SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET av Anders Olsson 07 - No 6 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 06 9 STOCKHOLM

Anders Olsson Självständigt arbete i matematik 5 högskolepoäng, grundnivå Handledare: Torbjörn Tambour 07

Abstract In this thesis we will look at historical calculations of the mathematical constant pi. The number has fascinated mankind through history and we begin with Archimedes approximations and then look at how François Viète and John Wallis did. Both Archimedes and Viète methods included polygons and circles while Wallis method reminds of modern work with integrals. I want to thank my mentor Torbjörn Tambour and my friend Jonas Hallin.

Sammanfattning Den här uppsatsen tar upp historiska beräkningar av den matematiska konstanten pi. Talet har fascinerat matematiker genom mänsklighetens historia och vi tar avstamp i Arkimedes uppskattningar för att sedan titta på hur François Viète och John Wallis gjorde. Både Arkimedes och Viètes metoder innefattade polygoner och cirklar medan Wallis påminner om dagens arbete med integraler. Jag vill tacka min handledare Torbjörn Tambour och min vän Jonas Hallin.

Innehållsförteckning Begrepp Inledning...3 3 Arkimedes beräkningar 4 3. Uppskattningar 4 3. Lemma 5 3.3 Bevis för lemma 5 3.4 Beräkning med hjälp av lemma..6 3.5 Beräkning med hjälp av trigonometri..9 3.5 Lemma. 3.6 Bevis för lemma. 3.7 Beräkning med hjälp av lemma...3 3.8 Alternativa beräkningar med hjälp av polygoner...... 5 3.9 Med hjälp av Excel. 8 4 Viètes formel.9 4. Beräkning av Viètes formel.9 4. Bevis.3 4. Härledning med hjälp av trigonometri 4 5 Wallis produkt.7 5. Härledning.7 6 Referenser...33

Begrepp AOC = vinkeln AOC CA = längden av sträckan CA Hexagon = sexhörning Dodekagon = tolvhörning Polygoner = månghörningar En korda är en rät linje som sammanbinder två punkter på en cirkelbåge. En bisektris delar en vinkel i två lika delar. En inskriven månghörning är en månghörning som precis får plats inuti en cirkel. En omskriven månghörning är en månghörning som precis innesluter en cirkel.

Inledning Historik Pi, betecknat efter den 6:e bokstaven i det grekiska alfabetet, är en matematisk konstant som brukar definieras som förhållandet mellan en cirkels diameter och dess omkrets. är ett av de mest studerade talen i matematik och är både irrationellt och transcendent, vilket innebär att talet inte kan skrivas som ett bråktal eller att det inte kan vara en rot i en algebraisk ekvation. :s decimaler fortsätter i all oändlighet och i skrivande stund känner människan till 3,3 biljoner av dessa. Mycket tyder på att är normalt, även om det fortfarande saknas matematiska bevis för detta. [] [3] Att ett tal är normalt innebär att talets decimaler inte visar någon regelbundenhet utan fortsätter att vara slumpmässiga för evigt. Långt före den moderna tideräkningen var människor intresserade av cirkelns kvadratur, ett gammalt geometriskt problem som innebär att med passare och linjal konstruera en kvadrat med samma area som en cirkel. Square the circle har blivit ett uttryck för att försöka sig på det omöjliga. Tidiga uppskattningar På lertavlor med matematiska formler som härrör från babyloniska riket (000-539 f.kr), står förklarat att man kan räkna ut en cirkels omkrets genom att ta diametern gånger tre. På samma sätt beskrivs sambandet mellan en cirkels omkrets och diametern i hebreiska bibeln från omkring 950 före Kristus. I dessa äldre texter avrundas värdet av helt enkelt till 3, fast inte allt för komplicerade mätningar skulle visa att det inte stämmer. Kanske nöjde sig dessa tidiga civilisationer med ett ungefärligt uttryck, kanske var det en gammal biblisk uppgift som inte fick ifrågasättas. När det kommer till beräkningen av arean av en cirkel så hade egypterna beräkningar som genererade ett bättre värde för. I Rhindpapyrusens problem nummer 50, står hur beräkning av en cirkels area med diametern 9 ska gå till. Först ska en /9 av diametern tas bort, för att multipliceras med sig själv. Med modern matematik skulle detta skrivas: A = (d d 9 ). En jämförelse med formeln A = ( ) 4 d visar att egypterna utförde en approximation av som 56 8 med en felmarginal på mindre än en procent. [] = 3.6049 alltså 3

Arkimedes Arkimedes uppskattningar De första kända beräkningarna av värdet av gjordes av den grekiske matematikern Arkimedes (87 f.kr f.kr). Han var en begåvad mångsysslare, Arkimedes var inte bara matematiker utan även fysiker, astronom, uppfinnare och filosof. Han var redan berömd för beräkningar av volymer och areor och för att ha formulerat hävstångsprincipen. Han var också en uppskattad uppfinnare av slungor och andra anordningar som kunde användas i krig av armén. Arkimedes förstod att han kunde beräkna närmevärden till om han lyckas beräkna en cirkels omkrets och han redogjorde för denna metod i Kuklou metrēsis (grekisk titel, på svenska Mätning av en cirkel. ). Genom att räkna ut omkretsen på månghörningar, polygoner, kunde Arkimedes stänga in värdet för i ett mindre och mindre intervall. [] [4] Arkimedes metod. En cirkel innesluten av sex- och tolvhörningar. Arkimedes formulerade två lemman på vilka han byggde sina uträkningar. Första lemmat var för att räkna ut omkretsen på månghörningarna som stängde in cirkeln och det andra lemmat för de månghörningar som fick plats inuti cirkeln. Hädanefter kallar vi månghörningarna som stänger in cirkeln för omskrivna polygoner och de som får plats inuti cirkeln för inskrivna polygoner. Det första lemmat använder Arkimedes upprepade gånger för att utveckla en rekursiv algoritm så att han kan bestämma den efterfrågade sidlängden på olika polygoner. Han använder värdet från sexhörningen för att räkna ut tolvhörningen, värdet från tolvhörningen för 4-hörningen o.s.v. 4

Arkimedes lemma. Antag att sträckan AO är radien i en cirkel och att sträckan CA är en tangent till cirkeln i punkten A. Låt sträckan DO halvera vinkeln AOC och skära tangenten i punkten D. Då är och DA OA = CA CO + OA DO = OA + DA. Arkimedes bestämmer också i lemmat att COA är en tredjedel av en rät vinkel, alltså 30. Detta innebär att OCA måste vara 60 eftersom triangeln är rätvinklig. Då är sträckan CA halva sidan av regelbunden sexhörning eftersom medelpunktsvinkeln i en sexhörning är 60. Varje gång COA halveras så skapas en halv sida på en dubblerad månghörning. Alltså, CA är halva sidan på en sexhörning, DA är halva sidan på en tolvhörning o.s.v. [] Härledning av lemma. Vi ska visa att DA OA = CA CO + OA. För att bevisa detta använder vi oss av bisektrissatsen. Den säger att DA CD = OA CO. Genom att multiplicera båda led med CD och CO får vi DA CO = OA CD. 5

Vi vet att CD = CA DA, således är DA CO = OA (CA DA). Vi multiplicerar in OA i högerledet DA CO = OA CA OA DA och flyttar över OA DA till vänsterledet DA CO + OA DA = OA CA. Bryter vi ut DA i västerledet får vi DA (CO + OA) = OA CA. Vi dividerar båda sidor med (CO + OA) och dividerar båda led med OA Härledningen är klar. DA = OA CA CO + OA DA OA = CA CO + OA. DO = OA + DA i lemma är Pythagoras sats. Beräkning av polygoners omkretsar med hjälp av Lemma. Arkimedes använde lemma ett och utvecklade det till en formel. Vi betraktar regelbundna omskrivna 3 i -hörningar. Sträckan OA är radien, r. Vi kallar sträckan CA för t i och vi låter u i vara längden av en linje som går från mitten av cirkeln till polygonens högsta punkt. Således är t halva sidan av en 6-hörning, t är halva sidan av en -höring o.s.v. 6

Lemma säger att DA OA = CA CO + OA vilket alltså kan skrivas som t i+ r = t i u i + r vi multiplicerar båda sidor med r och får t i+ = rt i u i + r. På samma sätt kan DO = OA + DA skrivas om. Längden av DO är u i+ eftersom vinkeln AOC är dubbla vinkeln AOD. Vi har nu som kan skrivas u i+ = r + t i+ u i+ = r + t i+. Vi testar med att räkna ut en 6-hörnings ytter- och inneromkrets till en cirkel med radien. Eftersom en sexhörning består av sex stycken liksidiga trianglar så vet vi att sträckan CA är halva sidan CO. CO räknas ut med Pythagoras sats. Vi kallar CO för x och får då Detta blir ( ) + ( x ) = x 4 + x 4 = x x x 4 = 4 3x 4 = 4 x = 3 x = 3 7

Nu vet vi att CO = 3 och att CA = 3. Vi sätter i = och får då CA = t och CO = u. Hädanefter kommer inte alla beräkningar redovisas steg för steg av utrymmesskäl. Vi får att t i+ = rt i u i + r t 3 = 3 + = 3 = 3. Detta är längden av halva sidan på en omskriven -hörning så omkretsen blir således Nu räknar vi ut värdet av u. Vi har att vilket blir ( 3 ) 4 = 4 3 = 3,53 u = ( ) u = r + t + ( 3 ) = 3. Detta värde behöver vi för att räkna ut 4-hörningens omkrets. Vi sätter i = och får då CA = t och CO = u. Omkretsen av den omskrivna 4-hörningen blir 3 t 3 = rt u + r = t ( ) 3 3 = 3 + = + 4 3 Nu har vi värdet för t 3 och vi kan då räkna ut u 3. 3 ( ) 48 = 3,596 + 4 3 u 3 = r + t 3 = 4 + ( 3 ). + 4 3 Nu kan vi räkna ut omkretsen för 48-hörningen, i = 3. t 4 = rt 3 u 3 + r = t 4 = ( 3 + 4 3 ) 4 + ( 3 + 4 3 ) + = 3 + 4 3 + 4 4 3 + 3 8

Detta är längden av halva sidan av den omskrivna 48-hörningen så omkretsen blir 3 96 = 3,46086 + 4 3 + 4 4 3 + 3 Nu har vi värdet för t 4 och vi kan då räkna ut u 4. u 4 = r + t 4 = 4 + ( 3 + 4 3 + 4 4 3 + 3 ). Slutligen så bestämmer vi arean på den omskrivna 96-hörningen och sätter i = 4. Vi multiplicerar uttrycket med 9 för att få omkretsen på den omskrivna 96-hörningen. 3 t 5 = rt 4 u 4 + r t 5 = 4 + ( + 4 3 + 4 4 3 + 3 ) 3 ( + 4 3 + 4 4 3 + 3 ) + 9 = 3,474 Beräkning av omskrivna polygoner med hjälp av trigonometri Ett alternativt sätt att göra Arkimedes beräkningar är med hjälp av trigonometri. Han bestämmer i lemma att AOC är 30 och att AOD är 5. Vi sätter cirkelns radie till. 9

Vi känner till värdena cos 30 = 3 och sin 30 =. Nu kan längden på CA bestämmas genom att först bestämma längden på CO cos v = närliggande katet hypotenusa cos 30 = / CO 3 = / CO CO = 3 sin v = motstående katet hypotenusa sin 30 = CA / 3 = CA / 3 CA = 3 Eftersom sträckan CA utgör halva sidan av en sexhörning måste resultatet multipliceras med = 3 = 3,464 3 Detta är således omkretsen för en sexhörning som innesluter en cirkel med diametern och samma värde som vi fick med Arkimedes formel. Nu är sträckorna CA och CO kända. Eftersom COA är 5 så är sträckan DA halva sidan av en regelbunden tolvhörning. Vi har Vi räknar på samma sätt cos 5 = + 3 och sin 5 = 3 cos 5 = DO + 3 = DO DO = + 3 DA sin 5 = / + 3 3 DA = / + 3 DA = 3 Nu vet vi längden på halva sidan och således är omkretsen för hela tolvhörningen ( 3 ) 4 = 3,539 På detta sätt kan vi fortsätta att beräkna omkretsen för en 4-, 48- och 96-hörning som innesluter cirkeln. 0

Lemma. Figur. Låt AB vara diametern av en cirkel och ACB en rätvinklig triangel som får plats i den övre halvan av cirkeln. Låt sträckan AD halvera vinkeln CAB och möta cirkeln i punkten D. Dra en linje mellan D och B. Då är AB /BD = + (AB + AC) /BC och AD = AB BD. [] Bevis för lemma. Vi vill visa att Till att börja med kan vi konstatera att enligt Pythagoras sats. Vi ersätter AB och får Förenklar vänsterledet vidare Roten ur båda led ger AB (AB + AC) = + BD BC AD + BD BD AB = AD + BD (AB + AC) = + BC. AD (AB + AC) + = + BD BC AD (AB + AC) = BD BC. AD BD = AB BC + AC BC.

För att bevisa detta så övergår vi till härledning med hjälp av trigonometri. Vi ser i figur att Vi kallar AD BD = cot(u). DAB = u vilket gör att CAB = u. Vi ser också att BC AB = sin(u) AB BC = sin(u) och att AC BC = cot(u). Uttrycket kan nu skrivas som cot(u) = AD BD = AB BC + AC BC sin(u) + cot(u). Vi byter ut cot(u) mot cos(u) vilket ger sin(u) Kan skrivas som Vi använder de trigonometriska sambanden cos(u) sin(u) = sin(u) + cos(u) sin(u) cos(u) sin(u) = + cos(u) sin(u) cos(u) = cos (u) och sin(u) = sin(u) cos(u) Vilket leder till cos(u) sin(u) = + cos (u) sin(u) cos(u) cos(u) sin(u) = cos (u) sin(u) cos(u) cos(u) sin(u) = cos (u) sin(u) cos(u) Bryter ut cos(u) ur högerledet cos(u) sin(u) = cos(u) sin(u). Härledningen är klar.

Beräkning av polygoners omkretsar med hjälp av Lemma. Arkimedes använde lemma för att räkna omkretsen av de inskrivna månghörningarna. AB är diametern på cirkeln och AD är en bisektris till CAB. Då är BC sidan i en inskriven n-hörning och BD sidan i en inskriven n-hörning. Bevis Arkimedes lemma samt periferivinkelsatsen. Figur & 3. Vi använder oss av periferivinkelsatsen som säger att medelpunktvinkeln är dubbelt så stor som periferivinkeln. Se figur 3. I figur så är BAC periferivinkel på kordan BC och BAD periferivinkel till BD. Medelpunktsvinklarna till BC och BD är BOC respektive BOD. Eftersom AD är bisektris till BAC så gäller BOD = BAD = BAC = BOC. Om BC är sidan i en regelbunden inskriven n-hörning, så innebär det att BD är sidan i en regelbunden inskriven n-hörning. Vi sätter radien till och börjar med att låta BC vara sidan i en sexhörning, så sträckan BC har längden. AB är (radien är ) och AB är således 4. AC räknas ut med Pythagoras sats, + AC = AC = 3 Insättning i Arkimedes formel ger AB (AB + AC) = + BD BC 4 BD = + ( + 3) 4 BD = 8 + 4 3 3

BD = 4 8 + 4 3 = + 3 BD = 3 BD = 3 3 = 6,657 vilket således är omkretsen på en inskriven -hörning i en cirkel med diametern. Vi delar med och får 3 6 = 3,058854 Nu visste Arkimedes omkretsen på en inskriven dodekagon och kunde fortsätta med en 4-hörning, då är BC sidan på en tolvhörning och BD sidan på en 4-hörning. Som vi precis räknade ut så är sidan i en tolvhörning 3, så alltså är BC = 3. AB = 4 eftersom radien fortfarande är. Återstår att räkna ut AC, som enligt Pytagoras sats blir ( 3) + AC = 3 + AC = 4 AC = + 3 Insättning i Arkimedes formel ger AB (AB + AC) = + BD BC 4 BD = + ( + + 3) ( 3) vilket blir BD = 3 + + 3 Multiplicerar med (inte med 4 eftersom diametern är ) och får 3 = 3,3686 + + 3 4

Genom att göra polygoner med fler och fler hörn så kom Arkimedes närmare och närmare ett approximativt värde för cirkelns omkrets och på så sätt för. Han utförde denna beräkning med, 4, 48 och 96-hörnade polygoner och kom fram till att värdet för måste ligga någonstans mellan 3 0 och 3. Ett allmänt förekommande värde för var senare, alltså 3, det tycks som att 7 7 7 7 Arkimedes övre begränsning för av misstag togs som det uträknade värdet. Tanken att räkna ut med hjälp av månghörningar var inte ursprungligen Arkimedes idé, tidigare kända grekiska tänkare som Antiphon och Bryson från Heraclea hade föreslagit en sådan uträkning men inte gjort den så utförligt som Arkimedes. Forskare tror att boken var början på ett större matematiskt arbete som är förlorat, där Arkimedes dubblade en tiohörning sex gånger och kommit så nära som 3,46. [] Alternativa sätt att räkna ut omkretsen på en sex- och tolvhörning. Med hjälp av Pythagoras sats och bisektrissatsen kan omkretsen också räknas ut för en hexagon och dodekagon. Vi börjar med att rita en cirkel med diametern. Inuti denna cirkel ritar vi en sexhörning, hexagon, vars hörn precis sitter ihop med cirkeln. Hexagonen kan delas in i sex lika stora liksidiga trianglar som således har samma längd på sidorna som cirkelns radie, alltså. På detta sätt får vi att sexhörningens omkrets är 3, eftersom en liksidig triangel har lika långa sidor och 6 = 3. Nästa sexhörning stänger in cirkeln. Cirkelns radie går nu rakt genom trianglarna istället för att vara dess sida. Nu skapas en rätvinklig triangel vars hypotenusa (x) går att räkna ut med Pytagoras sats. ( ) + ( x ) = x x =. Eftersom x även är hexagonens sidländ så blir omkretsen: 3 6 = 3 = 3,464 3 På detta sätt ser vi att cirkelns omkrets tillika värdet på - är något värde mellan dessa två omkretsar. 3 < < 3,464 5

Tolvhörningen har tolv stycken streck som utgår från mittpunkten av cirkeln, som ekrarna på ett cykelhjul. Vi vet att alla dessa streck har längden ½. För att räkna ut omkretsen så får vi föreställa oss varje sida av tolvhörningen som hypotenusan på en triangel som bildas mellan tolvhörningen och sexhörningens sida. Detta kan räknas ut som: x + ( 4 ) = ( ) x = 3 4 Nu kan hypotenusan på den lilla triangeln som bildas mellan sexhörningen och tolvhörningens sidor räknas ut som: Alltså är tolvhörningens omkrets: ( 3 4 ) + ( 4 ) = y y = 3 3 = 6 3 = 3,058 Yttersidans omkrets blir lite mer komplicerad att räkna ut. 6

Vi vet sen tidigare att sidan på sexhörningen är och att radien på cirkeln alltid är. Således är halva 3 sexhörningens sida. När den övre liksidiga triangeln delas mitt itu av radien uppstår samma 3 vinklar i de båda rätvinkliga trianglarna som bildas. Nu kan vi använda oss av bisektrissatsen som säger att förhållandet mellan sträckorna AB AC = BD CD. Således kan x räknas ut som 3 3 x = x x = ( + 3). Nu har vi räknat ut halva sträckan av -hörningens sida så värdet måste multipliceras med 4 4 = 3,539 ( + 3) Nu vet vi omkretsarna för båda tolvhörningarna och kan således att: 3,05 < < 3,5 Figur 4. 7

Med hjälp av Excel Anledningen till att vi gick igenom dessa alternativa sätt att räkna ut omkretsen på månghörningarna är för att visa hur Pytagoras sats kan implementeras i Excel. Med hjälp av detta program kan omkretsen för en inskriven månghörning räknas ut betydligt snabbare. [5] Vi utgår från exemplet där tolvhörningens omkrets räknas ut och fortsätter att räkna ut hypotenusan för varje ny triangel som bildas längs cirkelns kant när en n-hörning läggs på en n-hörning. Se figur 4. A är hypotenusan, tillika månghörningens sida, B är närliggande katet och C är motstående katet. Antal sidor A B C Månghörningens omkrets 6 0,5 0,433070 0,5 3 0,588905 0,5000000 0,06698730 3,058854305 4 0,30569 0,94095 0,0703709 3,3686384 48 0,0654033 0,065630 0,0047757 3,393500304687 96 0,037908 0,037056 0,0007054 3,4039508905 9 0,063673 0,0635954 0,000677 3,445478546 384 0,00884 0,0088087 0,00006693 3,4557607986 768 0,00409060 0,00409057 0,0000673 3,458389483 536 0,000453 0,0004530 0,0000048 3,4590463805 3 07 0,00065 0,00065 0,0000005 3,459059997 6 44 0,000533 0,000533 0,0000006 3,45956696 88 0,0005566 0,0005566 0,00000007 3,4596936538 4 576 0,000783 0,000783 0,0000000 3,45964503369 49 5 0,0000639 0,0000639 0,00000000 3,4596545077 98 304 0,0000396 0,0000396 0,00000000 3,45965305504 96 608 0,0000598 0,0000598 0,00000000 3,4596534560 393 6 0,00000799 0,00000799 0,00000000 3,45965355637 786 43 0,00000399 0,00000399 0,00000000 3,4596535844 57 864 0,0000000 0,0000000 0,00000000 3,45965358770 3 45 78 0,0000000 0,0000000 0,00000000 3,4596535897 6 9 456 0,00000050 0,00000050 0,00000000 3,45965358966 58 9 0,0000005 0,0000005 0,00000000 3,45965358976 5 65 84 0,000000 0,000000 0,00000000 3,45965358979000000 =3,4596535897933846 Excel klarar inte av att räkna längre än till en 5 65 84-hörning, och då har vi bara kommit fram till 4 korrekta decimaler. Att räkna ut med hjälp av månghörningars omkretsar var ett bra och användbart sätt tidigare i mänsklighetens historia. Idag är det dock oerhört ineffektivt jämfört med moderna beräkningar, med tanke på att det krävs mer än 5 miljoner hörn på en månghörning för 4 decimaler och att vi idag känner till 3,3 biljoner sådana. Hur många hörn det skulle krävas på en månghörning för att komma fram till dessa 3,3 biljoner decimaler låter vi vara osagt. 8

Viètes formel François Viète (540 603) var en fransk matematiker som 593 publicerade ett nytt sätt att räkna ut i sin bok Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII. Viète var en erkänd matematiker som brukar kallas för den moderna algebrans skapare. Viète var den första som beskrev som en oändlig produkt. Formeln såg ut så här: = + + + Viète utgick precis som Arkimedes från månghörningar inuti en cirkel. Men Viète försökte inte stänga in cirkeln utan räknade bara med månghörningar som får plats inuti den. Med hjälp av denna formel lyckades Viète beräkna 9 korrekta decimaler av, men vid denna tidpunkt (44) så hade den persiske matematikern Jamshīd al-kāshī lyckats komma fram till hela 6 decimaler. [6] Beräkning av Viètes formel Viète kom fram till att produkten i högerledet närmade sig genom att studera inskrivna polygoners omkretsar. Vi låter cirkelns radie vara. Vi kallar omkretsen av den inskrivna månghörningen för O(n), där n betyder antalet hörn. Viète studerade produkten Kan förkortas som O() O(4) O(4) O(8) O(8) O(6) O(6) O(3) O(n ) O( n ). O() O( n ) där O() är en tvåhörning, alltså en diameter genomlöpt gånger. Så vi får O() = 4 och O( n ) då n. Precis som exemplet med Excel-arket så kommer den inskrivna månghörningen närma sig då antalet hörn går mot oändligheten. Alltså, när n så måste O(n) gå mot cirkelns omkrets som i det här fallet är eftersom diametern är. Produkten går således mot 4 = då n. Vi beräknar första kvoten i formeln, omkretsen av en tvåhörning dividerat på en fyrhörning inuti en cirkel med radien. En tvåhörning har som sagt omkretsen 4 och en kvadrat har omkretsen 4, eftersom kvadraten kan delas in i fyra stycken rätvinkliga trianglar med hypotenusan och tillika sidan. Se figur 4. Vi får således 9

O() O(4) = 4 4 = =. Viètes formel. François Viète utgick precis som Arkimedes från polygoner inuti en cirkel. Figur 5 & 6. Vi fortsätter att beräkna en kvadrats omkrets delat på en åttahörning. En Octagon kan delas in i åtta stycken likbenta trianglar som har två sidor med längden, och en toppvinkel på 45. Dessa kan i sin tur delas i två, vi får då en rätvinklig triangel med hypotenusan och vinkeln,5. Se figur 5. Nu kan vi räkna ut längden på sidan med hjälp av trigonometri. Vi vet att formeln för halva vinkeln säger att Alltså är sin(.5 ) sin ( v ) = cos(v) och cos ( v ) = + cos(v). Eftersom sin(v) = sin ( 45 ) = cos(45 ) = motstående katet hypotenusan =. så blir längden på halva sidan av åttahörningen sin.5 = x x = omkretsen på en åttahörning blir således 6 = 8. Nu vet vi att andra kvoten är 0

O(4) O(8) = 4 8 = +. Således får vi Viètes formel om vi fortsätter med en åttahörnings omkrets delat på en 6-hörning o.s.v. Vi ska nu undersöka vad som händer om vi istället dividerar månghörningars areor med varandra, som vi kallar för A(n), där n är antalet hörn. Vi har att Som går mot A(4) A(8) A(8) A(6) A(6) A(3) A(n ) A( n ) = A(4) A( n ) då n Första termen, är arean av en kvadrat delat på arean av en åttahörning, octagon. Om radien är blir kvadratens, A(4), area =. Eftersom kvadraten kan delas in i två lika stora trianglar som har basen och höjden. Arean för en triangel skrivs Såldes är trianglarnas area och b h = A(4) =. En octagon, A(8), kan delas in i åtta stycken likbenta trianglar som har två sidor med längden och toppvinkel på 45. Se figur 6. Dessa kan i sin tur delas i två, vi får då en rätvinklig triangel med hypotenusan och vinkeln,5. Nu kan vi räkna ut längden på basen och höjden med trigonometri. sin ( 45 ) = cos(45 ) = Höjden blir cos ( 45 ) = + cos(45 ) = + Basen blir Arean för triangeln blir sin.5 = h h =. cos.5 = b b = +

+ = 8 Nu vet vi arean för triangeln som utgör en sextondel av A(8). Alltså är arean A(8) = 8 6 = Således är kvadratens area delat på åttahörningens A(4) A(8) = = Den andra termen +, är förhållandet mellan en åttahörning, A(8), och en 6-hörning, hexadecagon, A(6). Åttahörningens area vet vi redan och 6-hörningen kan räknas ut på samma sätt. Hexadecagonen kan delas in i 3 likbenta trianglar med två sidor som har längden och toppvinkel på.5. Dessa kan delas i två, då uppstår en rätvinklig triangel med hypotenusan och en vinkel på.5. Vi vet sin.5 och cos.5 och kan således räkna ut.5 med formeln för halva vinkeln. sin (.5 ) = cos(.5 ) = ( + ) = + Höjden blir cos (.5 ) = + cos(.5 ) = + ( + ) = + + sin.5 = h h = + Basen blir cos.5 = b b = + + Arean för triangeln blir ( + + ) ( + ) = 6

Triangeln utgör en 3-del av 6-hörningen, således är arean A(6) = 6 3 = Alltså är åttahörningens area delat på 6-hörningens A(8) A(6) = = + Formeln fortsätter sedan med 6-hörningen delat på 3-hörningen o.s.v. Hur kan det komma sig att formeln både beskriver sambandet mellan polygoners areor och omkretsar? Bevis Vi låter som tidigare A(n) och O(n) vara arean respektive omkretsen på en regelbunden n-hörning med radien. Att radien är innebär att avståndet mellan medelpunkten (M) och hörnen är. Medelpunktsvinkeln AMB och längden på sträckan AB är då så omkretsen på n-hörningen blir AMB = n AB = sin n O(n) = n sin n. 3

Areasatsen ger att arean av triangeln AMB är så sin n = sin n A(n) = n sin n. Om vi använder att sin α = sin α cos α så får vi att O(n) n sin(/n) = O(n) 4n sin(/4n) = sin(/n) sin(/4n) = n sin(/4n) cos(/4n) sin(/4n) = cos 4n. På samma sätt får vi A(n) = cos A(n) n. Vi får nu att O( k ) O( k+ ) = A(k+ ) A( k+ ). Utskrivet är nu detta O() O(4) = A(4) A(8), O(4) O(8) = A(8) A(6), O(8) O(6) = A(6) A(3) o.s.v. och vi ser att O() O(4) O(4) O(8) O(8) O(6) O( k ) O( k+ ) = A(4) A(8) A(8) A(6) A(6) A(3) A(k+ ) A( k+ ). Härledning med hjälp av trigonometri Viètes formel kan skrivas som = cos 4 cos 8 cos 6 = + Bevis för detta. Formeln för halva vinkel säger att + + sin x = cos x sin x. 4

Här kan sin x kan skrivas som sin x = 4 cos (x 4 ) sin (x 4 ). Därför är sin x = cos x cos (x 4 ) 4 sin (x 4 ). Här kan 4 sin ( x ) skrivas som 4 4 sin ( x 4 ) = 8 cos (x 8 ) sin (x 8 ). Därav följer att sin x är sin x = cos x cos x 4 cos x 8 8 sin x 8 och så vidare. Följaktligen kan sin x skrivas som en produkt sinx/x blir då: n x sin x = ( cos k) n sin x n k= sinx x n x = ( cos k) x k= n sin x n Vi undersöker gränsvärdet för n x sin x n när n Således blir lim x n n sin x sin x = lim n x n n x = [variabelbyte = t] = lim n n t 0 sin t lim = då n går t 0 t 0 t sin t t = sinx x x x = ( cos k) = ( cos k). k= k= Nu sätter vi x =. Eftersom sin ( ) =, så är vänsterledet Vi får sin = =. 5

n = ( cos k= k ) Högerledets första faktor blir cos ( x /), den andra blir cos (x /4) o.s.v. Alltså är Värdet av cos 4 är = cos 4 cos 8 cos 6 cos 3 cos 4 = ( + cos ) = och cos kan också beräknas med formeln för halva vinkeln 8 Alltså är så cos 8 = ( + cos 4 ) = ( + ) = + cos 4 cos 8 = + och cos 4 cos 8 cos 6 cos 3 = + + + + + + = cos 4 cos 8 cos 6 cos 3 = + + + + + + 6

Wallis produkt John Wallis, (66 703) presenterade i sin bok Arithmetica infinitorum, som publicerades 656, en formel för att beskriva värdet för : skrivs även som = 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 9 = 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 9 något som kallas för Wallis produkt. Han arbetade som professor på universitetet i Oxford i över 50 år ändå till sin död. Wallis beskrev, precis som Viète, som en oändlig produkt men han var den första som beskrev som en produkt av rationella operationer. [] Wallis produkt är ett bra sätt för att approximera ganska enkelt. Den är dock, precis som Arkimedes månghörningar, tämligen värdelös för att beräkna många decimaler. Wallis produkt kan också skrivas som Eftersom och så är Härledning. = 4n 4n n= = 4n 4n. n= = (n) (n) = (n) (n )(n + ) = 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 9 = 3 4 3 5 6 5 7 8 7 9 = 4n 4n. n= Integralen kan beskrivas med formeln I n = sin n xdx 0 I n = n n I n. Bevis. Vi skriver om integralen med hjälp av summaregeln och kedjeregeln I n = sin n xdx = sin x sin n x dx 0 0 7

= [ cos x sin n x] 0 ( cos x) (n ) sin n x cos x dx 0 = 0 + (n ) cos x sin n x dx. 0 Använder trigonometriska ettan som säger att cos x = sin x, och får således multiplicerar in sin n x (n ) cos x sin n x dx = (n ) ( sin x) sin n x dx 0 0 Nu använder vi oss av summaregeln igen och får Vi vet att Alltså kan uttrycket skrivas om som Vi har nu = (n ) (sin n x sin n x) dx 0 = (n ) sin n x dx (n ) sin n x dx. 0 0 I n = sin n xdx. 0 = (n )I n (n )I n. I n = (n )I n (n )I n som kan skrivas (n )I n + I n = (n )I n multiplicerar in I n I n n I n + I n = (n )I n Således har vi I n n = (n )I n vilket blir Nu beräknar vi integralen för n = 0,. I n = n n I n. I n = sin n xdx = I 0 = 0 0 sin 0 xdx = [x] 0 = 8

I = Nu kan vi beräkna n =, 3, 4 i uttrycket 0 sin xdx = [ cosx] 0 = 0 ( ) = I n = n n I n. I = I = = 4 I 3 = 3 3 I 3 = 3 = 3 I 4 = 4 4 I 4 = 3 4 4 = 3 6 Vi kan notera att i jämnt index ingår pi och ojämna index ingår det inte. Vi ska nu bevisa att I n kan skrivas som och I n+ kan skrivas som Eftersom så är och Således blir Fortsätter vi får vi I n = n n n 3 n 5 6 3 4 I n+ = n n + n n 6 7 4 5 3. I n = n n I n I n = n n I n I n = n n I n 4. I n = n n I n = n n n n I n 4. I n = n n I n = n n n 3 n n 5 n 4 n 7 n 6 n 9 n 8 och så vidare. Detta kan skrivas som och I n = (n ) (n 3)... n (n )... I 0 9

I n+ = (n) (n )... (n + ) (n )... I. Vi minns att I 0 = och I =, så uttrycken kan skrivas som och Där och kallas för semifakuliteter. I n+ = Alltså kan I n och I n+ skrivas som I n = (n )!! (n)!! (n) (n )... (n + ) (n ).... (n)!! = n (n )... (n + )!! = (n + ) (n )... och I n = n n n 3 n 5 6 3 4 I n+ = (n) (n )... (n + ) (n ).... Vi skriver om som och = n n n n 3 6 5 4 3 I n = n n + n n 6 7 4 5 3 I n+. Sammanför vi båda uttrycken får vi = n n n n 3 6 5 4 3 I n n n + n n 6 7 4 5 3. I n+ Fortsätter förenkla = n n n n 3 = n (n ) n n + n n 6 5 4 3 6 7 4 5 3 I n (n ) n 3 (6 4 ) (7 5 3) n n + I n I n+ I n+ 30

Vilket blir = ( 4 6 n 3 5 7 (n ) ) n + I n I n+ Nu räcker det att visa att lim = I n+ n I n Vi vet att för alla x (0, /) så är eftersom sin n x > sin n x > sin n+ x sin x > sin x > sin 3 x då x (0, /). Således leder en integration från 0 till / att vilket leder till att / / / sin n x dx sin n x dx sin n+ x dx 0 0 0 I n I n I n+. Vi delar alla led med I n+ och får att I n I n. I n+ I n+ Eftersom så blir och I n = n n I n I n+ = n + n + I n n I n+ = n + I n = n I n I n n +. Alltså är I n = n + I n+ n Vi undersöker gränsvärdet n + n ( + lim = lim n ) n n n n() + = lim n n = lim n = 3

Således är I n n + lim = lim = I n+ n n n Nu kan vi konstatera att lim =. I n+ n I n Alltså är lim ( 4 6 n n 3 5 7 (n ) ) n + I n I n+ samma sak som Vi får som blir lim ( 4 6 n n 3 5 7 (n ) ) n + = lim n ( = ( 4 6 n 3 5 7 (n ) ) = lim n ( 4 6 n 3 5 7 (n ) ) n + n + I n I n+ 4 6 n 3 5 7 (n ) ) n + vilket är ekvivalent med Wallis produkt. 3

Referenser [] Katz, Victor J. (998): A History of Mathematics, An Introduction, nd edition, Addison- Wesley Educational Publishers, Inc. [] Bailey, David H. & Borwein, Jonathan M. (06): Pi: The Next Generation, Springer International Publishing Switzerland [3] https://en.wikipedia.org/wiki/pi [4] https://en.wikipedia.org/wiki/archimedes [5] MathWithoutBorders. (0): Finding Pi by Archimedes Method https://www.youtube.com/watch?v=_rjdkhlwzvq [6] https://en.wikipedia.org/wiki/vi%c3%a8te%7s_formula 33