Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 1 Lösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder Elektromagnetism I, 5 hp, för ES och W (1FA514) höstterminen 017 (1.1) Laddningen q 1 7,0 10 6 C placeras i origo och laddningen q 9,0 10 6 C placeras på x-axeln vid x 40.0 cm. (a) Med vilken kraft påverkar laddningen q 1 laddningen q? Ange storlek och riktning! (b) Med vilken kraft påverkar laddningen q laddningen q 1? Ange storlek och riktning! (c) Var på x-axeln måste du placera en tredje laddning q 3 1,0 10 6 C för att nettokrafterna från q 1 och q på den ska vara noll? (d) Hur ändras ditt svar i (c) om q 3 är negativ? (a) och (b) För att beräkna krafter mellan punktladdningar används Coulombs lag (PhH F-3.1), som anger att beloppet på krafterna mellan punktladdningarna q 1 7,0 10 6 C och q 9,0 10 6 C är F q 1 q r där r är avståndet mellan laddningarna, här r 40 cm 0,4 m. Eftersom q 1 och q har olika tecken kommer krafterna att vara attraheranade. Vi inför beteckningen F 1 för kraften på q 1 från q och F 1 för kraften på q från q 1, se figur. Beloppen av krafterna är lika stora, F 1 F 1 q 1 q r. Vi får F 1 F 1 7,0 10 6 C ( 9,0 10 6 C) Attraherande krafter på punktladdningar. 7,0 9,0 4 π 8,854 10 1 As/ Vm (0,4 m ) 4 π 8,854 N 3,5N. Eftersom krafterna är attraherande kommer F 1 att vara riktad parallellt med +^i och F 1 parallellt med ^i (se figur). Dimensioner? Kraft har enheten N. q 1 q 1C Uttrycket r har enhet 1 As/Vm (1 m ) 1 C (As ) 1 Vm (m ) (efter omvandling 1 V 1 J/C 1 Nm/C; 1 As 1 C) 1C C 1 1Nm 1C 1 1m 1 1N OK! vilket kan skrivas som Svar a: Kraften på q från q 1 är F 1 ( 3,5 N ) ^i. Svar b: Kraften på q 1 från q är F 1 (+3,5N ) ^i.
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 (c) q 3 ska placeras så att Coulombkrafterna från q 1 och q på den är lika stora men motriktade, d.v.s. den totala kraften är noll. Vi placerar q 3 i punkten x 3 och låter och r vara avstånden från q 3 till q 1 respektive q, se figur. Krafter på den tredje punktladdningen. Här är F 1 den repellerande kraften från q 1 på q 3, och F är den attraherande kraften från q på q 3. Punkten x 3 måste ligga på den negativa delen av x-axeln, eftersom q 1 och q har olika tecken, och q > q 1 (q 3 måste alltså vara längre bort från q än från q 1 för att krafternas belopp ska vara lika stora). Vi har etablerat riktningarna. Krafternas belopp är lika stora, och med Coulombs lag får vi F 1 q 1 q 3 4π ϵ 0 r, F q q 3 1 r,f F q 1 q 3 1 > r q q 3 q 1 > q 1 r r Vi har även r +x där x 0,40 m är avståndet mellan q 1 och q. q 1 Vi får + x q 1 + q 1 x. Detta är en r q 1 ( +x ), vilket kan skrivas som ( q 1 q ) andragradsekvation i, med allmän lösning x q 1 ± ( x q 1 ) 4 ( q 1 q ) q 1 x ( q 1 q ) De numeriska lösningarna är,1 0.187451 m,,987 m 3,0 m Det första svaret, som är negativt, betyder att x 3 skulle ligga på den positiva delen av x-axeln. Det motsvaras av lösningen till problemet om q 1 och q har samma tecken (vi har ju räknat med krafternas belopp här). Alltså är det den andra lösningen,,987 m som är vårt svar. Svar c: Laddningen q 3 ska placeras i punkten x 3,0 m. (d) När vi satte krafternas belopp lika med varandra i uppgift (c) så kunde vi genast förkorta bort q 3. Detta hade vi kunnat göra även om vi räknade på vektorform, för om q 3 byter tecken, så ändrar både F 1 och F riktning. Svar (d): Svaret i (c) ändras inte om q 3 byter tecken. (Notera att svaret är oförändrat också om q 3 har en helt annan storlek).
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 3 (1.) (a) En liten punktladdning q 1 3.1 10 6 C placeras i origo. Vad är det elektriska fältet E 1, som orsakas av q 1, i punkten P (x, y, z) (4 cm, 3 cm, 0 cm)? (b) En annan laddning, q 8.7 10 6 C, placeras i punkten (x, y, z) (4 cm, 0 cm, 0 cm). Vad är det elektriska fältet E från q i punkten P? Vad är det totala fältet E tot,1 från laddningarna q 1 och q i punkten P? (c) En tredje laddning q 3 5. 10 6 C placeras i punkten (x, y, z) (5 cm, 3 cm, 0 cm). Vad är det elektriska fältet E 3 från q 3 i punkten P? Vad är det totala fältet E tot,13 från laddningarna q 1, q och q 3 i punkten P? (d) Vad är den elektrostatiska potentialen i punkten P, när alla laddningarna är utplacerade? E-fältet i en punkt på avstånd r från en punktladdning q är (PhH F-3.1) E q 4π ϵ 0 r ^r där ^r är en enhetsvektor som pekar från punktladdningen mot den punkt där fältet undersöks. Eftersom vi hela tiden befinner oss vid z0 kommer z-koordinaten inte att skrivas ut. (a) Fältet från q 1 3.1 10 6 C (placerad i origo) i punkten P (x, y,) (4 cm, 3 cm) blir då (se figur) E 1 q 1 ^ med (0,04 m ) + (0,03 m ) 0,05 m ^ ( ) och (0,04 m ) ^i +(0,03 m ) ^j 4 0,05m 5 ^i+ 3 5 ^j. Numeriskt får vi för fältets storlek 3,1 10 6 C E 1 4 π 8,854 10 1 As/Vm (0,05 m ) E 1 1,114 10 7 V/m. På vektorform blir det E1 E 1 ( 4 5 ^i + 3 5 ^j ) (8,9 10 6 V/m ) ^i+ (6.7 10 6 V/m ) ^j E-fält i punkten P, från första punkladdningen (q 1 ). 1C Dimension? E-fältet har enhet V/m. Uttrycket har enhet 1 ( As/Vm ) (1 m ) vilket, 1C Vm efter att vi kommit ihåg att 1 As 1 C, blir 1C (1m ) 1 V/m. OK! q 1 Svar a: E-fältet är E 1 (8,9 10 6 V/m )^i+(6.7 10 6 V/m ) ^j.
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 4 (b) Fältet från q 8.7 10 6 C (placerad vid (x, y) (4 cm, 0 cm) ger upphov till det elektriska fältet E i P (se figur): E q r ^r med r 3cm0,03 m och ^r ^j Numeriskt får vi 8,7 10 E 6 C ^j 4 π 8,854 10 1 As/ Vm (0,03m ) E (8,7 10 7 V/m ) ^j E-fält från q i punkten P. Det totala fältet E tot,1 från laddningarna q 1 och q i punkten P erhålls med hjälp av vektoraddition (se figur; notera att vektorerna är approximativt skalenliga och därför inte lika stora som i tidigare figurer) E tot,1 E 1 + E E tot, 1 (8,9 10 6 V/m ) ^i +(6,7 10 6 V/m ) ^j +(8,7 10 7 V/m ) ^j (8,9 10 6 V/m ) ^i+ (9,4 10 7 V/m ) ^j Svar b: E (8,7 10 7 V/m ) ^j E tot, 1 (8,9 10 6 V/m ) ^i+( 9,4 10 7 V/m ) ^j E-fältet i punkten P från q 1 och q.
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 5 (c) Det elektriska fältet E 3 i punkten P från laddningen q 3 5. 10 6 C (placerad i (x, y) (5 cm, 3 cm) är, på samma sätt som tidigare (se figur) E 3 q 3 r ^r 3 3 med r 3 0,01m och ^r 3 ^i (från laddningen mot P). Vi får 5, 10 E 6 C 3 4 π 8,854 10 1 As/ Vm (0,01 m ) ( ^i ) E 3 (4,67 10 8 V/m )^i E-fältet i punkten P från q 3. Det totala fältet E tot,13 från laddningarna q 1, q och q 3 i punkten P erhålls med vektoraddition som tidigare: E tot,13 E 1 + E + E 3. Vi kan använda vårt tidigare resultat E tot,1 E 1 + E (se figur) vilket blir E tot,13 E tot,1 + E 3 och får med värdet E tot, 1 (8,9 10 6 V/m ) ^i +(9,4 10 7 V/m ) ^j det numeriska uttrycket E tot,13 (8,9 10 6 V/m ) ^i+(9,4 10 7 V/m ) ^j+( 4,67 10 8 V/m ) ^i E tot,13 (4,8 10 8 V/m ) ^i+ (9,4 10 7 V/m ) ^j Totala E-fältet i punkten P från de tre punktladdningarna q 1, q och q 3. Svar c: E 3 (4,67 10 8 V/m )^i E tot,13 (4,8 10 8 V/m ) ^i+ (9,4 10 7 V/m ) ^j.
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 6 (d) Den elektrostatiska potentialen från en punktladdning q i på avståndet r i är (PhH F-3.1) q i V i 4 π ϵ 0 r i Elektrisk potential är en skalär, och den totala potentialen i punkten P är summan av de individuella bidragen från varje punktladdning: q q 3 V tot q 1 + + r r 3 med samma notation som tidigare. Numeriskt får vi (med q 1 3.1 10 6 C, q 8.7 10 6 C, q 3 5. 10 6 C, samt 0,05 m, r 0,03 m, r 3 0,01m ) för de individuella bidragen 3,1 10 6 C V 1 4 π 8,854 10 1 As/Vm 0,05 m 0,557 106 V 8,7 10 6 C V 4 π 8,854 10 1 As/Vm 0,03 m,61 106 V 5, 10 6 C V 3 4 π 8,854 10 1 As/Vm 0,01 m 4,67 106 V vilket totalt ger V tot 1,51 10 6 V. Avstånden, r och r 3 från de tre punktladdningarna till punkten P. Dimension? I 1.a såg vi att uttrycket ha enhet (1 V/m) (1 m) V. OK! q 1 har enhet 1 V/m. Då måste uttrycket q i 4 π ϵ 0 r i Svar d: Potentialen i punkten P är 1,51 10 6 V. (Notera att potentialen blir negativ. Det är intuitivt begripligt, eftersom den enda negativa laddningen är närmre än de positiva).
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 7 (1.3) En elektrisk dipol, intialt i vila, med dipolmomentet p (5.00 10-10 Cm) î, placeras i ett elektriskt fält E (.00 10 6 N/C) î + (.00 10 6 N/C) ĵ. (a) Åt vilket håll vrids dipolen? (b) Vilket är det maximala vridmoment som dipolen utsätts för? (c) Vilken position kommer dipolen att inta när lång tid har gått? (a) Det elektriska fältet är homogent, och dipolmomentet p (5.00 10-10 Cm) î är parallellt med x-axeln. Vi definierar origo så att dipolen ligger mitt på, se figur. En dipol kan sägas bestå av två punktladdningar med olika tecken men samma laddningsbelopp q, separarade av avståndet d. Dipolmomentets belopp är (PhH F-3.4) p q d och enligt definition går det från den negativa laddningen till den positiva. I vårt fall hamnar den negativa laddningen i x d/ och den positiva i x + d/. Laddningar som befinner sig i ett E-fält påverkas av en kraft Fq E (PhH F-3.1). Med E-fältet E (.00 10 6 N/C) î + (.00 10 6 N/C) ĵ Dipol i ett yttre E-fält. kommer den positiva delen av dipolen att påverkas av en kraft F + +q E, d.v.s parallell med E och den negativa delen av dipolen med en kraft F q E, parallell med E, se figur. Dessa krafter gör att dipolen kommer att vridas motsols. Svar a: Dipolen vrids motsols. (b) En dipol i ett E-fält utsätts för vridmomentet (PhH F-3.4) τ p E och vridmomentets belopp kan skrivas som τ p E sin θ där är vinkeln mellan E och p (se figuren) Dipolen kommer att vridas så att p blir mer och mer parallell med E, d.v.s. minskar. För vinklar mindre än 90 minskar sin om minskar. Alltså kommer det maximala vridmomentet inträffa precis i början av vridningen i det här exemplet, när 45. Vi får τ max p E sin 45 o vilket, med E (,00 10 6 N/C ) +(,00 10 6 N/C ),83 10 6 N/C, ger τ max (5,00 10 10 Cm) (,83 10 6 N/C )1,00 10 3 Nm. Dimension? p har enhet [q d] Cm och E-fältet har enhet N/C. Vridmomentet får då dimension Cm N/C Nm, vilket är vad vi är vana vid från mekaniken. OK! Svar b: Maximala vridmomentet ä,00 10 3 Nm. (c) Vridmomentet τ p E sin θ blir noll när 0, d.v.s. när E och p är parallella. Svar c: Efter lång tid kommer dipolen att vara parallell med E, d.v.s. bilda 45 vinkel med x- axeln.
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 8 (1.4) (lite svårare) Ett oändligt stort plan har den positiva laddningstätheten C/m. Utgå ifrån uttrycket för E-fältet kring en punktladdning och härled ett uttryck för det elektriska fältet E ( x ) på en höjd x över planet. Tips: Titta på exempel 1.9 och 1.11 i boken! Vi vill använda E-fältet från en punktladdning för att härleda ett uttryck för E-fältet från det oändliga planet. Vi vill alltså integrera över alla infinitesimala bidrag E d E från alla små laddningsbidrag dq da på hela ytan. Det här kan göras på många olika sätt, men tipset att titta på exempel 1.9 och 1.11 ger oss ledningen att först räkna ut E-fältet från en ring (ex 1.9) och sedan integera över ringar med större och större radie upp till R, för att till sist låta R (ex 1.11). Vi börjar med att titta på en ring av det laddade planet, se figur. Vi antar att ringen har radie a och total laddning Q. Vi antar vidare att den laddade plattan ligger i yz-planet. E-fältet i en punkt P på höjden x över planet från ett litet segment av ringen med laddning dq blir då d E 1 dq x +a ^r där r x +a är avståndet i kvadrat mellan punkten P och laddningselementet dq, och ^r är enhetsvektorn som pekar från laddningselementet mot punkten P.. Av symmetriskäl ser vi att nettobeloppet från alla bidrag d E från alla delar av ringen kommer att peka i x-riktningen. Alltså nöjer vi oss med att titta på bidragen i x-led. Vinkeln mellan ^r och x-axeln är. Beloppet av E-fältets x-komposant från laddningelelementet dq blir då de x de cos, vilket tillsammans med relationen cosα x r x ger oss x +a d E x de cosα 1 dq x x +a x +a 1 x dq. ( x +a 3 / ) Allt i det här yttrycket är oberoende av var på ringen vi befinner oss, så vi kan helt enkelt integera över dq: Q 1 x 1 x E x de x dq 0 (x +a 3 / dq. ) ( x +a ) 3 / 0 Integralen över dq är Q och vi får E 1 Q x dq 4π ϵ ^i 1 Qx 0 (x +a ) 3 / 0 4 π ϵ ^i, (ekv 1.4.1) 0 ( x +a ) 3/ där vi har använt att de x de (enbart fält i x-led). E-fältet på en höjd x över ett oändligt plan med positiv laddning. Q E-fält från en laddad ring. Modifierad från Young- Freedman University Physics fig. 1.3.
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 9 Nu låter vi ringen i första deluppgiften vara ett litet element av en mycket stor cirkelskiva med radie R. Ringens laddning är Q dq och den stora cirkelskivans laddning är q R där är ytladdningstätheten och R den stora skivans area. Om ringens radie är a och dess bredd da kommer den att ha laddningen dq A, där A a da är ringens area (eftersom den är väldigt tunn är den approximativt en väldigt smal rektangel om man rullar ut den). Vi får alltså dq a da. Vi kallar E-fältet från den stora cirkelskivan E tot (för att skilja det får E-fältet från ringen i första delen av uppgiften). E-fältet d E tot från den lilla ringen är, enligt ekv 1.4.1 d E tot 1 x dq 4 π ϵ ^i, 0 (x +a ) 3/ där vi har använt att ringens laddning är dq och dess radie är a, samt att hela fältet från ringen i ekv 1.4.1 nu är en liten del av fältet vi integrerar över. Av symmetriskäl vet vi, precis som tidigare, att enbart fältet i x-led bidrar till det totala fältet, så vi tittar enbart på x-komposanten nu. Vi använder dq a da och får d E tot, x 1 xσ π a da (x +a ). 3/ Vi integrerar detta över hela cirkelskivan (från 0 till R) och får E tot, x x σ R a da. 4 ϵ 0 0 (x +a 3/ ) Den här integralen kan evalueras med variabelsubstitution, t x + a, vilket ger dt a da med integrationsgränserna a0 <> t x och a R <> x + R. E tot, x x σ x +R dt 4 ϵ 0 x t x σ x 1 3/ 4 ϵ 0 [ +R σ x 1 1 / t 4 ϵ ]x 0 ( x +R + x ) 1. Eftersom vi tittar på den positiva x-axel har vi x x, och vi får E tot, x σ ϵ 0 ( 1 1 1+R / x ). Vi har enbart ett E-fält i x-led, så totala fältets torlek och riktning är E tot σ ϵ 0 ( 1 1. 1+R /x )^i Om vi nu låter R bli väldigt stort, säg 10 elle00 gånger större än x, kommer vi snabbt att se att lim R 1 1+R /x 0, vilket alltså innebär att lim Etot σ ^i R ϵ 0 vilket är vårt svar. Svar: E-fältet ovanför ett oändligt plan med laddningstäthet är (oavsett höjd) lim E σ ^i R max ϵ 0 där ^i är vinkelrätt mot planet. Tips: Det här svaret kan man få mycket mycket lättare med Gauss lag. Titta på exempel.7!
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 10 (1.5) Ungefär hur många protoner finns det i ett äpple? Hur många elektroner? Tips: Här är inte det exakta antalet så viktigt. Gör rimliga antaganden, som du motiverar, och uppskatta storleksordningen, d.v.s. vilken tiopotens svaret borde ha. Hur mycket väger ett typiskt äpple? Vad består det av till största delen? O.s.v. Vi börjar med att anta att ett äpple väger ungefär ett hektogram (eftersom ett äpple sällan väger så mycket som ett helt kilogram, och oftast mer än 10 gram). Ett äpple består till största delen av vatten, så vi antar att det består enbart av vatten (H O). Antalet protoner i ett äpple är antalet molekyler vatten i äpplet, multiplicerat med antalet protoner per vattenmolekyl. Antalet mol vatten i ett äpple är n H O m äpple M H O där m äpple är äpplets massa (1 hg) och M HO är vattens molmassa ( M HO M H +M O 1g/mol+16g/mol18g/mol ). Antalet vattenmolekyler i äpplet är N H O N A n HO där N A 6 10 3 är Avogadros tal (antalet molekyler per mol). Antalet protoner per vattenmolekyl ä0; två väteatomer med en proton vardera och en syreatom med 8 protoner, Z H O Z H +Z O 1+810. Antalet protoner i ett äpple blir därmed n p, äpple N H O Z H O N A n H O Z H O N m A äpple Z M H O. HO Numeriskt: n p, äpple 6 103 mol 1 10 g 10protoner 3 10 5 protoner. 18 g/mol (Dimension? I uträkningen ovan ser vi att svaret har SI-enhet 1, eller antal, d.v.s. vad vi förväntar oss). Eftersom äpplen i allmänhet är elektriskt neutrala finns det exakt lika många elektroner som protoner i varje äpple. Svar: Antalet protoner i ett äpple är lika stort som antalet elektroner, ungefär 3 10 5 stycken. Är det rimligt? Ja, för en mol vatten väge8 g, och vi antog att vi hade ungefä00 g vatten, eller 50 mol vatten, som borde bli ungefär 50 N A 50 6 10 3 3 10 5.