BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION Allmän terminologi. I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en funktion f : A B. Vi har oftast krav att varje element x i A har precis en bild f(x) i B och att varje element i B har precis en original i A. Sådana avbildningar kallar vi bijektioner mellan A och B (eller från A till B). En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan finnas endast om mängderna har samma antal element. Om det finns en bijektion mellan två mängder A, B (ändliga eller oändliga) säger vi att de har samma kardinalitet ( kardinaltal). DEFINITION 1. Låt f vara en funktion från mängden A till B dvs f : A B. Vi säger att f är en bijektiv funktion (eller en bijektion) mellan A och B (eller från A till B). om följande gäller: 1. Funktionens definitionsmängd D f är lika med A.. Ekvationen f ( x) y, för varje y B, har precis en lösning x A. Exempel 1 A och B är mängder med ändligt många element) Bestäm vilka av följande avbildningar är bijektioner: 1 av 8
iii) A B f 1 b a Svar i) Nej, element 4 i mängden A 1 har ingen bild. ii) Nej, element d i mängden B har ingen original. iii) Nej, element b har två original-element och iv) Ja, varje element i A 4 har exakt en bild och varje element i B 4 har exakt en original. DEFINITION. 1. INJEKTION. Funktionen f : A B kallas injektiv om ekvationen f ( x) y, för varje y B, har högst en lösning x A. ( D v s ingen eller en lösning x A). SURJEKTION. Funktionen f : A B kallas surjektiv om ekvationen f ( x) y för varje y B, har minst en lösning x A. Från definitionen framgår följande: 1. En funktion är injektiv om och endast om olika original har olika bilder dvs x x f x ) f ( ). 1 ( 1 x av 8
. En funktion är surjektiv om och endast om gäller V f = B. En funktion är bijektiv om och endast om den är både surjektiv och injektiv och definitionsmängd D f är lika med A. Exempel Bestäm vilken/vilka av följande avbildningar är en surjektion, injektion, bijektion. iii) A B f 1 b a Svar: i) f 1 är varken injektiv eller surjektiv. ii) f är injektiv men inte surjektiv. iii) f är surjektiv men inte injektiv. iv) f 4, som är definierad på hela A 4, är både injektiv och surjektiv och därmed bijektiv. ================================= INVERSA FUNKTIONER I ANALYSEN När vi betraktar funktioner i envariabel- eller flervariabelanalys har vi avbildningar från R n till R m. En funktion definieras med hjälp av en regel ( en ekvation ) och funktionens definitionsmängd. Om definitionsmängd saknas då menas den största möjliga definitionsmängden. I vår kurs betraktar vi reellvärda och vektorvärda funktioner av en eller flera variabler som till exempel 1. z f ( x, y) x y xy, en reell funktion av två variabler av 8
Inversa funktion. r (t ) ( t,. F (xx, y) ( x som vi kan också definiera med tre skalära ekvationer u x y v x y w x y. t, t t ), en vektorfunktionn av en variabel x x y), en vektorfunktion av två variabler Frågan om inversfunktion i analysen reduceras till frågan om f är en injektiv funktion. Frågan är om ekvationen f ( x) y, för varje y V f, har preciss en lösningg x Df. DEFINITION : Låt vara en funktion värdemängden V f från R n till R p med definitionsmängden D f och Vi säger att funktionen är inverterbar om ekvationen, med avseende på, har preciss en lösningg för varje givet. Genom tillordningen definieras en funktion från till. Denna funktion kallas inversenn till f och betecknas f Enligt definitionen: f ( x) y f ( y) x dessutom D f V f V f D f, oc ch Anmärkning. Om vi tar y från värdemängden, y V f, har ekvationen f ( x) y minst en lösning. Kvar står att kontrollera om dett finns högst en lösning till ekvationen f ( x) y (med avseende på x). --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 av 8
Inversa funktion Exempel. (en reell funktionn av en variabel) Funktionen f ( x) x, x avbildar intervall D= [, ] på värdemängden V a) Rita grafen och bestäm värdemängdenn V. b) Är funktionen inverterbar? c) Bestäm om g(xx ) x, med definitionsmängden D [ 0, ] är inverterbar. ( Vi behåller samma formel men ändrar definitionsmängden till D [ 0, ] ) Lösning: a) Värdemängden till f är V= =[, 6] b) Vi ser på grafen att det finns punkter y ( t ex y=.5) sådana att ekvationen f ( x) y har två lösningar som båda ligger i D= [ 1, ]. Funktionen är inte injektiv och därmed INTE inverterbar. d) y x x y x y Formellt har vi fått två lösningar men högst en lösning x y (där y tillhör V = [, 6]) ligger i definitionsområdet D [0, ]. ] g Funktionen g : Dg V g ÄR inverterbar eftersom, för varje har ekvationen g( ( x) y precis en lösning i definitionsmängdenn D [0, ]. f 1 ( y) y (där y ligger i Vg = [, 6] ). Exempel. (En vektorvärd funktion f av tre variabel ) 5 av 8
Funktionen F( x, ( x y z, y z, 4 kan också anges med tre skalära ekvationer u x y z, v y z, w 4z a) Är funktionen inverterbar? b) Bestäm inversen i sådant fall. Lösning: Funktionen är definierad för alla ( R x,. Låt Y ( u, vara godtyckligt men fixt vektor. Vi undersöker hur många lösningar på X har ekvationen F( X ) Y där X ( x, och Y ( u,. Vi löser ekvivalenta systemet med avseende på x, z : x y z u y z v 4 z w Alla tre variabler x, z är ledande som medför att systemet med linjära ekvationer har precis en lösning. Vi kan även lösa systemet Från den sista ekvationen har vi z w / 4, från andra y v w / 4 och till slut från första har vi x u v. Lösning: x u v, y v w / 4, z w / 4. Alltså, för varje Y ( u, från värdemängden har vi exakt en lösning X ( x,. Därmed är F( x, ( x y z, y z, 4 en inverterbar funktion. Inversen 1 F :V D ges av F ( Y ) ( u v w / 4, w / 4). Uppgift 1. (En vektorvärd funktion av tre variabel) Låt F ( x, ( x,. 6 av 8
Undersök om funktionen är inverterbar och bestäm inversen i sådant fall. Lösning. Låt D och V beteckna funktionens definitionsmängd resp. värdemängd. Först måste vi bestämma funktionens definitionsmängd D eftersom den är inte given i uppgiften: På grund av rotuttryck, måste y och z vara 0 ; x kan vara vilket som helst reellt tal, därför D {( x, R : y 0, z 0}. Vi betecknar koordinater i F med u, w och dessutom X ( x, och Y ( u, Nu undersöker vi hur många lösningar till F(X)=Y ligger i D. (Funktionen F: D V är inverterbar om precis en lösning ligger i definitionsmängden D. ) Vi löser systemet x u y v z w : Från första ekvationen har vi x u, y v och z w Alltså för varje Y = (u, i värdemängden V har ekvationen F(X)=Y två lösningar X= ( x, ( u, v, w ), som båda ligger i D och därför är funktionen INTE inverterbar. Uppgift. (Endast en förändring i definitionsmängden i jämförelse med föregående uppgiften ) Vi betraktar funktionen F ( x, ( x,, med definitionsmängden D DF {( x, R : x 0, y 0, z 0}. Undersök om funktionen är inverterbar och bestäm inversen i sådant fall. 7 av 8
Lösning. Definitionsmängden D är given. Vi undersöker hur många lösningar till Vi betecknar koordinater i F med u, w och X ( x, och Y ( u, Nu undersöker vi hur många lösningar till ekvationen F(X)=Y ligger i D för en vektor ( punkt, trippel) Y ( u, som vi tar från värdemängden V. Vi löser systemet x u y v z w : ( Lägg märke till att u, w 0 ) Från första ekvationen har vi formellt två lösningar x u, y v och z w men den här gången endast en av dem x u, y v och z w ligger i D. Därmed är funktionen inverterbar och har inversen F ( Y ) ( u, v, w ). 1 F :V D, där 8 av 8