II. Analys av polynomfunktioner

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok II. Analys av polynomfunktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

II. Analys av polynomfunktioner 1 (24) Introduktion När vi här diskuterar hur man analyserar funktioner, kommer vi att göra det på en nivå som var matematiskt accepterad för 150 år sedan, men inte idag. När analysen (det som på engelska kallas calculus) upptäcktes av Isaac Newton och Gottfried Wilhelm Leibniz omkring 1670 bestod upptäckten av några grundläggande principer som visade sig mycket användbara för att lösa många vetenskapliga problem, speciellt inom mekaniken. Men det logiska fundamentet var skakigt till långt in på 1800-talet, och begrepp som gränsvärden var länge föremål för heta diskussioner. Vår diskussion i detta kapitel kommer att till stor del föras utan det logiska fundament som med tiden utkristalliserades sig. Istället följer vi i mycket 1700-tals matematikerns intuitiva sätt att resonera. Men för att kunna göra det måste vi hålla oss till enkla funktioner, så att inga obehagliga överraskningar dyker upp. Vi fokuserar därför på de kanske enklaste funktionerna, polynomen. I kommande kapitel ska vi genomföra motsvarande diskussioner för andra s.k. elementära funktioner (att en funktion är elementär innebär bara att den ingår bland de funktioner som är mest förekommande i tillämpningar, och inte att den är enkel). Ett polynom är ett uttryck av typen x 2 + 2x 3 och får inget värde förrän vi bestämmer vad x ska vara. Vi säger därför att värdet av uttrycket är en funktion av vilket värde vi sätter på x. Vi skriver detta som f(x) = x 2 + 2x 3. T.ex. gäller att då x = 2 blir 2 2 +2 2 3 = 5, vilket betyder att f(2) = 5. f är namnet på funktionen, vilket vi vill använda på precis samma sätt som vi namnger barn och hundar för att kunna prata om och till dem. En funktion som beräknas genom att vi beräknar ett polynom kallar vi en polynomfunktion. Anmärkning Ibland vill vi referera till en funktion utan att ge den ett namn. Vi borde då skriva något i stil med x x 2 + 2x + 3, men ofta skriver vi endast ut uttrycket. Detta är dock slarvigt! Allmänt sett är en funktion en regel som tar en uppsättning indata och producerar en uppsättning utdata utifrån dessa. Om indata är reella tal och utdata är reella tal har vi en funktion av en variabel. I det här kapitlet kommer vi att analysera polynomfunktioner, alltså funktioner på formen a k x k = a 0 + a 1 x +... + a n x n där a 0,..., a n är reella tal, men delar av diskussionen kommer att vara allmännare, och innefatta allmänna påståenden om kontinuerliga och deriverbara funktioner. Dessa påståenden formuleras som satser som sedan tillämpas på andra funktioner än polynomfunktioner i kommande kapitel. I detta sammanhang spelar begreppet kontinuitet en grundläggande roll, som vi dock ska göra vårt bästa att sopa under mattan. Vi säger att en funktion f är kontinuerlig i en punkt a om det gäller att f(x) f(a) då x a. Detta skriver vi ofta som [1] lim f(x) = f(a), x a

II. Analys av polynomfunktioner 2 (24) och om en funktion är kontinuerlig i alla punkter som den är definierad i, säger vi att den är en kontinuerlig funktion. Vi kommer också att, utan närmare kommentar, använda det till synes självklara påståendena att om två funktioner är kontinuerliga, så är även deras summa och deras produkt kontinuerliga [2]. Anmärkning Att en funktion är kontinuerlig betyder intuitivt att den hänger ihop. Däremot kan den vara väldigt hackig. Om f är kontinuerlig i a och f(a) > 0, så gäller att det finns en omgivning till a sådan att f(x) > 0 när x ligger i denna omgivning [3]. Denna observation behöver vi senare i detta kapitel. Grafen av en funktion Om vi beräknar alla värden av funktionen f så kan vi betrakta funktionen som en tabell med två kolonner: den vänstra består av x-värdena och den högra av de beräkna funktionsvärdena f(x). Data från en sådan tabell kan vi sedan rita i ett koordinatsystem där vi har en x-axel och vinkelrät mot den en y-axel. Resultatet blir en kurva i detta plan, och denna kurva kallas grafen av f. Ett sätt att lära känna en funktion blir då att försöka rita denna kurva. Detta kan vi lätt göra med en dator, med den viktiga begränsningen att vi bara kan se en del av kurvan, och bara till en viss detaljnoggrannhet. För att försäkra oss om att vi verkligen har fått med det väsentliga av funktionen måste vi hitta någon metod att avgöra när så är fallet. De enklaste polynomen är förstås en konstant (som har gradtalet 0), vars graf är en horisontell linje. Näst enklast är första ordningens polynom, alltså de som är på formen kx + m, k 0. Deras graf består av en rät linje med riktningskoefficient k. Därefter kommer, i svårighetsgrad, andragradspolynom f(x) = ax 2 + bx + c = a(x + b 2a )2 + c b2 4a, y c b 2 /4a 2 b/2a där a 0. Här har vi kvadratkompletterat uttrycket därför att det hjälper oss när vi ska rita grafen. Vi har nämligen att om a > 0 så gäller att uttrycket har sitt minsta värde då x = b och detta 2a minsta värde är c b2. Om a < 0 är detta istället det största värdet. Med hjälp av den 4a informationen ritar vi lätt ut en skiss för hur grafen till ett andragradspolynom ser ut. En bättre figur får vi genom att också beräkna eventuella nollställen till f(x) och sedan dra kurvan genom dessa. Med andra ord: ska du rita grafen till ett andragradspolynom ska du kvadratkomplettera och läsa av hur grafen ser ut från det. x

II. Analys av polynomfunktioner 3 (24) Exempel 1 En vanligt användning av andragradspolynom är som beskrivning av s.k. kastparabler. Om man kastar ett föremål i ett lufttomt rum där den enda kraft som påverkar föremålet är tyngdaccelerationen g, så kommer höjden på vilken föremålet befinner sig som funktion av tiden, räknad från kastögonblicket, att ges av en funktion h(t) = h 0 + vt gt 2 /2. Här är h 0 höjden ovan marken där utkastet sker och v den lodräta hastigheten med vilken föremålet kastas iväg. Om vi inte kastar rakt upp utan med en vinkel φ mot markplanet, kommer höjden över marken alltjämt att ges av väsentligen samma uttryck. Vi måste bara ersätta v med v sin φ, eftersom detta är utkasthastighetens storlek i vertikal riktning. Vad gäller rörelsen i horisontell riktning är utkasthastigheten v cos φ, och eftersom det inte finns någon kraft som påverkar i horisontell riktning, kommer avståndet från utkastplatsen att ges av uttrycket tv cos φ. y v sin φ φ v cos φ x Anmärkning Om du i vänster hand har en pistolkula och i höger hand en pistol med en kula i loppet, och skjuter iväg skottet horisontellt i samma ögonblick som du släpper pistolkulan i vänster hand, vilken av kulorna kommer först att nå marken? Vi antar att marken är helt plan och att båda hand och pistolmynning är lika långt från marken. Det förvånande svaret är att de slår i marken samtidigt, i varje fall i vakuum. Enligt antagandet har vi nämligen att φ = 0, så det finns ingen vertikal komponent av utgångshastigheten på pistolkulan som skjuts iväg. De två kulornas höjd över marken vid olika tidpunkter beskrivs därför av samma funktion h(t) = h 0 gt 2 /2, varur påståendet följer. Interpolerande polynom Om vi har n + 1 punkter (x i, y i ), i = 0,..., n, där alla x i är olika punkter, så finns det precis ett n:te-gradspolynom f(x) = n a kx k vars graf går genom dessa punkter. Att så är fallet kan ses som en övning i linjär algebra. Vi tar ett exempel först.

II. Analys av polynomfunktioner 4 (24) Exempel 2 Låt oss bestämma det andragradspolynom vars graf går genom punkterna (1, 1), (2, 3) och (3, 1). Ett sådant andragradspolynom kan skrivas och villkoren är att p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, p(1) = 1, p(2) = 3, p(3) = 1. Detta innebär att vi har följande tre ekvationer a 0 + a 1 + a 2 = 1 a 0 + 2a 1 + 4a 2 = 3, a 0 + 3a 1 + 9a 2 = 1. Detta löses med s.k. Gauss-elimination, t.ex. genom a 0 + a 1 + a 2 = 1 a 0 + a 1 + a 2 = 1 a 1 + 3a 2 = 2, a 1 + 3a 2 = 2, 2a 1 + 8a 2 = 0 a 2 = 2 a 0 = 5 a 1 = 8, a 2 = 2. Det polynom som uppfyller villkoret är därför p(x) = 5 + 8x 2x 2. Som i exemplet, för att bestämma koefficienterna a 0, a 1,..., a n i det allmänna fallet ska vi lösa ekvationerna a k x k i = y i, i = 0,..., n. Detta system består av n + 1 ekvationer i n + 1 obekanta, och man kan visa [4] att det alltid har en entydig lösning. Anledningen till att vi nämner detta är att det betyder att vi kan approximera en godtycklig funktion med polynom. Med väl valda punkter, och om den funktion vi ska approximera är snäll till sitt utseende, kommer approximationen i allmänhet att vara god, annars kanske inte. Men det visar att mycket av det vi kan göra för godtyckliga polynom kan vi också göra för snälla funktioner. Frågan är bara vad vi ska mena med snälla funktioner. Det är här begrepp som kontinuitet och differentierbar kommer in. Derivator och tangenter En polynomfunktion är en snäll funktion i följande mening: om vi tittar i tillräckligt stor förstoring kommer dess graf nästan att se ut som en rät linje i det (lilla) område vi då ser. Det betyder att vi lokalt nära en punkt kan approximera grafen med en speciell rät linje, nämligen tangenten till grafen i punkten ifråga.

II. Analys av polynomfunktioner 5 (24) Varför är det så? Vi vet från faktorsatsen att f(x) f(a) = Q(x)(x a) där Q(x) är ett polynom. Det innebär att f är deriverbar i punkten a enligt följande definition. Definition 1 En reellvärd funktion sägs vara deriverbar i punkten a om det finns en kontinuerlig funktion A(x) som är definierad i en omgivning av a och är sådan att f(x) f(a) = A(x)(x a). Talet A(a) kallas derivatan av f i a och betecknas f (a). Anmärkning Funktionen A kan vi kalla kvotfunktionen i uttrycket och den beror naturligtvis på vilken funktion f det handlar om. Vi skriver därför ibland A f för att beteckna den kvotfunktion som hör till f, i fall detta inte är självklart av sammanhanget. Naturligtvis beror A också på vilken punkten a är. Anmärkning Notera att vi får en sorts faktorsats av detta, nämligen att om f är deriverbar i punkten a och f(a) = 0, så delar polynomet (x a) funktionen f med en kvot som är en kontinuerlig funktion i punkten a. Normalt är dock inte kvotfunktionen ett polynom. [5] Exempel 3 Om f är en konstant funktion, alltså f(x) = c för alla x, så gäller att f(x) = f(a) för alla x och vilkoret på A(x) är då att A(x)(x a) = 0 för alla x. Om vi därför tar A(x) = 0 för alla x så får vi en kontinuerlig funktion som uppfyller villkoret i definitionen. Eftersom A(a) = 0 följer att f (a) = 0. Om istället f(x) = x så gäller att funktionen A(x) = 1 duger i definitionen, och alltså är f (a) = 1. Vi kan fortsätta detta. Om f(x) = x 2 så gäller att f(x) f(a) = x 2 a 2 = (x + a)(x a), så A(x) = x+a duger. För den gäller att A(a) = 2a, så f (a) = 2a. Med hjälp av den geometriska summan har vi allmänt att om f(x) = x n där n är ett positivt heltal gå gäller att n 1 f(x) f(a) = x n a n = A(x)(x a) där A(x) = a n 1 k x k. Funktionen A(x) är kontinuerlig och A(a) = n 1 an 1 = na n 1, så det gäller att f (a) = na n 1.

II. Analys av polynomfunktioner 6 (24) Anmärkning I exemplet har vi använt att polynom är kontinuerliga funktioner. Detta får anses självklart, men vi ska snart ge ett alternativt bevis för resultatet i exemplet där kontinuiteten är en konsekvens av deriverbarheten. Det är f.ö. vad som kommer att gälla för de övriga elementära funktionerna som vi ska diskutera i kommande kapitel. En första, närmast trivial, konsekvens av definitionen är att om en funktion f är deriverbar i en punkt a, så är den nödvändigtvis kontinuerlig i a. Det följer av att f(x) f(a) = A(x)(x a) A(a) 0 = 0 då x a. En annan, nästan lika enkel konsekvens, är Sats 1 Om f och g är deriverbara i punkten a så gäller att f + g är deriverbar i punkten i a med derivatan (f + g) (a) = f (a) + g (a). Bevis. Enligt antagandet finns det kontinuerliga funktioner A f (x) och A g (x) sådana att f(x) f(a) = A f (x)(x a), g(x) g(a) = A g (x)(x a). Det betyder att (f + g)(x) (f + g)(a) = (f(x) f(a)) + (g(x) g(a)) = A f (x)(x a) + A g (x)(x a) = A(x)(x a) där A(x) = A f (x) + A g (x) är kontinuerlig i punkten a, där den har värdet A(a) = A f (a) + A g (a) = f (a) + g (a). Detta visar satsen. Vi kan notera att kvotfunktionen A(x) ges av den s.k. differenskvoten A(x) = f(x) f(a) x a då x a. Att kräva att A(x) är kontinuerlig i x = a är därför detsamma som att kräva att gränsvärdet f f(x) f(a) (a) = lim x a x a existerar, vilket är den vanliga defintionen av derivatan. Det vi gjort i vår definition är endast att ersatt begreppet gränsvärde med begreppet kontinuitet. Differenskvoten innebär den genomsnittliga förändringen i intervallet [a, x] av f, vilket betyder att derivatan kan tolkas som den momentana förändringshastigheten av f i punkten.

II. Analys av polynomfunktioner 7 (24) Notera också att om vi skriver h = x a så blir definitionen istället f f(a + h) f(a) (a) = lim, h 0 h vilket ibland har beräkningsmässiga fördelar. Exempel 4 Låt oss härleda derivatan av funktionen f(x) = x 2 i punkten a på detta sätt. Vi skriver då f (a) = lim h 0 (a + h) 2 a 2 h = lim h 0 2ah + h 2 h = lim h 0 (2a + h) = 2a. För att tolka vad det betyder geometriskt att en funktion är deriverbar i en punkt skriver vi om villkoret som f(x) = f(a) + f (a)(x a) + R(x), där R(x) = (x a)(a(x) A(a)). Högerledet består här av förstagradspolynomet p(x) = f(a)+f (a)(x a) vars graf är den räta linjen genom (a, f(a)) som har riktningskoefficient f (a), samt en felterm R(x) som är sådan att den försvinner (eftersom A är kontinuerlig i punkten a) bredvid f (a)(x a) när x är mycket nära a. Vi antar här att f (a) 0. Detta betyder att när vi zoomar in på området kring punkten (a, f(a)) så kommer kurvan y = f(x) att mer och mer se ut som den räta linjen y = p(x). Men en linje med denna egenskap är tangenten till kurvan i punkten (a, f(a)). Tangentens ekvation på enpunktsformen är därför (x, f(x)) R(x) y f(a) = f (a)(x a). Speciellt ges linjens riktningskoefficient av f (a) (a, f(a)) x a f (a)(x a) Anmärkning Ett annat sätt att uttrycka detta på, är att tangenten är grafen till det linjära polynom p(x) = kx + m som är sådant att p(a) = f(a) och p (a) = f (a). Vi avslutar detta avsnitt med att härleda ytterligare en räkneregel för derivation, nämligen hur man deriverar en produkt. Om vi har två polynom f och g kan vi naturligt derivera deras produkt f(x)g(x) genom att först multiplicera ihop polynomen och sedan derivera den uträknade produkten. Men det kan ibland vara bättre att använd följande produktregel för derivation

II. Analys av polynomfunktioner 8 (24) Sats 2 Om f och g är deriverbara funktioner i punkten a, så är även deras produkt fg deriverbar i a och derivatan ges av (fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a). Bevis. Vi ska naturligtvis använda definitionen av deriverbarhet, och börjar då med att skriva om skillnaden (fg)(x) (fg)(a) = f(x)g(x) f(a)g(a) = f(x)g(x) f(x)g(a) + f(x)g(a) f(a)g(a). Här har vi bara lagt till och dragit ifrån samma term, men denna är vald med omsorg, eftersom f(x)g(x) f(a)g(x) + f(a)g(x) f(a)g(a) = g(x)(f(x) f(a)) + f(a)(g(x) g(a)). Enligt förutsättningarna vet vi nämligen att det finns kontinuerliga funktioner A f (x) och A g (x) sådana att f(x) f(a) = A f (x)(x a), g(x) g(a) = A g (x)(x a), och sådana att A f (a) = f (a), A g (a) = g (a). Vi får då att (fg)(x) (fg)(a) = g(x)a f (x)(x a) + f(a)a g (x)(x a) = A(x)(x a), där A(x) = g(x)a f (x) + f(a)a g (x). Men A(x) är en kontinuerlig funktion vars värde i x = a är A(a) = g(a)a f (a) + f(a)a g (a) = g(a)f (a) + f(a)g (a). Därmed är satsen bevisad. Följande exempel visar nu hur vi kan använda desssa satser för att se att alla polynomfunktioner är deriverbara (och därmed kontinuerliga) och dessutom få en formel för derivatan. Exempel 5 Funktionen x x är uppenbarligen deriverbar med derivatan 1. Det följer då ur Sats 2 att funktionen x 2 = x x är deriverbar med derivatan x + x = 2x. Men då följer att även x 3 = x 2 x är deriverbar, och det med derivatan 2x x+x 2 = 3x 2. Fortsätter vi så, ser vi att funktionen x n är deriverbar och har derivatan nx n 1. Med hjälp av satserna 1 och 2 följer nu att varje polynom är deriverbart, och att f(x) = a k x k f (x) = ka k x k 1. k=1 Notera att vi inte använt att polynom är kontinuerliga funktioner. Istället ser vi att de är kontinuerliga funktioner, eftersom de är deriverbara i varje punkt.

II. Analys av polynomfunktioner 9 (24) Eftersom derivatan av ett polynom också är ett polynom kan vi derivera den också. Och så vidare. Efter tillräckligt många deriveringar blir derivatan av ett polynom till slut noll överallt. Vad kan vi använda derivatan till? Vi ska nu se lite allmänt vad man kan använda derivatan till när den finns. Derivatan är ju riktningskoefficienten för tangenten i punkten, vilket intuitivt betyder att funktionen är växande när derivatan är positiv och avtagande när den är negativ. För att precisera detta behöver vi införa några definitioner och formulera och bevisa några satser. Definition 2 En funktion f har ett lokalt maximum i en punkt a om det för alla x i någon (aldrig så) liten omgivning till a gäller att f(x) f(a). På motsvarande sätt definieras vad som menas med ett lokalt minimum genom att vända på olikheten, och man använder begreppet lokal extrempunkt för en punkt i vilken funktionen har ett lokalt maximum eller ett lokalt minimum. Följande sats torde vara välkänd. Sats 3 Om punkten a är en lokal extrempunkt till en funktion f som är deriverbar i den punkten, så gäller att f (a) = 0. Bevis. Vi har att f(x) f(a) = A(x)(x a) där funktionen A är kontinuerlig i a. Då x a gäller att f(x) f(a) A(x) = x a och om f har ett lokalt maximum i punkten a är täljaren 0 för x nära a. Det betyder att när x < a är nämnaren negativ och kvoten alltså 0. Om x > a är nämnaren positiv och kvoten därför 0. Med andra ord, för x nära a gäller att { 0 om x < a A(x) = 0 om x > a. Enda möjligheten för A att vara kontinuerlig i a är då att A(a) = 0, d.v.s. f (a) = 0. Läsaren kan själv modifiera beviset då a är en lokal minimipunkt. Definition 3 Punkter a som är sådana att f (a) = 0 sägs vara stationära punkter till f.

II. Analys av polynomfunktioner 10 (24) Så vad vi vet är att om vi letar lokala extrempunkter till en funktion, och funktionen är deriverbar, så ska vi leta bland de stationära punkterna. Finns det punkter där funktionen inte är deriverbar (sådana kan t.ex. uppkomma p.g.a. ett absolutbelopp i funktionsuttrycket), så måste de punkterna undersökas separat. Anmärkning Alla stationära punkter behöver inte vara lokala extrempunkter. T.ex. gäller att funktionen x 3 har en stationär punkt då x = 0, men funktionen har ingen lokal extrempunkt där. En stationär punkt (för en funktion av en variabel) som inte är en lokal extrempunkt kallas en terrasspunkt. Innan vi går vidare gör vi en liten parantes om intervall. När vi säger att något gäller på ett intervall, menar vi att det gäller i hela intervallet. Om vi säger att något gäller i ett intervall menar vi att det gäller i alla punkter utom i eventuella ändpunkter. Exempel 6 En funktion är kontinuerlig på I = [a, b] om den är kontinuerlig i alla punkter x sådana att a x b. Den är deriverbar i I om den är deriverbar i alla punkter x sådana att a < x < b. För att ordentligt utreda sambandet mellan tecknet på derivatan och huruvida funktionen är växande eller avtagande behöver vi en ordentlig definition av vad som menas med att en funktion är växande eller avtagande. Definition 4 Att en funktion är växande på ett intervall innebär att om x 1 och x 2 är två punkter i intervallet sådana att x 1 < x 2, så gäller f(x 1 ) f(x 2 ). Funktionen sägs vara strängt växande om det gäller att f(x 1 ) < f(x 2 ). Anmärkning Notera att definitionen inte har någonting med derivator att göra! Om f är deriverbar i en punkt a kan vi skriva f(x) f(a) = A(x)(x a) där A är kontinuerlig nära a. Om vi dessutom vet att f är strängt växande nära a, så gäller att f(x) f(a) > 0 då x > a och x ligger nära a. Men då måste A(x) > 0 för sådana x. Ur det följer att f (a) = A(a) 0, eftersom A är kontinuerlig i a. Däremot finns det ingen garanti för att vi har sträng olikhet. Anmärkning Funktionen x 3 är ett exempel på att derivatan inte måste vara positiv överallt även om funktionen är strängt växande. Dess derivata är ju noll i origo [6]. Dock gäller omvändningen: om f > 0 i ett intervall så är f strängt växande i detta intervall. Detta bevisas genom att man först bevisar följande viktiga sats.

II. Analys av polynomfunktioner 11 (24) Sats 4: Medelvärdessatsen Om f är kontinuerlig på I = [a, b] och deriverbar i I, så gäller att det finns ett ξ i I sådant att f(b) f(a) = f (ξ)(b a). Anmärkning Tänk dig att du kör bil mellan två orter. Då säger medelvärdessatsen att om medelhastigheten för hela resan är v, så finns det något tillfälle under resan när den momentana hastigheten också var just v. Ganska självklart, eller hur? Beviset kräver en noggrannare analys av vad kontinuitet innebär [7], men man kan lätt tro på satsen med hjälp av figuren nedan. Vad medelvärdessatsen säger är att den röda linjen, som har riktningskoefficient y f(b) f(b) f(a), b a har samma riktningskoefficient som minst en tangent till kurvan i intervallet. I exemplet i figuren till höger har vi två sådana punkter ξ: den ena är utritad, den andra antydd genom en streckad tangent till punkten. Det är viktigt i satsen att funktionen är deriverbar i intervallet. Finns det en punkt där den inte är deriverbar, behöver satsen inte gälla. Liksom den inte behöver gälla om funktionen inte är kontinuerlig på hela intervallet, inklusive ändpunkterna. a f(a) Innan vi går vidare tar vi en matematisk tillämpning av medelvärdessatsen. ξ b x Exempel 7 Vi ska visa att (1 + x) n 1 + nx, om x 1. Vi antar här att n är ett positivt heltal, även om beviset fungerar för godtyckliga reella tal sedan vi väl definierat, och kan derivera, allmänna potensfunktioner. För att visa olikheten definierar vi Då gäller att och medelvärdessatsen medför att f(x) = (1 + x) n. f (x) = n(1 + x) n 1 f(x) f(0) = f (ξ)(x 0) (1 + x) n 1 = n(1 + ξ) n 1 x, där ξ ligger mellan 0 och x. Men

II. Analys av polynomfunktioner 12 (24) a) om x 0 gäller att 1 + ξ 1, så (1 + ξ) n 1 x x, b) om 1 x < 0 gäller att 0 1 + ξ < 1, så (1 + ξ) n 1 x x (tänk igenom! [8] ). I båda fallen får vi alltså att n(1 + ξ) n 1 x nx, varigenom vi har visat olikheten. Antag nu att f är deriverbar i ett intervall ]a, b[ och tag två punkter (vilka som helst) x 1 < x 2 i intervallet. Då finns ett ξ mellan x 1, x 2 sådant att f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ). Om vi vet att f > 0 i hela intervallet så är f (ξ) > 0, varur det följer att f(x 2 ) > f(x 1 ). Men detta betyder precis att f är strängt växande. Om vi bara vet att f 0 följer att f(x 2 ) f(x 1 ), d.v.s. att f är växande (men inte nödvändigtvis strängt växande). Motsvarande gäller när derivatan är negativ. Vi har därmed bevisat följande sats. Sats 5 Antag att f är deriverbar i ett intervall I. Om f 0 i I, så är f växande på I, och om dessutom f > 0 i I, är f strängt växande på I. Om f 0 i I är f avtagande på I, och strängt avtagande på I om f < 0 i I. Anmärkning Det är Sats 5 som ligger till grund för de teckentabeller som vi använder i nästa avsnitt för att avgöra om en stationär punkt är en lokal extrempunkt, och i så fall, vilken typ av extrempunkt. Om vi istället har att f = 0 överallt i intervallet får vi att f(x 2 ) = f(x 1 ). Eftersom detta gäller för alla val av x 1 < x 2 följer att f bara antar ett värde, t.ex. f(a). Vi formulerar även detta som en sats. Sats 6 Om f = 0 i ett intervall gäller att f är en konstant på detta intervall. Exempel 8 Som en tillämpning av Sats 6 kan vi motivera varför kastparabeln i Exempel 1 är just en parabel. Den fysikaliska bakgrunden är naturligtvis Newtons andra lag, som säger att massan gånger accelerationen är lika med den verkande kraften, d.v.s. mh (t) = mg där m är föremålets massa. Vi vill därför bestämma alla funktioner h(t) sådana att h (t) = g. Om vi börjar med att sätta v(t) = h (t), så ska vi alltså lösa ekvationen v (t) = g. Men eftersom t gt har derivatan g, betyder det att (v(t) + gt) = 0 för alla t.

II. Analys av polynomfunktioner 13 (24) Enligt satsen gäller då att v(t) + gt är en konstant, v, och alltså v(t) = gt + v. I nästa led ska vi lösa ekvationen h (t) = gt + v. En funktion som har samma derivata som h är funktionen t gt 2 /2 + vt, vilket betyder att skillnaden mellan h och denna funktion har en derivata som är noll överallt: (h(t) ( g t2 2 + vt)) = 0 överallt. Enligt satsen har vi därför att h(t) ( gt 2 /2 + vt) = h 0 är en konstant, vilket är påståendet: h(t) = gt 2 /2 + vt + h 0. Notera att h(0) = h 0 och h (0) = v. Att skissera grafer Vi ska nu se hur vi kan använda påståendena från föregående avsnitt till att skissera grafen till några polynomfunktioner. Exempel 9 Vi ska skissera grafen till polyomfunktionen f(x) = x 4 8x 3 + 22x 2 24x + 10. Vi börjar då med att beräkna dess derivata till f (x) = 4x 3 24x 2 + 44x 24 = 4(x 3 6x 2 + 11x 6). Här ser vi att x = 1 är ett nollställe och kan därför enligt faktorsatsen bryta ut faktorn (x 1): f (x) = 4(x 1)(x 2 5x + 6) = 4(x 1)(x 2)(x 3). Vi ser alltså att de tre stationära punkterna är x = 1, 2, 3. För att se vad det är för typer av stationära punkter använder vi denna faktorisring och Sats 5 till att göra en teckentabell: x 1 2 3 f (x) 0 + 0 0 + f(x) 1 2 1 I första raden har vi här gjort en teckenanalys av derivatan i olika intervall, och sedan i den andra raden använt resultaten från föregående avsnitt för att dra slutsatser om hur funktionen uppför sig i motsvarande intervall. Vi har också räknat ut funktionsvärdena i de stationära punkterna i den sista raden. Vi ser att x = 1 och x = 3 båda är lokala minima medan x = 2 är ett lokalt maximum. Från detta 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 x

II. Analys av polynomfunktioner 14 (24) kan vi rita en skiss av dess graf, vilken i datorritad version finns ovan. Vi kan notera att detta polynom inte har något nollställe. Tyvärr kräver analysen att vi kan hitta alla nollställen till polynom, vilket inte alltid är så lätt. För ett allmänt polynom låter detta sig endast göras numeriskt. En enkel, men räkneintensiv, metod att bestämma närmevärden på nollställen till en kontinuerlig funktion bygger på att man först ritar upp grafen för att få en grov skattning av var ett nollställe kan ligga. Sedan använder man en metod som kallas intervallhalvering. Exempel 10 Bestäm alla nollställen till polynomet Vi deriverar f(x) = x 3 + 3x + 4. f (x) = 3 3x 2 = 3(1 x)(1 + x). De stationära punkterna är därför x = ±1 och vi har följande teckentabell: x 1 1 f (x) 0 + 0 f(x) 2 6 Från grafen ser vi att polynomet har precis ett nollställe. Eftersom f(2) = 2 > 0 och f(3) = 14 < 0, måste detta ligga i intervallet [2, 3]. Värdet mitt i detta intervall är f(2.5) = 7.125 < 0, vilket betyder att nollstället faktiskt måste ligga i intervallet [2, 2.5]. 6 5 4 3 2 Vi kan sedan fortsätta på detta sätt, d.v.s. vi delar det intervall som nollstället måste ligga i på mitten och bestämmer tecknet på funktionen i mittpunkten och få på så sätt ett hälften så stort intervall som nollstället måste ligga i. Härigenom kan vi få ett bättre och bättre närmevärde på nollstället, som blir 2.19582... 1 2 1 1 2 3 4 x 1 2 Att hitta ett nollställe på detta sätt gör man naturligtvis inte för hand!

II. Analys av polynomfunktioner 15 (24) Anmärkning Vi använder här att om f är en kontinuerlig funktion sådan att f(a) < 0 och f(b) > 0, så finns ett ξ som ligger mellan a och b som är sådant att f(ξ) = 0. Detta kan verka självklart, men att det är så har att göra med att reella tal ligger tillräckligt tätt och påståendet är därför ganska djupt. Detta påstående kallas satsen om mellanliggande värden. Om andraderivatans användning Andraderivatan av en funktion är derivatan av dess derivata, alltså f (x) = (f (x)). På motsvarande sätt definieras högre derivator rekursivt: den k:te derivatan av f betecknas f (k) (x) och definieras av att Som tidigare skriver vi och också f (3) (x) = f (x). f (k) (x) = (f (k 1) (x)). f (1) (x) = f (x), f (2) (x) = f (x) Andraderivatan kan ofta (men inte alltid) vara användbar till att avgöra om en viss stationär punkt är en extrempunkt eller inte. Och i så fall vilken typ av extrempunkt det rör sig om. Antag att f (a) = 0 och att f (a) > 0 och att andraderivatan är kontinuerlig nära punkten a. Det följer då att f (x) > 0 i någon omgivning till a, vilket i sin tur betyder att i den omgivningen är f en växande funktion. Eftersom den är noll i a måste vi då ha att f (x) < 0 då x < a och f (x) > 0 då x > a (då x ligger i omgivningen ifråga). Men det betyder att f är avtagande till vänster om a och växande till höger om a. Det i sin tur betyder att a är ett lokalt minimum till f (se teckentabellen till höger). [9] x a f (x) 0 + f(x) f(a) På samma sätt ser vi att om istället f (a) = 0 och f (a) < 0, så har f ett lokalt maximum i a. Exempel 11 Andraderivatan av funktionen f(x) = x 3 + 3x + 4 i Exempel 10 är Vi ser därför att f (x) = 6x. f ( 1) = 6 > 0, f (1) = 6 < 0, och alltså att 1 är ett lokalt minimum medan 1 är ett lokalt maximum. Samma resultat som teckentabellen gav.

II. Analys av polynomfunktioner 16 (24) Däremot vet vi inte vad för sorts punkt a är om f (a) = f (a) = 0. Om t.ex. f(x) = x 4 gäller att f (0) = f (0) = 0, och vi har ett lokalt minimum i origo. Om vi istället tar f(x) = x 4 har vi ett lokalt maximum i origo. Slutligen, om vi tar f(x) = x 3, så gäller samma sak, men denna funktion är strängt växande överallt (och har en terrasspunkt i origo). Det finns ett annat sätt att se på detta som, i motsats till ovanstående resonemang med en teckentabell, går att generalisera till högre dimensioner. Vi ska gå igenom det för polynomfunktioner och börjar med några allmänna observationer. Låt f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n = a k x k vara ett godtyckligt n:tegradspolynom. Vi ser då att f(0) = a 0, och deriverar vi får vi att f (x) = a 1 + 2a 2 x +... + na n x n 1, som i sin tur medför att f (0) = a 1. Deriverar vi en gång till ser vi att f (0) = 2a 2, och fortsätter vi på det sättet ser vi att f (k) (0) = k(k 1)... 2 1 a k. För heltal k inför vi beteckningen k! = k(k 1)(k 2)... 2 1 som kallas k-fakultet, och alltså innebär att vi multiplicerar ihop alla heltal mellan 1 och k. Man inför av bekvämlighetsskäl beteckningen 0! = 1. Vi ser då att a k = f (k) (0)/k!, vilket betyder att vi kan skriva f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) x2 2 +... + f (n) (0) xn n! = f (k) (0) xk k!. Innan vi tillämpar det på vårt egentliga problem, låt oss göra en liten detour. För f(x) = (1 + x) n har vi att [10] f (k) (0) = n(n 1)... (n k + 1) då k n, vilket också kan skrivas som n(n 1)... (n k + 1) = n(n 1)... (n k + 1)(n k)... 2 1 (n k)... 2 1 = n! (n k)!. Det betyder att vi har att (1 + x) n = ( ) n x k, k där ( ) n = k n! k!(n k)! kallas binomialkoefficienter. Det finns mycket intressant att säga om dem [11], bland annat leder de direkt till det s.k. binomialteoremet genom att vi sätter x = b/a: (a + b) n = ( ) n a n k b k. k

II. Analys av polynomfunktioner 17 (24) Exempel 12 För polyomet f(x) = (1 + x 2 ) n gäller att alla udda derivator är noll i origo, medan ( ) n f (2k) (0) = (2k)!, k = 0,..., n. k För att se att så är fallet använder vi binomialteoremet med a = 1 och b = x 2. Då får vi att ( ) n (1 + x 2 ) n = x 2k, k så koefficienten framför x 2k ges av binomialkoefficenten ( n k). Men den koefficienten ska vara lika med f (2k) (0)/(2k)!, och sätter vi de två uttrycken lika får vi resultatet. De udda derivatorna f (2k+1 )(0) är noll, eftersom koefficienten framför x 2k+1 är noll. Låt oss nu återvända till vårt problem att använda andraderivatan för att avgöra om en stationär punkt till ett polynom är en lokal extrempunkt. Antag att a är en stationär punkt till polynomet f och skriv g(t) = f(a + t). Då gäller att g (k) (0) = f (k) (a) och alltså att f(a + t) = g(t) = Om vi nu skriver x = a + t så följer att f(x) = f (k) (x a)k (a) k! Vi kan skriva om detta som att där f (k) (0) tk k!. = f(a) + f (a)(x a) + f (x a)2 (a) +... + f (n) (a) 2 f(x) = f(a) + f (a)(x a) + (x a) 2 B a (x a), B a (h) = f (a) + h(f (a) 1 2 3! +... + f (n) (a) hn 3 ). n! (Vi antar att n 3, polynom av lägre grad är redan avklarade.) (x a)n. n! När h 0, gäller att B a (h) f (a)/2, så om f (a) > 0 så gäller att B a (h) > 0 om h ligger i någon punkterad omgivning [12] till origo. Antag vidare att a är en stationär punkt till f, så att f (a) = 0. Då har vi att f(x) = f(a) + (x a) 2 B a (x a) > f(a) i någon punkterad omgivning till origo. Det betyder att f har ett strängt lokalt minimum i a. På motsvarande sätt ser vi att f har ett strängt lokalt maximum om f (a) < 0. Om emellertid f (a) = 0 måste vi förfina analysen; vi kan då inte avgöra om punkten är en lokal extrempunkt ifrån andraderivatan enbart. Detta överlämnas åt läsaren att fundera på. En annan tillämpning av formeln (1) f(x) = f (k) (x a)k (a) k! för ett polynom f(x) av grad n är att man kan använda derivation istället för polynomdivision för att bestämma kvoten vid division med (x a). Vi illustrerar med ett exempel.

II. Analys av polynomfunktioner 18 (24) Exempel 13 Polynomet f(x) = x 3 6x 2 + 11x 6 har ett nollställe i x = 1. Det betyder att utvecklingen (1) för a = 1 inte har någon konstant term. Vi kan därför bryta ut (x 1) ur summan. För att bestämma vad som blir klar beräknar vi f (x) = 3x 2 12x + 11, f (x) = 6x 12, f (x) = 6, vilket betyder att f (1) = 2, f (1) = 6, f (1) = 6 och alltså f(x) = 2(x 1) 6(x 1)2 2 (x 1)3 + 6 3! Detta är ett alternativ till att göra polynomdivision. = (x 1)(x 2 5x + 6). Approximation med polynom nära en punkt - Taylor polynom Vi ska nu titta närmare på frågan om hur ett polynom ska se ut som approximerar en given funktion bra i en omgivning av en punkt. Den bästa linjära approximation känner vi sen tidigare; det är den fundamentala observationen att tangenten är den räta linje som bäst approximerar kurvan. Men hur ser t.ex. bästa andragradsapproximation ut? Förhoppningsvis gav föregående avsnitt viss insikt i vad svaret är. Den svåra frågan i sammanhanget är dock: hur vet vi att det är en bra approximation? Med andra ord, hur får vi kontroll över felet. Vi ska se att denna diskussion väsentligen bygger på medelvärdessatsen. Vi börjar därför med en utvidning av den vanliga medelvärdessatsen. Lemma 1 (Cauchys medelvärdessats) Antag att funktionerna g och h är kontinuerliga på intervallet I = [a, b] och deriverbara i det. Då finns minst ett ξ i I sådant (g(b) g(a))h (ξ) = (h(b) h(a))g (ξ). Anmärkning Notera att vi medelvärdessatsen är specialfallet då h(x) = x (och g = f). Bevis. Vi ska använda medelvärdessatsen på funktionen φ(x) = (g(b) g(a))h(x) (h(b) h(a))g(x). För den gäller nämligen att φ(a) = φ(b) (kontrollera!), så medelvärdessatsen säger att det finns ett ξ i det inre av intervallet sådant att φ (ξ) = 0. Men det är precis påståendet i lemmat.

II. Analys av polynomfunktioner 19 (24) Vi återvänder nu till diskussionen i föregående avsnitt. Om f är en tillräckligt många gånger deriverbar funktion definierad nära x = a så kallar vi polynomet (2) p n (x) = f (k) (x a)k (a) k! för Taylorpolynomet av ordning n runt punkten x = a. Vi ska nu härleda en sorts utvidning till medelvärdessatsen som berättar något om hur bra approximation till funktionen f detta polynom är nära x = a. För detta betraktar vi uttrycket i högerledet som funktion av a. Det betyder att vi definierar funktionen g(t) = Här håller vi alltså x fix! Vi ser att f (k) (x t)k (t). k! g(x) = f(x), g(a) = p n (x). Funktionens derivata är g (t) = (f (k+1) (x t)k (t) k! Skriver vi ut summan i högerledet ser vi att den är f (k) (t) k(x t)k 1 ). k! f (t)(x t) + (f (x t)2 (t) f (t)(x t)) +... + (f (n+1) (x t)n (t) f (n) (x t)n 1 (t) ). 2 n! (n 1)! Detta är en s.k. teleskoperande summa i vilken termerna tar ut varandra, vilket betyder att vi har g (t) = f (n+1) (x t)n (t). n! Vi ska nu använda Cauchys medelvärdessats (med b = x) på funktionen g(t) och funktionen h(t) = (x t) n+1, för vilken det gäller att h(x) = 0, h(a) = (x a) n+1, h (t) = (n + 1)(x t) n. Cauchys medelvärdessats säger då att det finns ett ξ mellan a och x sådant att (f(x) p n (x))(n + 1)(x ξ) n = (0 (x a) n+1 )f (n+1) (ξ) Detta kan vi skriva om som Därmed har vi visat följande sats. f(x) p n (x) = f (n+1) (ξ) (x a)n+1. (n + 1)! (x ξ)n. n!

II. Analys av polynomfunktioner 20 (24) Sats 7: Taylors formel Om f är tillräckligt många gånger deriverbar i en omgivning av punkten x = a gäller att f(x) = p n (x) + R n+1 (x), där p n (x) är Taylorpolynomet (2) av ordning n runt x = a och R n+1 (x) är en restterm som kan skrivas R n+1 (x) = f (n+1) (x a)n+1 (ξ) (n + 1)! för något ξ ligger mellan a och x. Om vi kräver att den (n + 1):a derivatan av f är kontinuerlig följer att vi kan skriva resttermen på den svagare formen R n+1 (x) = B(x)(x a) n+1, där B(x) är en begränsad funktion nära punkten x = a. Vi har nu följande sats. Sats 8: Entydigheten för Taylorutvecklingen Om f(x) = q n (x) + B(x)(x a) n+1 där q n (x) är ett polynom i (x a) av grad n och B(x) är begränsad nära x = 0 så gäller att q n (x) är Taylorpolynomet. Bevis. Om vi ersätter f(x) med sin Taylorutveckling och flyttar om lite så innebär antagandet att vi har att p n (x) q n (x) = B(x)(x a) n+1 för någon funktion B(x) som är begränsad nära x = a. Skriv nu q n (x) = a k (x a) k. Efter division med (x a) n+1 kan vi då skriva ( f (k) (a) k! a k )(x a) k n 1 = p n(x) q n (x) (x a) n+1 = B(x). Låter vi här x a så ser vi att alla koefficienter i polynomet måste vara noll, eftersom termerna annars blir obegränsade. Och det får de inte bli eftersom högerledet är en begränsad funktion nära x = a. När man utvecklar en funktion på detta sätt runt a = 0 talar man om Maclaurinutvecklingar. Det ger oss polynomapproximationer av funktioner på den vanliga formen n k=1 a kx k som ofta är användbara.

II. Analys av polynomfunktioner 21 (24) Vi avslutar detta avsnitt med att se hur detta kan användas till att beräkna vissa gränsvärden genom att derivera täljare och nämnare var för sig. Vi börjar med följande enkla observation: om f och g är deriverbara i punkten x = a kan vi skriva f(x) g(x) = f(a) + A f(x)(x a) g(a) + A g (x)(x a). Om vi nu dessutom antar att f(a) = g(a) = 0, så att kvoten är 0/0 så x = a, så blir detta, efter att vi förkortat med (x a), f(x) g(x) = A f(x) A g (x) f (a) g (a) då vi låter x a. Detta eftersom A f (a) = f (a) och motsvarande för g Detta kallas L Hospitals regel och förutsätter naturligtvis att vi inte dividerar med noll, alltså att g (a) 0. Med hjälp av Taylorpolynomet kan vi generalisera detta. Antag att f och g är k + 1 gånger deriverbar i a och att f(a) = f (a) =... = f (k 1) (a) = 0, g(a) = g (a) =... = g (k 1) (a) = 0, men att g (k) (a) 0. Då gäller att Appendix f(x) lim x a g(x) = f (k) (a) g (k) (a). I det här kapitlet har vi diskuterat en del teori utan att klargöra dess fundament. Detta diskuteras utförligare på andra ställen [13] men en grov översikt över det väsentliga ingredienserna kan vara nyttig. Om inte av andra skäl än att det kanske ytterligare klargör teorin som diskuterats ovan. Analysen bygger på att de reella talen är fullständiga i någon mening som inte är helt trivial att definiera, men i princip betyder att varje konvergent svit av tal har ett gränsvärde som är ett reellt tal. Som jämförelse gäller att de rationella inte är fullständiga. T.ex. gäller att vi kan bilda rationella tal x n genom att ta decimalutvecklingen av 2 med n decimaler, för vilka det gäller att x n 2 då n, men gränspunkten 2 är inte en rationell punkt. Det andra fundamentet för analysen är begreppet kontinuitet. En funktion är kontinuerlig i en punkt a om det gäller att varje talföljd x n a avbildas på en talföljd f(x n ) som också konvergerar, och att den konvergerar mot f(a). Det är relativt lätt att utifrån en lämplig omformulering av detta (det s.k. ɛ δ-argumentet) visa några allmänna satser om kontinuerliga funktioner, såsom att om f och g är kontinuerliga en punkt a, så är även f + g, fg och f/g det (i det sista fallet krävs att g(a) 0 eftersom man aldrig får dividera med noll!). En annan egenskap hos kontinuerliga funktioner är att om g är kontinuerlig i punkten a och f är kontinuerlig i punkten b = g(a) så är funktionen h(x) = f(g(x)) kontinuerlig i punkten a. Dessa satser visas tämligen direkt utifrån den ordentliga definitionen av kontinuitet. Den viktiga observationen som knyter ihop kontinuitet och de reella talens fullständighet är nu den fundamentala satsen

II. Analys av polynomfunktioner 22 (24) Sats 9: Satsen om mellanliggande värden Om f är kontinuerlig på intervallet [a, b] så antar f varje värde mellan f(a) och f(b). Att bevisa denna sats kräver att vi har gjort vårt grundarbete ordentligt, och det har vi inte gjort. Att det är något som behöver göras framgår om vi betraktar funktionen f(x) = x 2 2 på intervallet 0 x 2 men endast för rationella tal x. Då gäller att f(0) < 0 och f(2) > 0 så vi förväntar oss att det ska finnas en lösning på ekvationen f(x) = 0. Men det gör det inte: lösningen är ju x = 2 och det är ju inte ett rationellt tal. Om vi däremot betraktar funktioner för reella tal så har ekvationen en lösning. Vi ser här hur fullständigheten av de reella talen och begreppet kontinuitet samverkar. En annan sats som används utan att refereras till är följande observation, som är en annan fundamental observation om samspelet mellan kontinuitet och fullständigheten av de reella talen. Sats 10 Om f är en kontinuerlig funktion på det kompakta intervallet [a, b] så antar f både ett största och minsta värde på detta. Men den sats som verkligen är grunden för diskussionen i detta kapitel är medelvärdessatsen. Vi har geometriskt motiverat den ovan. Men låt oss avsluta kapitlet med att visa hur den följer ur satsen om mellanliggande värden. Bevis (Av medelvärdessatsen). Antag att f är kontinuerlig på det slutna intervallet [a, b] och sätt, för h > 0, A(x, h) = f(x + h) f(x), a x b h. h Vi börjar då med att dela in intervallet i tre lika stora delar: [a, a+h], [a+h, a+2h], [a+ 2h, b] där h = (b a)/3. Vi har då att så f(b) f(a) = (f(b) f(a + 2h)) + (f(a + 2h) f(a + h)) + (f(a + h) f(a)) f(b) f(a) b a = (A(a, h) + A(a + h, h) + A(a + 2h, h))h, = 1 (A(a, h) + A(a + h, h) + A(a + 2h, h)). 3 Men då gäller att antingen är de tre termerna i högerledet lika (och då lika med vänsterledet), eller så är två av punkterna, kalla dem x 1 och x 2, intilliggande och sådana att A(x 1, h) f(b) f(a) b a A(x 2, h)

II. Analys av polynomfunktioner 23 (24) Vilken som är störst av x 1 och x 2 spelar ingen roll, bara att de definierar ett intervall av längden h. Kalla vänster ändpunkt av detta intervall för a 1 och höger för b 1. Enligt satsen om mellanliggande värden finns det nu ett ξ mellan a 1 och b 1 sådant att (3) A(ξ, h) = f(b) f(a). b a Men nu kan vi fortsätta detta: dela in det nya intervallet i 3 lika stora delar och tag h = (b a)/3 2. Med exakt samma resonemang får vi då ett intervall [a 2, b 2 ] av längden (b a)/3 2 sådant att det finns ett ξ i detta som uppfyller (3) för h = (b a)/3 2. Genom att upprepa denna procedur får vi en svit av intervall [a n, b n ] av längden (b a)/3 n sådana att det i detta finns ett ξ n sådant att (3) gäller med ξ = ξ n och h = h n = (b a)/3 n. Men (eftersom de reella talen är fullständiga) då måste det finnas ett ξ sådant att ξ n ξ då n. Det återstår därför bara att visa att om f dessutom är deriverbar så gäller att (4) lim n A(ξ n, h n ) = f (ξ). Men A(ξ n, h n ) = f(ξ n + h n ) f(ξ n ) h n = f(ξ n + h n ) f(ξ) (f(ξ n ) f(ξ)) h n = A(ξ, ξ n + h n ξ)(ξ n + h n ξ) A(ξ, ξ n ξ)(ξ n ξ) h n = (1 t)a(ξ, ξ n + h n ξ) + ta(ξ, ξ n ξ), t = (ξ ξ n )/h n, som är ett tal som ligger mellan A(ξ, ξ n + h n ξ) och A(ξ, ξ n ξ) Men här gäller att A(ξ, ξ n + h n ξ) f (ξ), och A(ξ, ξ n ξ) f (ξ) då n, så (4) är visad. Därmed är medelvärdessatsen visad. Noteringar 1. Den moderna definitionen av kontinuitet är att det för varje ɛ > 0 finns ett δ > 0 sådant att om x a < δ, så gäller att f(x) f(a) < ɛ. 2. Den intresserade kan själv bevisa detta utifrån den strikta definitionen av kontinuitet. Från det är det sedan enkelt att se att ett godtyckligt polynom är en kontinuerlig funktion. 3. Med en omgivning kring a menar vi ett intervall x a < δ för något δ > 0 4. Det visas med linjär algebra. Determinanten för systemet kallas Vandermonde determinanten och ges av 1 x 0 x 2 0... x n 0 1 x 1 x 2 1... x n 1 =.... k x j ) j<k(x 1 x n x 2 n... x n 0 som inte är noll eftersom alla x i :na är olika.

II. Analys av polynomfunktioner 24 (24) 5. En utförligare diskussion om derivatan finns i kapitlet Differentierbara funktioner. 6. Notera att x 3 0 3 = x 2 (x 0), så A(x) = x 2. 7. En mer ingående analys av medelvärdessatsen finns i kapitlet Differentierbara funktioner, som i sin tur refererar vidare till kapitel om kontinuerliga funktioner 8. Det är det negativa tecknet på x som är avgörande! 9. Vi behöver egentligen inte anta att andraderivatan är kontinuerlig i nära a. Vi har att f (x) f (a) = A 1 (x)(x a), där A 1 (x) är kontinuerlig med f (a) > 0. Det följer av att vi antar att f är deriverbar i a. Men då följer att f (x) = f (x) f (a) har samma tecken som x a. 10. Vi använder här att om g(x) = f(a + x) så gäller att g (x) = f (a + x). Kontrollera i definitionen av derivata att det är så. 11. Se kapitlet Binomialsatsen och lite kombinatorik 12. Med en punkterad omgivning till a menas alla x sådana att 0 < x a < δ för något δ > 0 13. Se kursen Analysens grunder