Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Överföringsfunktion Poler, nollställen, stabilitet Samband poler - respons i tidsplanet Slut- och begynnelsevärdesteoremen Frekvensbeskrivning Elektriska kretsar
Några egenskaper hos Laplacetransformen Superposition. L{a 1 y 1 (t)+a 2 y 2 (t)} = a 1 Y 1 (s)+a 2 Y 2 (s) Derivering. Det gäller att L{ dy dt } = sy(s) y(0). För högre ordningens derivator gäller att L{y (k) } = s k Y(s) s k 1 y(0) s k 2 y (1) (0)... y (k 1) (0) Vi kommer generellt att anta att u och y och alla dess derivator är noll vid t = 0 ( systemet i vila ).
Integration: t L{ y(τ)dτ} = 1 0 s Y(s) Faltning: L 1 {F(s)G(s)} = t 0 f(τ)g(t τ)dτ
Överföringsfunktionen G(s) d n y(t) dt n +a 1 d n 1 y(t) dt n 1 +... +a n y(t) d m u(t) = b 0 dt m +b d m 1 u(t) 1 dt m 1 +...+b m u(t) Laplacetransformering ger Y(s) = G(s)U(s) där G(s) = Y(s) U(s) = b 0s m +b 1 s m 1 +... +b m s n +a 1 s n 1 +...+a n Notera att om Y 1 (s) = G 1 (s)u(s) och Y 2 (s) = G 2 (s)y 1 (s) blir Y 2 (s) = G tot (s)u(s) där G tot (s) = G 1 (s)g 2 (s)
Impulssvar Antag insignalen är en Diracpuls u(t) = δ(t) vilket ger y(t) = t 0 g(τ)δ(t τ)dτ = g(t) dvs y(t) = L 1 {G(s)} = g(t)
Stegsvar Om insignalen u(t) är ett Heaviside-steg ( enhetssteg ) fås U(s) = 1 s vilket ger Y(s) = G(s) 1 s I tidsdomänen fås: y(t) = t 0 g(τ)dτ
Stegsvar för första ordn system Antag ẏ(t)+ay(t) = bu(t) Överföringsfunktionen ges av G(s) = Y(s) U(s) = b s+a. Laplacetransformen för ett enhetssteg (vid t = 0) är U(s) = 1 b s Utsignalen blir: Y(s) = s(s+a) vilket i tidsplanet plir (transform Nr 11) y(t) = b a (1 e at ) Stabilt om a > 0, snabbare ju större a är, slutvärde b/a (om a > 0)
Poler och nollställen Systemets poler ges av rötterna till den karakteristiska ekvationen: s n +a 1 s n 1 +...+a n = 0 Polernas lägen stor betydelse för systemets uppförande. Nollställena ges av rötterna till täljarpolynomet b 0 s m +b 1 s m 1 +... +b m = 0
Stabilitet Ett system är insignal-utsignalstabilt om alla poler har strikt negativ realdel. Ett system där alla poler har strikt negativ realdel är också asymptotiskt stabilt dvs y(t) 0 när t för alla begynnelsetillstånd när u = 0.
Ex 3.8 Systemet b Y(s) = s 2 +2s+b V(s) Låt b =1, 2, 4, 10 vilket motsvarar att systemets poler hamnar i s =-1, s =-1±i, s =-1± 3i respektive s =-1±3i..
1.4 1.2 1 0.8 y(t) b=10 0.6 b=4 0.4 b=2 0.2 b=1 0 0 5 10 15 t [s] Figure 1: Stegsvar för systemet på b. b s 2 +s+b för olika värden
Polernas inverkan på tidsresponsen Responsen på insignalen för ett stabilt system är snabbare ju längre från origo systemets poler ligger. Ett system med rent reella poler är inte oscillativt. Ett första ordningens system är därför aldrig oscillativt. Ju större polernas komplexa del är i förhållande till den reella delen, desto mer oscillativt beter sig systemet.
Några till samband Slutvärdesteoremet. Om gränsvärdet y( ) existerar gäller lim y(t) = lim sy(s) t s 0 Begynnelsevärdesteoremet. lim t 0 +y(t) = lim sy(s) s Fördröjningssatsen. Ett system med en ren tidsfördröjning på T d tidsenheter kan skrivas y(t) = u(t T d ). Då gäller att Y(s) = e st d U(s)
Statisk förstärkning Ett systems statiska förstärkning K anger hur mycket en konstant insignal förstärks av (ett stabilt) systemet då alla transienter avklingat. K = y( ) u 0 Slutvärdesteoremet ger y( ) = lim t y(t) = lim s 0 sy(s) = lim s 0 sg(s) u 0 s = G(0)u 0 och vi har K = y( ) u 0 = G(0)
Ex 3.10 - stegsvar som hoppar Låt G(s) = s+2 s+1 Användning av begynnelsevärdesteoremet för stegsvaret: lim t 0 +y(t) = lim s = lim s sy(s) = lim ss+2 s s+1 s+2 s+1 = 1 1 s = y(t) börjar alltså i 0, men hoppar omedelbart till 1 då t 0 +.
2.5 2 1.5 utsignal y(t) 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 t[s] Figure 2: Stegsvar för systemet.
Viktiga (spec i reglerteknik) transienta mått Stigtiden t r är den tid det tar för utsignalen att gå från 10% till 90% av slutvärdet. Insvängningstiden t 5% är den tid då utsignalen y(t) har svängt in innanför området 0.95y( ) < y(t) < 1.05y( ). Utsignalen måste alltså stanna inom detta område efter tiden t 5%. Tidskonstanten för ett system, T 63% är den tid då utsignalen y(t) nått 63% av slutvärdet. Maximal relativ översläng M definieras för positiva y som M = max t(y(t)) y( ) y( )
Frekvensegenskaper Då insignalen till ett linjärt stabilt system G(s) är en sinussignal u(t) = Asinωt, så blir även systemets utsignal (efter lång tid) en sinussignal enligt y(t) = A G(iω) sin(ωt + arg(g(iω))) Anmärkning: Sambandet ovan gäller även om G(s) har en pol i origo. Ex 3.11 viktigt!
Sinussvar för en tidsfördröjning Antag G(s) = e st och att insignalen är u(t) = sinωt. Utsignalen ges då av y(t) = G(iω) sin(ωt + arg(g(iω))) där och G(iω) = e iωt = 1 arg(g(iω)) = (e iωt ) = ωt En ren tidsfördröjning påverkar alltså inte utsignalens amplitud utan fasförskjuter den bara wt radianer i förhållande till insignalen.
Frekvensfunktionen för en integrator En integrator har överföringsfunktionen G(s) = 1 s vilket ger G(iω) = 1 iω G(iω) = 1 ω arg(g(iω)) = π/2 = ( 90 grader) Exempel på system: Låt y(t) vara vätskenivån i en tank med tvärsnittsarea A = 1 och u(t) nettoflödet till tanken. Då gäller att ẏ(t) = u(t) G(s) = 1 s! Notera också att spänningen över en integrator är proportionell mot integralen av strömmen.
Bodediagram I ett Bodediagram plottas beloppskurvan G(iω) och argumentet arg(g(iω)) som funktion av vinkelfrekvensen. Normalt är skalorna logaritmiska. Ofta anges beloppet i en decibelskala (db) där värdet i db ges av 20log 10 G(iω). Avsnitt 3.2.3 viktigt!
Laplacetransformering av elektriska kretsar Studerar passiva komponenter: resistorer, kondensatorer och induktorer (spolar). Ohms lag på komplex form: V(s) = Z(s)I(s) där V(s) är (laplacetransformen av) spänningen över komponenten I(s) är strömmen över komponenten och Z(s) är impedansen för komponenten.
Impedans för resistorn Laplacetransformering ger v(t) = Ri(t) (1) V(s) = RI(s) (2) Impedansen för en resistor är alltså Z R = R som är ett reellt tal. Detta betyder att ström och spänning är i fas. Repetera vid behov sambanden för serie- och parallellkoppling av motstånd.
Impedans för kondensatorn Sambandet mellan spänning, ström och kapacitans ges av (se exempel 2.4) v(t) = 1 C Laplacetransformering ger t 0 i(τ)dτ (3) V(s) = 1 I(s) (4) sc Impedansen för en kondensatorn är alltså Z C = 1 sc som är ett komplext tal. Samband mellan spänning och ström kan alltså beskrivas av överföringsfunktion G(s) = 1 sc
Impedans för spolen (induktorn) Sambandet mellan spänning, ström och induktans ges av (se äexempel 2.4) Laplacetransformering ger v(t) = L di(t) dt (5) V(s) = sl I(s) (6) Impedansen för induktorn är alltså Z L = sl som är ett komplext tal. Spolen kan alltså beskrivas med överföringsfunktion G(s) = sl.
Serie- och parallellkoppling Precis på samma sätt som för vanliga motstånd!! Ex: En seriekoppling av ett motstånd (impedans R), en induktans (impedans sl) och en kondensator (impedans 1 sc ), ger den totala impedansen Z s (s) = R+sL+ 1 sc Om spänningen över hela kretsen är V och strömmen I har vi alltså att V(s) = Z s (s)i(s).
Ex 2.4 igen I detta exempel antar vi att insignalen är spänningen över kretsen (v) och utsignalen är spänningen över impedansen Z 3 (v 3 ). + Z 1 Z 2 v Z 3 v 3 i Figure 3: Generalisering av Exempel 2.4.
Tre seriekopplade impedanser och Ohms lag ger V(s) = (Z 1 (s)+z 2 (s)+z 3 (s))i(s) vilket ger att utsignalen (spänningen över Z 3 ) kan skrivas V 3 (s) = Z 3 (s)i(s) = Z 3 (s) Z 1 (s)+z 2 (s)+z 3 (s) V(s) Kretsens överföringsfunktion (med de givna in- och utsignalerna) blir G(s) = V 3(s) V(s) = Z 3 (s) Z 1 (s)+z 2 (s)+z 3 (s) I exemplet 2.4 var Z 1 (s) = sl, Z 2 (s) = R, Z 3 (s) = 1 sc vilket ger 1 G(s) = LCs 2 +RCs+1
Dynamiska system med Energi och IT relevans För de studenter som planerar att gå energispåret: Läs (inget tentakrav i den här kursen...): Modellering av transmissionsledning Exempel på modellering av IT-system: Se Studentportalen: Filarea Bakgrundmaterial: IT och dynamiska system