = 0 svarar mot vänster hörn.) Maimal höjd är mitt på gaveln, alltså för c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
freeleaks NpMaB ht000 (40) = a 3, 93 = =, 96 m då blir ma = 0, 67, 96 0, 08, 96 = 4, 00 4 m och den högsta takhöjden h ma = 4 + 4 = 8 m. Svar b) Högsta takhöjden är 8 m. c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
freeleaks NpMaB ht000 3(40) Np MaB ht 000 Del # 8 (0/4/ ) Pappersark 8. ABCD är ett vitt rektangelformat pappersark med grå baksida (se vänstra figuren). Arket viks så att vikningslinjen går genom hörnet A och så att hörnet B hamnar på sidan CD (se högra figuren). D 5 cm C cm A B Beräkna arean av den uppvikta (grå) delen av pappersarket. (0/4/ ) Beräkningar som bgger på uppmätta värden godtas ej. Börja med att rita figuren. Vik upp hörnet B så att det hamnar på sidan CD och kalla 9. Vid OS och andra idrottstävlingar tas blodprov regelbundet för att kontrollera om punkten deltagarna för B, (uttalas är dopade. B-prim). Priset för att testa blod är dock ganska högt. För att minska antalet blodprovsundersökningar och ändå kunna hitta spår av dopingpreparat kan Strateginman för göra att beräkna på följande arean sätt. av den uppvikta (grå) delen av pappersarket är att beräkna alla okända stäckor. Man blandar delar av fem stcken blodprov i ett enda provrör och gör ett test på blandningen i provröret. D Det är bara om det B finns otillåtna ämnen C i blandningen som de fem blodproven måste undersökas separat. Hur stor är sannolikheten att man måste undersöka blodproven separat? Du kan anta att sannolikheten för att ett enskilt blodprov innehåller E dopingrester är 0,05. (0/3) 5 A 5 B Starta med DB, som enkelt kan beräknas med hjälp av Pthagoras sats. 5 = + ger = 9. Då längden av sidan DB är 9 cm blir B C 5 9 = 6 cm. Uppdatera figuren. c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
freeleaks NpMaB ht000 4(40) D 9 6 B C z z 5 E z A 5 B Längden av EB och EB är lika, kalla längden för z. Triangeln B CE är rätvinklig. Pthagoras sats ger z = 6 + ( z) }{{} 44 4 z+z 0 = 36 + 44 4 z z = 36 + 44 = 80 4 4 = 7,5 Arean hos triangeln AB E blir area = 5 7,5 = 56,5 Svar Arean är 56,5 cm. c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
D 5 cm C cm A B freeleaks NpMaB ht000 5(40) Beräkna arean av den uppvikta (grå) delen av pappersarket. (0/4/ ) Beräkningar som bgger på uppmätta värden godtas ej. Del # 9 (0/3) Sannolikhet 9. Vid OS och andra idrottstävlingar tas blodprov regelbundet för att kontrollera om deltagarna är dopade. Priset för att testa blod är dock ganska högt. För att minska antalet blodprovsundersökningar och ändå kunna hitta spår av dopingpreparat kan man göra på följande sätt. Man blandar delar av fem stcken blodprov i ett enda provrör och gör ett test på blandningen i provröret. Det är bara om det finns otillåtna ämnen i blandningen som de fem blodproven måste undersökas separat. Hur stor är sannolikheten att man måste undersöka blodproven separat? Du kan anta att sannolikheten för att ett enskilt blodprov innehåller dopingrester är 0,05. (0/3) Sannolikheten för att vara dopad är P (dopad) = 0,05. Då blir sannolikheten för att vara ren (komplementhändelsen) P (ren) = 0,05 = 0,985. dopad :a ren dopad :a ren dopad 3:e ren dopad 4:e ren dopad 5:e ren alla rena Sannolikheten för att alla 5 ska vara rena är P (alla rena) = P (ren) 5 = 0,985 5 = 0.9765036565 = 0,97 P (inte alla rena) = P (alla rena) = 0,073 Svar Sannolikheten att för att undersöka proven separat är 0,073. c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
Np MaB ht 000 freeleaks NpMaB ht000 6(40) Redovisningen av din lösning till uppgift 0 görs dels i detta häfte (tabellen) och dels på särskilda skrivningspapper. Del 3 # 0 (4/7/ ) Skärningar mellan kurvan = och räta linjer 0. Skärningar mellan kurvan = och räta linjer 9 8 7 6 A I figuren till vänster kan man avläsa -koordinaterna för punkterna där kurvan och linjen A skär varandra: För vänstra skärningspunkten: = 0, 5 och för högra skärningspunkten: =, 5 5 4 3 Därefter beräknas summan + = och produkten =, 5 Linjens k- och m-värde bestäms ur figuren till k = och m =, 5 3 3 Alla värden har förts in i tabellen på nästa sida. Gör motsvarande avläsningar i figurerna nedan. Fll sedan i tabellen på nästa sida. 9 9 9 8 8 8 7 7 7 6 6 6 5 4 B 5 4 5 4 3 3 3 3 3 3 3 C 3 3 D c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
freeleaks NpMaB ht000 7(40) Np MaB ht 000 Linje A B C D -koordinaten -0,5 för vänstra skärningspunkten med kurvan -koordinaten för högra skärningspunkten med kurvan Summan av - koordinaterna Produkten av - koordinaterna Linjens riktningskoefficient -koordinaten för skärningspunkten med -aeln Linjens ekvation,5 + -,5 k m,5 = +,5 Formulera i ord de slutsatser du kan dra av tabellen. I tabellen finns angivet -koordinaterna för skärningspunkterna mellan kurvan = och linjen = +, 5. Dessa -koordinater blir då också lösningen till andragradsekvationen = +, 5 Lös andragradsekvationen och visa att koordinaterna är korrekta i detta fall. Försök att visa att de slutsatser du drog med hjälp av tabellerna gäller för alla tänkbara linjer som skär kurvan = (4/7/ ) Vid bedömning av ditt arbete kommer läraren att ta hänsn till: Hur stor del av uppgiften du löser Hur väl du formulerar de slutsatser du har funnit Hur generell metod du använder när du visar dina slutsatser c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0 Hur väl du redovisar ditt arbete
freeleaks NpMaB ht000 8(40) Uppgiften består av fra olika delar. / Gör motsvarande avläsningar i figurerna, fll i tabellen. / Formulera i ord de slutsatser du kan dra av tabellen. 3/ I tabellen finns angivet -koordinaterna för skärningspunkterna mellan kurvan = och linjen = +,5. Dessa -koordinater blir då också lösningen till andragradsekvationen = +,5 Lös andragradsekvationen och visa att koordinaterna är korrekta i detta fall. 4/ Försök att visa att de slutsatser du drog med hjälp av tabellerna gäller för alla tänkbara linjer som skär kurvan =. Skärningspunkter mellan en andragradfunktion = och olika räta linjer ska läsas av och en tabell ska kompletteras. Följande uppgifter ska behandlas: / Komplettera tabellen, finn skärningspunkter (, ) m = = 3 (, 4) = 3 Linje avlästa data -koordinaten för vänstra skärningspunkten med kurvan -koordinaten för högra skärningspunkten med kurvan -koordinaten för skärningspunkten med -aeln B m Linje beräknade fakta B Summan av + -koordinaterna Produkten av -koordinaterna Linjens k riktningskoefficient Linjens ekvation = + c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
freeleaks NpMaB ht000 9(40) ( 3, 9) = 4 = 8 Linje avlästa data -koordinaten för vänstra skärningspunkten med kurvan -koordinaten för högra skärningspunkten med kurvan -koordinaten för skärningspunkten med -aeln C 3 m 3 m = 3 (, ) Linje beräknade fakta C Summan av + -koordinaterna Produkten av 3 -koordinaterna Linjens k riktningskoefficient Linjens ekvation = +3 ( 3, 9) = 3 = 9 Linje avlästa data -koordinaten för vänstra skärningspunkten med kurvan -koordinaten för högra skärningspunkten med kurvan -koordinaten för skärningspunkten med -aeln D 3 0 m 0 (0, 0) m = 0 Linje beräknade fakta Summan av -koordinaterna Produkten av -koordinaterna Linjens riktningskoefficient Linjens ekvation D + 3 0 k 3 3 c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0
freeleaks NpMaB ht000 30(40) Fll i tabellen -koordinaten för vänstra skärningspunkten med kurvan -koordinaten för högra skärningspunkten med kurvan Summan av -koordinaterna Produkten av -koordinaterna Linjens riktningskoefficient -koordinaten för skärningspunkten med -aeln A B C D -0,5 - -3-3,5 0 + - -3 -,5 - -3 0 k - -3 m,5 3 0 Linjens ekvation = +,5 = + = +3 = 3 Tabellen avslutar första punkten på listan (sid 37). / Slutsats i ord Summan av -koordinaterna + är lika med linjens riktningskoefficient k. Detta stämmer för alla fra fall. Produkten av -koordinaterna är lika med -koordinatens skärning med -aeln med omvänt tecken. Detta stämmer för alla fra fall. Formler till nationellt prov i matematik kurs Andra punkten i listan med 4 uppgifter är klar (sid 37). 3/ Lös = +,5 och kontrollera Använd Algebra FORMELSAMLINGEN. (4) Regler ( a + b) = a + ab + b ( a b) = a ab + b ( a + b)( a b) = a b Andragradsekvationer + p + q = 0 p = ± p q Aritmetik c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0 Prefi T G M k h d c m µ n p
freeleaks NpMaB ht000 3(40) Skriv om ekvationen på samma form som i FORMELSAMLINGEN. Vi får då 0 =. }{{}, = ± p=,5 }{{} q=,5 (,5) = ±,5) = ±,5 Ekvationen har två rötter = 0,5 och =,5 vilket stämmer med fall A i tabellen. Tredje punkten i listan med uppgifter på sidan 37 är klar. 4/ Visa generell slutsats En godtcklig linje har formeln = k + m och linjen skär parabeln = för de som är lösning till = k + m 0 = k m. Andragradsekvationen har två rötter och vilket betder att den kan faktoriseras enligt 0 = ( )( ) 0 = ( + }{{ ) + } }{{ } k m Jämför ekvation () med (). Följande slutsatser gäller alltså generellt då linjen var godtcklig. Summan av -koordinaterna + är lika med linjens riktningskoefficient k. Produkten av -koordinaterna är lika med -koordinatens skärning med -aeln med omvänt tecken. Sista punkten i listan med uppgifter på sidan 37 är klar och därmed är hela uppgiften klar. Kommentar Uppgiften är inte särskilt svår men det är flera olika delfrågor. Alla elever ska kunna komplettera tabellen med och för fallen B, C och D. Att lösa andragradsekvationen, 5 = 0 ska också alla kunna. Att kunna redovisa välstrukturerat, fullständigt och tdligt kräver vana och träning. () () c G Robertsson 06 buggar robertrobertsson@tele.se 06-0-0