Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Staffan Grundberg Laboration 4 mars 4 Stångbärverk Hållfasthetslärans grunder Civilingenjörsprogrammet i teknisk fysik
Knut Knut....4 y/ L.5.6.7.8.9 Knut 4 Knut..4.6.8 x/ L Figur. I figuren finns ett stångbärverk med en rörlig knut och tre fixerade -4 avbildat.. Inledning Ett stångbärverk består av ett antal stänger sammankopplade i momentfria leder, så kallade knutar. Ett enkelt exempel på ett stångbärverk hämtat från Dahlberg [] finns avbildat i figur I figur finns en stång i ett bärverk med knutar i punkterna r respektive r i obelastat tillstånd avbildad. När stångbärverket belastas, kommer denna stång i bärverket att utsättas för en axiell kraft N, men inget moment eftersom knutarna antas vara momentfria. Den axiella kraften N antas vara positiv om den pekar i den utåtriktade normalens riktning vid ett internt snitt enligt figur. Med andra ord är N positiv om stången utsätts för en dragkraft. När stångbärverket belastas kommer knutarna vid r och r att förskjutas till r+ r respektive r + r. Stångens längd i det deformerade tillståndet blir då l+ l = r+ r r + r r r + r r r r r r, där approximationen förutsätter att deformationerna är små. Stångens längdändring vid belastning kan alltså skrivas l = ˆn r r, där ˆn= r r r r
l = r r Tänkt snitt Stångbärverk r N ˆn N ˆn r Figur. I figuren avbildas en stång i ett bärverk med momentfria leder. Stångens ändpunkter, som ansluter till två knutar, betecknas r respektive r. Vektorn l=r r sammanbinder stångens ändpunkter och vektorn ˆn är en enhetsvektor som är parallell med l och stången. Görs ett tänkt snitt i stången kommer krafterna på snittytorna att vara N ˆn respektive N ˆn. är en enhetsvektor parallell med stången, se figur. Stångens töjning ε l l, 4 ges av den konstitutiva ekvationen Hookes lag ε = σ + α T, 5 E där σ är normalspänningen, materialparametrarna E och α är stångens elasticitetsmodul respektive längdutvidgningskoefficient, samt T = T T är temperaturändringen. Kombineras de kinematiska och konstitutiva sambanden, så erhålls normakraften i stången [ ˆn r r ] N = EA α T, 6 l där A betecknar stångens tvärsnittsarea... Exempel Låt oss betrakta exemplet i figur för fallet då knut utsätts för en vertikal last F = Pŷ 7 och stängerna har alla samma axialstyvhet EA. Stängerna och har längden L, medan stång har längden L. Temperaturen antas vara konstant, d.v.s. T =. Kraftjämvikt i x-riktningen för nod ger jämviktsekvationen medan kraftjämvikt i y-riktningen ger EA x / y / EA x =, 8 L L EA y L + EA x / y / L P=. 9
De två jämviktsekvationerna kan skrivas EA + L x y EA x L + + y vilket kan skrivas på matrisform där K är styvhetsmatrisen förskjutningarna ges av och den externa kraften av = = P, Ku=f, K= EA + L +, x u= y f= P ; 4. 5 Genom att lösa ekvationssystemet kan knutens förskjutning vid jämvikt beräknas x PL u= = y EA + +, 6 och detta ger att axialkrafterna i stängerna blir + P N = + 7 P N = + 8 N P = +. 9. Knutpunktsförskjutningar I fallet med ett stångbärverk med flera rörliga knutar och där stängerna utsätts för temperaturändringar, så ges knutpunkternas förskjutningar x y x u= y. x n y n
av jämviktsekvationerna Ku=f+f T, där f innehåller de yttre krafterna och f T är en kraftterm som härrör från de termiska töjningarna.. Bivillkor Ett exempel på bivillkor är om någon eller några av de inre noderna är placerade på stöd, som är fritt rörliga i endast en riktning. Då uppkommer reaktionskrafter, som är vinkelräta mot den fria riktningen, från stöden. Dessa krafter ger ett bidrag till de yttre krafterna i ekvation, som sedan löses tillsammans med bivillkoren. Ett annat sätt att lösa problemet är att minimera den fria energin under de p linjära bivillkoren FT,u=F T + ut Ku u T f+f T, där C är en p n matris. Detta ger ett ekvationssystem { Ku f+ft =C T λ Cu=, där Cu=, λ = är en vektor innehållande Lagrangemultiplikatorerna λ,...,λ p. Ekvationssystemet kan skrivas på kompakt form som Ax=b, 6 där λ λ. λ p K C T A= C u x= λ 4 5, 7 8 och 4. Frågor b= f+ft. 9. Beräkna knutpunktsförskjutningarna och axialkrafterna för stångbärverket i figur om stånglängderna ges av L = m; alla stänger har samma axialstyvhet AE = MN och stång utsätts för en termisk töjning α T = 5. Endast knut är rörlig. 4
.5 Knut 6 8 Knut 4 4 Knut.5 9 7 5 y m Knut 8 Knut 7 Knut 5 6 Knut Knut.5 4 5 Knut 9 Knut.5.5.5.5.5 4 x m Figur. I figuren finns ett stångbärverk med sju rörliga knutar 7, och tre fixerade 8.. Knut i stångbärverket i figur utsätts för en nedåtriktad kraft på kn. Beräkna knutpunktsförskjutningarna och krafterna i stängerna. Axialstyvheterna är AE = MN.. Knutarna och 4 i stångbärverket i figur 4 placeras i obelastat tillstånd på stöd, vilket medför att de endast kan röra sig i horisontell riktning. Beräkna knutpunktsförskjutningarna och reaktionskraften från stöden vid knutarna och 4. Knut utsätts för en nedåtriktad kraft på kn. Axialstyvheterna är AE = MN. 5. Redovisning Redovisa lösningarna på problemen ovan i en individuell rapport. Rapporten ska innehålla en inledande teoridel, ett metodavsnitt där beräkningsalgoritmen beskrivs, en resultatdel där resultaten beskrivs, samt diskussion och slutsatser. Koden bifogas rapporten i en bilaga. Rapporten laddas upp i Moodle. Referenser [] Tore Dahlberg. Teknisk hållfasthetslära. Studentlitteratur,. 5
.5 Knut y m.5 7 5 Knut 5 6 Knut 4 4 Knut Knut.5.5.5.5 x m Figur 4. I figuren finns ett stångbärverk med två rörliga knutar och, en fixerad knut 5 och slutligen två knutarna och 4 som är fritt rörliga i horisontell led x-led, men fixerade i vertikal led y-led. 6