ÖVN - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelor och innehåll Orinära ifferenitalekvationer (ODEer) y = f(t, y) Lösning y(t) och efinitionsmäng t I IVP: Begynnelseväresproblem y(t 0 ) = y 0 Riktningsfält Implicit/Explicit Obestäm konstant : frihetsgraer Linjära ekvationer Icke-linjära ekvationer Separabla ekvationer Integrerane faktor Moellering Autonoma ekvationer : y = f(y) Stationära punkter och faslinjen Existens och entyighet Det är bra om u Inofficiella mål (M) vet att en ODE skrivs som y = f(t, y) me f som en lutningsfunktion av två variabler, t.ex. om y = 2ty 2 så är f(t, y) = 2ty 2. Vi söker funktioner y(t) som går att erivera och som uppfyller enna ekvation enligt y (t) = f(t, y(t)) för alla t i något intervall. Ofta me extra villkor tillaga, t.ex. begynnelseväre IVP (intial value problem) y(t 0 ) = y 0 är t 0 och y 0 är givna. (a) Existens: finns et ens någon lösning till ekvationen och e givna villkoren? (b) Entyighet: finns et fler än en lösning? Även om (t 0, y 0 ) är givet. (c) Kvalitativa egenskaper: Var finns lösningen y(t) vs för vilka t är lösningen efiniera? Hur ser y(t) ut? Max/min? Va häner för stora t? Var finns singulariteter? Va för typ av singulariteter finns? () Kvantitativa egenskaper: Exakt vilka vären antar lösningen i olika punkter? Kan vi beräkna vären för lösningen på något sätt? (e) Algebraiska egenskaper: Om vi har två lösningar, kan essa kombineras till att ge en ny lösning? Finns et anra symmetrier i lösningarna? Kan vi kanske få fram en exakt formel för lösningen? Eller kanske kan vi nöja oss me en implicit formel? (M2) vet va ett implicit uttryck är: kopplar ihop beroene och oberoene variabel i en ekvation (utan erivator), t.ex. y 2 (t) + t 2 sin y(t) = cos(t) + t 2 y(t) + 0.5. (M3) vet att ett explicit uttryck är när en oberoene variabeln är helt utlöst och står som ett eget funktionsuttryck: y(t) = e 2t sin(t) + t. (M4) allti testar in framräknae lösning y(t) i ursprungsekvationen y (t) = f(t, y(t)). (M5) vet att ett begynnelseväresproblem (IVP) är när vi specificerar y(t 0 ) = y 0 är (t 0, y 0 ) är givna. Relationen till en obestäm konstant C. (M6) vill separera variabler skriver y som y/t och tänker på etta som ett bråk. Från ekvationen y/t = f(t)/h(y) lyft över allt y-beroene till ena sian och allt t-beroene till en anra sian och få h(y) y = f(t) t. Integrera sean båa sior h(y) y = f(t) t. Glöm ej att lägga till en konstant till valfri sia. Slutligen så fås H(y) = F (t) + C. Vill u bestämma C mha IVP så gör etta nu. Detta är ett implicit samban. Försök om et går att lösa ut y som en explicit formel av t. Institutionen för matematik, KTH, SE-00 44, Stockholm, Sween E-mail aress: karljo@kth.se. Date: 3 augusti 208.
2 ÖVN - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM (M7) för linjära ekvationer kan använa metoen me integrerane faktor: givet en linjär första orningens ifferentialekvation skriven på stanarform så skapar vi en integrerane faktorn (ˆ exp y + p(t)y = q(t) () ) p(t) t och multiplicerar ifferentialekvationen me enna och får e p(t) t (y + p(t)y) = e p(t) t q(t) (3) vilket kan skrivas om som (e p(t) t y(t)) = e p(t) t q(t) (4) t som sean kan lösas genom att finna primitiv funktion av HL. Alltså efter integration och ivision y(t) = e ˆ p(t) t ( p(t) t e q(t) t + C). (5) (M8) vet att ekvationer på formen, så kallae Bernoulliekvationer, y + p(t)y = g(t)y n kan lösas genom substitutionen v = y n. (M9) vet att allmäna IVP: y = f(t, y), t I, y(t 0 ) = y 0 (6) garanterat har en unik lösning i något litet intervall I litet kring t 0 om f och f/ y är kontinuerliga i en rektangel i xy-planet som innehåller punkten (t 0, y 0 ). (M0) vet att linjära IVP: y + p(t)y = q(t), t I, y(t 0 ) = y 0 (7) garanterat har en unik lösning för alla t I om p och q är kontinuerliga i intervallet I. (M) kan avgöra vilken största möjliga efinitionsmäng för en framräknae lösningen är. (M2) kan finna kritiska punkter y 0 för autonoma ekvationer, y = f(y), vs punkter såana att f(y 0 ) = 0 samt klassificera essa som asymptotiskt stabila (gäller om f (y 0 ) < 0), instabila eller semistabila. Kunna rita faslinjen som hör ihop me en autonom ekvation. (M3) kan beskriva några kvalitativa skillnaer mellan lösningar till linjära jämfört me icke-linjära ODEer (startvärets inverkan på efinitionsmängen, explicit/implicit, allmän lösning, kombinationsegenskaper etc.). Obs! Detta är ett försök att bryta ne kursmålen i minre och mer konkreta bitar. Målen ovan är inte officiella för kursen, utan ett förslag till hur man kan tänka. (U) Finn alla lösningar till Exempel och uppgifter y + 6x 2 y = x 2 (8) y + 2ty = 2te t2 (9) (2) y + ty 2 = 0 (0) y + y 2 = t () y + ty 2 = ty (2) y + sin(t)y 2 = y (3) (8) och (9) bore vara stanar, integrerane faktor. Testa lösningarna i ekvationen.
ÖVN - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM 3 Ekvation (0) är icke-linjär. Den är separabel. Mellansteg blir /y = t 2 /2 + C. Lös ut y och få y(t) = t 2 /2 C, är C är en gotycklig konstant. Är et så att vi funnit alla lösningar till ekvationen? Nej! I stegen vi använe så ivierae vi me y och gjore är me et implicita antaganet att y 0. Vi ser även att funktionen y(t) = 0 för alla t är en lösning till ifferentialekvationen. Ekvation () är varken separabel eller linjär. Ej heller Bernoulli. Dessa metoer ger oss alltså ingen information om hur en exakta lösningen ser ut. Ekvation (2): enna ekvation är separabel. Testa att lösa genom att separera variabler! Annars är ekvationen också av Bernoulli-typ, och kan lösas enligt lösningsgången nean. Försök ig på enna beskrivning själv och jämför sean me beräkningen uner. (a) Är av Bernoulli-typ y + p(t)y = q(t)y n me n = 2. (b) Gör variabelbytet u = y n = /y. Va blir y/t i termer av u/t? Sätt in essa uttryck i grunekvationen. (c) Nu bore u ha en linjär ekvation för u. Lös enna på något sätt. () Gå nu tillbaka till variabeln y. (e) Testa att erivera svaret u får och sätt in i ursprungsekvationen. Jag får följane: u = /y eller ekvivalent y = /u vilket ger y = u /u 2 insatt i ekvationen multiplicera me u 2 och få integrerane faktor är e t t vilket efter integration ger u u 2 + t u 2 = t u (4) u + t = tu u + tu = t (5) = e t2 /2 vilket ger ˆ e t2 /2 u = t (et2 /2 u) = e t2 /2 t (6) e t2 /2 t t = e t2 /2 + C (7) vilket är et implicita sambanet. Vi får att et explicita sambanet är u(t) = + Ce t2 /2 (8) och återgår till y-variabeln genom y = /u alltså y(t) = + Ce t2 /2 är C är en gotycklig konstant. Är etta alla lösningar? NEJ! Vi har igen antagit att y 0 genom beräkningarna. Genom inspektion så ser vi att y(t) = 0 är en lösning till ifferentialekvationen. Vi kan även prova att lösa genom att separera variabler. Vi får genom att använa partialbråk y y y 2 = t t vilket efter integration ger (9) y y( y) = t t ( y + ) y = t t (20) y ln y ln y = t 2 /2 + C ln y y = t2 /2 + C (2)
4 ÖVN - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM alltså y y = /2+C et2 = Ae t2 /2 y y = /2 ±Aet2 = Be t2 /2 eller samma sak som om vi vill lösa ut y, y = Be t2 /2 Be t2 /2 y y( + Be t2 /2 ) = Be t2 /2 y = Bet2 /2 + Be t2 /2 = B e t2 /2 + = Ce t2 /2 + alltså samma sak som innan. Tur. (22) (23) (U2) Lös y y = 2te 2t, y(0) =. Integrerane faktor blir e () t = e t, så vi multiplicerar ekvationen me etta och får e t y e t y = 2te t (24) vi kan skriva om VL på et finurliga sättet, är vi använer proukt och keje-regeln baklänges, t (e t y) (25) alltså blir ekvationen t (e t y) = 2te t (26) integrera båa sior, HL mha partiell integration, och få ˆ ˆ e t y = 2te t t = 2te t 2e t t = 2te t 2e t + C (27) lös ut y, sätt in IVP och få alltså C = 3 och lösningen på problemet är y(t) = 2te 2t 2e 2t + Ce t. (28) = 0 2 + C (29) y(t) = 2te 2t 2e 2t + 3e t. (30) Tror jag iaf. Har inte ubbelräknat. (U3) Lös IVP y = ( 2x)/y, y() = 2. Får att y y = ( 2x) x och efter integration y 2 /2 = x x 2 + C, et implicita sambanet. Vi anpassar begynnelseväret nu: ( 2) 2 /2 = 2 + C alltså C = 2. Vi får et explicita sambanet y = 2x 2x 2 + 4 är vi valt minus-tecknet när vi ragit roten ur. (U4) Lös IVP ty + (t + )y = t, y(ln(2)) =, t > 0. Vilken är största möjliga efinitionsmängen för lösningen? Linjär ekvation, skriv om på stanarform y +p(t)y = q(t). Alltså p(t) = (t+)/t och q(t) =. Vi ser att p har en singularitet å t = 0. Båe p och q är kontinuerliga på (0, ) vilket är et intervallet som start-tien ln(2) ligger i. Alltså största möjliga efinitionsmäng blir sålees (0, ) enligt satsen om existens och entyighet för linjära ekvationer. Se (M0). Försök att finna en explicit formel för lösningen och bekräfta att efinitionsmängen faktiskt är (0, ). (U5) Lös IVP y = 2y 2 + xy 2, y(0) =. Var antar funktionen sitt minimum? (a) Ett sätt är att lösa ekvationen, en är separabel. (b) Får att y/y 2 = (2 + x)x alltså /y = 2x + 2 x2 + C. Bestäm C.
ÖVN - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM 5 (c) = C, alltså y = /(2x + 2 x2 + ). Funktionen blir alrig 0. Stationär punkt å x = 2. (U6) Newtons avkylningslag är att temperaturen i ett föremål avtar proportionerligt till skillnaen mellan objektet och omgivningens temperatur. Säg att vattnet i ett glas avtar från 90 till 85 graer på min i ett 20-graigt rum. Hur lång ti tills temperaturen är 65 graer? En ekvation som moellerar etta är T = k(t T O ) är T O är omgivningens temperatur och k är en konstant. Vi skriver etta som integrerane faktor är e kt och vi får T + kt = kt O, (3) T (t) = Ce kt + T O. (32) Me informationen given så kan vi skriva T (t) = Ce kt + 20, samt 90 = C + 20 så C = 70: T (t) = 70e kt + 20. Samt 85 = 70e k + 20 ekvivalent me e k = 65/70, alltså T (t) = 70( 65 70 )t + 20. Va är t å T = 65? 65 = 70(65/70) t + 20 ekvivalent me 45/70 = (65/70) t samma som t = log(45/70)/ log(65/70) = 5.96 min. (U7) Bestäm ett öppet intervall som tillhör efinitionsmängen för lösningen till Skriver man ekvationen på stanar-linjär-form t(t 4)y + y = 0, y(2) =, (33) (4 t 2 )y + 2ty = 3t 2, y( 3) =, (34) (t 3)y + (ln t)y = 2t, y(2) =. (35) y + p(t)y = q(t) (36) så får vi att p(t) = /t(t 4) och q(t) = 0 i första fallet. Funktionen p(t) har singularitet (vs ej kontinuerlig) i t = 0 och t = 4. Funktionen q(t) är ok (kontinuerlig) för alla t. Så för första uppgiften: Garantera lösning i intervallet (0, 4) om lösningen ska gå genom punkten (2, ) i typlanet. Gör på liknane sätt för övriga uppgifter. (U8) Bestäm kritiska punkter samt eras typ, skissa faslinjen samt några lösningskurvor till: y = y(4 y 2 ) (37) y = k( y 2 ), k > 0. (38) I första fallet så är kritiska punkter y = 0 samt y = ±2, vs punkter är f(y) = 0. Vi ser att f(y) är negativ för y (2, ), en är positiv i (0, 2) en är negativ i ( 2, 0) samt positiv i (, 2). Detta ger alltså att y = ±2 är asymptotiskt stabila kritiska punkter, mean y = 0 är instabil. (U9) Var i ty-planet är förutsättningarna för existens&entyighetssatsen uppfylla för y = (4 t 2 y 2 ) 5/2 (39) y = 2t/y (40) y + y 5 = 0 (4) Vi inför notationen f(t, y) = (4 t 2 y 2 ) 5/2. (42)
6 ÖVN - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM Detta är nu en funktion av två variabler i ty-planet. Dvs här bore u börja tänka på flervariabelanalys och hur vi betraktae funktioner är. Denna funktion tar en punkt i ty-planet och spottar ut ett tal. När vi sean använer enna funktion i samban me att lösa ifferentialekvationer så kommer vi att tolka et som att et talet som spottas ut av funktionen kommer att ge ett villkor på va vi vill att erivatan ska vara. Existens och entyighetssatsen garanterar ett et finns en lösning till IVP y(t 0 ) = y 0 för enna ekvation om funktionen f och ess partiella erivata me avseene på y, vs f y, (43) båa är kontinuerliga i en liten rektangel runt punkten (t 0, y 0 ). För att förstå: tänk så här. (a) Ta ett papper. (b) Rita ut t-axel och y-axel. (c) Skriv upp va f(t, y) är. () Välj en punkt (t 0, y 0 ) i itt ty-plan. (e) Kolla nu om u kan rita en liten rektangel runt in punkt (t 0, y 0 ) så att funktionerna f(t, y) SAMT f/ y båa är kontinuerliga i enna rektangel. (f) Om et går, ja å är u garantera en unik lösning på IVP (i om möjligt en ännu minre rektangel). Om et inte går, t.ex. om f(t, y) = /(y 3) och u har valt (t 0, y 0 ) = (5, 2) och u har ritat in rektangel liiite för stor så att en skär linjen y = 3, ja å är f inte kontinuerlig i enna rektangel. Rita å en liten minre rektangel som inte skär y = 3, å bore u se att f och f/ y är kontinuerliga i enna rektangel. Alltså, satsen om existens och entyighet garanterar å att problemet y = y 3 har en unik lösning y = φ(t) på något litet intervall φ : (2 h, 2 + h) R (är h > 0) så att φ(2) = 5 och φ (t) = φ(t) 3 för alla t (2 h, 2 + h). Tillbaka till uppgiften ovan. För att första uttrycket ska vara välefinierat så måste et som står innanför potensen vara positivt (hänger på att et är upphöjt i n/2 för något heltal n, skillna om et hae varit n/3). Alltså måste 4 t 2 y 2 0 eller ekvivalent t 3 + y 2 4. Detta beskriver innanömet av en cirkel me raien 2 i ty-planet. Vi måste också veta om f/ y är välefiniera i enna cirkel: f/ y = 5 2 (4 t2 y 2 ) 3/2 ( 2y), och vi ser igen att et blir samma analys som ovan, ärför är IVP som börjar me (t 0, y 0 ) någonstans innanför enna cirkel garanterae att ha lösningar på något litet intervall som innehåller t 0 (vs vi är inte garanterae att en lösning som börjar i cirkeln finns i hela cirkeln. Testa e anra själv. (U0) Betrakta e två olika ekvationerna: y = y och y = y 2. Hur beror efinitionsmängen av lösningen på y(0) = y 0 > 0 för varera ekvation? Den linjära har lösningen y(t) = y 0 e t och en icke-linjära ekvationen har lösningen y(t) = /y 0 t. Lösningen för en linjära är efiniera för alla t R, en anra har en singularitet i t /y 0, vs lösningen som börjar i (0, y 0 ) tar sig enast fram till t innan en exploerar. En fråga som kom upp på övningen var om man kan påstå att lösningen för en icke-linjära ekvationen y(t) = /y 0 t även kune tänkas gälla efter tipunkten t = /y 0? Ett sätt att se på et är så här: Antag att vi har två olika startvären, y 0 = och y 0 = 2. Lösningen till en första av essa, y(t) = /( t) kommer att exploera vi t = och en anra, y(t) = 2/( 2t) vi t = /2. Betrakta nu funktionen y(t) = { t, t <, 2 2t, t >. (44)
ÖVN - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM 7 Denna funktion uppfyller y = y 2 för alla t samt y(0) =. Men funktionen y(t) = (45) t uppfyller också y = y 2 för alla t samt att y(0) =. Vi ser alltså att et som häner efter tipunkten t är å oberoene av va som häne i intervallet [0, /y 0 ). Därför är et inte rimligt att påstå att funktionen y(t) = /( t) är en lösning till IVP y = y 2 me y(0) = för t-vären som är störren än. (U) Visa att ekvationen y + ay = be λt allti uppfyller lim t y(t) = 0 om a, λ > 0 samt b är en gotycklig reell konstant. Är ekvationen linjär? Försök att skriva upp en formel för lösningen till ekvationen och ra slutsats va som häner å t. (U2) Låt a och b vara nollskila. Bestäm e kritiska punkterna till ekvationen y = ay + by 2 samt eras karaktär (stabila, semistabila eller instabila). Notera att ekvationen är autonom, vs lutningsfunktionen som in etta fall är f(t, y) = ay + by 2 är oberoene av en oberoene variabeln t (kul uttryck). Kritiska punkter y är är f(y ) = 0, i etta fall i y = 0 samt y = a/b. Unersök va f har för tecken kring essa punkter och rita faslinjen.