BALKTEORI, INLÄMNINGSUPPGIFTER Det finns tre inlämningsuppgifter (I, II och III). De löses individuellt eller i grupper om två personer. Uppgifterna avser arbete i anslutning till tre demonstrationslaborationer: redovisning av provningsförutsättningar, provningsresultat, beräkningar och jämförelse mellan beräkningsresultat och provningsresultat. Datorprogrammen Matlab/Calfem och/eller Maple kan användas vid lösning av uppgiftens teori- och beräkningsdelar, men det är inget krav att något datorprogram skall användas. De tre uppgifterna: I. NEDBÖJNING AV EN STÅLBALK MED C-PROFIL Provning och beräkning av nedböjningen (eller styvheten) hos en stålbalk med C-format (eller U-format) tvärsnitt, upplagd på två upplag och belastad med en punktlast. II. BÖJNING OCH KNÄCKNING AV EN STRÄVA GJORD AV TRÄMATERIAL Provning av böjstyvheten och knäcklasten för en sträva (plywood). Enkel beräkning av knäcklasten från provningsvärdet på böjstyvheten. III. VIPPNINGSINSTABILITET HOS EN STÅLPLÅT Provning och beräkning av vippningslast för en konsolbalk med ett rektangulärt tunnväggigt tvärsnitt. Inlämningsuppgifterna har följande syften: Träning i att omsätta en observerad verklighet till en idealiserad beskrivning av geometri och last- och upplagsförhållanden i form av figurer och siffror som kan bilda underlag för beräkningar. Erfarenhet av balkars beteende vid belastning genom att se balkars belastningsrespons i verkligheten. Träning i beräkning. Beräkningar av enkel typ och avancerad typ ingår. Träning i redovisning. Erfarenhet om avvikelse/överenstämmelse mellan teori och provning. Schema för inlämningsuppgifterna: Måndagen 3 sept: Uppgift I: presentation, mätning och provning. Måndagen 1 okt: Uppgift I: inlämning senast kl 17 och samma dag: Uppgift II och III: presentation, mätning och provning. Fredagen 19 okt: Uppgift II och III: inlämning senast kl 17. 1
I. NEDBÖJNING AV EN STÅLBALK MED C-PROFIL A. Gör en skiss (eller skisser) (i 3D och/eller D) av provuppställning, balk och last- och upplagsförhållanden med angivande av mått. Se provningen och gör ev. minnesanteckningar. B. Välj idealiseringar inför en teoretisk beräkning av balkens nedböjning och balkens styvhet. Med denna styvhet menas här last/nedböjning, dvs vertikal last på balken dividerat med balkens vertikala förskjutning (nedböjning) i den belastade punkten. Kvoten mellan last och nedböjning är konstant (dvs oberoende av lastens storlek) om materialet är linjärelastiskt och deformationerna är små. C. Sammanställa redovisning. Denna skall utöver informationer enligt A) och B) innehålla en kort kommentar om överensstämmelse mellan beräknad och provad nedböjning (eller styvhet) och om möjliga orsaker till eventuell avvikelse.
II. BÖJNING OCH KNÄCKNING AV EN STRÄVA GJORD AV TRÄMATERIAL A. Gör en skiss av provkropp och provuppställningar vid böjprovning och knäckningsprovning. Notera strävans och upplagens mått och utformning. Se provningen och gör ev. minnesanteckningar. B. Beräkna strävans knäcklast med hjälp uppmätt böjstyvhet hos strävan vid tre-punkt böjning. C. Sammanställa redovisning. Denna skall utöver informationer enligt A) och B) innehålla en kort kommentar om överensstämmelse mellan beräkning och prov, och om möjlig orsak till eventuell avvikelse. 3
III. VIPPNINGSINSTABILITET HOS EN STÅLPLÅT A. Gör en skiss (eller skisser) (i D och/eller 3D) av provuppställning, provkropp och lastoch upplagsförhållanden med angivande av mått. Om lägesmätare användes: notera deras placering. Se provningen och gör ev. minnesanteckningar. B. Beräkna balkens (plåtens) vippningslast mha av formel i tabell. C. Beräkna balkens vippningslast utifrån de allmänna differentialekvationerna för balkar i 3D med hänsyn till jämvikt i utböjt läge (:a ordningens teori). Ledning och kommentarer till denna beräkning ges nedan under rubriken: Ledning vid beräkning av vippningslast -.... D. Lista antaganden och idealiseringar som beräkningarna enligt B) och C) bygger på. E. Sammanställ redovisning. Denna skall utöver informationer enligt A)-D) innehålla en kort kommentar om överensstämmelse mellan beräkning och prov, och om möjliga orsaker till eventuell avvikelse. 4
LEDNING VID BERÄKNING AV VIPPNINGSLAST ARBETSGÅNG (punkterna a)-l)) OCH KOMMENTARER a) Det ligger nära till hands att vid beräkning idealiserat betrakta den provade balken som en fast inspänd och rak konsolbalk som är belastad enbart med en centrisk punktlast som är och förblir vertikal. Ta ställning till om dessa idealiseringarna verkar rimliga eller om de borde modifieras och i så fall hur. Kommentar om att lasten antages förbli vertikal: Vi har i denna kurs liksom i tidigare byggmekkurser underförstått antagit att de belastningar (yttre krafter) som verkar på en konstruktion är konservativa. Med konservativ belastning menas att belastningens riktning inte ändras när konstruktionen deformeras eller böjer ut. Ickekonservativ belastning kan i en del fall ha gynsam inverkan (verka stabiliserande) och i andra fall ha ogynnsam inverkan. För aktuell provuppställning är belastningen icke-konservativ och antagandet om att lasten förblir vertikal är således en approximation. Denna förenklar beräkningarna. b) Grundekvationerna för balkar enligt :a ordningens teori finns i kurspärmen. Specialisera dessa tre ekvationer till den aktuella belastningssituationen! Kommentar om grundekvationerna och om metod för numerisk lösning: De tre ekvationerna är för den aktuella lastsituationen: En okopplad ekvation för utböjning (nedböjning) i lastens riktning. Denna har bara en lösning (ekvationen har en lastterm och är således inte homogen). Därför leder den inte till uppkomst av instabilitet. Två kopplade ekvationer för utböjningen vinkelrätt belastningsriktningen, w, och vridningen, ϕ. Dessa ekvationer är homogena och kan ha mer än en lösning: dels den triviala lösningen att w=ϕ=0 längs hela balken, dels lösning (eller lösningar) för vilka vridningen och/eller utböjningen inte är noll. Det kan således vara möjligt att uppfylla jämviktvillkoren både i ett utböjt läge och ett icke utböjt läge. Vippningslasten är den minsta last för vilken det finns ett utböjt jämviktsläge. De två kopplade ekvationerna är av typen fjärde ordningens homogena linjära ordinära differentialekvationer med variabla koefficienter. Med variabla koefficienter menas att koefficenternas värde är en funktion av läget, x. Ekvationer med variabla koefficienter kan bara i undantagsfall lösas exakt. (Det aktuella fallet råkar vara ett sådant undantag, en explicit lösning kan uttryckas i Besselfunktioner, vilket emellertid inte kommer att diskuteras närmare här.) I stället kan en lösning, åtminstone en approximativ lösning, hittas genom numerisk beräkning. Det finns olika möjligheter att hitta en numerisk lösning. En strategi anvisas nedan. Intresserad teknolog kan undersöka andra möjligheter som alternativ eller komplement. En strategi för numerisk approximativ lösning av differentialekvationer är att som steg ett ansätta någon gissad lösning. Den ansatta lösningen, - det kan t.ex vara ett polynom -, skall uppfylla randvilkoren och innehålla en eller flera koefficienter. Det numeriska värdet på dessa 5
koefficienter bestäms så att den ansatta lösningen uppfyller diffrentialekvationen så bra som möjligt. Om det finns bara en koefficient att bestämma kan denna, som exempel, bestämmas genom att kräva att differentialekvationen skall vara exakt uppfylld i åtminstone en punkt, naturligen i intervallets mittpunkt, dvs för x=l/ om ekvationen avser intervallet 0 x L. Detta sätt att bestämma koefficientens värde benämnes ofta point collocation. Vid stabilitetsanalys kan man inte bestämma utböjningens absoluta storlek (dvs koefficienternas absoluta värden), bara utböjningens form (dvs koefficienternas relativa värden). Vidare kan man ur villkor för att utböjningen skall kunna vara skild från noll bestämma instabilitetslasten. Kommentar om reduktion av de två kopplade ekvationerna till en ekvation Det aktuella ekvationssystemet innehåller två kopplade ekvationer och två sökta funktioner, w(x) och ϕ(x). I ett sådant fall kan ansatser göras för båda funktionerna. Alternativt är det tillräckligt att ansätta en funktion om de två kopplade ekvationerna först skrivs om och reduceras till en ekvation med enbart en obekant funktion. I aktuellt fall blir de numeriska beräkningarna enklast om man först reducerar de två kopplade differentialekvationerna till en okopplad ekvation som bara innehåller ϕ-funktionen. De två kopplade grundekvationerna ger tillsammans med aktuella randvillkor differentialekvationen: F ϕ '' + (L x) ϕ = 0 (1) GK v EI y där origo, dvs punkten x=0, förutsättes placerat vid balkens inspända ände och där F, som betecknar lasten, verkar i y-riktningen. c) Ange de två randvillkor som måste vara uppfyllda för ϕ(x) och härled med hjälp av ledningen nedan ekvationen (1). Kommentar till reduktion av de två kopplade ekvationerna till en ekvation: Ekvation (1) kan erhållas genom att först integrera grundekvationen för utböjningen w(x) två gånger och därefter bestämma de två integrationskonstanterna mha villkoren w (0)=0 och w (L)=0. Observera randvillkoren för ϕ(x). Den integrerade ekvation för w sätts sedan in i grundekvationen för ϕ, villket ger ekvationen (1). Ledning för val av lösningsansats För lösning av ekvationen (1) gäller det nu att ansätta någon funktion som uppfyller randvillkoren c) och även i övrigt förefaller rimlig (t.ex är det rimligt att ansätta någon funktion som är kontinuerlig och har kontinuerlig första och andra derivata om man vill beskriva hur balkens vridning varierar längs balken). En möjlig ansats är π x ϕ (x) = C 1 sin( ) () L Intresserad teknolog kan välja någon annan ansats, t.ex ett polynom, som alternativ eller komplement. 6
d) Rita formen på funktionen ϕ(x) från x=0 till x=l och kontrollera att den valda ansatsen uppfyller randvillkoren! e) Sätt in ansatsen () i differentialekvationen (1). Ange sedan den ekvation som fås om man kräver att ansatsen skall uppfylla differentialekvationen i punkten x=l/, dvs för x=l/! f) Bestäm ur ekvation i e) det värde lasten måste ha om C 1 skall kunna vara skild från noll. Detta värde på F svarar mot instabilitet. (Hur stämmer detta approximativt beräknade värde med tabellvärdet?) g) Utgå från ansatsen för ϕ(x) enligt (). Bestäm motsvarande utböjningsform, w(x), med hjälp av ekvation som ger koppling mellan ϕ(x) och w(x). Rita därefter utböjningsformen w(x) från x=0 till x=l. Ledning för integration: Bestämning av w(x) från givet ϕ(x) innefattar integration. Aktuella integrationer kan göras numeriskt genom summation eller analytiskt. Vid analytisk integration kan matematisk tabell med primitiva funktioner vara till hjälp. Från tabell fås: sin( ax) x cos( ax) cos( ax) xsin( ax) xsin( ax) dx = + C och x ax dx cos( ) = + + C a a a a Kommentar inför noggrannare lösning: Ovan har en lösningsansats med en koefficient, C 1, använts för att hitta en approxinativ lösning. Om lösningsansatsen bara innehåller en koefficient får man i allmänhet räkna med att få en ganska grovt approximativ lösning. Nu skall en ansats som har två koefficienter studeras: h) Visa att ansatsen nedan uppfyller randvillkoren. 3 1 sin( π x ) sin( π x ϕ ( x) = C + C ) (3) L L i) Ange det ekvationssystem med två ekvationer som fås om man kräver att differentialekvationen (1) skall uppfyllas av ansatsen (3) i de två punkterna x=l/4 och x=3l/4. Skriv ekvationssystemet på formen: (x-matris) * (vektor med C 1 och C ) = (noll-vektor). j) Beräkna det minsta värde på F för vilket ekvationssystemet har en lösning annan än att C 1 =C =0. Ange även relationen mellan C 1 och C som fås för detta värde på F! 7
Kommentar om bestämning av F och om determinant, egenvärden och egenvektorer: För att det skall kunna finnas en lösning annan än att C 1 =C =0 måste determinanten för x- matrisen vara lika med noll. Det i j) sökta värdet på F kan beräknas utifrån kravet att determinanten skall vara noll. När F har det värde som medför att matrisens determinant är noll har matrisen (minst) ett egenvärde som är noll. Den egenvektor som tillhör egenvärdet noll anger den i j) sökta relationen mellan C 1 och C. Allmänt definieras egenvärden och egenvektorer för en kvadratisk matris A av sambandet Au = ku. Talen k och tillhörande vektorer u som uppfyller detta samband kallas A:s egenvärden respektive egenvektorer. Om A är en x-matris så har den två egenvärden och två egenvektorer. Om A är sådan att dess determinant är noll så är minst ett av dess egenvärden lika med noll. Vid handräkning kan den aktuella egenvektorn bestämmas genom att lösa ekvations-systemet (x-matris) * (vektor med C 1 och C ) = (noll-vektor) efter att ha satt in instabilitetsvärdet på F och något värde skilt från noll, t.ex 1, på C 1 och därefter beräkna C. Vid beräkning med Calfem kan kommandot eig användas för beräkning av egenvärden och egenvektorer. Vid beräkning med Maple kan kommandona eigenvalues och eigenvectors användas. k) Rita funktionen ϕ(x) för 0 x L dels enligt ansaten (), dels enligt ansatsen (3). Antag att vridningens absoluta storlek motsvarar att C 1 =1.0. l) Frivillig uppgift: Generalisera ansatsen ovan till en ansats i form av en summa med N stycken termer och beräkna, analogt med ovan, instabiltetsvärdet på F för ansatser med 1,, 3, 4, 8, 16, 3... termer. Determinantens nollställen kan för N större än hittas genom att prova med olika värden på F eller genom att göra passningsberäkningar eller iterationer på något systematiskt sätt. Rita ett diagram eller sammanställ en tabell som visar hur (och om) den beräknade instabilitetslasten konvergerar med ökande antal termer i ansatsen. /Per Johan Gustafsson, 01.08.07 8