MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för hållbar samhälls- ch teknikutveckling Statistik Tentamen på Statistik ch kvantitativa undersökningar STA001, 15 hp Exempeltenta 6 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare (Frmelsamling bifgas tentamen) Ansvarig lärare. Lars Bhlin 0730-452937 Päng Ttalt 40 Betygsgränser: G 20 VG 30 Generella uppmaningar: Redvisa dina lösningar i en frm sm gör det enkelt att följa din tankegång. Mtivera alla väsentliga steg i beräkningar, ange alla antaganden du gör ch förutsättningar du utnyttjar.
Fråga 1 (4 päng) Ett urval av 5 stycken ftbllspelare har följande krppsvikt i kg: 70, 75, 80, 82, 90 Beräkna följande mått: a) Median b) medelvärde c) varians d) standardavvikelse Fråga 2 (4 päng) Nedanstående diagram illustrerar variabeln mammans ålder i ett urval av 1832 födslar. a) Vad kallas den här typen av diagram? b) Hur gammal var den äldsta mamman? c) Hur gammal var den yngsta mamman? d) Vad var medianvärdet för mammans ålder? e) Vad menas med kvartilavstånd? f) Hur strt var kvartilavståndet i det här fallet? g) Vad är ett extremvärde? h) Finns det någt extremvärde i det här fallet?
Fråga 3 (5 päng) a) Antag att man slumpmässigt lttar fram en av mödrarna i fråga 2; hur str är sannlikheten att hn är äldre än medianvärdet? b) Antag att man slumpmässigt lttar fram en av mödrarna i fråga 2; hur str är sannlikheten att hn är äldre än tredje kvartilen? c) Antag att man drar ett krt ur en krtlek, hur str är sannlikheten att det blir en spader? d) Antag att man drar två krt ur en krtlek utan återläggning, hur str är sannlikheten att båda krten är spader? e) Antag att man slumpmässigt drar 5 krt ur en krtlek med återläggning. Hur str är sannlikheten att exakt 2 av dem är spader? Fråga 4 (2 päng) Antag att innehållet i en 2 liters mjölkpaket är en kntinuerlig slumpvariabel sm är unifrmt fördelad mellan 2,04 ch 2,08 liter. a) Vad är medelvärdet för förpackningarnas vikt? b) Vad är standardavvikelsen för vikten? Fråga 5 (2 päng) Tabellen anger pris ch kvantitet av tre lika matvarr vid två lika tidpunkter. Perid 1 Perid 2 pris kvantitet pris Kvantitet Mjölk 8 98 10 99 Ost 60 1000 58 1100 smör 40 500 50 510 a) Beräkna ett sammanräknat index över prisstegringen med Laspeyres metd b) Beräkna ett sammanräknat index över prisstegringen med Paasches metd
Fråga 6 (5 päng) Kalle trr att en större andel av tjejerna än av killarna använder facebk. För att undersöka detta gör han en urvalsundersökning. Han utfrmar följande enkätfrågr: 1 Har du ett facebk knt? Ja Nej 2 Hur fta lggar du in på facebk? (frågan besvaras enbart m du svarat ja på föregående fråga) Mycket fta Ofta Ganska fta Sällan 3 Kön Kille Tjej I Kalles urval finns det 60 tjejer ch 60 killar. 52 av tjejerna har ett facebk knt men enbart 49 av killarna. Kalle gör ett hyptestest på andelar med 5 % signifikansnivå. H 0 : π 1 π 2 H 1 : π 1 > π 2 z = 0,86667 0,81667 0,84167(1 0,84167) + 0,84167(1 0,84167) 60 60 = 0,75 Eftersm 0,75 är mindre än det kritiska värdet 1,645 drar Pelle slutsatsen att det inte finns några skillnader mellan andelen killar ch andelen tjejer sm har facebk kntn. Baserat på fråga 2 ch 3 gör Kalle en krstabell med 2 rader ch 4 klumner ch en chi2 analys på 5 % signifikansnivå. Teststatistikans värde blir 10,2. Kalle drar därmed slutsatsen att bland dem sm har ett facebkknt finns det ett samband mellan kön ch hur mycket man använder facebk. a) Kmmentera Pelles slutsaster, är de krrekta? b) Kmmentera Pelles sätt att frmulera enkätfrågrna ch föreslå eventuella förbättringar. Kan du tänka ut ytterligare någn enkätfråga sm kan vara intressant i denna undersökning?
Fråga 7 (6 päng) Ett tv företag funderar på att köpa in en ny TV serie. Man väljer mellan två lika alternativ, Annies dmstl ch Sallys sjukhus. Man låter ett representativt urval av 15 st tv tittare betygsätta de båda serierna med skalan mycket bra, bra, medel dålig ch mycket dålig. Svaren kdas sedan med siffrrna 1 till fem där 5 står för mycket bra ch 1 för mycket dålig. Ett mjukvaruföretag har dels en telefnsupprt avdelning dels en chatsupprtavdelning. Man vill undersöka vilken typ av supprt sm kunderna är mest nöjda med. Ett slumpvis urval m 11 kunder uppmanas betygsätta respektive avdelning på en skala mellan 1 ch 7. Resultatet visas nedan. respndentnummer Annies dmstl Sallys sjukhus 1 3 5 2 1 5 3 5 3 4 3 3 5 5 4 6 2 2 7 3 5 8 5 4 9 3 5 10 1 2 11 5 5 12 3 5 13 5 4 14 3 4 15 4 5 Föreslå ch mtivera två lika testmetder för att undersöka m någn av tv seriena är signifikant mer mtyckt än den andra i hela ppulatinen tv tittare. Utför de båda testerna ch förklara vilka slutsatser sm kan dras. Använd 5 % signifikansnivå.
Fråga 8 (2 päng) Kvantitativa variabler kan mätas på rdinalskala, intervallskala eller kvtskala. a) Förklara vad de tre lika skaltyperna innebär (1,5 päng) b) Vilken av de tre skalrna är Apgarskalan nedan ett exempel på? Mtivera. (0,5 päng) Apgar är en skala sm används vid förlssning. När barnet har fötts ch är 1 minut gammalt, kntrllerar en barnmrska hur många päng barnet har fått från apgarskalan nedan. Testet tgs fram 1953 av Virginia Apgar. Även m barnen kan få låga päng direkt efter utdrivningsskedet, så har de flesta runt 9 eller 10 päng när de testas igen efter 5 minuter. Källa wikipedia Fråga 9 (10 päng) För att utvärdera effekterna av mödravård före förlssningen på barnets hälsa vid födslögnblicket samlades data in från 1 832 födslar: Följande variabler samlades in: maps Apgar värde 1 minut efter födseln (se fråga 8 för en förklaring av apgar) cigs Antal cigaretter per dag under graviditeten mnpre antal månader sm mdern haft kntakt med barnmrska före förlssningen npvis antal besök hs barnmrska före förlssningen npvissq antal besök hs barnmrska upphöjt i två På vanstående data kördes två lika regressinsmdeller vilka redvisas på nästa sida.
Regressinsmdell 1 Regressinsmdell 2 a) Rapprtera ch tlka regressinskefficienterna ch deras p-värde från båda mdellerna, använd 10 % signifikansnivå. 5 p b) Diskutera m det kan finnas skäl att ifrågasätta metdvalet, är någt av den linjära regressinsmdellens antaganden inte uppfyllda i det här fallet, (fråga 8 innehåller en ledtråd) 1 p c) Regressinskefficienten för antalet månader sm mamman haft kntakt med barnmrska är negativ, försök hitta en intuitiv förklaring till varför. 1 p d) Tlka den justerade förklaringsgraden i mdell 1. 1 p e) Beräkna ch tlka ett knfidensintervall med 95 prcents knfidensgrad för regressinskefficienten för antalet besök hs barnmrska i mdell 2. 2 p
Lösningsförslag 1. 2. 3. a) 80 b) 79,4 c) 56,8 d) 7,54 a) Bxplt b) 44 år c) 16 år d) 28 år e) Avståndet mellan första ch tredje kvartilen f) 7 år g) Ett värde sm är större än tredje kvartilen plus 1,5 kvartilavstånd eller mindre än första kvartilen minus 1,5 kvartilavstånd. h) Den äldsta mamman illustreras med en ring eftersm nn är ett extremvärde a) 0,5 b) 0,25 c) 0,25 d) 0,059 e) P(2) = 5! 2! 3! 0,252 0,75 3 = 0,26 4. μ = 2,04+2,08 2 = 2,06 σ 2 = (2,08 2,04)2 12 = 0,042 = 0,0016 12 12 = 0,000133 σ = 0,000833 = 0,011 a) Medelvärdet är 2,06 b) Standardavvikelsen är 0,011
5. a) I L 0,t = p tq 0 100 = 10 98+58 1000+50 500 p 0 q 0 8 98+60 1000+40 500 100 = 103,96 b) I P 0,t = p tq t 100 = 10 99+58 1100+50 510 100 = 103,55 p 0 q t 8 99+60 1100+40 510 6. a) Pelles slutsats från hyptestesten på andelar är felaktig. Om vi inte kan förkasta nllhyptesen kan vi inte dra några slutsatser alls. Vi kan alltså inte dra slutsatsen att andelen killar sm har facebkknt är lika str sm andelen tjejer. Det kan vara så trts att vi inte lyckats bevisa det. Slutsatsen från Chi2 analysen är dck nästan krrekt. Eftersm vår teststatistika är större än det kritiska värdet ( vid 3 frihetsgrader ch en signifikansnivå på 5 % är kritiska värdet 7,815) kan nllhyptesen att variablerna är berende förkastas. Vi kan därmed dra slutsatsen att det finns ett samband mellan kön ch hur fta man lggar in på facebk. Möjligen kan man kritisera Pelles slutsats utifrån att han inte frmulerar den helt efter frågan. Hur fta man lggar in är möjligen inte samma sak sm hur mycket man använder facebk. Man kan ju vara inlggad krta eller längre stunder. b) Frågrna m kön ch ålder är tydliga ch bra. Svarsalternativen till hur fta man lggar in är balanserade. Bättre hade varit exempelvis, Mycket fta, fta sällan, mycket sällan. Man skulle ckså kunna göra frågan mer entyd genm att fråga m antalet gånger per vecka eller någt sådant. Möjligen skulle man kunna lägga till en fråga m hur lång tid respndenterna använder facebk för att inte bara få in dimensinen m hur fta man lggar in utan ckså hur mycket tid man är där varje gång.
7. Hypteser: H 0 : De båda TV serierna är lika mtyckta H 1 : Den ena TV serien är mer mtyckt än den andra Börja med att stryka dem sm ger samma betyg åt båda TV serierna respndentnummer Annies dmstl Sallys sjukhus 1 3 5 2 1 5 3 5 3 4 3 3 5 5 4 6 2 2 7 3 5 8 5 4 9 3 5 10 1 2 11 5 5 12 3 5 13 5 4 14 3 4 15 4 5 Efter att vi strukit de sm ger samma betyg har vi ett urval på 12 respndenter. Av dessa ger 8 stycken högst betyg åt Sallys sjukhus. Teckentest: z = (X±0.50) 0.50n 0.50 n z = (8 0.50) 0.50 12 0.50 12 = 1,5 1,732 = 0,87 Vår teststatistika har ett lägre värde än det kritiska värdet 1,96. Därmed kan vi inte avslå nllhyptesen m att de båda TV serierna är lika mtyckta ch kan inte dra några slutsatser.
Wilcxns teckenrangtest: Annies Sallys diff Abs diff Rang R+ R- dmstl sjukhus 3 5-2 2 9 9 1 5-4 4 12 12 5 3 2 2 9 9 5 4 1 1 3,5 3,5 3 5-2 2 9 9 5 4 1 1 3,5 3,5 3 5-2 2 9 9 1 2-1 1 3,5 3,5 3 5-2 2 9 9 5 4 1 1 3,5 3,5 3 4-1 1 3,5 3,5 4 5-1 1 3,5 3,5 19,5 58,5 Värdet på vår teststatistika är 19,5 Kritiskt värde är 13 Eftersm värdet på teststatistikan är större än det kritiska värdet kan vi inte förkasta nllhyptesen. Inte heller från detta test kan vi dra några slutsaser. 8. I en rdinalskala kan man ställa bservatinerna i rdning men avståndet mellan dem kan inte tlkas. I en intervallskala har avståndet mellan bservatinerna en innebörd men nllan betyder inte avsaknad av egenskapen. I en kvtskala betyder nllan att man inte har egenskapen all. (Om du väger nll har du ingen vikt). Det är enbart m variabeln är mätt på kvtskala sm det är meningsfullt att använda divisin. Apgarskalan är en rdinalskala. Avståndet mellan två bservatiner har ingen meningsfull tlkning. Man kan säga att det är bättre att ha livlig rörelse än att ha stela armar men inte hur mycket bättre det är.
9. a) Mdell 1 Interceptet är 8 ch tlkas sm genmsnittliga apgarvärdet när mdern inte har rökt ch aldrig besökt barnmrska. (förmdligen har så gtt sm alla mödrar besökt barnmrska så möjligen ska vi inte tlka interceptet. Kefficienten för cigs är signifikant eftersm p-värdet är lägre än 0,10. Kefficienten är -0,014 vilket tlkas sm att m en mamma röker ytterligare 1 cigarett per dag under graviditeten kmmer apgar värdet att sjunka med 0,014 vid förändrade värden på övriga berende variabler. Kefficienten för mnpre är inte signifikant eftersm p-värdet är högre än 0,10. Vi tlkar därför inte den. VI har inte lyckats påvisa någt samband mellan antalet månader sm mdern haft kntakt med barnmrska före förlssningen ch apgar värdet. Kefficienterna ör npvis ch npvissq är signifikanta eftersm p-värdena är lägre än 0,10. Vi har ett icke linjärt samband ch vi tlkar det sm att antalet besök hs barnmrska påverkar apgar värdet psitivt men att effekten per besök avtar ju fler besök sm mamman gjrt. Mdell 2 Interceptet är 8 ch tlkas sm genmsnittliga apgarvärdet när mdern inte har rökt ch aldrig besökt barnmrska. (förmdligen har så gtt sm alla mödrar besökt barnmrska så möjligen ska vi inte tlka interceptet. Kefficienten för cigs är signifikant eftersm p-värdet är lägre än 0,10. Kefficienten är -0,016 vilket tlkas sm att m en mamma röker ytterligare 1 cigarett per adg under graviditeten kmmer apgar värdet att sjunka med 0,016 vid förändrade värden på övriga berende variabler. Kefficienten för mnpre är signifikant eftersm p-värdet är lägre än 0,10. Kefficienten är - 0,031 vilket tlkas sm att ju fler månader sm mamman haft kntakt med barnmrska dest lägre apgar värde. Om en mamma haft kntakt men barnmrska ytterligare en månad kmmer apgar värdet att sjunka med 0,031 vid förändrade värden på övriga berende variabler. Kefficienterna ör npvis är signifikant eftersm p-värdet är lägre än 0,10. Kefficientens värde är 0,017. Tlkningen är att ytterligare ett besök hs barnmrska höjer apgarvärdet med 0,018 vid förändrade värden på övriga berende variabler.
b) Den berende variabeln i OLS regressines måste vara mätt på intervall eller kvtskala. I det här fallet har vi en rdinalskala vilket innebär att vi inte kan lita på våra p-värden eller tlkningar av kefficienterna. Analysen ger ändå en indikatin på m sambanden är psitiva eller negativa men vi kan inta vara helt säkra på signifikansen. Det är ett relativt vanligt misstag i praktiken att man använder regressinsanalys även på rdinalskalr. c) Man skulle möjligen tr att det är bättre att ha haft kntakt med barnmrska under en lång tid före födseln. Men m ihåg att tlkningen gäller givet ett visst värde på övriga berende variabler. En av de övriga variablerna är antalet besök. Givet att en mamma exempelvis gör 5 besök är det enligt denna analys bättre att dessa besök ligger nära födseln, än att de sker under en krt tidsperid. d) Endast lite drygt 1 prcent av variatiansen i apgarvärde förklaras av de undersökta variablerna. Apgarvärdet påverkas således i huvudsak av andra faktrer. e) Frihetsgraderna är så många att t = z = 1,96 0,018 ± 1,96 0,007 0,018 ± 0,01372 Med 95 prcents sannlikhet ligger det sanna värdet för denna regressinskefficient mellan 0,004 ch 0,032