Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa Föreläsningar i Mekanik (FMEA3) Del : Dynaik Läsecka Föreläsning : Ipulsekaionen (3/8-3/9, 3/-3/ i Läroboken) En krafs ipuls: En parikel P ed assan påerkas a en kraf F = F (). Krafens rörelse beskris a lägesekorn r = r (). Parikelns hasighe = r och acceleraion a = = r. Newon s andra lag (krafekaionen): där = är parikelns rörelseängd. F = a = (.) P r F O Figur. Krafens ipuls I, under idsineralle [, ], definieras a A (.)-(.) följer a I = I(, ) = F () d (.) Således erhålles Ipulsekaionen: [ ] I = I (, ) = F () d = () d = () = ( ) ( )
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa ( ) = ( ) + I (, ) (.3) Rälinjig rörelse: () = i (), F() = i F () där i är en fix enhesekor. Då gälle ( ) = ( ) + I (, ), I(, ) = F() d F () Arean sarar o ipulsen I (, ) Figur. Krafens ipuls Noera a I(, ) = ( ) = ( ) och a F( ) =, I(, ) = och således F( ) =, ( ) = ( ) ds. o krafen på parikeln är lika ed nollekorn så bearas rörelseängden. Man kan generalisera dea ill godyckliga kroppar. För en godycklig kropp B gäller a F = (.4) där F n = F k är krafsuan (för de syse a yre krafer so erkar på kroppen) och k= = d = B P P (.5)
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa är kroppens rörelseängd. beecknar kroppens asscenru och = d kroppens oala B P assa. Således F = = konsan ekor (.6) d P P r OP O Figur.3 Proble 3/78 A 6g bulle is fired horizonally wih a elociy = 6s ino he 3kg block of sof wood iniially a res on he horizonal surface. The bulle eerges fro (he back-side of) he block wih he elociy = 4s and he block is obsered o slide a disance of. 7 before coing o res. Deerine he coefficien of kineic fricion surface. µ k beween he block and he supporing Figur.4 Lösning: Beraka kroppen block + kula. Lå = () beeckna kroppens rörelseängd och lå och, beeckna kulans respekie blockes assa och hasighe. De gäller a, () = () + () Lå = beeckna en idpunk då kulan räffar blocke och lå = beeckna den idpunk då kulan länar blocke. Då gäller ( ) = 6s, ( ) =, ( τ ) = 4s 3
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa ( ) = ( ) + ( ) = ( ) = 6 kg 6s = 36kgs 3 3 ( ) = ( ) + ( ) = 6 kg 4s + 3 ( ) = 4kgs + 3 ( ) Frilägg blocke. Inför noralkraf N, frikionskraf F och yngdkraf g. = g = i s N F L Figur.5 Den yre kraf i x-led so erkar på kroppen ges a F = if = i ( µ N). Ipulsekaionen ger k (.7) ( ) ( ) F( ) d 4kgs = + + 3 ( ) = 36kgs + ( N) d k där N = g = ( + ) g. Således k( + ) gτ 4kgs + 3( τ) = 36kgs k( + ) gτ ( τ) = 4s = 3 k3. 6 9. 8τ 4s = 4s τ k 3 Efer de a kulan läna blocke så glider blocke o underlage och sannar efer id iden =. 7. Då gäller enlig energisasen ( τ ) T ( ) T ( ) = = µ kg(. 7 s) ( ) = ( 4s µ k ) = µ k53. (.8) där s är den sräcka so blocke färdas under iden τ. O i anar a s 7. så erhålles den approxiaia ekaionen 6 + τµ k 8τµ k = µ k53.. O i nu anar a τµ k så erhålles ekaionen 53. 6 6 ( 8 + ) τµ k 6 µ k. 3 τ + = =. 8τ + 53. 53. = 4
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa 53. o τ.. 7s. Under iden τ färdas blocke sräckan s och kulan sräckan L+ s. 8 ( τ ) Blockes edelhasighe är = 5µτ k. Kulans edelhasighe är 5s. Vi har då de approxiaia sabande s L+ s τ = = 5µτ 5 k 4 ilke ger L = 5τ s = 5τ ( 5µτ ) τ 498τ. Med L =. 35 så få i τ = 7 s k och s.. 4. Således gäller a τ. 7s och oan gjorda approxiaion är således gilig. Noera a o i direk försuar ipulsen från frikionskrafen under söiden τ så kan ekaionen (.7) skrias ( τ) = ( ) 4kgs + 3( τ) = 36kgs ( τ) = 4s och däred, enlig (.8) ( τ) ( τ) 6 = kg7. k = = = 3. 53 53 Rak sö ellan å kulor (rak, cenral, gla sö): Tå kulor (kula och kula ) ed assorna och rör sig längs en rä linje. Inför referensrikningar för kulornas hasigheer och enlig figur nedan. Referensrikningarna innebär a kulornas hasigheer (farer) räknas posiia i dess rikningar. Kulornas geensaa asscenru beecknas ed och den oala assan = + Figur. Rak sö Masscenrus hasighe: = ( + ) (.) Relaihasigheen (kula :s hasighe relai kula ): 5
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa u = (.) Vi har då sabanden = + = u u (.3) Uppgif. Visa sabanden i (.3)! Kulornas (sysees) rörelseängd: = + =. Vi anar a kulorna ine påerkas a några yre krafer, ds. F =. De enda krafer so uppräder är då krafen ellan kulorna när dessa söer ihop, och dea är en inre kraf. Då gäller = F = = konsan, ds. ( ) + ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ),, (.4) Kulornas (sysees) kineiska energi: T= + = ( u) + ( + u) = u + (.5) där kallas asscenrurörelsens kineiska energi och kineiska energi och u µ kallas relairörelsens = (.6) är sysees reducerade assa. A (.4) och (.5) följer a T ( ) T ( ) = (( u ( )) ( u ( )) ) µ ds. ändringen i kineisk energi beror endas a ändringen i relairörelsens kineiska energi. De gäller a T ( ) = T ( ) u ( ) =± u ( ). Föreläsning : Sö (3/-3/) Söförloppe: Vi anar a de före söen gäller a u < (d s < ). Anag a kulorna koer 6
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa i konak id idpunken = och a kulorna då har hasigheerna = ( ) respekie = ( ). Frilägg kulorna och inför sökrafen (konakkrafen) F s. F s F s Figur. Rak sö Sökrafen anas ha de principiella useende enlig figuren nedan. De anas a Fs () = o < och o > och a Fs () > o där τ benänes söiden. Sökrafen når si axärde F ˆs id idpunken =, d s. F ( ) ˆ s = Fs. Vi anar a u ( ) =, ds. a kulorna har relaihasigheen lika ed noll id idpunken =. Dea innebär a ( ) = ( ) = F () s F ˆ s τ u = Deforaionsfasen: ( Kula : Ipulslagen edför: Figur.3 Sökrafen ): För sysee gäller, enlig (.4), a ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = (.7) ( ): Id= Fs( ) d= ( ) ( ) = ( ) (.8) Kula : Ipulslagen edför: 7
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa ( ): Id= Fs( d ) = ( ) ( ) = ( ) (.9) Obserera a (.7) följer geno a kobinera (.8) och (.9)! Reforaionsfasen ( ): För sysee gäller, enlig (.4), a Kula : Ipulslagen edför ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = (.) ( ): Ir= Fs( ) d= ( ) ( ) = ( ) (.) Kula : Ipulslagen edför ( ): Ir= Fs( d ) = ( ) ( ) = ( ) (.) Obserera a (.) följer geno a kobinera (.) och (.)! De gäller också a A (.4) följer a I = I + I = ( ( τ) ( )) = ( ( τ) ( )) d r ( ) + ( ) = ( τ) + ( τ) (.3) ilke också är en konsekens a (.7) och (.). Vi inför de förenklade beeckningarna: Hasigheer före sö: = ( ), = ( ). Hasigheer efer sö: = ( τ ), = ( τ ). Då gäller enlig (.3), + = + (.4) O i känner rörelseillsånde före sö, ds., så ger (.4) e illkor för besäning a rörelseillsånde efer sö, d s.,. Vi har således å obekana, och, en bara en ekaion. De behös yerligare en ekaion för a i ska få en enydig lösning. Ekaion (.4) är en allän rörelselag so gäller för alla söförlopp oberoende a aeriale i de kulor so söer saan. Man föresäller sig a de bör bli olika resula i fallen a kulorna besår a ex sål eller a odellera. En karakerisering a aeriales söegenskaper kan åsadkoas geno a införa de så kallade söale (sudsale), e, definiera geno 8
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa e I I r = (.5) d ds. koen ellan sökrafens ipuls under reforaionsfasen och sökrafens ipuls under deforaionsfasen. De gäller a e och o i anar a I r I d, ds. a sökrafen leererar indre ipuls under reforaionsfasen än under deforaionsfasen, så följer a e (.6) Man kallar en sö ed e= inelasisk (fullsändig oelasisk). En sö ed e= kallas elasisk. I de flesa fall gäller < e<. Vad kan e> änkas beyda? A definiionen (.5) och (.8)-(.9) respekie (.)-(.) följer a e I I r = = = d (.7) O i eliinerar i dessa ekaioner erhålles följande uryck för sudsale e u u = = (.8) ds. sudsale ges so (inus) koen ellan relaihasigheen efer sö och relaihasigheen före sö. Obserera a u<. Vi konsaerar a e= u =, e= u = u <, u < =, u = >, u > Figur.4 Söförloppe 9
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa Figur.5 Sö-al Söiden τ beror på de saansöande kropparnas egenskaper. Vi kan skria I () ˆ d= Fs d = α Fs, I () ˆ r = Fs d = βfs( ) där < αβ, <. Urycken α ˆF och β Fˆs är således edelkraferna under deforaions- respekie reforaionsfaserna. I ˆ r βfs ( ) α e= = = ( + e ) I α F ˆ β d s Söiden beror således på såäl sudsal so koen ellan edelkraferna under deforaions och reforaionsfaserna. I de fall där söiden är ycke lien, sorleksordningen illisekunder eller indre, brukar an ala o oenan sö. Man kan då uppfaa ändingen i hasigheer öer söen so oenan, d s a den sker ögonblickligen. ( ) ( ) τ ( τ ) ( + ) Figur.5 Moenan sö τ =. Språngdiskoninuie. Proble 3/43 The sphere of ass raels wih an iniial elociy direced as shown and srikes a saionary sphere of ass. For a gien coefficien of resiuion e, wha condiion on he
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa ass raio ensures ha he final elociy of is greaer han? Figur.6 Proble 3/54 Lösning: Enlig (.4) och eferso = erhålles Men ( ) = + = (.9) e= = e = ( + e) (.) eno a kobinera (.9) och (.) erhålles = (( + e ) ) = ( + e ) + och krae > är då ekialen ed ( + e) > > + e För ändringen i kineisk energi öer söen gäller a T = T T = + u ( + u ) = ( u u ) Ändringen i kineisk energi är således lika ed ändringen i relai kineisk energi. Med unyjande a (.8) ds. u = eu erhålles urycke Noera a e T T T. Speciell gäller a T = u ( e ) µ (.)
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa e = T = u T =, e= T = T = T O e< så inskar således den kineiska energin öer söen. Var ar denna energiförlus ägen? O e> så gäller a T >. Vad innebär dea? Exepel. Besä hur sor del a den ursprungliga kineiska energin so förloras id ihopkoppling a å likadana ågagnar o agnarna ös ed hasigheerna = c > och = c < Figur.7 Exepel. Lösning: Relaihasigheen före sö: u = = c c = ( c + c ) och efer sö: u =. Dea u innebär a e= =. Ändringen i kineisk energi T = µ u ( e ) = µ u där u = = och beecknar assan hos agnarna. Däred T = u = ( c+ c). + 4 Andelen förlorad kineisk energi ( c + c > ) ( c + c ) T 4 ( c+ c) cc = = ( ) % = + < 5 T ( c ) c c c c + c + + Exepel. Vi noerar a o relaihasigheen u före sö och ändringen i kineisk energi T öer sö är kända sorheer illsaans ed de saansöande kropparnas assor kan sudsale beräknas enlig T e= +, u < (.) µu Obserera a T µ u + T, ilke allid är falle eferso T u ( e ) µ u = µ.
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa Noral gäller a T och däred e. Kan an ha e>? Ja, o T >! Hur kan an åsadkoa dea? Jo, o an änker sig en sö ellan å kulor där en sprängladdning, placerad ellan kulorna, ulöses id söen och illför energin T >. Då följer a (.) a e>. Figur.8 Exepel. Exepel.3 En rakes redje och fjärde seg är saankopplade och rör sig geno ryden ed faren. Separering a rakesegen sker geno en sprängladdning. De fjärde sege får då hasigheen i saa rikning. Besä de redje seges far efer separaionen o dess assa är dubbel så sor so de fjärde seges. Vad blir ändringen i kineisk energi? Se Figur.9 nedan! Lösning: Före sö gäller a = =. Efer sö gäller =. Rörelseängdens bearande, enlig (.4), ger ( + ) = + där och beecknar de redje och de fjärde seges assa. Figur.9 Exepel.3 De gäller a = och däred 3 = + = ( 3 ) 3 För relaihasigheen gäller u = och u = = ( 3 ) = ( ) och däred 3 T = µ ( u u ) = µ ( ( )) 3
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa där = = = 3 + + u enlig e =, ej är definiera i dea fall eferso u =. u 3. Således T = ( ) >. Obserera a söale, 4 Proble 3/54 The figure below shows n spheres of equal ass suspended in a line by wires of equal lengh so he spheres are alos ouching each oher. If sphere is released fro he dashed posiion and srikes sphere wih a elociy, wrie an expression for he elociy n of he n h sphere iediaely afer being sruck by he one adjacen o i. The coon coefficien of resiuion is e. Se Figur. nedan! Lösning: Beraka söen ellan sfär i och sfär i+.före sö gäller = i+. i i + i i+ Rörelseängdens bearande ger: + = + i i+ i i+ = Figur. Proble 3/54 Söale: i+ i i+ i i+ i e = = = i+ i i i Vi har således ekaionssysee 4
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa i = ( e ) i i= i+ i+ ei = i+ i i+ = ( + e ) i A dea drar i slusasen a Med ex sudsale e= 9. ( ) ( ) ( )... ( ( )) n = + e e e e = + + = = + n n n ( ) i+ = + ei= ( + 9. ) i= 95. i, i = ( e ) i = ( 9. ) i = 5. i och ed n= 5 erhålles då 4 4 = ( ( + e)) = ( ( + 9. )) = 8. 6 I näsa söogång (från höger ill änser) gäller således (o i anar a kulorna 5 i dea läge är i ila, ilke ine är hel san) =. 8 =. 8 ( ) 6 Efer k söogångar (ed oansående anagande) har i således för kula faren =. 8, k = 5 =. 7 ( k ) k ( 5 ) 5 Vi kan nu saanfaa de ekaioner so gäller för rak, cenral, gla sö. Saanfaning (rak, cenral, gla sö) + = + ( ) u e= =, u u T = u ( e ), = + ( ) ( ) Obserera a + = + = ( + ) 5
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa Noral id problelösning så gäller a söale och rörelseillsånde före sö är gina och a i söker rörelseillsånde efer sö. ina sorheer: e,,, Söka sorheer:, Vi har således å obekana sorheer, och so kan besäas ed ekaionssysee ( ) oan. Med hjälp a ekaion ( ) kan i sedan besäa ändringen i kineisk energi öer söen. Obserera a kineiska energins bearande öer söen, ds. T =, ine gäller i allänhe! Föreläsning 3: Sö (3/) Sned, cenral, gla sö: Tå kroppar (klo och klo ) ed assorna och har, srax före sö, hasigheer och enlig figur nedan. Figur 3. Sned, cenral och gla sö Frilägg kropparna enlig nedansående figur. Inför söipulsen I. Eferso söen anas ara gla har i I = n I (3.) där n är noralekorn ill angenplane Π i konakpunken ellan kropparna I I n Sönoral Tangenplan Π Figur 3. Sned, cenral och gla sö. Ipulsekaionen ger för kula : 6
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa I = n( I) = (3.) och för kula : I = ni = (3.3) där beecknar hasigheen för kula efer sö och beecknar hasigheen för kula efer sö. O i kobinerar ekaionerna (3.) och (3.3) så erhålles + = + ilke ger uryck för rörelseängdens bearande för kroppen klo + klo. O i gör uppdelningen = n +, n = (3.4) n,,, n n,, n Figur 3.3 Uppdelning a hasighesekorn och osarande för, och kan i dela upp ipulsekaionerna (3.) och (3.3) i en noral och en angeniell del enlig, för kula : I = n, n,, = (3.5), och för kula : I= n, n,, = (3.6), I (3.4) benänes n, noralkoponenen ill hasigheen och, benänes angenialkoposanen ill. eno a kobinera (3.5) och (3.6) erhålles rörelseängdens bearande i noralled 7
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa + = + (3.7) n, n, n, n, I angenialled gäller + = + (3.8),,,, Obserera dock a illkoren (3.5), (3.6) är sarkare och a (3.8) är en konsekens a dessa illkor. Visa dea! Vi inför nu sudsale för sned sö. Obserera a dea söal är basera på noralkoponenerna ill hasigheerna! u e = = u n, n, n n, n, n (3.9) där un = n, n, = n ( ) = nu är noralkoponenen för relaihasigheen u=. Exepel 3. Lå u n = n u= n ( u u ). Visa a I = µ un! Visa också a I e T = µ + e (3.) Exepel 3.: Anag a klo ed assan söer gla o e sillasående klo ed assan enlig nedansående figur. Söen har sudsale e. a) Besä kulornas hasigheer efer söen. b) Beraka gränsfalle. α β Figur 3.4 Exepel 3. Lösning: a) A (3.5), (3.6) följer a ( = >, =, = ) sinα = sin β, cosα = cos β + (3.) 8
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa cos β e =, α 9 cosα (3.) Ur dessa ekaioner erhålles + an β = an a, e e sinα =, β, = ( + e ) cosα sin β + (3.3) (3.4) O e så gäller, o α, a an β ilke innebär a β 9. Vi noerar a o α = så gäller a β =. I dea fall har i, enlig (3.) och (3.) = e +, = ( + e ) + b) Lå i (3.3) - (3.4). Då erhålles an β = ana, e sinα =, = (3.5) sin β E exepel på oansående kan ara gla sö o fas ägg enlig nedansående figur. O i inför infallsinkeln i och reflexionsinkeln r ed sabanden α = i, β = π r så erhålles enlig (3.5) an r = an i (3.6) e r i k n = = Figur 3.5 Uppgif 3. 9
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa Således e = an r = an i r = i. De ill säga, o söen är fullkolig elasisk så gäller a reflexionsinkeln är lika ed infallsinkeln. O söen är fullkolig oelasisk så gäller a e an r r 9. Kulan koer således efer sö a röra sig längs äggen ed hasigheen, =, = sinα. Vid sö ellan kulor ed lika assa d s = =, ex i biljardspel, så gäller enlig (3.3) a an β = ana (3.7) e O söen är elasisk, d s e så gäller a an β β 9 oberoende a α! Dessuo har i = sinα och = cosα. Då α = gäller a β =. Se nedansående figur! Vid lösning a söproble skall an: Figur 3.6 Uppgif 3., Billiard. (i) idenifiera angenplane i konakpunken ellan de saansöande kropparna och dess noralekor n, (ii) göra en uppdelning a hasigheerna och i noral- och angenial-led enlig (3.4), (iii) forulera söekaionerna. Se saanfaningen nedan! Saanfaning (Sned, cenral och gla sö) n, + n, = n, + n,, =,,, =, u = = = < = T = T T = un ( e ), = + I = un n n, n, e, u nu, u n un n, n,
Mekanik, Del, Dynaik 5, Ugåa Hur ser en icke-cenral, icke-gla ( srä ) sö u? Beraka en sö ellan kropparna B och B enlig nedansående figur. Lå n beeckna sönoralen. O söipulsen ges a I = ni + I, n I = (3.8) n och I säges söen ara icke-gla. O erkningslinjen för I ej går geno och/eller erkningslinjen för I ej går geno säges söen ara icke-cenral. Se figuren nedan! Vi koer ine a sudera dessa fall närare i denna kurs. n I n I Figur 3.6 Icke-cenral, srä sö