x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

Relevanta dokument
4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

Tentamen i Envariabelanalys 2

x 1 1/ maximum

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 4 juni 2008 Tid:

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Modul 4 Tillämpningar av derivata

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

Checklista för funktionsundersökning

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2016 Skrivtid 9:00-13:00

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

UPPSALA UNIVERSITET Envariabelanalys IP1/Hösten L.Höglund, P.Winkler, S. Zibara Ingenjörsprogrammen Tel: , ,

Lösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 26 okt 2016 Skrivtid 13:00-17:00

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Betygsgränser: För betyg. Vem som har är. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) (2p) lim. (1p) cos( x 1) lim x 1. (1p) 2. (4p) Uppgift.

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Lösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22)

Typexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT.

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Svar till tentan

a) Bestäm samtliga asymptoter (lodräta/vågräta/sneda). b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/max/terrass). c) Rita grafen.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22

MVE465. Innehållsförteckning

Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

SF1625 Envariabelanalys

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic

Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade!

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:

Campus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)

Transkript:

TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på varje inlämnat blad. Uppgifter ::. Beräkna följande funktioners derivator (a) f (x) = arctan(sin x) (b) f 2 (x) = +x2 +x (c) f 3 (x) = ln( 3x) + arccos(5x) 2. Beräkna integralen I = x sin(x 2 )dx 3. Beräkna integralen I 2 = x arctan xdx 4. Beräkna integralen I 3 = x 2 + (x + )(x 2 2x + ) dx 5. Rita grafen till funktionen x 2 x 3. Bestäm alla kritiska punkter och klassificera dem. Beräkna även alla asymptoter.

6. Vi behöver beräkna ett närmevärde till 43 och vi tänker oss att göra en andra ordningens approximation genom att Taylorutveckla x kring 49. (a) Beräkna andra ordningens Taylorpolynom med centrum i 49. (b) Vad blir närmevärdet? (c) Vad blir feltermen. (d) Uppskatta felet. ( poäng) ( poäng) ( poäng) (2 poäng) 7. Låt f(x) = x 2 + 6x 6 (a) Beräkna arean A som ligger under grafen till f(x) och ovanför linjen y =. (2 p) (b) Beräkna volymen som uppstår då vi roterar arean A runt y-axeln. (3 p) 8. Bestäm masscentrum för arean A som definierades i uppgift 7. 2

Svar till tentamen i Envariabelanalys Distans, ot-nummer 3.. (a) f cos x (x) = +sin 2 x (b) f 2 +2x+x2 (x) = (+x) 2 (c) f 3 (x) = 2x 5 25x 2 2. I = C 2 cos x2 3. I 2 = x2 2 arctan x + x 2 + 2 arctan x + C 4. I 3 = 2 ln x + + 2 ln x x + C 5. Lokalt max i x = 3, lokalt min i x = 3. y-axeln är lodrät symtot och x-axeln är horisontell asymptot. 6. 7. (a) A = 32/3 (b) Volymen blir 64π 8. x = 3, ȳ = 0, 6

Lösningar till tentamen i Envariabelanalys Distans, ot-nummer 3.. (a) Löses med en rättfram användning av kedjeregeln. (b) I denna uppgift är det kvotregeln som är lämpligast. (c) Här använder vi additionsregeln och deriverar varje term för sig. Termerna kräver en enkel användning av kedjeregeln. Första termen kan också förenklas innan man deriverar: ln( 3x) = ln(3x) 2 = logaritmregel = 2 ln(3x) derivering 3 2 3x = 2x 2. Här noterar vi att x väsentligen är derivatan av det som står inne i sinusfunktionen. Detta gör substitutionen u = x 2, du = 2xdx u = x 2, xdx = 2 du är användbar, och vi får: I = 2 sin udu = 2 cos u + C = C cos x2 2 3. Det här är ett typisk fall för partiell integration där vi integrerar x och deriverar arctan x: I 2 = x2 2 arctan x x 2 2 + x 2 dx = = x2 2 arctan x x 2 + 2 + x 2 dx = = x2 2 arctan x dx + 2 2 + x 2 dx = = x2 2 arctan x + x 2 + 2 arctan x + C 4. Vi observerar först att (x 2 2x+) = (x ) 2 och detta ger oss följande partialbråksuppdelning: x 2 + (x + )(x ) 2 = A x + + B x + C (x ) 2 Handpåläggning ger oss A = 2 och C =. Ovanstående partialbråksuppdelning gäller för alla värden på x så om x = 2 tex så får vi ekvationen 5 3 = A 3 + B + C, som med värdena på A och C ger att B = 2 Det följer nu att I 3 = dx 2 x + + dx 2 x + dx (x ) 2 = = 2 ln x + + ln x 2 x + C 5. Vi börjar med att derivera funktionen: derivatan blir :: 3 x 2 x 4.

Kritiska punkter Kritiska punkter uppkommer som nollställen till derivatan, vilket i vårt fall inträffar då täljaren är noll, vilket leder till att x = ± 3 Klassificiering av dessa kritiska punkter kan göras genom teckenstudium av derivatan eller med hjälp av andraderivatatestet. Man får att x = + 3 är ett lokalt maximum och x = 3 är ett lokalt minimum. Asymptoter Vår funktion kan bara ha horizontella och vertikala asymptoter Vi har en singulär punkt i origo och denna punkt ger oss en lodrät asymptot: lodrät asymptot i x = 0. För horisontell asymptot så konstaterar vi att gränsvärdena x 2 lim x ± x 3 = 0 vilket innebär att x-axeln är en horisontell asymptot. Sammanställer vi detta och gör ett teckenstudium så kommer vi fram till att grafen ser ut som följer: Figure : 6. (a) Andra ordningens Taylorpolynom till en funktion f(x) centrerad i en punkt a ges av p 2 (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 2 Sneda asymptoter bara uppstår i de fall täljarpolynomet har gradtal ett högre än nämnarpolynomet och i vårt fall är nämnarens gradtal större än täljarens. 5

I vårt fall har vi att f(x) = x = (x) /2 och a = 49 så om vi först deriverar vår funktion två gånger: f (x) = 2 x, f (x) = 4x x så kan vi beräkna andra ordningens Taylorpolynom: p 2 (x) = 7 + (x a) 4 8 7 3 (x a)2 = 7 + (x a) (x a)2 4 2744 (b) I vårt fall är x = 43. Sätter vi in detta i vårt Taylorpolynom så får vi närmevärdet (c) Feltermen är p 2 (43) = 4499 686 6.5583 f (c) (43 49) 3 = 27 6 2c 2, 43 < c < 49 c (d) För att uppskatta felet så behöver vi ta reda på för vilket värde på c i intervallet [43, 49] som gör att feltermen blir störst. Funktionen avtar med ökande värden på c vilket gör att feltermen är som störst då c = 43, vilket ger oss värdet 27 2 43 2 43 I uppgiften försöker vi bestämma vad 43 blir och då duger det inte att ge en feluppskattning som kräver ett värde på detta. Välj hellre c = 36 som visserligen ger oss en grövre feluppskattning men vi får i alla fall reda på detta fels värde på ett enkelt sätt: 27 2 36 2 36 = 27 2 296 = 27 5552 0.00736 (e) Man skulle kunna sammanfatta genom att skriva det hela som en tolerans 43 = 6.5583 ± 0.00736 En miniräknare kan ge oss närmevärdet 6.55743852 (som är värdet av ett högre gradens taylorpolynom) och det är inte svårt att inse att detta mer exakta värde ligger inom den tolerans vi fått fram! 7. (a) Arean som vi söker ligger ovanför y = och nedanför f(x) = x 2 +6x 6. Vi behöver veta var dessa två kurvor skär varandra och löser därför ekvationenen f(x) = som ger oss andragradsekvationen x 2 + 6x 5 = 0 och vi får att skärningspunkterna är x = och x = 5 Arean blir nu A = f(x) ( )dx = ( x 2 + 6x 5)dx = [ x 3 /3 + 3x 2 5x] 3 = = 32/3 (b) För rotationen runt y-axeln så använder vi oss av cylindriska skal: Cylindriskt skal:: dv = } omkretsen {{} 2πx höjden }{{} f(x) ( ) tjockleken }{{} dx Alla cylindriska skal mellan och 5 skall summeras och vi får att rotationsvolymen blir: V = 2π x( x 2 + 6x 5)dx = 2π[ x 4 /4 + 2x 3 5x 2 /2] 5 = = 64π 6

8. Vi börjar med att notera att vår andragradskurva är spegelsymmetrisk 2 kring x = 3. Denna spegelsymmetri medför att masscentrum för vår area måste ligga på denna symmetriaxel. Vi får alltså att x = 3. Nu är frågan var på denna linje som masscentrum befinner sig. Vi behöver alltså bara bestämma ȳ. Vi har att ȳ = M y=0 A, där arean A = 32/3 beräknats i föregående uppgift. M y=0 är momentet för arean kring x-axeln (som ju kan skrivas som y = 0.) Detta moment ges av M y=0 = 2 (f(x)) 2 dx Problemet med denna formel är att vår area ligger både ovanför och nedanför x-axeln och skapar där två motverkande moment. Vi måste i denna uppgift modifiera räkningarna något. Låt oss förflytta hela arean uppåt så att ingen del av arean ligger under x-axeln. Vi translaterar därför kurvan ett steg uppåt så att vi får den nya funktionen g(x) = f(x)+ = x 2 +6x 5. Nu går det bra att använda vår momentberäkningsmetod, men vi måste komma ihåg att translatera tillbaka på slutet... Vi får nu M y=0 = 2 = 2 Masscentrums y-koordinat blir nu (g(x)) 2 dx = 2 ( x 2 + 6x 5) 2 dx = (x 4 2x 3 + 46x 2 60x + 25)dx = = 256 5 ȳ = M 256 y=0 A = 5 32 3 = 8 5 =.6 Nu flyttar vi tillbaka vår area och får då att vårt masscentrum får y-koordinaten ȳ =.6 = 0.6 2 kan ses tex genom att kvadratkomplettera: (x 3) 2 + 3. Denna beter sig kring x = 3 som y = x 2 + 3 beter sig kring x = 0 7