3 Tredje lektionen 3. Frekvensdomänen 3.. Fourier och sinus a) Varför kan vi inte transformera med den vanliga fouriertransformen? = sin(ω t) () b) Tillåt X(ω) att innehålla diracimpulser (en generalliserad funktion). Vilken signal har spektrumet X(ω)? a) Fouriertransformen X(ω) = jπ ( δ(ω ω ) + δ(ω + ω )) (2) X(ω) = e jωt dt (3) förutsätter att är icke-periodisk. För periodiska signaler, som i det här fallet, konvergerar inte alltid transformen i ekvation (3): X(ω ) = = j = j sin(ω t)e jωt dt sin(ω t) cos( jω t)dt sin 2 (ω t)dt sin 2 (ω t)dt j (4) Divergensen beror på att sinussignalen inte är en energisignal utan har oändlig energi den uppfyller inte Dirichlets villkor. Effektsignaler som vår sinusvåg kan hanteras med en generaliserad fouriertransform: Vi får ju fouriertransformen för icke-periodiska signaler genom att låta T i fourierserien för periodiska signaler. Se Svärdström sidan 85. 2
X(ω) = lim a e a t e jωt dt (5) där a >. Detta kan vi se som ett trick: Gör först effektsignalen till en energisignal med exp( a t ) och hitta dess transform; Beräkna sedan gränsvärdet av transformen när vi låter energin i bli oändlig (d.v.s. a ). Se figur. Notera att ju mer begränsad signalen är i tiden, desto mera utspridd blir den i frekvensdomänen. Mer om detta i uppgift 3..3. a=,5 -,5 X(f) 5 a=, a=, - - -5 5,5 -,5 - - -5 5,5 -,5 - - -5 5 t t t,5,5 2 X(f) 5 6 4 2,5,5 2 X(f),5,5 2 f f f Figur : Dämpning av sinus. b) Vi stoppar in spektrumet X(ω) i den inversa fouriertransformen: = = j 2 X(ω)e jωt dω (δ(ω + ω ) δ(ω ω )) e jωt dω = ( e jω t e jωt) 2j = sin(ω t) (6) Den divergens vi råkade ut för i ekvation (4) kan vi hantera om vi tillåter diracfunktioner δ(ω) ( spikar ) i spektrumet. Dessa har en odefinierad amplitud och en oändligt smal bredd, men alltid ytan. Kommentar Teknikaliteterna i den här uppgiften som hur gränsvärdet i a) beräknas är inte det viktiga. Det viktiga är att förstå att transformintegralen inte kan 3
användas direkt på periodiska signaler. En direkt tillämpning gör att man får en svårlöst integral, som kan divergera. En sinusvåg består ju per definition av en frekvens, så att spektrumet består av spikar känns intuitivt rätt. Matematiskt hanteras detta med Diracs deltafunktion, δ(ω). Periodiska signaler behandlas matematiskt enklast med fourierserien! 3..2 Bode Rita ett bodediagram för kretsen i figur 2, där R = MΩ och C = µf. =i(t) R C y(t) Figur 2: Passiv krets av första ordningen. Vi vet att den i frekvensdomänen följer Y (ω) = Kretsens frekvenssvar ges i ekvation (7): H(ω) = X(ω) (7) + jωrc + jωrc = + jω = jω + ω 2 (8) Frekvenssvaret är komplext och därför svårt att grafiskt återge. Ett bodediagram är en grafiskt återgivning av frekvensgången H(ω) och fasgången φ(ω) = arg(h(ω)). Frekvensgången och fasgången utgör tillsammans frekvenssvaret. Man brukar använda logaritmisk frekvensskala. Dessutom används för frekvensgången db-skala på y -axeln. Vi börjar med frekvensgången: H(ω) = = ( + jω2 )( jω) + ω 2 (9) db-skalan som används gäller systemets effektförstärkning vid en viss frekvens. ( ) Y (ω) 2 H(ω) db = log X(ω) 2 4
( H(ω) 2 X(ω) 2 ) = log X(ω) 2 = log ( H(ω) 2 ) () I de fall som H(ω) anger elektrisk spänningsförstärkning, som i denna uppgift, kan vi skriva H(ω) db = 2 log ( H(ω) ) () eftersom P = U 2 /R. Stoppar vi in ekvation (9) i ekvation () får vi ( ) H(ω) db = 2 log + ω 2 = log ( + ω 2 ) (2) Denna funktion ritas lätt upp i t.ex. MATLAB eller Maple, men när vi bara har papper och penna gör vi lite approximationer i ritandet. För första ordningens system, som vi har här, finns det tre intressanta fall: 2 Låga frekvenser, ω. Höga frekvenser, ω. H() db = log ( + ) = db (3) H(ω) db 2 log (ω) (4) Vi kan se att H(ω) db minskar linjärt med log (ω) för höga frekvenser. För varje gång vi tiodubblar ω sjunker H(ω) db med 2 db. Man brukar säga att förstärkningen sjunker 2 db per dekad. Gränsfrekvensen, ω g Gränsfrekvensen är den frekvens där effektförstärkningen sjunkit till hälften (av maxvärdet). 3 Detta motsvarar att spänningsförstärkningen sjunkit med en faktor / 2. När vi räknar i decibel motsvarar detta log (/2) 3 db: H(ω g ) = 2 = + ω 2 ω g = (5) Nu har vi en ganska bra uppfattning om frekvensgången, d.v.s. hur insignalens amplitudspektrum förändras av systemet. Kvar är fasgången φ(ω). 2 Ett första ordningens system kommer att ha ett övergångsband. Högre ordningars system kan ha ett eller flera övergångsband; t.ex. har ett bandpassfilter två övergångsband. Högre ordningars system kan därför ha fler intressanta regioner. 3 Ett bandpassfilter har två gränsfrekvenser, en övre och en undre. 5
( ) Im(H(ω)) φ(ω) = arctan Re(H(ω)) ( ) ω = arctan = arctan (ω) (6) Vi studerar fasgången i samma fall som vi studerade frekvensgången: Låga frekvenser, ω. Höga frekvenser, ω. φ() = arctan() = (7) lim φ(ω) = lim arctan(ω) = π (8) ω ω 2 Gränsfrekvensen, ω g. Gränsfrekvensen definieras av frekvensgången. Här är det bara att stoppa in det beräknade värdet: φ(ω g ) = arctan() = π 4 (9) Med informationen om beteende låga respektive höga frekvenser, samt den beräknade gränsfrekvensen kan vi nu göra ett bodediagram (se figur 3). Jämför med ett idealt filter! db H(ω) - -2-3 -4-5 -6-2 - 2 3 ω rad/s rad φ(ω) -,5 - -.5-2 -2-2 3 ω rad/s Figur 3: Frekvens- och fasgång för ett första ordningens lågpassfilter. 6
3..3 Ett tal Antag att vi mäter upp en normal talsignal som är T sekunder lång (se figur 4). T t Vilka bandbegränsningar gäller för a) i teorin? b) i praktiken? Figur 4: Uppmätt talsignal. a) En signal som är strikt bandbegränsad byggs upp av sinusvågor från ett ändligt frekvensintervall. Annorlunda uttryckt: Amplitspektrum X(ω) är noll utanför ett intervall [ F, F ], där F <. Vi vet att är begränsad i tiden, men inte så mycket mer. Det är begränsningen i tiden vi ska koncentrera oss på. Antag att vi har en oändlig signal s(t), från t = till t =, som innehåller vår talsignal. Använd ett tidsfönster p(t) = för att plocka ut ur s(t): {, t T, annars (2) = p(t)s(t) (2) Den här mätprocessen illustreras i figur 5. Spektrum för vår talsignal kan vi skriva X(ω) = p(t)s(t)e jωt dt (22) Vi kan fortfarande inte säga exakt hur X(ω) ser ut, men vi kan dra lite slutsatser med kunskap om p(t). Amplitudspektrum för ett sådant fönster ges av (se Svärdström sidan 88): 7
p(t) s(t) t Figur 5: Mätning av en ändlig del av oändlig signal. ( ) P (ω) = T 2 sinc 2 ωt (23) Detta amplitudspektrum är oändligt, som synes i figur 6. Slutsatsen blir att en tidsbegränsad signal aldrig kan vara strikt bandbegränsad. T P(w) Figur 6: Amplitudspektrum för tidsfönster. b) I a)-uppgiften kom vi fram till att den tidsbegränsade talsignalen inte är bandbegränsad. Detta beror på att den har ändlig tidsutsträckning, inte på vårt tal. De skarpa gränserna som tidsfönstret p(t) inför ger upphov till det breda amplitudspektrumet. Talet i sig är i praktiken begränsat till vårt hörbara frekvensintervall [2 Hz, 2 khz]. Ett system som ska hantera tal och musik, t.ex. en stereoanläggning, behöver inte frekvenser utanför detta intervall för god ljudåtergivning. Den strikta definition av bandbegränsning vi använt här är inte så praktiskt användbar. Till exempel används 3 db-bandbredden för signaler och filter ofta i tekniska sammanhang. Till exempel har filtret i uppgift 3..2 en 3 db-bandbredd på rad/s. 8
Kommentar Meningen är inte att ni studenter ska kunna komma på det här tricket med tidsfönstret. Syftet med uppgiften är att poängtera. att tidsbegränsade signaler inte kan vara bandbegränsade. 2. att i praktiska sammanhang betraktar vi ändå många signaler som bandbegränsade (vi använder andra mer praktiska definitioner av bandbredd). 3..4 Blanda upp Låt vara signalen från en vanlig mikrofon. Signalen är i praktiken begränsad till intervallet [f, F ] = [2 Hz, 2 khz]. Antag att vi känner X(ω) se figur 7. X(w) -F F f Figur 7: Spektrum för mikrofonsignal. Amplitudmodulera en bärvåg s(t) med enligt figur 8 (AM-radio). xc(t)=sin(wct) sin(wct) Figur 8: Amplitudmodulering. Hur ser X c (ω) ut om ω c F? Börja med att skriva om s(t) enligt s(t) = ( e jω ct e jωct) (24) 2j för att sedan stoppa in s(t) i fouriertransformen: X c (ω) = ( e jωct e jωct) e jωt dt 2j 9
= 2j ( e j(ω ωc)t e j(ω+ωc)t) dt = 2j (X(ω ω c) X(ω + ω c )) (25) Vi ser att två kopior av spektrumet uppstår. Den ena är skiftad uppåt ω c rad/s uppåt i frekvens, medan den andra skiftas nedåt. Utöver frekvensskiftet fås en fasvridning genom termen /2j. Eftersom bärvågens frekvens är mycket större än bandbredden hos kommer överlappet mellan de två kopiorna att vara försumbart. X c (ω) 2 ( X(ω ω c) + X(ω + ω c ) ) (26) Tänk på att detta inte gäller allmänt! Spektrum är i allmänhet komplexa och kan inte adderas till beloppet om de överlappar. Nu när överlappet är försumbart får vi situationen i figur 9. X (w) c -w c w c w Figur 9: Skiftade amplitudspektrum. Vi kan alltså flytta vårt spektrum till vilken frekvens som helst. Detta används i princip i all radiokommunikation för att separera olika signaler. 4 Det som inte riktigt framgår av lösningen i ekvation (25) är vad som händer om vi blandar med någon godtycklig signal (inte en sinus). Sådana fall kan hanteras genom följande samband mellan tids- och frekvensdomän (se Svärdström sidorna 9-2). s(t) (X(ω) S(ω)) (27) Om vi tillämpar detta samband på vår sinusuppblandning får vi (en sinus spektrum hade vi i uppgift 3..) X c (ω) = S(ω v)x(v)dv = j δ(ω + ω c v)x(v) δ(ω ω c v)x(v)dv 2 = j 2 (X(ω + ω c) X(ω ω c )) (28) 4 Exakt hur informationen överförs till bärvågen varierar, men principen är densamma.
3..5 Dubbelt upp Vi tar emot två signaler x (t) och x 2 (t): y(t) = x (t) + x 2 (t) (29) (t.ex. NRJ och Radio City). Om vi känner till spektrum för x (t) och x 2 (t), hur ser Y (ω) ut? Vi går över till frekvensdomän: Y (ω) = = y(t)e jωt dt (x (t) + x 2 (t)) e jωt dt = X (ω) + X 2 (ω) (3) Vi ser att fouriertransformen följer additivitetsprincipen som är en del av superpositionsprincipen (den andra är homogenitets-/skalningsprincipen, se uppgift 3..6). Tänk på att det är komplexa spektrum som kan adderas, inte amplitudspektrum! Som i uppgift 3..4 gäller dock approximationen Y (ω) X (ω) + X 2 (ω) (3) om överlappet mellan X (ω) och X 2 (ω) är försumbart. För två radiostationer stämmer detta väl. Vill man bara lyssna på en station i taget kan de andra filtreras bort (skulle vara svårt om de överlappade i frekvens). 3..6 Ideal förstärkare Vad är frekvensgången för den ideala förstärkaren i figur? K y(t) Figur : Ideal förstärkning.
Systemet i figur beskrivs av y(t) = K (32) Detta system är linjärt (eller hur!?), och vi kan då alltid skriva y(t) som en faltning. Frekvenssvaret: y(t) = K = K δ(τ)x(t τ)dτ = {Kδ(τ)} x(t τ)dτ h(t) = Kδ(t) (33) H(ω) = = K Kδ(t)e jωt dt Y (ω) = KX(ω) (34) Den ideala förstärkarens frekvensgång är konstant, d.v.s. alla frekvenser behandlas lika. Fasgången är identiskt lika med noll ingen fasförskjutning. Det enda som ändras är alltså amplituden och det är precis vad man vill. Vi kan notera att fouriertransformen följer homogenitetsprincipen, liksom additivitetsprincipen, och därför är en linjär operation. 3..7 Första ordningen och jω Beräkna frekvenssvaren för a) en integrator y(t) = t x(τ)dτ (35) Antag att = för t <, och att X() = (ingen likspänning i signalen strunta i det fallet). b) en deriverare y(t) = d dt (36) 2
c) två små kretsar =i(t) =i(t) C y(t) L spole y(t) Figur : Två små kretsar. Använd a) och b) och antag att X() =. Tänk på att är strömmen! a) Det här är ingen bra uppgift och min lösning från lektionen vet jag inte om jag riktigt litar på. Vi litar istället på Svärdströms ekvation (3.77): t x(τ)dτ X(ω) + πδ(ω)x() (37) jω Den första termen i högerledet gäller för ω (d.v.s. för växelspänning); den andra termen gäller för likspänning. Det här med integratorer blir mer intressant när vi kommer till laplacetransformen. b) Om en signals fouriertransform existerar kan vi alltid skriva = Utsignalen y(t) bekriver hur insignalen ändras X(ω)e jωt dω (38) y(t) = d dt = = = X(ω) d dt ejωt dω {jωx(ω)} e jωt dω H(ω)X(ω)e jωt dω H(ω) = jω (39) Derivering i tidsdomänen motsvaras av en multiplikation med jω i frekvensdomänen. 3
c) I den första kretsen matar vi in ström i en kondensator och mäter spänningen över denna. En kondensator lagrar laddning: y(t) = C t dt (4) Använder vi uppgift a) ser vi att kondensatorn har frekvenssvaret H(ω) = /jωc (för ω ). I den andra kretsen har vi en spole som reagerar på förändringar i strömmen : y(t) = L d (4) dt Med hjälp av uppgift b) inses att en spole har frekvenssvaret jωl. Den här uppgiften visar var jω-metoden kommer ifrån. Det är helt enkelt beräkningar i frekvensdomänen: alla passiva komponenter behandlas som motstånd i Ohms lag efter substitutionerna C /jωc och L jωl (se uppgift 3..8). Kom ihåg att jω-metoden förutsätter att det inte finns någon likspänning (annars: se ekvation (37)). Passiva kretsar beskrivs i tidsdomänen av differentialekvationer. Dessa kan ersättas med algebraiska uttryck med jω i frekvensdomänen vilket underlättar lösningen väsentligt. 3..8 Filter, typ Vilken typ av filter är kretsen i figur 2? C i(t) R y(t) Figur 2: Filter? Filtertypen (låg-, hög-, bandpass eller bandspärr) definieras av frekvensgången. Kretsens frekvenssvar kan vi få med jω-metoden: I(ω) = Y (ω) R X(ω) Y (ω) I(ω) = /jωc (42) 4
= jωc [X(ω) Y (ω)] (43) Från ekvationerna (42) och (43) kan ett samband mellan in- och utsignal erhållas. Y (ω) = jωc X(ω) = H(ω)X(ω) (44) + jωc Eftersom vi har ett system av första ordningen kan vi endast ha ett övergångsband. Alltså har vi ett LP- eller HP-filter. Genom att studera frekvensgången för höga och låga frekvenser kan vi ta reda på vilket. lim H(ω) ω = ωrc lim ω + ω2 R 2 C 2 = lim H(ω) ω = RC lim ω /ω2 + R 2 C 2 = (45) Kretsen i figur 2 utgör alltså ett högpassfilter av första ordningen. 3.2 Sampling 3.2. P3 digitalt Jag vill göra en digital inspelning av ett P3-program. Varför skulle resultatet i figur 3 låta skit? Vad behöver göras? Antenn Nedblandning Sampling 44, khz Hårddisk Figur 3: Dåligt digitalt ljud? Det kanske finns flera orsaker, men det jag tänker på är vikning. Samplingen i figur 3 uppfyller visserligen nyquistkriteriet: samplingsfrekvensen 44 khz är mer än dubbelt så stor som den högsta intressanta frekvensen 2 khz. Detta hjälper dock inte mot vikning vid sampling får vi alltid vikningseffekter. 5 Det man måste göra är att minska de negativa effekterna (d.v.s. energin i de högre oönskade frekvenserna som viks ner) till en rimlig nivå. 5 Nyquistfrekvensen är den högsta frekvens som vi kan återskapa korrekt från våra sampel, medan alla nervikta högre frekvenser kommer att feltolkas. 5
För att få en känsla för vad vikning är kan vi tänka på ett vikningsfenomen som nog alla har sett: hjul som snurrar baklänges (eller onaturligt långsamt) på film. En kamera samplar verkligheten 25 gånger per sekund vilket betyder att nyquistfrekvensen f n är 2,5 Hz. Alla cykliska förlopp med lägre frekvens kommer att uppfattas korrekt, medan snabbare förlopp viks ner. I figur 4 visas tre bildrutor (sampel) från en film av ett roterande hjul med fyra ekrar. Vid en snabb titt ser hjulet ut att snurra långsamt moturs, trots att pilen indikerar rotation medurs. Vi tolkar en positiv frekvens som en negativ (eller tvärtom). Hur mycket har då hjulet snurrat mellan varje bild? Det är omöjligt att veta p.g.a. vikningen! Det kan vara 8 grader, 7 grader, 26 grader, och så vidare. Det kan till och med vara 763 varv plus 8 grader. Bildruta Bildruta 2 Bildruta 3 Figur 4: Roterande hjul på film. Exemplet med hjulet i figur 4 visar hur vi efter sampling tolkar alla frekvenser som låga: mellan f n och f n. Vi återgår till radiomottagningen i figur 3. Det P3-program jag vill spela in digitalt får jag med, men problemet är att alla andra radiostationer (P, P2, P4, NRJ, Radio City, m.fl.) också kommer med. 6 Vi kan inte undvika vikningsfenomenet, men vi kan se till att de nervikta frekvenserna har väldigt liten amplitud. Då kommer de inte att märkbart påverka vår digitala inspelning. Vi behöver ett vikningsfilter! Antenn Nedblandning Lågpassfilter Sampling 44, khz Hårddisk Figur 5: Bättre ljud! 6 Skulle bara P3 sända skulle det däremot inte vara nåt problem. 6