KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och AC i E. Man vet att AD = 6 cm. Beräkna CE. Problem 4. Bestäm vinklarna A, B, C, D och E i pentagrammen. Problem 5. Bestäm vinkeln v Problem 6. I koordinatsystemet ska man ta sig från punkten (1,2) till punkten (7,10), men måste på vägen passera, antingen (3, 2) eller (4,12). Bestäm längden av den kortaste vägen. Håkan Strömberg 1 KTH STH
KS övning 1 Lösningar Svar 1. Svar 2. 48 1 3 6 1 3 Svar 3. Antag att AE = x cm. Vi får ger x = 4.8 cm. CE = 12 4.8 = 7.2 cm Svar: 7.2 cm Svar 4. 3 48 3 6 3 2 2 2 6 3 6 2 3 6 3 6 2 (x 1 3 y 1 3)(x 2 3 +x 1 3y 1 3 +y 2 3) x x 2 3y 1 3 +x 1 3y 2 3 x 2 3y 1 3 x 1 3y 2 3 y x y x 6 = 12 15 Den violetta regelbundna pentagonen kan söderdelas i tre trianglar. Varje triangel har vinkelsumman180. Alltså har pentagonen då vinkelsumman3 180 = 540. Detta betyder i in tur att vinklarna i pentagonen 540 5 = 108. De fem likbenta trianglarna har då basvinklarna 180 108 = 72. Då har pentagrammens spetsar vinkeln 180 2 72 = 36. Svar: 36 Svar 5. Svar: 38 Svar 6. tanv = 35 45 v = arctan 35 45 37.88 (1 3) 2 +(2 ( 2)) 2 + (3 7) 2 +(( 2) 10) 2 17.12 (1 4) 2 +(2 12) 2 + (4 7) 2 +(12 10) 2 14.05 Svar: Den kortaste vägen är 14 l.e. Håkan Strömberg 2 KTH STH
KS övning 2 Problem 7. Utveckla parenteserna (x 1 2 7)(x 1 2 +3) Problem 8. Två vaser har samma form men olika storlek. Den större vasen är 1.5 dm hög och har volymen 1.2 dm 3. Den mindre vasen är 1.0 dm hög. Bestäm den mindre vasens volym. Problem 9. I ABC är AB = AC = 6 cm och BC = 5 cm. En rät linje, parallell med BC skär AB i D och AC i E, så att DE = 3.5 cm. Beräkna sträckan BD. Problem 10. Bestäm ekvationen för linjen i figuren genom att läsa av lämpliga punkter. Problem 11. Lös ut a ur formeln Problem 12. x a+y a 5 = 3 Bestäm den stora triangelns vinklar Håkan Strömberg 3 KTH STH
KS övning 2 Lösningar Svar 7. Svar 8. Längdskalan är Volymskalan är Volymskalan = Längdskala 3. Svar: 0.36 dm 3 Svar 9. Antag att AD = x cm. Vi får ger x = 4.2 cm. BD = 6 4.2 = 1.8 cm Svar: 1.8 cm (x 1 2 7)(x 1 2 +3) x+3 x 7 x 21 x 4 x 21 h liten hstor = 1 1.5 2 3 V liten Vstor = 1 1.5 2 3 V liten Vstor = ( ) 3 2 8 3 27 V liten = 8 1.2 0.36 27 x 3.5 = 6 5 Svar 10. Vi läser av punkterna (4,3) och ( 1, 2) och bestämmer k genom k = 3 ( 2) 4 ( 1) = 1 Vi har nu y = x + m och bestämmer m genom att sätta in en av punkterna 3 = 4 + m och får m = 1, vilket stämmer bra med figuren. Svar: y = x 1 Svar 11. Svar 12. Svar: 63,42,75 x a+y a 5 a(x+y) 5 arcsin 40 45 62.734 arcsin 40 60 41.810 = 3 = 3 15 a = x+y ( 15 a = x+y ) 2 180 arcsin 40 40 45 arcsin 60 75.456 Håkan Strömberg 4 KTH STH
KS övning 3 Problem 13. Förenkla Problem 14. Lös ut c ur formeln ( a 2 ) 3 b a ( 3 b 2 a 3 b 4 ab 1 a = 2b cd ) 5 Problem 15. En likbent triangel har omkretsen 36 cm. Beräkna arean om höjden mot basen är 12 cm. Problem 16. En rät linje har k = 2 och går genom punkten ( 2, 3). Bestäm linjens ekvation. Problem 17. Summan av två tal är 5.6 och differensen är 1.8. Vilka är talen? Problem 18. Bestäm koefficienterna a och b så att, linjerna ax+by+2 = 0 och 3x 4y 5 = 0 sammanfaller. Håkan Strömberg 5 KTH STH
KS övning 3 Lösningar Svar 13. Svar 14. ( a 2 ) 3 b a ( 3 b 2 a 3 b 4 ab 1 a 6 b 3 a 9 b 12 a 15 b 10 a 5 b 5 a 15 b15 b15 a 20 a = 1 a 5 2b cd ) 5 a 2 = 4b2 cd Svar 15. c = 4b2 a 2 d Antag att triangelns ben är x. Då är basen 36 2x. Betrakta den rätvinkliga triangeln ABD där BD = 18 x. Pythagoras sats ger 12 2 +(18 x) 2 = x 2 som ger x = 13. Ger basen BC = 36 2 13 = 10 cm. Arean blir då Svar: 60 cm 2 A = 10 12 2 = 60 Svar 16. Vi har redan y = 2x+m. Återstår att bestämma m ger m = 7 Svar: y = 2x 7 3 = 2( 2)+m Svar 17. Antag att det ena talet är x och det andra y Vi får följande ekvationssystem: { x+y = 5.6 x y = 1.8 Genom att addera de två ekvationerna (additionsmetoden) får vi som till sist ger 3.7+y = 5.6, y = 1.9 Svar: 3.7 och 1.9 2x = 7.4 x = 3.7 Håkan Strömberg 6 KTH STH
Svar 18. Vi startar med att lösa ut y i de två ekvationerna och får och y = a b x 2 b y = 3 4 x 5 4 Vi vet nu att k- och m-värden ska vara lika. Detta leder till ekvationerna 2 b = 5 4 som ger b = 8 5 = 1.6. b insatt i ekvationen a b = 3 4 ger 5a 8 = 3 4 som ger a = 6 5 = 1.2 Svar: a = 1.2 och b = 1.6 Håkan Strömberg 7 KTH STH
KS övning 4 Problem 19. Förenkla ( ) 4( 5 a ) 2 2a 25 Problem 20. I vilka punkter skär den räta linjen y = 2x 3, x- och y-axlarna? Problem 21. I figuren är AD 16 cm längre än BD. Hur lång är CD? Problem 22. En bassäng har volymen 200 m 3. En annan bassäng har tre gånger så långa kantlängder (längd, bredd och djup). Beräkna den större bassängens djup om dess bottenarea är 600 m 2. Problem 23. Lös ekvationen med avseende på x a x+b = b x+1 Problem 24. Har funktionen y = x 2 4x 21 en max- eller minpunkt? Bestäm koordinaterna för denna punkt Håkan Strömberg 8 KTH STH
KS övning 4 Lösningar Svar 19. ( ) 4( 5 a ) 2 2a 25 5 4 2 4 a 4 a2 5 4 1 16a 2 Svar 20. Eftersom m = 3 skär den y-axeln i punkten (0, 3). Skärningen med x-axeln får vi genom att lösa ekvationen 0 = 2x 3 som har roten x = 3 2. Svar: (0, 3) respektive ( 3 2,0) Svar 21. Antag att BC = x. Pythagoras ger 24 2 +x 2 = 40 2 som i sin tur ger BC = 32 cm. Om BD = y är AD = y+16 och CD = 32 y. För triangel ADC ger Pythagoras (32 y) 2 +24 2 = (y+16) 2 som ger y = 14 Svar: 14 cm Svar 22. Längdskalan mellan de två bassängerna är 1 : 3. Detta betyder att areaskalan är ( ) 2 1 = 1 3 9 Antag att den lilla bassängen har bottenarean y m 2. Vi får då y 600 = 1 9 som ger y = 600 9 = 200 3. Vi kan nu bestämma den lilla bassängens höjd som vi antar är z m. Vi tecknar volymen 200 z = 200 3 som ger z = 3. Antag att den stora bassängens höjd är v. Genom längdskalan får vi som ger v = 9 m. Svar: 9 m Svar 23. v 3 = 3 1 a x+b = b x+1 a(x+1) = b(x+b) ax+a = bx+b 2 ax bx = b 2 a x = b2 a a b Håkan Strömberg 9 KTH STH
Svar 24. Funktionen har en minpunkt eftersom koefficienten framför x 2 (som är 1) är > 0. Genom att lösa ekvationen 0 = x 2 4x 21 får vi reda på funktionens nollställen. Vi får då x 1 = 3 och x 2 = 7. Vi vet att x-koordinaten för minpunkten ligger mitt emellan rötterna. Vi får 3+7 2 = 2. Vi sätter in x = 2 i funktionen och får y-koordinaten till y = 2 2 4 2 21 = 25 Svar: (2,25) Håkan Strömberg 10 KTH STH
KS övning 5 Problem 25. Förenkla xy3 1 x3 y Problem 26. Kvadratens sida är 16 cm. Hur långa är de med x markerade sträckorna? Problem 27. En linje går genom punkterna (0, 2) och (2, 8). En annan går genom punkterna (6, 0) och (12,6). Bestäm linjernas skärningspunkt. Problem 28. Bestäm den lilla skuggade triangelns area. Problem 29. Bestäm den efterfrågade sidan exakt. Problem 30. Lös ekvationen med avseende på a (a 3 +a 2 b) = 5a+3b 2a Håkan Strömberg 11 KTH STH
KS övning 5 Lösningar Svar 25. Svar 26. 1 xy3 x3 y y 1 xy x xy y x ABC är en halv likbent triangel. AB = 16 x och BC = 8. Pythagoras sats ger som ger x = 10 cm Svar: 10 cm 8 2 +(16 x) 2 = x 2 Svar 27. Vi startar med att bestämma de två linjernas ekvationer. Linje 1. 2 = 3 0+m ger m = 2. y = 3x+2 Linje 2. k = 8 2 2 0 = 3 k = 6 0 12 6 = 1 0 = 1 6+m ger m = 6. y = x 6 Vi bilar så ekvationen genom att sätt de två linjernas ekvationer lika. 3x+2 = x 6 som ger x = 4. Insatt i en av linjernas ekvationer får vi y = 1 ( 4) 6 = 10 och vi har skärningspunkten ( 4, 10) Svar 28. Först bestämmer vi hypotenusan c, i den lilla triangeln c 17 = tan30 ger c = 17 tan30 9.815. Den skuggade triangelns katetrar a och b får vi genom att den skuggade triangeln är likformig med den stora. sin60 = a 9.815 och cos60 = b 9.815 som ger a = 9.815 sin60 8.5 och b = 9.815 sin60 4.9. Med hjälp av formeln Svar: 20.86 a.e. A = bh 2 = 8.5 4.9 2 20.86 Håkan Strömberg 12 KTH STH
Svar 29. Till höger har vi en halv kvadrat och till vänster en halv liksidig triangel. Antag att kvadraten har sidan y. Med hjälp av Pythagoras sats får vi y 2 +y 2 = 10 2 som ger y = 50. Höjden i den liksidiga triangeln är då också 50. Antag att sidan i den liksidiga triangeln är x (hypotenusan i triangeln). Basen i den vänstra triangeln är då x 2. Genom att åter använda Pythagoras får vi ( x ) 2 +( 50) 2 = x 2 2 som ger x = Svar: Svar 30. 200 3 2 50 3 a 3 +a 2 b = 5a+3b 2a a 2 (a+b) = 3(a+b) a 2 = 3 a = ± 3 Även a = b är en möjlighet, för då blir båda sidor 0. Svar: a = ± 3 och a = b Håkan Strömberg 13 KTH STH
KS övning 6 Problem 31. Beräkna utan miniräknare 16 3 16 16 Problem 32. Linjen L 1 går genom origo och är vinkelrät mot linjen L 2 : y = x 3 + 4. Bestäm ekvationen för L 1 Problem 33. I en ABC är AB = 4 cm, BC = 5 cm och AC = 6 cm. På sidan AB ligger punkten D, så att BD = 2.5 cm. På sidan BC punkten E, så att BE = 2 cm. Beräkna längden av sträckan DE. Problem 34. Lös ekvationen Problem 35. Lös ut a ur Vilka krav ska man ställa på c? Problem 36. x+2 = 0 a+b c = a b 2c ABD = 37, BD = 40 cm och AC = 39 cm. Bestäm CD Håkan Strömberg 14 KTH STH
KS övning 6 Lösningar Svar 31. 16 3 16 16 16 3 4 4 4 16 4 64 8 Svar 32. En linje som är vinkelrät mot en annan med k-värdet 1 3 har k-värdet 3, enligt formeln k 1 k 2 = 1. Eftersom den sökta linjen går genom origo är m = 0. Vi får då y = 3x. Svar 33. När man insett att de två trianglarna är likformiga är svaret nära. Till höger ser vi topptriangeln vänd och inpassad i den den större. Antag att DE = x. Vi får som ger x = 3. Svar: 3 cm Svar 34. x 6 = 2 4 Uttrycket inuti absolutbeloppstecknet = 0 då x + 2 = 0, ger x = 2 Nu är det ännu enklare! Vi ser direkt att x = 2 är en rot. x < 2 (x+2) = 0 x = 2 x 2 x+2 = 0 x = 2 Ska man nu vara riktigt noga så är inte roten till den första ekvationen äkta eftersom x = 2 inte ligger i intervallet x < 2. Men den andra är äkta eftersom x = 2 ligger i intervallet x 2. Svar: x = 2 Svar 35. a+b c ( ) a+b 2c c = a b 2c ( ) a b = 2c 2c 2a+2b = a b c 0 a = 3b Håkan Strömberg 15 KTH STH
Svar 36. Vi startar med att bestämma AD = x tan37 = x 40 ger x = AD 30.142. Antag att CD = y. Med hjälp av Pythagoras får vi så som ger y 24.74 Svar: 25 cm 30.142 2 +y 2 = 39 2 Håkan Strömberg 16 KTH STH
KS övning 7 Problem 37. En rät linje, L 1, skär y-axeln då y = 3 och x-axeln då x = 2. En annan linje, L 2, skär x-axeln då x = 6. Var skär L 2 y-axeln om de två linjerna skär varandra under rät vinkel? Problem 38. Ett åkerfält har formen av en ABC, där AB = 108 m, AC = 144 m och BC = 180 m. Från en punkt D på AB, belägen 48 m från B, vill man tvärs över fältet sätta en gärdesgård DE parallell med BC. Hur lång blir gärdesgården? Problem 39. Volymen hos en pyramid med kvadratisk basyta är 6.4 m 3. Sidan i kvadraten är 2 m. En skalenlig modell har volymen 100 cm 3. Vilken längd har sidan i modellens kvadrat? Problem 40. Lös ekvationen x+2 +x = 6 Problem 41. För vilka värden på a har ekvationen två lika rötter? x 2 +ax+a = 0 Problem 42. Lös ekvationssystemet { 2(x+y) = 3(x y) 2x+y = 22 Håkan Strömberg 17 KTH STH
KS övning 7 Lösningar Svar 37. Först bestämmer vi k-värdet för L 1, som går genom de två punkterna (0,3) och (2,0) k 1 = 3 0 0 2 = 3 2 Det är nu känt att k-värdena för två linjer som skär varandra under rät vinkel har sambandet k 1 k 2 = 1. Detta betyder att k 2 = 2 3. Vi vet nu följande om L 2 Sätter vi in de kända punkten (6,0) får vi y = 2 3 x+m 0 = 2 3 6+m som ger m = 4, som också är y-koordinaten till skärningspunkten. Linjens ekvation är L 2 : y = 2 3 x 4 Svar: L 2 skär y-axeln i (0, 4) Svar 38. ED är en parallelltransversal. Topptriangelsatsen ger ger x = 100 Svar: 100 m x 180 = 60 108 Svar 39. Vi använder oss av följande fakta: Längdskalan i kubik är lika med volymskalan ( l1 ) 3 = v 1 Detta ger l 2 ( x ) 2 = 200 x 3 200 3 = v 2 100 6400000 100 6400000 x 3 = 100 2003 6400000 x = 3 100 200 3 6400000 x = 5 Svar: 5 cm Håkan Strömberg 18 KTH STH
Svar 40. Uttrycket inuti absolutbeloppstecknet = 0 då x+2 = 0, ger x = 2 Vi delar upp ekvationen i två ekvationer. En där x < 2 och en där x 2. Målet är nu ta bort absolutbeloppstecknet. För x i det intervall där absolutbeloppstecknet griper in och ändrar tecken, sätter man in ett minustecken framför uttrycket som stod innanför absolutbeloppstecknet. x < 2 (x+2)+x = 6 x 2+x = 6 2 = 6 x 2 x+2+x = 6 x+2+x = 6 2x = 4 x = 2 Nu måste vi kolla att roten x = 2 ligger i det intervall som vi studerar. x = 2 ligger i intervallet x 2. Den första ekvationen gav ingen lösning så Svar: x = 2 Svar 41. Vi löser ekvationen med avseende på x och betraktar a som en konstant. x 2 +ax+a = 0 x = a 2 ± (a 2) 2 a x = a 2 ± a 2 4a 4 För att ekvationen ska ge en dubbelrot måste uttrycket under rottecknet var = 0. Alltså med rötterna a 1 = 0 och a 2 = 4. Svar: a 1 = 0 och a 2 = 4 Svar 42. a 2 4a = 0 a(a 4) = 0 { 2x+2y = 3x 3y 2x+y = 22 { x = 5y 2x+y = 22 Den första ekvationen insatt i den andra ger 2(5y)+y = 22 med roten y = 2. För att få ut x sätter vi in y = 2 i ekvationen x = 5y som ger x = 10. Svar: x = 10 och y = 2 Håkan Strömberg 19 KTH STH
KS övning 8 Problem 43. En rektangel är inritad i ett koordinatsystem med sidorna parallella med axlarna. Två diametralt motstående hörn har koordinaterna ( 12,7) och ( 6, 15). Bestäm rektangelns area. Problem 44. En rät linje f(x) skär y-axeln för y = 4 och x-axeln för x = 3/2. En annan g(x) skär y-axeln i punkten y = 3. De två linjerna skär varandra under rät vinkel. Var skär g(x) x-axeln? Problem 45. Lös ekvationen Problem 46. Lös olikheten x+2 = 5 (x 2)(x 10) > 0 Problem 47. I en rätvinklig triangel, vars kateter är 6 cm och 8 cm, är en kvadrat inskriven med en sida utefter triangelns hypotenusa. Hur stor är kvadratens sida? Problem 48. Lös ekvationssystemet x+2y x 2y = 9 5x 4 5 y = 7 Håkan Strömberg 20 KTH STH
KS övning 8 Lösningar Svar 43. Höjden är 7 ( 15) = 22 och bredden är 6 ( 12) = 6, som ger arean A = 22 6 = 132 Svar: 132 a.e. Svar 44. De två funktionerna g(x) = k g x+m g och f(x) = k f x+m f måste bestämmas för att svaret ska kunna ges. Vi vet att f(0) = 4 och f(3/2) = 0 ur detta kan vi bestämma k f k f = 4 0 0 3 2 = 8 3 Vi vet redan att m f = 4 och kan nu skriva f(x) = 8 3 x + 4. Genom texten vet vi att k g = 3 8 eftersom k g k f = 1. Vi vet också att m g = 3 och kan skriva g(x) = 3 8 x 3. Då vi löser ekvationen g(x) = 0 får vi den efterfrågade roten. g(x) skär x-axeln i (8,0) Svar 45. 3 8 x 3 = 0 x = 8 Uttrycket inuti absolutbeloppstecknet = 0 då x+2 = 0, ger x = 2 Vi delar upp ekvationen i två ekvationer intervall x < 2 och x 2. När det inte finns något x utanför absolutbelopptecknet är uppgiften huvudräkning, men vi utför det enligt planen x < 2 (x+2) = 5 x 2 = 5 x = 7 x 2 x+2 = 5 x = 3 I den första ekvationen konstaterar vi att roten x = 7 ligger i det studerade intervallet. Även den andra roten ligger i intervallet. Alltså finns det två rötter. Svar: x = 7 och x = 3 Svar 46. Vi har inte använt oss av teckenstudium för lösandet av olikheter (kommer i senare kurser), därför ser vår lösning ut så här. Vi vet att (x 2)(x 10) = 0 har rötterna x 1 = 2 och x 2 = 10. Då har funktionen f(x) = (x 2)(x 10) x 2 12x + 20 dessa rötter som nollställen. Symmetrilinjen är x = 2+10 2 6 behöver man inte känna till här. Eftersom f(x) har ett minimum (koefficienten till x 2 är 1) är f(x) < 0 i intervallet 2 < x < 10. Det betyder att f(x) > 0 då x < 2 eller x > 10. Svar: x < 2 eller x > 10 Håkan Strömberg 21 KTH STH
Svar 47. Vi kan direkt bestämma att AC = 6 2 +8 2 = 10. Antag att kvadratens sida är x och att DC = y. Figuren innehåller fyra likformiga trianglar. Då GC = x 2 +y 2 är BG = 8 x 2 +y 2. Genom likformighet får vi följande ekvationssystem { x 6 = y 8 x 10 = 8 x 2 +y 2 8 som har de positiva rötterna x = 120 37 3.24 cm Svar: 120 37 Svar 48. x+2y x 2y = 9 5x 4 5 y = 7 { 20y 8x = 0 7y+5x = 39 och 160 37. { x+2y = 9(x 2y) 5x 4 = 7(5 y) { 5(20y 8x) = 5 0 8(7y+5x) = 8 39 156y = 312, y = 2 insatt i 100y 40x = 0 ger x = 5 Svar: x = 5 och y = 2 { x+2y = 9x 18y) 5x 4 = 35 7y) 100y 40x = 0 56y+40x = 312 156y = 312 Håkan Strömberg 22 KTH STH
KS övning 9 Problem 49. Förenkla ( ) np n p a Problem 50. Bestäm ekvationen för den linje som går genom skärningspunkten mellan L 1 och L 2 och som är parallell med L 3. L 1 : y = x 2 L 2 : y = 2x+3 L 3 : y = x+2 Problem 51. Bestäm a och b i ekvationssystemet { 4ax+3by = 25 4bx+3ay = 30 så att lösningen blir { x = 2 y = 1 Problem 52. En rät linje går genom origo och genom maxpunkten hos funktionen y = x 2 8x 12. Bestäm linjens ekvation. Problem 53. I den rätvinkliga ABC är hypotenusan AC 10 cm och kateten AB 8 cm. Normalen från hörnet B mot sidan AC träffar denna sida i punkten P. Normalen från P mot AB träffar denna sida i punkten Q. Bevisa först att PBQ är likformig med ABC. Beräkna därefter omkretsen av BPQ Problem 54. Bestäm fyrhörningens omkrets Håkan Strömberg 23 KTH STH
KS övning 9 Lösningar Svar 49. ( ) np ( n n p a a 1 p )np ( ( ) a 1 1) np ( n p p ap) 1 a Svar 50. Först bestämmer vi skärningspunkten mellan L 1 och L 2. { y = x 2 y = 2x+3 som ger x 2 = 2x+3 2 3 = 2x x x = 5 x = 5 insatt i L 1 ger y = 7. Vi har skärningspunkten ( 5, 7). Den sökta linjen har k-värdet 1, samma som L 3 :s k-värde. Återstår att med hjälp av punkten ( 5, 7) bestämma m i y = x + m. Vi får 7 = ( 5) + m ger m = 12. Svar: y = x 12 Svar 51. Vi sätter helt enkelt in x = 2 och y = 1 och får { 4a 2+3b 1 = 25 4b 2+3a 1 = 30 eller { 8a+3b = 25 3a+8b = 30 Multiplicera den första ekvationen med 3 och den andra med 8 så får vi { 3(8a+3b) = 3 25 8(3a+8b) = 8 30 vidare { 24a+9b = 75 24a 64b = 240 Leder till 55b = 165 ger b = 3. b insatt ger 24a+9 3 = 75 med lösningen a = 2 Svar: a = 2 och b = 3 Svar 52. Vi startar med att bestämma andragradsfunktionens nollställen 0 = x 2 8x 12 som har rötterna x 1 = 2 och x 2 = 6. Vi vet nu att funktionen har en maxpunkt där x-koordinaten är 2+( 6) 2 = 4. x = 4 insatt i funktionen ger y = ( 4) 2 8( 4) 12 = 16+32 12 = 4. Vi vet nu att maxpunkten ligger i ( 4,4). En punkt som linjen går igenom. Den sökta linjen har m = 0 eftersom den går genom origo och k-värde Svar: y = x k = 4 0 4 0 = 1 Håkan Strömberg 24 KTH STH
Svar 53. APQ = ACB. QPB och APQ är komplementvinklar. Även APQ och QAP är komplementvinklar. Alltså är QPB = QAP. QPB ABC eftersom de båda är rätvinkliga och har BAC gemensam. Antag att BC = x. Pythagoras sats ger x 2 +8 2 = 10 2, som i sin tur ger x = 6. Antag att QP = y och QB = z. Med likformighet får vi ekvationssystemet med lösningen y = 72 25 QPB har då omkretsen Svar: 11.52 cm 2 y 6 = 8 z 8 y 8 = z 6 96 och z = 25. Vi bestämmer så BP, som är hypotenusa i QPB. (72 25 ) 2 + ( ) 2 96 24 25 5 72 25 + 96 25 + 24 5 288 25 Svar 54. När man inser att ABD och BCD båda är rätvinkliga, att A = C = 90, blir det enkelt. AD+AB+BC+CD = 20 sin50 +20 cos50 +20 sin55 +20 cos55 56.031 Svar: 56 l.e. (längdenheter) Håkan Strömberg 25 KTH STH
KS övning 10 Problem 55. Bestäm talen b och c, så att grafen till funktionen går genom punkterna P 1 ( 1,6) och P 2 (2,3) y = x 2 +bx+c Problem 56. Förenkla Problem 57. x3 +3 x 3 3 x+ 3 x 4 Fyrhörningen ABCD är en rektangel. Beräkna sträckan EF Problem 58. Tillverkning av x liter öl per dag kostar y kr enligt följande formel y = 300+2x Hur många liter kan man producera under en dag för 570 kr? Problem 59. På var och en av triangelns tre sidor är placerad en halv cirkel. Bestäm hela figurens area. Problem 60. I figuren ser du fyra grafer A till D. Para ihop dem med följande funktioner 1 f(x) = x 2 +1 2 f(x) = x 2 1 3 f(x) = 1 x 2 4 f(x) = 1 x 2 Lös sedan ekvationerna f(x) = 0 för de fyra funktionerna. Hjälper dig rötterna att se vilken graf som hör ihop med vilken funktion? Håkan Strömberg 26 KTH STH
KS övning 10 Lösningar Svar 55. Sätter vi in de två punkterna i funktionen får vi följande ekvationssystem: { 6 = ( 1) 2 +b( 1)+c 3 = 2 2 +b 2+c eller { c b = 5 c+2b = 1 Vi subtraherar den första ekvationen från den andra och får (c+2b) (c b) = 1 5 c+2b c+b = 6 3b = 6 b = 2 b = 2 insatt i första ekvationen ger c ( 2) = 5 eller c = 3 Svar: Funktionen får följande utseende: y = x 2 2x+3 Svar 56. x3 +3 x 3 3 x+ 3 x 4 x x+3 x 3 3 x+x 3 x x(x+3) 3 x(3+x) 6 x Svar 57. Antag att BD = x. Med Pythagoras får vi då x 2 = 28 2 +45 2 som ger x = 53. BEC BCD. Antag att BE = y. Vi får y 28 = 28 53 som ger y 14.79. Eftersom BE = DF får vi EF = 53 2 BE 23.41 Svar: 23 cm Svar 58. Svar: 135 liter 570 = 300+2x 570 300 = 2x x = 135 Håkan Strömberg 27 KTH STH
Svar 59. Den korta katetens längd är 40 tan37 30.14 Hypotenusans längd är 40 cos37 50.09 Med hjälp av formel för arean hos halva cirkeln med diametern d får vi Svar: 2573 a.e. 40 2 π 8 + 30.142 π 8 A = πd2 8 + 50.092 π 8 + 30.14 40 2 2573 Svar 60. A 1, B 2, C 3 och D 4 Den som behärskar att plotta funktioner på miniräknaren kollar svaret på den! Håkan Strömberg 28 KTH STH