Kreativ inlärningsmiljö Karin Sjöberg Wallby Vad är det som karakteriserar god undervisning? Här redovisas några intryck från studier av Professional Standards for Teaching Mathematics, den amerikanska lärarföreningens målsättning för framtiden och av Addenda series, ett antal häften med lektionsbeskrivningar i anslutning till olika Standards. Något att fundera på för kommande svenska referensmaterial? Studien gjordes under en matematikdidaktikkurs i Mölndal. Bakgrund I Professional Standards for Teaching Mathematics, (i fortsättningen kallad Standards for Teaching) finns en beskrivning av vad lärare bör tänka på för att kunna undervisa mot nya mål, och hur undervisningen ska utvärderas för att leda till förbättringar. De nya mål och förändringar som avses är beskrivna i Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (1989) se referenser. Standards for Teaching vill ge en vision för framtidens matematikundervisning och ska inte läsas som en samling recept. Som grund för hela arbetet ligger vissa antaganden om hur barn lär sig matematik. Lärandet är en aktiv process. Barnen konstruerar sin egen kunskap genom att relatera ny information till det de redan vet. Det sker främst i samspel med andra. Alla barn kan lära sig matematik. Man framhåller elever som av olika skäl stängts ute eller fått liten uppmärksamhet och stimulans, t ex invandrarbarn, flickor eller barn som misslyckats i skolan och med matematik. Med alla barn avses dessa såväl som andra. I Standards for Teaching framhålls att Läraren är en mycket viktig person. En god lärare stimulerar eleven att lära sig matematik och skapar god inlärningsmiljö. Klassrumsklimatet är mycket viktigt. En god miljö utmärks av samarbete, matematiska resonemang med gissningar, antaganden och problemlösning samt återkommande möjligheter att sätta in matematiken i ett sammanhang. 18 Standards for Teaching Mål för förändring För att lyckas med att utveckla matematikundervisningen måste vi bl a bli bättre på: - att välja matematikuppgifter som engagerar elevernas intresse och intellekt, - att skapa möjligheter som fördjupar elevernas matematiska förståelse, - att leda klassrumsarbetet så att det stödjer upptäckter och utveckling av matematiska idéer, - att söka, och hjälpa eleverna söka, samband med tidigare kunskap, - att leda arbetet individuellt, i smågrupper och i helklass, - att använda, och hjälpa eleverna att använda, tekniska och andra hjälpmedel för att göra matematiska upptäckter. Att skapa en klassrumsmiljö där man diskuterar matematik i verklig betydelse är viktigt. Till hjälp finns en samling frågor som illustrerar vad det handlar om, se nästa sida. Standards for Teaching har 5 avsnitt: 1 Standards för matematikundervisning. 2 Standards för utvärdering av matematikundervisning. 3 Standards för yrkesutveckling av matematiklärare. Karin Sjöberg Wallby är mellanstadielärare i Sollebrunn och deltar i påbyggnadsutbildningen i Mölndal.
Helping students work together to make sense of mathematics "What do others think about what Janine said?" "Do you agree? Disagree?" "Does anyone have the same answer but a different way to explain it?" "Would you ask the rest of the class that question?" "Do you understand what they are saying?" "Can you convince the rest of us that that makes sense?" Helping students to rely more on themselves to determine whether something is mathematically correct "Why do you think that?" "Why is that true?" "How did you reach that conclusion?" "Does that make sense?" "Can you make a model to show that?" Helping students learn to reason mathematically "Does that always work?" "Is that true for all cases?" "Can you think of a counterexample?" 4 Standards för stöd och utveckling av matematiklärare och undervisning. 5 Nästa steg. Varje avdelning innehåller ett antal Standards. Efter en genomgång av dessa beskrivs en situation, med anknytning till ämnet. Den situationen kommenteras i marginalen. Det kan liknas vid en film med en speakertext till. De kommenterade situationerna fungerar som exempel på och förklaring av avsnittets budskap. Jag väljer att gå lite djupare in på avsnitt 1 och behandlar de andra översiktligt. Standards för matematikundervisning När det gäller undervisning finns fyra antaganden: Målet med matematikundervisningen är att hjälpa alla elever att utveckla matematisk förmåga. Vad eleverna lär sig är nära förbundet med hur de lär sig. "How could you prove that?" "What assumptions are you making?" Helping students learn to conjecture, invent, and solve problems "What would happen if...? What if not?" "Do you see a pattern?" "What are some possibilities here?" "Can you predict the next one? What about the last one?" "How did you think about the problem?" "What decision do you think he should make?" "What is alike and what is different about your method of solution and hers?" Helping students to connect mathematics, its ideas, and its applications "How does this relate to...?" "What ideas that we have learned before were useful in solving this problem?" "Have we ever solved a problem like this one before?" "What uses of mathematics did you find in the newspaper last night?" "Can you give me an example of...?" Alla elever kan lära sig att tänka matematiskt. Undervisning är en komplex verksamhet som inte kan reduceras till recept eller föreskrifter. Standard 1: Värdefulla matematikuppgifter Läraren ska välja uppgifter utifrån 3 överväganden; kunskap om det matematiska innehållet, kunskap om elevernas förståelse, intresse och erfarenheter; kunskap om hur eleverna lär sig matematik. Uppgifterna ska bl a vara engagerande, utveckla matematisk förståelse, kräva problemlösning och matematiska resonemang. Standard 2: Lärarens roll i undervisningen Läraren ska leda undervisningen så att hon ställer frågor som utvecklar elevernas tänkande, lyssnar på elevernas idéer, uppmanar eleverna att skriva och tala om sina idéer, bestämmer vilka idéer man ska fördjupa sig i och avgör när eleven ska få instruktion och när hon ska kämpa vidare. 19
Standard 3: Elevens roll i undervisningen Man ska sträva efter en klassrumsmiljö där eleverna lyssnar på och svarar läraren och varandra, använder olika redskap för att lösa problem och kommunicera, tar upp problem och frågor, försöker övertyga sig själva och andra om värdet i lösningar och svar. Standard 4: Hjälpmedel i undervisningen Läraren ska stödja och acceptera användning av t ex räknare, datorer och annan teknologi, konkret material, bilder, diagram, metaforer, analogier, berättelser, skrivna förklaringar, muntliga redovisningar och dramatiseringar. Standard 5: Inlärningsmiljön Inlärningsmiljön är av avgörande betydelse för vad eleven lär sig. Ska den utveckla verkligt matematiskt tänkande kräver det respekt för andras idéer. Eleverna ska uppmuntras att göra antaganden, komma med förslag till lösningar, argumentera och värdera. Läraren måste engagera eleverna i diskussioner och stödja matematiska resonemang. Läraren ska ha höga förväntningar på eleverna och kämpa för att de ska nås. Eleverna ska uppmuntras att tro på sig själva. Det räcker emellertid inte att sätta värde på elevers tänkande och idéer. De behöver också utveckla god förståelse och goda kunskaper i matematik. Standard 6: Analys av undervisning och inlärning Läraren ska fortlöpande analysera sin undervisning genom att observera, lyssna och samla information, studera effekter av aktiviteter, uppgifter och inlärningsmiljö på kunskaper, färdigheter och attityder. Något om avsnitt 2 till 5 20 På liknande sätt görs en genomgång av Standards inom övriga områden. Här tar jag bara upp några, som jag tycker, speciellt intressanta delar. Utvärdering ses som en cyklisk process som bl a innebär att läraren analyserar sin egen undervisning och diskuterar den tillsammans med sina kollegor. Värdet av nära samarbete med kollegor är något som återkommer på många ställen i boken. Utvärderingen kan fokuseras kring olika delar såsom matematiska begrepp, procedurer, problemlösning, resonemang och kommunikation. Texten betonar vikten av att lärare reflekterar över sin undervisning och arbetar tillsammans för att förbättra den. Yrkesutveckling för matematiklärare Att lära sig undervisa är en process som ska leda till att teori och praktik integreras. Lärarutbildning är en fortgående process, där man förbättrar sin undervisning på basis av ökad erfarenhet och nya kunskaper. För alla matematiklärare bör finnas vissa gemensamma teman i utbildningen, oavsett för vilket stadium man utbildas eller fortbildas. Där finns problemlösning, matematiska samband både inom matematik och till andra ämnen, kommunikation och resonemang i matematik. Lärare på alla stadier ska ha en djup förståelse när det gäller den matematik de undervisar. De ska också veta vart den matematiken ska leda. Lärare behöver goda kunskaper och erfarenheter av hur barn tänker och lär. De måste förstå betydelsen av elevernas ålder, förmåga, intresse och erfarenhet. Språket och dess roll behöver uppmärksammas. Att vara matematiklärare innebär att man ska utveckla självkänslan. Några reflektioner När jag skulle välja litteratur på kursen i matematikdidaktik, hade jag svårt att formulera vad jag var ute efter. Eftersom jag inte hade sett något sådant jag ville ha, var det inte så lätt. Fanns det överhuvudtaget något som kunde beskriva hur man skapar en kreativ inlärningsmiljö? Standards for Teaching gav svar på många av mina frågor. Det var precis den typ av litteratur jag var ute efter. Jag tror att det är nödvändigt med grundliga beskrivningar av undervisningen för att man ska ta till sig vad det handlar om. De kommenterade texterna tydliggör vad man avser med vissa centrala läraruppgifter. Längst bak i boken finns dessutom en referenslista så att man kan gå vidare vid tillfälle.
Addenda series För att klargöra och illustrera mål och innehåll i Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (1989) har NCTM givit ut ett antal häften. För grades K 6 (motsvarar förskolan åk 6) finns ett häfte/ grade som innehåller exempel på övningar: - Geometry and spatial sense - Making sense of data - Number sense and operations - Patterns För grades 5 8 finns sex häften: - Dealing with data and chance - Developing number sense in the middle grades - Geometry in the middle grades - Measurement in the middle grades - Patterns and functions - Understanding rational number and proportions. För grades 9 12 finns fem häften: - Algebra in a technological world - Connecting mathematics - A core curriculum: Making mathematics count for everyone - Geometry from multiple perspectives Jag har tittat på häftena för grade 3, 4 och 6 samt några häften för grades 5 8. Häftena innehåller exempel på lektioner och diskussioner. Övningarna beskrivs mycket noga med både förberedelser och förslag på fortsättning och utveckling. Till övningarna finns hänvisningar till Standards Varför är den här övningen bra? Vilka är målen? Man får förslag på lämpliga frågor att ställa för att övningen ska leda rätt, och man får, där det är motiverat, en teoretisk bakgrund. Det finns också exempel på utvärdering. Där det behövs finns kopieringsunderlag. Third grade book De lektioner som häftet tar upp vill fokusera begreppsbildning. Det finns också exempel med användning av tekniska hjälpmedel. Man vill visa lärarstrategier som gynnar matematiskt resonerande. Att eleverna löser ett problem garanterar ju inte att de ser matematiken. Perceptionsspelet på nästa sida är hämtat från häftet. Avsikten med övningen är att eleverna ska utveckla kunskaper om geometriska figurer i olika storlekar och lägen, och se hur de kan relateras till varandra och andra figurer. Övningen ska utveckla elevernas spatiala förmåga och beskrivs mycket noga. Eleverna uppmuntras att visa sina lösningar för kamrater. Det finns förslag på hur man kan utveckla övningen. Häften för grades 5 8 Dessa är annorlunda uppbyggda än de tidigare beskrivna, men principen är densamma. Först en teoretisk bakgrund, ett resonemang om vart övningen ska leda och sedan exempel på hur den kan utnyttjas. Här har jag valt att återge en övning ur Patterns and functions, se nästa uppslag. Problemet presenteras med anvisningar. Läraren uppmanas att stimulera gissningar och diskutera lösningar för att fånga upp de förslag som använder mönster. Det finns exempel på lämpliga frågor för att föra diskussionen framåt. Man får tips om när räknaren kan vara lämplig. Utförliga förslag ges till hur man kan gå vidare: - Rita och studera en graf. Sedan gå vidare mot algebra. - Fundera över exponenten 0. - Hur man får summan 2 n + 1 1 - Arbeta med liknande problem. Sammanfattning Häftena är inga läroböcker. Genom att arbeta igenom ett exempel kan man dra sina egna slutsatser och föra över de erfarenheter man gjort till andra övningar. Materielet är stimulerande och tydligt. Under läsningen har jag lärt mig mycket om hur undervisning kan gå till. Det kan hjälpa mig i mitt arbete genom att visa hur jag kan göra för att stimulera t ex matematiska resonemang. Eftersom råd och förslag är knutna 21
Gör figurer med kvadrater Kopiera figurerna härintill och färglägg dem t ex röda och blå. Varje figur nedan kan göras av röda figurer, av blå figurer eller av röda och blå figurer. Använd röda och/ eller blå figurer för att visa hur man täcker varje figur. Täck de tre rektanglarna på olika sätt. Täck rektanglarna nedan med röda och blå bitar. Ta reda på så många möjliga sätt du kan. till konkreta exempel är de mycket lätta att förstå.undersökning 1 "Exponenter" har jag prövat i min egen klass i åk 6. Det var en bra övning som engagerade eleverna och verkligen lockade fram bra diskussioner. Ett motsvarande materiel på svenska vore mycket värdefullt. Målen med övningarna görs tydliga och instruktionerna koncentreras kring dem. Om man alltid hade den medvetenheten kring uppgifterna skulle man, tror jag, kunna arbeta igenom betydligt färre uppgifter utan att förlora i resultat. Att komma bort från oreflekterat läroboksräknande är 22 önskvärt. När jag under första kursen i matematikdidaktik gjorde ett arbete om flickors matematikintresse, samtalade jag med ett antal elever. Många ville göra andra saker än att arbeta i läroboken. I materialet saknar jag en diskussion om elever med matematiksvårigheter. En del övningar är för svåra för vissa elever. Jag skulle vilja ha hjälp med hur dessa skulle kunna arbeta med problemen utifrån sina förutsättningar. Att vara med i en grupp där en kamrat "lotsar" är ju ingen lyckad lösning för någondera parten.
Undersökning 1. Exponenter Problem: Rykten I Bugsville, USA i Swat Middle school bestämmer sig en elev i årskurs 7 som heter Tara att starta ett rykte som går ut på att den 14 september ska förklaras som National Bug Day och att alla skolor ska stängas den dagen. Hon berättar om detta för två elever och säger till dem att var och en ska sprida ryktet vidare nästa dag till ytterligare två elever och att var och en av dessa nya elever i sin tur ska sprida ryktet till ytterligare två nya elever den tredje dagen osv. Detta innebär att dag 1 får två elever höra ryktet, dag 2 är det ytterligare fyra, dag 3 ytterligare åtta osv. Hur många elever har hört ryktet den tionde dagen? Om Tara släpper ryktet den 2 september och det finns 4 000 elever i området, vilka är möjligheterna att alla elever hört ryktet den 14 september och stannar hemma från skolan den dagen? Eleverna kan lösa problemen ovan genom att ställa upp en tabell ungefär som den nedan. Ett antal nya problem kan formuleras, i tabellen antydda av frågetecken. De generella uttrycken i sista raden kan man diskutera sig fram till som avslutning i mån av intresse. Dag Antal nya personer som Totala antalet personer som har hört hör ryktet en viss dag ryktet en viss dag, inklusive Tara I början av första dagen 1 1 1 2 3 2 4 7 3 8 15 4 16 31 5 32 63 6 64 127? 256? 10 1 024 2 047 11 2 048 4 095? 4 096??? 524 287 n 2 n 2 n + 1 1 Referenser Arbetsbladen är översatta av Göran Emanuelsson Addenda Series. (1992). Reston: National Council of Teachers of Mathematics. Ahlberg A., Emanuelsson G., Johansson B. & Runesson U. (1989). Matematiken inför 2000-talet i Nämnaren 4, årgång 16, s 4-27. Stockholm: Utbildningsförlaget. Emanuelsson G., Johansson B. & Lingefjärd T. (red). (1992). Matematikämnet i skolan i internationell belysning. Mölndal: Institutionen för ämnesdidaktik Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. (1989). Reston: National Council of Teachers of Mathematics. Professional Standards for Teaching Mathematics. (1991). Reston: National Council of Teachers of Mathematics. 23