Solitära vågor och matematiska mirakel. Hans Lundmark

Relevanta dokument
Dynamiska system. Hans Lundmark. Matematiska institutionen Linköpings universitet

Datorövning 4. För att få tillgång till några mer avancerade ritkommandon skriv

Sammanfattning Föreliggande uppsats handlar om Korteweg-de Vries-ekvationen (KdV-ekvationen) och dess solitonlösning, som är en våg på grunt vatten. E

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

12.6 Heat equation, Wave equation

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Partiella differentialekvationer: Koppling Diskret - Kontinuum och Finita Elementmetoden

Ordinära differentialekvationer,

Isometries of the plane

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,

2D1250 Tillämpade numeriska metoder II

4. Deformerbara kroppar och fluider [Pix-SE, IR-11]

Module 1: Functions, Limits, Continuity

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

STORSEMINARIET 3. Amplitud. frekvens. frekvens uppgift 9.4 (cylindriskt rör)

PRÖVNINGSANVISNINGAR

Inledande matematik M+TD

Linjära ekvationer med tillämpningar

English. Things to remember

Undergraduate research:

Tentamen i Matematik 3: M0031M.

Support Manual HoistLocatel Electronic Locks

balans Serie 7 - The best working position is to be balanced - in the centre of your own gravity! balans 7,45

En trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1

BOENDEFORMENS BETYDELSE FÖR ASYLSÖKANDES INTEGRATION Lina Sandström

Laboration 1: Optimalt sparande

Bernoullis ekvation Rörelsemängdsekvationen Energiekvation applikationer Rörströmning Friktionskoefficient, Moody s diagram Pumpsystem.

Vågrörelselära och optik

denna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) och v = (a) Beräkna u (2u 2u v) om u = . (1p) och som är parallell

Modeller för dynamiska förlopp

Kända och okända funktioner

This exam consists of four problems. The maximum sum of points is 20. The marks 3, 4 and 5 require a minimum

Module 6: Integrals and applications

Differentialekvationer av första ordningen

Beslut om bolaget skall gå i likvidation eller driva verksamheten vidare.

Inledning. Kapitel Bakgrund. 1.2 Syfte

Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt

Aborter i Sverige 2008 januari juni

Webbregistrering pa kurs och termin

Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse I

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Documentation SN 3102

KOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n

Dokumentnamn Order and safety regulations for Hässleholms Kretsloppscenter. Godkänd/ansvarig Gunilla Holmberg. Kretsloppscenter

Alumi.

Kinetik. Föreläsning 1

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter

Webbreg öppen: 26/ /

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p)

Writing with context. Att skriva med sammanhang

Mekanik FK2002m. Kinematik i flera dimensioner

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik

y(0) = e + C e 1 = 1

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Vågrörelselära och optik

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys,

FYSIKENS MATEMATISKA METODER

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Application for exemption - Ansökan om dispens

17 januari 2014 sida 1 # 1 ERRATA ELEKTRODYNAMIK I NYTT LJUS UPPLAGA 1

Preschool Kindergarten

Komponenter Removed Serviceable

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x

Vad vi ska prata om idag:

Resultat av EASA-audit 2013 & Tillsynsresultat 2013

Sammanfattning hydraulik

d dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Discovering!!!!! Swedish ÅÄÖ. EPISODE 6 Norrlänningar and numbers Misi.se

SF1545 Laboration 1 (2015): Optimalt sparande

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.

Wittgenstein for dummies Eller hur vi gör det obegripliga begripligt. Västerås 15 februari 2017

Partiella differentialekvationer och randvärdesproblem Separabla PDE Klassiska ekvationer och randvärdesproblem

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Vågor. En våg är en störning som utbreder sig En våg överför energi från en plats till en annan. Det sker ingen masstransport

Gamla tentemensuppgifter

Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version

Par m 328 feet. Lång höger sväng. Korgen står placerad i en skogsglänta OB-linje på vänster sida.

Förmåga att läsa och förstå: Elevsvar

Tentamen del 2 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Två gränsfall en fallstudie

SF1625 Envariabelanalys

Mage och matsmältning

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

Nr 17 Överenskommelse med Thailand om radioamatörverksamhet

Klassificering av brister från internaudit

Modellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010

Rev No. Magnetic gripper 3

Second handbook of research on mathematics teaching and learning (NCTM)

Workplan Food. Spring term 2016 Year 7. Name:

Oändligtdimensionella vektorrum

Transkript:

Solitära vågor och matematiska mirakel Hans Lundmark

En våg kommer sällan ensam...? 2 (Alla foton: Wikimedia Commons.)

Många vågor är periodiska svängningar. Sinusvåg (harmonisk svängning): y y = sin x x Grundton & övertoner: y y = sin x + 3 4 sin 2x + 1 10 sin 15x x 3

Men vissa vågor kommer ensamma. T.ex. en tidvattenvåg: 4

Eller en chockvåg från en explosion: 5

Eller när publiken gör vågen på en arena: 6

John Scott Russell (1808 82) Ingenjör och skeppsbyggare från Skottland. Gjorde berömd observation 1834 vid Union Canal nära Edinburgh. 7

I believe I shall best describe this phænomenon by describing the circumstances of my own first acquaintance with it. I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair of horses, when the boat suddenly stopped not so the mass of water in the channel which it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind, rolled forward with great velocity, assuming the form of a large solitary elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of water, which continued its course along the channel apparently without change of form or diminution of speed. I followed it on horseback, and overtook it still rolling on at a rate of some eight or nine miles an hour, preserving its original figure some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height. Its height gradually diminished, and after a chase of one or two miles I lost it in the windings of the channel. Such, in the month of August 1834, was my first chance interview with that singular and beautiful phænomenon which I have called the Wave of Translation [... ]. J. Scott Russell, Report on waves (1845) 8

Russells experiment i vattentank: Solitära vattenvågor är mycket stabila. Högre vågor färdas fortare. Om man försöker skapa en alltför hög våg så splittras den i flera solitära vågor av olika höjd. Kunde ej förklaras med dåtidens vattenvågsteori. 9

Matematisk bakgrund Derivata = ögonblicklig förändringstakt Hastighet = derivata av position (med avseende på tid) Acceleration = derivata av hastighet = andraderivata av position Differentialekvation = samband mellan en sökt funktion och dess derivator. 10

Naturlagar (eller matematiska modeller i allmänhet) är ofta formulerade som differentialekvationer. T.ex. Isaac Newton (1642 1727): kraft = massa acceleration. Man sökte exakta lösningsformler. Tvåkropparsproblemet löstes av Newton själv. 11

Trekropparsproblemet gäckade alla försök. Henri Poincaré (1854 1912) insåg att det inte går. Lösningarna är för komplicerade för att beskrivas av formler vi kan skriva upp. Sökande efter exakta lösningar dött ämne. Istället: studera diff-ekvationer kvalitativt. (Lösningars existens och entydighet. Dynamiska system. Kaosteori. Etc.) 12

Åter till Russells solitära våg. Teoretisk förklaring: Korteweg & de Vries 1895. (Och delvis av andra lite tidigare.) Diverse förenklande antaganden: grunt vatten (i förhållande till våglängden) vågutbredning bara i en riktning (t.ex. längs en kanal) försumma ytspänning, viskositet, vind, etc. med mera... 13

Leder till KdV-ekvationen: u t + u u x + 3 u x 3 = 0 Alternativt skrivsätt: u t + uu x + u xxx = 0 Funktionen u(x, t) sökes (vågens form). Ickelinjär PDE (partiell differentialekvation). Verkar hopplöst att fullständigt lösa exakt. 14

Men man kan rätt lätt hitta en lösning åtminstone, en fortskridande solitär våg: u(x, t) = 3c / cosh 2 ( 1 2 (x ct) c) u Höjd 3c Hastighet c x 15

Sensationella upptäckter på 1960-talet! Oväntade resultat vid numerisk simulering av KdV-ekvationen på dator. Solitoner. (Zabusky & Kruskal 1965) Inversa spridningstransformen, metod som ger exakta lösningsformler för n-solitonlösningar. (Mirakel, nästan för bra för att vara sant!) (Gardner, Greene, Kruskal, Miura 1967) Integrabla system, nytt forskningsområde. (Eller möjligen nygammalt.) 16

Exempel på tvåsolitonlösning till KdV-ekvationen: u(x, t) = 72[3 + 4 cosh(2x 8t) + cosh(4x 64t)] [3 cosh(x 28t) + cosh(3x 36t)] 2 t x 17

Forskning om integrabla system på MAI Integrabla ekvationer av Newtontyp: Partikel i R n med position som rör sig i ett kraftfält d 2 q dt 2 = F(q). q(t) =(q 1 (t),..., q n (t)) F(t) =(F 1 (q),..., F n (q)). Lösning via separation av variabler. 18

Exakta formler för spetsiga solitoner. (Eng. peakons, peaked solitons.) Först studerade i Camassa Holm-ekvationen, en annan modell för vågor i grunt vatten: u t + m x u + 2mu x = 0, m = u u xx. (Camassa & Holm 1993) Förekommer även i vissa andra matematiskt besläktade ekvationer. (Själva ekvationerna ser värre ut än KdV, men å andra sidan har lösningarna enklare struktur.) 19

Exempel på trepeakonlösning till CH-ekvationen: t x u x Exakta lösningsformler för n-peakonlösningar fås via inverst spektralproblem för diskret sträng. (Kedjebråk, ortogonala polynom, etc.) (Beals, Sattinger & Szmigielski 1999) 20

Sugen på att leka med solitoner hemma? Testa bollar-i-lådor-systemet : t=0..oooooo...oooo...ooo... t=1...oooooo...oooo...ooo... t=2...ooooo...ooooo...ooo... t=3...oooo...oooo...ooooo... t=4...oooo...ooo...oooooo... t=5...oooo...ooo...oooooo... t=6...oooo...ooo...oooooo... t=7...ooo...oooo...oooooo.. (Ett ultradiskret integrabelt system.) (Takahashi & Satsuma 1990) 21

Finns i olika varianter, t.ex. med ändligt många lådor i en ring, så att vågorna går runt. Studeras med hjälp av bl.a. tropisk geometri. (Byt gånger & plus mot plus & minimum.) T.ex. y = x x + 2 blir y = min(x + x, 2). y y y = x 2 + 2 y = min(2x, 2) x x Andragradare i vanlig geometri...... och i tropisk geometri 22