1. Entropin för ett system i ett jämviktstillstånd, karakteriserat av t.ex. tillståndsvariablerna T och V, kan enligt termodynamiken definieras som

Transkript

1 CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA OCH GÖTEBORGS UNIVERSITET Teoretisk fysik och mekanik Göran Niklasson Tentamen i Termodynamik och statistisk fysik för F3 (FTF140) Tid och plats: Onsdagen den 18 december 2002 kl i V-huset. Examinatorer: Mikael Fogelström (tel ), Göran Niklasson (tel , ). Hjälpmedel för uppgifterna 1 6: Inga. Hjälpmedel för uppgifterna 7 10: Physics Handbook, BETA, Termodynamiska tabeller (utdelade), formelblad med Allmänna relationer för enkomponentsystem och Kanonisk fördelning (utdelat), egenhändigt skriven A4-sida med valfritt innehåll (inga kopior eller maskinskrift) samt valfri räknedosa i fickformat. Bedömning: Uppgifterna 1 6 ger högst 2 poäng vardera och uppgifterna 7 10 högst 10 poäng vardera. Poäng från inlämningsuppgifter och duggor adderas till tentamenspoängen enligt utdelad formel. För godkänt krävs 30 poäng. Lösningar: Anslås på entrédörren till trapphuset omedelbart efter skrivningens slut. Rättningsprotokoll: Anslås i entréhallen Fysik senast fredagen den 10 januari. Rättningsgranskning: Måndagen den 20 januari kl i rum 6115 i Origohusets norra flygel. 1. Entropin för ett system i ett jämviktstillstånd, karakteriserat av t.ex. tillståndsvariablerna T och V, kan enligt termodynamiken definieras som S( T, V ) (, ) ( T, V ) = S T0 V0 + ( T, V ) 0 0 δ Q T där δq representerar tillförd värme och där S(T 0,V 0 ) är entropin i ett godtyckligt valt referenstillstånd. Det förutsätts dock att integralen från tillståndet (T 0,V 0 ) till tillståndet (T,V) beräknas över en reversibel process. Detta kan synas vara en allvarlig begränsning, eftersom alla verkliga processer är mer eller mindre irreversibla. I själva verket innebär det ingen begränsning alls. Förklara! 2. I termodynamiken har man anledning att introducera olika termodynamiska potentialer. Ur det faktum att dessa är tillståndsfunktioner följer ett antal exakta samband som kallas Maxwell-relationer. En av de termodynamiska potentialerna är Gibbs fria energi G. Den beror av tillståndsvariablerna T, p och N enligt formeln dg = SdT + Vdp + µ dn Vilken Maxwell-relation följer ur detta? 3. Gör en principskiss som visar kretsloppet i ett vanligt kylskåp! Markera med pilar var värme avges eller tas upp, och ange särskilt vilken fysikalisk process som ger upphov till temperatursänkningen!

2 4. Betrakta ett system bestående av två identiska partiklar med tre tillgängliga energinivåer: ε n = nε, n = 0,1, 2. Den lägsta energinivån är tvåfalt degenererad, de andra är icke-degenererade. Systemet är i jämvikt vid en temperatur T. Bestäm partitionsfunktionen Z och medelenergin E samt numrera (visualisera) alla möjliga konfigurationer för vart och ett av nedanstående fall: (a) Partiklarna är fermioner, (b) Partiklarna är bosoner. 5. Under vilka förhållanden kan ett system av icke växelverkande fermioner respektive bosoner beskrivas med Boltzmann-statistik? 6. Gör en uppskattning av specifika värmet vid låga temperaturer för (a) en fermigas, (b) en bosegas. (c) Vad är det som i dessa båda fall avgör om temperaturen kan anses vara låg? 7. En soldriven motor kan konstrueras genom att man använder en solfångare som värmekälla och den omgivande marken som kylare. Intensiteten hos den solstrålning som träffar Solfångare jordytan är ungefär 1,0 kw/m 2, men det är inte möjligt att utnyttja hela den effekten eftersom solfångarens yta med nödvändighet återutsänder en del av strålningen i enlighet Motor med Stefan-Boltzmanns lag. Ytan får alltså inte vara alltför het, för då förlorar man en stor del av strålningseffekten. Den får å andra sidan inte heller vara alltför kall, för då blir värmemotorns verkningsgrad alltför dålig. (a) Vid vilken temperatur återutsänds all inkommande trålning? (b) Bestäm den optimala temperaturen för ytan utgående från villkoret att motorns uteffekt skall vara så stor som möjligt! Det får antas att motorn har samma verkningsgrad som en carnotmaskin. Marktemperaturen antages vara 10 C. Anm: Deluppgift b leder till en ekvation som inte kan lösas analytiskt. Någon mycket precist siffervärde efterfrågas inte, utan det räcker med en enkel numerisk uppskattning. w ut 8. Stjärnor bildas genom att interstellära gasmoln dras samman av gravitationen. Låt oss för enkelhets skull anta att ett sådant moln har formen av en sfär med radien R och enbart består av fria väteatomer, vardera med massan m. En termodynamisk modell för molnets kollaps kan konstrueras genom att man utgår från Helmholtz fria energi för en ideal gas och tillfogar en självenergi F G som representerar den potentiella energin för gravitationskrafterna. Om molnets densitet antages konstant kan självenergin beräknas enligt formeln 2 3 GM FG = 5 R där M är molnets sammanlagda massa och G är gravitationskonstanten. (a) Finn molnets tillståndsekvation, d.v.s. trycket p som funktion av temperaturen T och radien R! (b) Ett stabilitetsvillkor för gasen är att kompressibiliteten skall vara positiv (jämför van der Waals tillståndsekvation, där teckenbyte hos isotermernas lutning signalerar en

3 fasomvandling till vätska). Använd detta för att härleda ett villkor som T och V måste uppfylla för att molnet skall vara stabilt. (c) Antag att modellen är tillämplig på solen, som har massan 2, kg och radien 7, m. Hur hög måste temperaturen vara för att solen skall vara stabil? Anm: Modellen förutsätter att såväl temperatur som densitet är desamma i hela molnet. Det stämmer naturligtvis inte för solen, och den består inte heller enbart av väteatomer, men modellen ger ändå en hyfsad bild av verkligheten. 9. Ett material bestående av N stycken fria partiklar befinner sig i svagt yttre magnetfält med flödestätheten B. Varje partikel har ett magnetiskt moment vars komponent längs fältet kan skrivas som mµ, där µ är en konstant och där heltalet m kan anta värdena J, -J+1,.., J-1, J. Materialet befinner sig vid temperaturen T. (a) Bestäm materialets partitionsfunktion Z. (b) Beräkna medelmagnetiseringen M. (c) Hur ser uttrycket för M ut vid höga temperaturer? 10. Ett gummibands elasticitet kan beskrivas genom att betrakta det som en endimensionell polymer bestående av N molekyler, vardera med längd d och hoplänkade ända vid ända. Vinkeln mellan två angränsande molekyler kan antingen vara 0 eller 180. När gummibandet är obelastat kan båda vinklarna antas ha samma sannolikhet. (a) Gummibandets längd kan i denna modell skrivas som L = 2md, där m är ett positivt heltal. Visa att antalet konfigurationer som polymermolekylerna kan anta är. (, ) g N m 2 N! = N N + m! m! 2 2 Redogör tydligt för hur du resonerar dig fram till detta resultat! (b) Om N >> 1 och m << N kan uttrycket ovan förenklas till 2 (, ) (,0) exp ( 2 / ) g N m g N m N Vad är då entropin för gummibandet som funktion av längden L? (c) Hur stor kraft F krävs för att hålla gummibandet sträckt till längden L, om N >> 1 och m << N? (d) Hur ser sambandet mellan kraft och längd ut om endast villkoret N >> 1 är uppfyllt?

4 Entropin för ett system i ett jämviktstillstånd, karakteriserat av t.ex. tillståndsvariablerna T och V, kan enligt termodynamiken definieras som S( T, V ) (, ) ( T, V ) = S T0 V0 + ( T, V ) 0 0 δ Q T där δq representerar tillförd värme och där S(T 0,V 0 ) är entropin i ett godtyckligt valt referenstillstånd. Det förutsätts dock att integralen från tillståndet (T 0,V 0 ) till tillståndet (T,V) beräknas över en reversibel process. Detta kan synas vara en allvarlig begränsning, eftersom alla verkliga processer är mer eller mindre irreversibla. I själva verket innebär det ingen begränsning alls. Förklara! Svar Termodynamikens andra huvudsats säger oss att entropin är en tillståndsfunktion, d.v.s. entropiändringen vid en process från ett jämviktstillstånd till ett annat beror inte av hur processen går till. Man kan därför alltid välja att beräkna ändringen via en reversible process och vara säker på att resultatet är detsamma som man skulle få i vilken annan process som helst, reversibel eller ej. [Tentamen i Termodynamik och statistisk fysik för F ]

5 I termodynamiken har man anledning att introducera olika termodynamiska potentialer. Ur det faktum att dessa är tillståndsfunktioner följer ett antal exakta samband som kallas Maxwell-relationer. (a) En av de termodynamiska potentialerna är Gibbs fria energi G. Den beror av tillståndsvariablerna T, p och N enligt formeln dg = SdT + Vdp + µ dn Vilken Maxwell-relation följer ur detta? (b) Antag att en forskare berättar för dig att han på experimentell väg upptäckt ett ämne som bryter mot denna relation. Vad skulle du tänka? Motivera dit svar så tydligt som möjligt! Lösning (a) Gibbs fria energi G kan betraktas som en funktion av de oberoende tillståndsvariablerna T, p och N. Ur matematikens flervariabelanalys följer att de blandade andra ordningens partialderivatorna är symmetriska i den meningen att t. ex. 2 2 G G = T p p T vilket leder till Maxwellrelationen S V = p T T, N p, N På samma sätt finner man också att och S µ = N T T, p p, N V µ = N p T, p T, N som också är Maxwellrelationer, fast mindre ofta använda. (b) Att Gibbs fria energi är en tillståndsekvation följer ur termodynamikens första och andra huvudsatser. Om man finner ett ämne som inte följer Maxwell-relationerna ovan så innebär det att Gibbs fria energi inte är en tillståndsekvation, vilket i sin tur innebär att minst en av huvudsatserna är falsk. Konsekvensen av detta är att man med användning av det ämne forskaren upptäckt skulle kunna bygga en evighetsmaskin av första eller andra slaget. Det finns anledning att vara mycket, mycket skeptisk till detta.. [Tentamen i Termodynamik och statistisk fysik för F , variant]

6 Gör en principskiss som visar kretsloppet i ett vanligt kylskåp! Markera med pilar var värme avges eller tas upp, och ange särskilt vilken fysikalisk process som ger upphov till temperatursänkningen! Lösning Se figuren på sidan 19 i Göran Wahnströms Sammanfattning av delar av kursen Termodynamik och statistisk fysik för F3. Den fysikaliska process som åstadkommer temperatursänkningen är Joule-Kelvinprocessen (även kallad Joule-Thomson-processen), som innebär att det cirkulerande mediet pressas genom en strypventil. [Tentamen i Termodynamik och statistisk fysik för F ]

7 Betrakta ett system bestående av två identiska partiklar med tre tillgängliga energinivåer: ε n = nε, n = 0,1, 2. Den lägsta energinivån är tvåfalt degenererad, de andra är icke-degenererade. Systemet är i jämvikt vid en temperatur T. Bestäm partitionsfunktionen Z och medelenergin E samt numrera (visualisera) alla möjliga konfigurationer för vart och ett av nedanstående fall: (a) Partiklarna är fermioner, (b) Partiklarna är bosoner Lösning Vi gör först en omnumrering och betecknar de fyra tillgängliga enpartikeltillstånden (orbitalerna) med index r = 1,2,3,4. Energierna är alltså ε 1 = ε 2 =0 ε 3 = ε ε 4 = 2ε (a) Fermioner lyder Paulis uteslutningsprincip. Vi får följande 6 möjligheter, där siffrorna 0 eller 1 anger om respektive tillstånd är besatt eller inte: Orbital nr Total energi ε ε ε ε ε Tillståndssumman blir / 2 / 3 / ( ) 1 2 ε 2 ε = ε Z T e e e och medelenergin blir ( ) E T kt kt kt 2εe + 2 2εe + 3ε e 2e + 4e + 3e = = 1+ 2e + 2e + e 1+ 2e + 2e + e ε / kt 2 ε / kt 3 ε / kt ε / kt 2 ε / kt 3 ε / kt ε / kt 2 ε / kt 3 ε / kt ε / kt 2 ε / kt 3 ε / kt (b) Bosoner kan i motsats till fermioner sitta fler än en i varje orbital. Vi får följande 10 möjligheter: Orbital nr Total energi ε ε ε ε ε ε ε

8 ε Tillståndssumman blir / 2 / 3 / 4 / ( ) 3 2 ε 3 ε ε = ε Z T e e e e och medelenergin blir ( ) E T kt kt kt kt 2εe + 3 2εe + 3ε e + 4εe 2e + 6e + 3e + 4e = = 3 + 2e + 3e + e + e 3 + 2e + 3e + e + e ε / kt 2 ε / kt 3 ε / kt 4 ε / kt ε / kt 2 ε / kt 3 ε / kt 4 ε / kt ε / kt 2 ε / kt 3 ε / kt 4 ε / kt ε / kt 2 ε / kt 3 ε / kt 4 ε / kt ε [Tentamen i Termodynamik och statistisk fysik för F ]

9 Under vilka förhållanden kan ett system av icke växelverkande fermioner respektive bosoner beskrivas med Boltzmannstatistik? [Tentamen i Termodynamik och statistisk fysik för F ]

10 Gör en uppskattning av specifika värmet vid låga temperaturer för (a) en fermigas, (b) en bosegas. (c) Vad är det som i dessa båda fall avgör om temperaturen kan anses vara låg? [Tentamen i Termodynamik och statistisk fysik för F ]

11 En soldriven motor kan konstrueras genom att man använder en solfångare som värmekälla och den omgivande marken som kylare. Intensiteten hos den solstrålning som träffar jordytan är ungefär 1,0 kw/m 2, men det är inte möjligt att utnyttja hela den effekten eftersom solfångarens yta med nödvändighet återutsänder en del av strålningen i enlighet med Stefan-Boltzmanns lag. Ytan får alltså inte vara alltför het, för då förlorar man en stor del av strålningseffekten. Den får å andra sidan inte heller vara alltför kall, för då blir värmemotorns verkningsgrad alltför dålig. Motor Solfångare (a) Vid vilken temperatur återutsänds all inkommande trålning? (b) Bestäm den optimala temperaturen för ytan utgående från villkoret att motorns uteffekt skall vara så stor som möjligt! Det får antas att motorn har samma verkningsgrad som en carnotmaskin. Marktemperaturen antages vara 10 C. Anm: Deluppgift b leder till en ekvation som inte kan lösas analytiskt. Någon mycket precist siffervärde efterfrågas inte, utan det räcker med en enkel numerisk uppskattning. w ut Lösning Beteckna solfångarens temperatur med T och den inkommande strålningsintensiteten med q 0. Den värmeeffekt per ytenhet som solfångaren kan vidarebefordra till motorn blir då q = q σt 0 4 där σ är Stefan-Boltzmanns konstant. Siffervärden: q 0 = 1000 W/m 2, σ = 5, W/m 2 K 4. (a) Den tillförda nettoeffekten blir noll om T q 4 0 = = 364 K = 91 C σ (b) Om motorn har samma verkningsgrad som en carnotmaskin blir det per ytenhet och tidsenhet uträttade arbetet 4 T0 wut = ( q0 σt ) 1 T där T 0 = 283 K är marktemperaturen. Vi söker T så att w ut blir maximal. Alltså bildar vi derivatan av w ut m.a.p. T och sätter den lika med noll: dwut 3 T0 4 T0 3 2 q0t0 = 4σ T 1 + ( q0 σt ) = 4σ T + 3σ T T = 0 2 dt T T T Efter omformning ger detta ekvationen 5 3T 0 4 q0t0 T T = 0 4 4σ Numerisk lösning ger T = 325 K = 52 C. Svar: (a) 91 C, (b) 52 C [Tentamen i Termodynamik och statistisk fysik för F ]

12 Stjärnor bildas genom att interstellära gasmoln dras samman av gravitationen. Låt oss för enkelhets skull anta att ett sådant moln har formen av en sfär med radien R och enbart består av fria väteatomer, vardera med massan m. En termodynamisk modell för molnets kollaps kan konstrueras genom att man utgår från Helmholtz fria energi för en ideal gas och tillfogar en självenergi F G som representerar den potentiella energin för gravitationskrafterna. Om molnets densitet antages konstant kan självenergin beräknas enligt formeln 2 3 GM FG = 5 R där M är molnets sammanlagda massa och G är gravitationskonstanten. (a) Finn molnets tillståndsekvation, d.v.s. trycket p som funktion av temperaturen T och radien R! (b) Ett stabilitetsvillkor för gasen är att kompressibiliteten skall vara positiv (jämför van der Waals tillståndsekvation, där teckenbyte hos isotermernas lutning signalerar en fasomvandling till vätska). Använd detta för att härleda ett villkor som T och V måste uppfylla för att molnet skall vara stabilt. (c) Antag att modellen är tillämplig på solen, som har massan 2, kg och radien 7, m. Hur hög måste temperaturen vara för att solen skall vara stabil? Anm: Modellen förutsätter att såväl temperatur som densitet är desamma i hela molnet. Det stämmer naturligtvis inte för solen, och den består inte heller enbart av väteatomer, men modellen ger ändå en hyfsad bild av verkligheten. Lösning (a) Helmholtz fria energi för gasen är 2 3GM π F ( T, V ) = F0 ( T, V ) = F0 ( T, V ) GN m 5R 5 3V där F 0 (T,V) är fria energin för en ideal gas och där vi i sista ledet använt relationen mellan volym och radie för en sfär, V = 4πR 3 /3: Vi kan nu bestämma trycket ur partialderivatan av F med avseende på V. Eftersom vi vet att derivering av F 0 (T,V) leder till ideala gaslagen finner vi att T, N 1/3 1/ /3 2 F NkT 14π GN m MkT 14π GM p = = = V V 5 3 V mv 5 3 V 4/3 4/3 där vi i sista ledet använt att partikelantalet N är bestämt av den totala massan M och molekylmassan m genom sambandet N = M/m. (b) Vi är intresserade av lutningen hos isotermerna i ett p-v-diagram och bildar därför partialderivatan av p med avseende på V: 1/3 2 2 p NkT 4 4π GN m = + 2 7/3 V V 15 3 V T Denna partialderivata måste vara negativ (volymen skall minska när trycket ökar), annars är systemet instabilt. Stabilitetsvillkoret blir alltså att 1/3 4 4π kt > 15 3 GMm 1/3 V vilket med användning av sambandet mellan V och R kan omformas till 4 GMm T > 15 kr

13 (c) Siffervärden: k = 1, J/K, G = 6, N m 2 /kg 2, m = 1, kg (väteatomens massa), M = 2, kg (solens massa), R = m (solens radie). Insättning av dessa värden ger villkoret T > 6, K. 1/3 2 MkT 14π GM 4π Svar: (a) p = där V = R 4/3 mv 5 3 V 3 4 GMm (b) T > (c) T > 6, K 15 kr 3 Anmärkning 1: Ovanstående är inte hela sanningen. Instabiliteter och kollapser är komplicerade fenomen. Ett annat villkor får man ur det så kallade virialteoremet, som för ett system av gravitationellt växelverkande partiklar i jämvikt säger att U = 2K där U är medelvärdet av den potentiella energin och K är medelvärdet av den kinetiska energin (som i detta fall är 3kT/2). Härur kan man härleda villkoret 3 GMm T > 15 kr vilket visades av Jeans någon gång i början av 1900-talet. Vi noterar att det i huvudsak är samma villkor som vi fick fram utgående från tillståndsekvationen, men att det skiljer sig med en faktor ¾. Anmärkning 2: En eventuell kollaps sker inte vid konstant temperatur utan adiabatiskt. Man bör alltså egentligen studera hur trycket beror av volymen vid en adiabatisk process, d.v.s. en process där entropin är konstant. Man finner då att 1/3 2 p Mk T MkT 4 4π GM = + V mv V mv 15 3 V S S 2 7 /3 där de två sista termerna erhålles på samma sätt som tidigare. Entropin för gasmolnet är densamma som för en ideal gas, eftersom entropin bestäms av partialderivatan av F med avseende på T. Vid en adiabatisk process gäller därför att TV γ-1 = konstant, där γ = 5/3. Härur finner man att vilket leder till T 2T = V 3V S 1/3 2 p 5MkT 4 4π GM = + V 3mV 15 3 V S 2 7/3 Villkoret att denna partialderivata skall vara negativ leder till att 4 GMm T > 25 kr Detta gäller för en gas av väteatomer. Om vi i stället antar att gasen består av vätemolekyler med massan m gäller att γ = 7/5. Då leder samma resonemang till villkoret 4 GMm T > 21 kr Det är förbryllande att man får olika villkor utgående från den isotermiska respektive adiabatiska kompressibiliteten. Allmän teori visar att dessa bara skiljer sig från varandra med en faktor g, så deras nollställen borde sammanfalla. [Tentamen i Termodynamik och statistisk fysik för F ]

14 Ett material bestående av N stycken fria partiklar befinner sig i svagt yttre magnetfält med flödestätheten B. Varje partikel har ett magnetiskt moment vars komponent längs fältet kan skrivas som mµ, där µ är en konstant och där heltalet m kan anta värdena J, -J+1,.., J-1, J. Materialet befinner sig vid temperaturen T. (a) Bestäm materialets partitionsfunktion Z. (b) Beräkna medelmagnetiseringen M. (c) Hur ser uttrycket för M ut vid höga temperaturer? [Tentamen i Termodynamik och statistisk fysik för F ]

15 Ett gummibands elasticitet kan beskrivas genom att betrakta det som en endimensionell polymer bestående av N molekyler, vardera med längd d och hoplänkade ända vid ända. Vinkeln mellan två angränsande molekyler kan antingen vara 0 eller 180. När gummibandet är obelastat kan båda vinklarna antas ha samma sannolikhet. (a) Gummibandets längd kan i denna modell skrivas som L = 2md, där m är ett positivt heltal. Visa att antalet konfigurationer som polymermolekylerna kan anta är. (, ) g N m 2 N! = N N + m! m! 2 2 Redogör tydligt för hur du resonerar dig fram till detta resultat! (b) Om N >> 1 och m << N kan uttrycket ovan förenklas till 2 (, ) (,0) exp ( 2 / ) g N m g N m N Vad är då entropin för gummibandet som funktion av längden L? (c) Hur stor kraft F krävs för att hålla gummibandet sträckt till längden L, om N >> 1 och m << N? (d) Hur ser sambandet mellan kraft och längd ut om endast villkoret N >> 1 är uppfyllt? [Tentamen i Termodynamik och statistisk fysik för F ]

16 En vattenkyld värmemotor är försedd med ett reglersystem, som håller kylvattnet vid den konstanta temperaturen 70 C. För att systemet skall fungera får den värmeeffekt som motorn avger till kylvattnet inte överstiga 25 kw. Vilken är den högsta arbetseffekt som motorn kan tänkas leverera, om dess drivmedel avger värme vid temperaturen 950 C?

17 Som motor i en höghastighetsborr används en liten turbin, som drivs av komprimerad luft. Borren kräver effekten 746 W (en hästkraft). Luften kommer in i turbinen med trycket 500 kpa och temperaturen 30 C. När luften lämnar turbinen har dess tryck sjunkit till 180 kpa. Processen i turbinen kan anses reversibel och adiabatisk. Luftslangen till turbinen har diametern 1 cm. Beräkna luftens hastighet i slangen under antagandet att dess kinetiska energi är försumbar i jämförelse med andra för problemet relevanta energier! Kontrollera sedan att antagandet var rimligt!

18 Glödtråden i en 60-watts lampa har temperaturen 2460 K. Trådens yta har absorptionsfaktorn 0,35. Beräkna glödtrådens area!

19 Vid konstruktion av gaskompressorer måste man undvika att temperaturen hos den komprimerade gasen blir högre än vad konstruktionsmaterialen tål. Man bygger därför ofta flerstegskompressorer, där gasen får passera en kylare mellan varje steg. Principen illustreras i nedanstående figur, som visar en tvåstegskompressor med tillhörande T-Sdiagram. Trycken p 1 på ingångssidan och p 4 på utgångssidan är givna. Kylningen sker vid ett konstant tryck p 2 = p 3. Hur skall detta mellantryck väljas för att det tillförda arbetet W 12 +W 34 skall bli minimalt?

20 En varmluftsballong har volymen 1000 m 3 när den fyllts med luft vid trycket 100 kpa. Luften tas från omgivningen, där temperaturen vid det aktuella tillfället är 16 C, och uppvärms av en gaslåga samtidigt som den pumpas in i ballongen. Trycket inuti ballongen är hela tiden praktiskt taget detsamma som i omgivningen. Vilken temperatur måste luften i ballongen ha för att den fyllda ballongen skall kunna lyfta en last på 100 kg, och hur stor värmetillförsel krävs för att luften skall få denna temperatur? Luften får behandlas som en ideal gas med molekylvikten 28,8. [Tentamen , uppgift 3] (7.3.06)

21 Frysfacket i ett kylskåp har täckts av ett frostlager, som är 1 cm tjockt och vars area är 0,5 m 2. Frostlagret är poröst, och dess densitet är därför bara 30 % av densiteten för kompakt is. En snabb (men inte rekommendabel) metod att avfrosta kylfacket är att helt enkelt hälla på hett vatten. Hur många liter vatten med temperaturen 50 C skulle behövas för att nätt och jämnt smälta frostlagret, så att slutresultatet är vatten med temperaturen 0 C? Det får antagas att man på något fiffigt sätt undviker alla värmeförluster till omgivningen.

22 En carnotmotor för vatten opererar mellan trycken 20 MPa och 0,2 Mpa. Vid det högre trycket omvandlas vattnet från mättad vätska till mättad ånga. Beräkna entropiändringen vid detta högre tryck och använd resultatet för att beräkna hur mycket värme som avges till lågtemperaturreservoaren. [Kau-Fui Vincent Wong: Thermodynamics for Engineers, CRC Press, 2000; Problem 4.16]

23 Två olika försäljare offererar varsin ångturbin med en uteffekt på 3000 kw. Enligt bådas broschyrer gäller att ångan på ingångssidan har trycket 600 kpa och temperaturen 300 C, och att trycket på utgångssidan är14 kpa. Den enda skillnaden är att den ena turbinen ha ångflödet 3,5 kg/s medan den andra har 4,5 kg/s. Skulle du kunna tänka dig att föra fortsatta förhandlingar med någon av försäljarna och i så fall vilken av dem? Motivera! [Kau-Fui Vincent Wong: Thermodynamics for Engineers, CRC Press, 2000; Problem 5.16]

24 Hur stor volym upptar en mol av gasen uranhexafluorid (UF6) vid STP, d.v.s. vid temperaturen 0 C och trycket 101 kpa? Källa: Göran Grimvall, tentamen för F1 vid KTH Svar: 22,4 l

25 Ange hur värmekapaciteten för en degenererad fermigas beror av temperaturen (bortsett från numeriska faktorer som 2π och liknande).

26 I aluminium finns tre ledningselektroner per atom. Densiteten för aluminium är 2, kg/m 3.

27 Tillståndstätheten f(ε) för fria icke-relativistiska partiklar är proportionell mot ε. Använd detta för att visa att medelenergin per partikel för en fullständigt degenererad fermigas är 3/5 av fermienergin!

28 Vid statistiska beräkningar på system av fria partiklar ersätter man ofta summor över orbitaler (enpartikeltillstånd) med integraler över energin enligt formeln i i F( ε ) = F( ε) f ( ε) dε där F(ε) är någon storhet som beror av energin och där f(ε) är tillståndstätheten. Detta kan man göra därför att (välj det mest korrekta alternativet) (a) alla tillstånd är lika sannolika. (b) F(ε) kan anses kontinuerlig. (c) antalet partiklar är mycket stort (t.ex. av storleksordningen ). (d) alla korrektioner kan bakas in i f(ε). (e) systemets volym är makroskopisk (t. ex. av storleksordningen cm 3 ) (f) man studerar den klassiska gränsen. (g) man endast är intresserad av medelvärden. (h) man försummar växelverkan mellan partiklarna.

29 En behållare innehåller n mol natriumånga vid temperaturen T. Varje natriumatom har ett magnetiskt moment µ B som härrör från den ensamma valenselektronen i det yttersta skalet. Man applicerar ett magnetfält som har flödestätheten B 1 i den ena halvan av behållaren och flödestätheten B 2 i den andra halvan. När jämvikt inträtt skjuter man in en vägg mellan de två halvorna. Därefter tar man ut natriumångan ur vardera halvan och väger den. Man finner då en liten viktsskillnad. Beräkna denna under antagandet att natriumångan kan behandlas som en ideal gas! Siffervärden: n = 2 mol, T = 77 K, µ B = 9, J/T, B 1 = 0 T, B 2 = 5 T. [Tentamen F ]

30 Antag att man i en approximativ teoretisk beräkning finner att Helmholtz fria energi för ett visst ämne har formen F(T,V,N) = -NkTln[T 3/2 (V-Nb)d/N] an 2 /V Bestäm tillståndsekvationen och värmekapaciteterna C p och C v.

31 (a) Hur stor andel av molekylerna i vätgas (H2) vid trycket 1 atm och temperaturen 300 K har tillräckligt stora hastigheter för att övervinna jordens dragningskraft. (b) Antag nu att en H 2 -molekyl i övre atmosfären har en hastighet som motsvarar flykthastigheten. Antag vidare att det fortfarande finns kvar 100 km atmosfär ovanför och att atmosfären är isotermisk och homogen med en medeltäthet på 2, molekyler/m 3. Uppskatta med enkla argument vad medeltiden är för att en molekyl försvinner ur jordens atmosfär. Antag att alla kollisioner är elastiska och att atmosfärens höjd är liten jämfört med jordens radie. (Siffervärden: jordens massa = kg, jordens radie = 6, km).

32 Till Mikael: Formuleringen båda vinklarna antages ha samma sannolikhet gäller bara om gummibandet är obelastat. Jag ändrade H till B, eftersom energin för en magnetisk dipol är -m B.