Tentamen TEN, HF, aug 7 Matematisk statistik Kurskod HF Skrivtid: :-: Lärare och examinator : Armin Halilovic Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken typ som helst. Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel m som kan kopplass till internet. Skriv namn och personnummer på varje blad. Denna tentamenslapp får ej behållas efterr tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar. Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,,, respektive poäng. Komplettering: poäng på tentamen gerr rätt till komplettering (betyg Fx). ====== ========= ========= ======== ========= ========= ========= === Sida av
Uppgift. (p) Bara för dem som inte klarat ks. För händelserna A och B gäller att P ( A)., P ( A B). och P ( B).. a) Bestäm sannolikheten P( A B) C b) Bestäm sannolikheten P( A B ). c) Bestäm sannolikheten att exakt en av händelserna A, B inträffar ( dvs antingen A eller B inträffar). Uppgift. (p) Bara för dem som inte klarat ks. Låt kx f ( x), x för övrigt vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel X. a) Bestäm konstanten k. b) Beräkna sannolikheten P ( X ). c) Bestäm medianen till X. Uppgift. (p) Bara för dem som inte klarat ks. En Markovkedja i diskret tid med två tillstånd E och E har övergångsmatrisen. x P=.. y a) Bestäm x och y. b) Systemet startar i E. Bestäm sannolikheten att systemet är i E efter steg. c) Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn. ================================================ Uppgift. (p) En studentförening vill organisera spelet med ett lyckohjul vid en fest på KTH. När man spelar lyckohjulet en gång så har man % chans att få kr, % chans att få kr, % för kr och % för kr. (Se figuren nedan). Bestäm priset på ett spel så att studentföreningen tjänar i genomsnitt kr per ett spel. Sida av
Var god vänd. Uppgift. (p) En kortlek med kort består av fyra färger ( hjärter, spader, klöver, ruter) och valörer: ess,,,,,, 7,, 9,, knekt, dam, kung. Man väljer kort på måfå. Vad är sannolikheten för att få (utan hänsyn till ordning) a) ett par och ett triss dvs xx yyy, ( till exempel ) b) alla fem hjärter c) fyrtal dvs xxxx y, ( till exempel ) d) Två olika par dvs xx yy z ( till exempel 77 9). Du ska svara med binomialkoicienter. Uppgift. (p) Man kastar en tärning gånger. Bestäm sannolikheten att få (utan hänsyn till ordning) a) :an exakt gånger, :an exakt gånger (och något annat gånger). b) :an exakt gånger, :an exakt gånger och :an gånger). Uppgift 7. (p) (Centrala gränsvärdessatsen) En fotbollsförening planerar en insamling och skickar därför till var och en av de medlemmarna ett brev, i vilket man ber om ett bidrag på eller kronor. Från tidigare erfarenhet gör man uppskattningen att (cirka) % av medlemmarna ger kronor, % ger kronor, och att % av medlemmarna inte ger något bidrag alls. Beräkna, med en lämplig approximation, sannolikheten att föreningen får in minst kronor. Uppgift. (p) Peter gjorde mätningar av en storhet och fick följande resultat i lämpliga enheter:,,,,,,,,,. Normalfördelningen kan antas och standardavvikelse är känt, σ=. a) Bestäm ett tvåsidigt konfidensinterval av typen [a,b] ) för väntevärdet μ med 9 % konfidensgrad. b) Bestäm ett 9 % konfidensintervall för väntevärdet μ av typen [, b]. Uppgift 9. (p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M// system (tre betjänare och köplatser). Ankomstintensiteten är λ = kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är = kunder/minut. a) Bestäm sannolikheterna p, p,,p 7. b) Bestäm medel totaltid (T) för en kund i systemet. Lycka till Sida av
Beteckningar: p k Stationära sannolikheter; p är sannolikheten för k kunder i systemet k N Medelantal kunder i systemet, N N q N s N q N s Medelantal kunder i kön Medelantal kunder i betjänarna x~ Betjäningstid för en kund (stokastisk variabel ) x Medel betjäningstid för en kund, x = E (x ~ ) w ~ Väntetid (=tid i kö) för en kund (stokastisk variabel ) W Medel väntetid för en kund, W E(w~ ) s~ Total tid i systemet för en kund; ~ s = ~ x + w ~ T Medel totaltid i systemet för en kund T E(s ~ ), T W x Ankomstintensitet Spärrade kunder per tidsenhet spärr Effektiv ankomstintensitet = - spärr Betjäningsintensitet Erbjuden trafik, Några formler för ett M/M/m/K kösystem: N k p k, spärr p k max k, spärr T N, x, T W x Littles formler: N T, N W, N x q s N N q N s,, erbjuden trafik (kallas också "betjäningsfaktor") spärr spärr, spärrad trafik ;, ektiv trafik Belastning per betjänare = Ns/m Sida av
FACIT Uppgift. (p) Bara för dem som inte klarat ks. För händelserna A och B gäller att P( A)., P(AA B). och P(BB ).. a) Bestäm sannolikheten P(A B) b) Bestäm sannolikheten P(A B C ). c) Bestäm sannolikheten att exakt en av händelserna A, B inträffar ( dvss antingen A eller B inträffar). Vi använder nedanstående mängddiagram: a) P(A b) P(A c) Sannolikheten att exakt en av händelserna A, B inträffar ärr P( A B ) P(AA ) P( B) P( A B).... B B C C ) P ( A) P( A B)... ) P( A C B)... Svar: a). b). c) ). Rättningsmall: p för varje del. Uppgift. (p) Bara för dem som inte klarat ks. Låt f (xx ) kx, x för övrigt vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel a) Bestäm konstanten k. X. Sida av
b) Beräkna sannolikheten P ( X ). c) Bestäm medianen till X. x a) Arean f ( x) dx kx dx k k Arean k k. b) P( X ) f ( x) dx x x dx c) Medianen m bestämmer vi genom att lösa ekvationen m f m m x m ( x) dx x dx m m Svar: a) k b) P ( X ) c) m Rättningsmall: p för varje del. Uppgift. (p) Bara för dem som inte klarat ks. En Markovkedja i diskret tid med två tillstånd E och E har övergångsmatrisen. x P=.. y a) Bestäm x och y. b) Systemet startar i E. Bestäm sannolikheten att systemet är i E efter steg. c) Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn. a) Radsumman i övergångsmatrisen=. Detta ger att x=.7 och y=... Alltså P=..7.. b) Startvektorn är p (), eftersom systemet startar i E. Vi beräknar..7 p( ) p() P (,).. (.,.) Sida av
..7 p () p() P = (.,.) (.,.).. Sannolikheten för E efter två steg är., (första koordinaten i p () ). c) Låt q ( x, y) vara en stationär sannolikhetsvektor. Då gäller qp q och Vi skriver qp x y q på komponent form:. ( x, y)..7.x.y x ( x, y)..7x.y y och lägger till ekvationen x y q är en sannolikhetsvektor Därmed har vi systemet:.x. y x.7x.y.7x.y y.7x. y x y x y Andra ekvationen är samma som första. 7x Från första ekvationen har vi y som vi substituerar i tredje ekvationen och får 7x x x x. 7 Från x y har vi y Svar: a x=.7 och y=. b Sannolikheten för E efter två steg är., c q ( /, 7 /) Rättningsmall: p för varje del. Uppgift. (p) En studentförening vill organisera spelet med ett lyckohjul vid en fest på KTH. När man spelar lyckohjulet en gång så har man % chans att få kr, % chans att Sida 7 av
få kr, % för kr och % för kr. (Se figuren nedan). Bestäm priset på ett spel så att studentföreningen tjänar i genomsnitt kr per ett spel. Låt X beteckna resultat vid ett spel med lyckohjulet. Då är E ( X ).... Om man vill tjäna i genomsnitt kr per ett spel då blir priset kr. Svar: kr Rättningsmall: p för korrekt E ( X ). Allt korrekt=p. Uppgift. (p) En kortlek med kort består av fyra färger ( hjärter, spader, klöver, ruter) och valörer: ess,,,,,, 7,, 9,, knekt, dam, kung. Man väljer kort på måfå. Vad är sannolikheten för att få (utan hänsyn till ordning) a) ett par och ett triss dvs xx yyy, ( till exempel ) b) alla fem hjärter c) fyrtal dvs xxxx y, ( till exempel ) d) Två olika par dvs xx yy z ( till exempel 77 9). Du ska svara med binomialkoicienter. a) Pa b) Pb Sida av
Sida 9 av c) Pc d) Vi kan välja två olika valörer som bildar två olika par på sätt. Två kort som bildar ett par väljer vi på sätt. Samma gäller för andra paret. Femte kort kan vi välja bland återstående valörer. Pd Svar: Se ovan Rättningsmall: p för varje del. Uppgift. (p) Man kastar en tärning gånger. Bestäm sannolikheten att få (utan hänsyn till ordning) a) :an exakt gånger, :an exakt gånger (och något annat gånger). b) :an exakt gånger, :an exakt gånger och :an gånger). a) Sannolikheten att få resultatet,,,,,,,, x,x,x,x, i given ordning (där x och x ) är lika med. Det finns!!!! sådana ordningar (permutationer av element med tre identiska element av typ, fem av typ och fyra av typ x.) Därmed är!!!! Pa b) Med liknande resonemang får vi!!!! Pb. Svar:!!!! Pa,!!!! Pb Rättningsmall: p för varje del.
Uppgift 7. (p) (Centrala gränsvärdessatsen) En fotbollsförening planerarar en insamling och skickar därför till var och en av de medlemmarna ett brev, i vilket man ber om ett bidrag på eller kronor. Från tidigare t erfarenhet gör man uppskattningen att (cirka) % av medlemmarna ger kronor, % gerr kronor, och att % av medlemmarna inte ger något bidrag alls. Beräkna, med en lämplig approximation, sannolikheten att föreningen får in minst kronor. Låt X k beteckna bidrag från en medlem. Då är väntevärdet m E( ) *. *. *., X k variansen Var V ( ) ( ) X k och standardavvikelsen s Var.79 *. ( ) *. ( ) *. 9 Låt Y k X varaa summan av alla bidrag. k Enligt CGS är Y N( nm, s n) N(, 79. ). P( Y ) P( Y ) F() ) ( ) (.) 79.,.9. Svar:.9 Rättningsmall: p för korrekt m, +p för korrekt s, +p om man kommer till att Y N(, 79. ). p om allt är korrekt. Uppgift. (p) Peter gjorde mätningar av en storhet och fick följandee resultat i lämpliga enheter:,,,,,,,,,. Normalfördelningen kan antass och standardavvikelsee är känt, σ=. σ a) Bestäm ett tvåsidigt konfidensinterval av typen [a,b] ) för väntevärdet μ med 9 % konfidensgrad. b) Bestäm ett 9 % konfidensintervall för väntevärdet μ av typen [, b]. a) Sida av
x = 7/= ( /. 9). Konfidensintervall för a delen: (x /, x / n ) = (.9 n,.9 ) =[.,.9] b) (..7 Konfidensintervall: (, x ) = (, n.7 ) = (,.) Svar a) [.,.9] b) (,.) Rättningsmall: a) p för korrekt a-delen. -p för räknefel. b) p för korrekt b-delen. -p för räknefel. Uppgift 9. (p) Ettt betjäningssystem kan n modelleras som M/M/ // systemm (tre betjänare och köplatser). Ankomstintensiteten är λ = = kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är = kunder/minut. a) Bestäm sannolikheterna p, p,,p 7. b) Bestäm medel totaltid (T) för f en kund d i systemet. Med hjälp av följande grafer bestämmer vi relationer mellan p och p,,p 7 7. Sida av
Vi har p =. p p =.7 p p =. p p =. p p =. p p =.799 p p 7 7 =.9 p Från p +p + +p 7 7= får vi nu.77 p = och därför p= =.7979 p =.9 p =.7 p =.99797 p =.7 p =.77 p=.7 p 7 =.799 Sida av
Därefter N k k p k 7 7 p p p p p p p p.. Enligt formlerna har vi spärr = p k = p max 7 =.9 kunder per minut. =.9 spärr Från Littles formel: N T har vi T N / =.77977 min. Svar Rättningsmall. a) korrekt p= p, allt korrekt=p b) korrekt N= p, allt korrekt=p Sida av