H9, Introduktionskurs i matematik EXTREMPUNKTER ============================================================. EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition. (Globalt maimum) Låt vara en punkt definitionsmängden D till en funktion f. Vi säger att f ) är funktionens största värde (globalt maimum) om ( ) ) för alla D. Om ) ) för alla i en (oavsett hur liten) omgivning till säger vi att ) är ett lokalt maimum. Vi preciserar detta i följande definition. Definition. (Lokalt maimum) Låt vara en punkt definitionsmängden D till en funktion f. Vi säger att f ) är funktionens lokala maimum om det finns ett tal sådant att ( (, D ) ) ). (*) Vi kallar då en lokal mapunkt ( eller lokal maimipunkt). Funktionens lokala maimum f ) kallas även funktionens lokala maimivärde. Om i (*) gäller ) ) när säger vi att f ) är ett strängt lokalt maimum. På motsvarande sätt definierar vi (globalt och lokalt) minimum, minpunkt och minimivärde. Definition 3. En etrempunkt är en punkt som antingen är en ma eller en minpunkt. Vi säger också att funktionen har ett etremvärde (maimum eller minimum) i en sådan punkt. ( ( Eempel. Funktionen 3 3 har lokalt maimum i punkten och lokalt minimum i punkten. Vi säger att är en mapunkt och att är en minpunkt. av
H9, Introduktionskurs i matematik Funktionen 3 3 saknar globala etremvärden. Eempel. Funktionen en mapunkt. e ( ) Funktioner saknar minimipunkter. Notera att. har globalt maimum i punkten. Vii säger att e ( ) är för alla, dvs funktionen aldrig når värdet Eempel 3. Funktionen 3 har globalt minimum 3 i punkten.. VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen ) är deriverbarr i intervallet (a, b) ochh ) i detta intervall så är funktionen väandee i (a, b). Anmärkning: Om dessutom funktionen ärr kontinuerlig i a (ellerr i b eller i både a och b) så är f väande i [a, b) ( eller i (a, b] eller i [a, b] ii) Om funktionenn ) är deriverbar i intervallet (a, b) och o ) så är funktionen avtagande i (a, b) ) av
H9, Introduktionskurs i matematik Anmärkning: Om dessutom funktionen är kontinuerlig i a (eller i b eller i både a och b) så är f avtagande i [a, b) ( eller i (a, b] eller i [a, b] iii) Om ) för alla i (a, b) så är ) en konstant funktion i (a,b). Anmärkning: Om dessutom funktionen är kontinuerlig i a (eller i b eller i både a och b) så är f konstant i [a, b) ( eller i (a, b] eller i [a, b] 3. STATIONÄRA PUNKTER Lösningar till ekvationen ) kallas funktionens stationära punkter. En stationär punkt kan vara : A ) lokal mapunkt (eller maimipunkt) B) lokal minpunkt (eller minimipunkt) C) terraspunkt. Med hjälp av förstaderivatans teckenschema, i en omgivning till en stationär punkt, kan vi bestämma punktens tp: A) Om teckentabell för förstaderivatan har följande form f () + ) väer så har funktionen ( i närheten av ) grafen av följande tp och är en lokal mapunkt. Funktionens värde ) i en lokal mapunkt kallas för lokalt maimum (maimivärde). B) Om teckentabell för förstaderivatan har följande form f () + ) väer så har funktionen grafen av följande tp och är en lokal minpunkt. Funktionens lokala minimum (eller minimivärde) är f ). C) En teckentabell för förstaderivatan av följande tp: ( 3 av
H9, Introduktionskurs i matematik ) + ) väer + väer ger följande graf eller f () ger I båda fall är en lokal terrasspunkt. TEST MED ANDRADERIVATAN Vi kan i några falll använda andraderivatans värde i en stationärr punkt för att bestämma om punktenn är ma- eller minpunkt. Låt vara en stationär punkt dvs ). A) Om f ( ) så är punkten en lokal mapunkt. B) Om f ( ) så är punkten en lokal minpunkt. Men, om f ( ), då kan alla tre fall förekomma. I detta fall, för att bestämma om punkten är ma- min- eller terrasspunkt, måste vi använda teckenschemaa för förstaderivatan. 4. KONVEXA och KONKAVA funktioner i) Om ) i ett intervall (a, b) såå är funktionen konve ( = konkavv uppåt i några böcker) i detta intervall. ii) Om ) i ett intervall (a, b) så är funktionen konkavv (= konkavv nedåt i några böcker) i detta intervall. 5. INFLEXIONSPUNKTER. Infleionspunkt är en punkt på en e kurva där kurvan övergår från att vara konkav till att vara konve eller vise versa. Anmärkning: I några böcker krävs dessutom att kurvan har tangenten i punkten. Infleionspunkter bestämmer vi med hjälp av andra derivatan. ) och analserar teckentabell förr av andra derivatan. Vi löser ekvationen Om ) och dessutom derivatann ändrar tecken i ( dvs + teckenn på en sida och tecken på andra sidan) då är punkten en infleionspunktför till ). 4 av av
H9, Introduktionskurs i matematik ÖVNINGSUPPGIFTER Uppgift. Låt a) ) 5 b) ) 4 c) f ( ) e d) ) e Bestäm det största öppna intervallet där funktionen är strängt väande. Lösning a) Förstaderivatan: ). ) b) ) 8 8 (dela med negativt tal -8) / 8. c) ) e gäller för alla. d) ) e gäller inte för något. Funktionen är avtagande för alla. Svar: a), b) / 8, c) Funktionen väer för alla dvs Uppgift. Bestäm på vilka intervall funktionen Bestäm eventuella infleionspunkter. ) 3 3 är konve resp. konkav. Lösning: Först beräknar f ( ) 3 6 och f ( ) 6 6. i) f ( ) 6 6. Funktionen är konve om. ii) f ( ) 6 6. Funktionen är konkav om. iii) f ( ). Enligt i) och ii) bter f () tecken i punkten och därför är denna punkt en infleionspunkt. Svar: Funktionen är konve om. Funktionen är konkav om. Punkten är en infleionspunkt. Uppgift 3. Bestäm eventuella stationära punkter och deras tp för nedanstående funktioner. Bestäm också funktionens värde i varje stationär punkt. a) ( ) 3 f b) ) 3 3 5 av
H9, Introduktionskurs i matematik c) 3 ) d) ) e Lösning: a) ) ). En stationärpunkt 3 ). Vi avgör punktens tp med hjälp av andraderivatatestet: ) Alltså f ( ) är en minpunkt. min ). Grafen till f() (ritad med hjälp av ett dataprogram) ). Svar a) minpunkt, min b) ) 3 3 ) ) 3 3 Alltså, två stationära punkter Vi avgör punkternas tp med hjälp av andraderivatatestet: ) i) ) 6 6 är en minpunkt. 3 3 och... min ). ii) f ( ) 6 är en mapunkt. 6 av
H9, Introduktionskurs i matematik ma ). Grafen till f() (ritad med hjälp av ett dataprogram) Svar b) Två stationera punkter: en minpunkt, där min en mapunkt där ma ) och ). 3 c) ) 3( ( ) f ( ) ( ) ) 3( ) ( ) En stationärpunkt. Vi avgör punktens tp med hjälp av första derivatans teckenstudie. ( Den n här gångenn är det enklare att användaa teckenstudie än att derivera en gång till och använda andraderivatatestet): Teckentabell för förstaderivatan ) ) + ) väer visar attt är en mapunkt.. Grafen till f(): ma ) 3. 7 av
H9, Introduktionskurs i matematik Svar c) mapunkt, 3 ma d) ) e ) e ) e e En stationär punkt =. Teckentabell för förstaderivatan ) ) + ) väer visar attt = är en mapunkt. Grafen till f(): ma ). Svar d) mapunkt ma., m Uppgift 4. Bestäm eventuella stationära punkter och deras tp för f nedanstående funktioner. Bestäm också funktionens värde i varje stationär punkt. Kan man bestämma punktens tp med hjälp av andraderivatatest? a) ) 4 b) 6 ) 3 c) f ) 8 av ( 3 d) ) ) 3
H9, Introduktionskurs i matematik Lösning: a) ) 4 ) 4 ) 4 3. Alltså, en stationärpunkt. Vi försöker bestämma punktens tp med d hjälp av andraderivatatestet: f (). Härav f ) ). Eftersom andraderivatan i stationära punkten är ( kan vi INTE använda andraderivatatestet.. Teckentabell för förstaderivatan 3 ) ) ) + väer visar attt = är en minpunkt. Grafen till f(): min ). Svar a) minpunkt, mi. (And in draderivatatestet är INTE användbar eftersom andraderivatan i stationära punkten är. ) b) ) 3 ) 6 En stationärpunkt 6. ( ) 6 Vi försöker bestämma punktens tp med d hjälp av andraderivatatestet: 5 5. 4 f () 3. Härav f ( ) f (). Eftersom andraderivatan i stationära punkten är kan vi INTE använda andraderivatatestet. Teckentabell för förstaderivatan 9 av
H9, Introduktionskurs i matematik ) ) + ) väer visar attt = är en mapunkt. Grafen till f(): ma ) 3. Svar b) minpunkt, m 3. (And a draderivatatestet är INTE användbar eftersom andraderivatan i stationära punkten är. ) c) ) 3. En stationärpunkt Vi försöker bestämma punktens tp med d hjälp av andraderivatatestet: ) ) 3 ) 3. 6. Härav f ( ) ). Eftersom andraderivatan i stationära punktenn är kan vi INTE använda andraderivatatestet.. Teckentabell för förstaderivatan ) ) + ) väer + väer visar attt = är en terrasspunkt. ). Grafen till f(): av
H9, Introduktionskurs i matematik Svar c) Terrasspunkt, ). (Andraderivatatestet är INTE användbar eftersom andraderivatan i stationära punkten är. ) d) ) 3. En stationärpunkt Vi försöker bestämma punktens tp med d hjälp av andraderivatatestet: ) ) 3. 6. Härav f ( ) ). Eftersom andraderivatan i stationära punkten är kan vi INTE använda andraderivatatestet.. Teckentabell för förstaderivatan ) 3 ) ) ) visar attt = är en terrasspunkt. ). Grafen till f(): Svar d) Terrasspunkt, andraderivatan i stationära punkten är. ) ). (Andraderivatatestet är ä INTE användbar eftersom av