Laboratoriet för värmeteknik/mats Nikus och Matias Waller. Tentamen i MATEMATISK MODELLERING den 12 december 2001

Transkript

1 Laboratoriet för värmeteknik/mats Nikus och Matias Waller Tentamen i MATEMATISK MODELLERING den december 00 HJÄLPMEDEL: Alla hjälpmedel (utom telekommunikationsutrustng) tillåts KOLLOKIUM: Hålls i processtekniska semarierummet (Axelia, vång III, rum 9) den 8 december kl 5 SPECIELLA ANISNINGAR: arje uppgift löses på skilt papper MM-00 (5p) En konisk tank med spetsvkeln α ifylls med en känd volymström (t). Den enda utströmmen från tanken utgörs av den från ytan avdunstande vätskan. olymströmmen vätska som avdunstar från tanken är proportionell mot arean för den fria vätskeytan enligt ekvation (). ut = ka () a) (4p) Bestäm ett uttryck för tanknivån i fortfarighet (steady-state). b) (6p) Härled en dynamisk modell för tanknivån enligt dh = f(h, (t)) () För lösng av uppgiften behövs eventuellt derivergens kedjeregel: df(x) = df(x) dx dx. c) (5p) Ljärisera modellen krg det stationärtillstånd som fås om (t) = 5 l/m, k = 50 µm/s och α = 80. ad blir den ljära modellens tidskonstant τ? bg t h α Figur : Konisk Tank.

2 MM-00 (5p) Ett tidsdiskret system (beskrivet genom en dierensekvation) och motsvarande öde av formation kan illustreras på många sätt (tex med hjälp av överförgsoperatorer om reglertekniken). Inom digital signalbehandlg utnyttjas ofta block av typen z för att beskriva olika lter och en signal till ett dylikt block fördröjs med ett tidssteg. I det avseendet motsvarar således z skiftoperatorn q som utnyttjats i kursen Matematisk Modellerg. För det öde av formation som dylika blockscheman beskriver, gäller för en förgreng vidare att samma signal fortsätter åt era håll. En cirkel med ett + tecken nebär att två (eller era) signaler summeras och slutligen nebär blocket a att signalen till blocket multipliceras med konstanten (parametern) a. Med andra ord gäller: u(t k ) z z u(t k ) = u(t k ) u(t k ) u(t k ) u(t k ) u(t k ) + y(t k ) = u(t k ) + w(t k ) w(t k ) u(t k ) a au(t k ) Ett exempel på ett digitalt lter kan med hjälp av dessa regler illustreras enligt (a, b och c är konstanter): u(t k ) + + x(t k ) z a b + z c Figur : Blockschema för ett digitalt lter. a) (5p) Ställ upp en modell för systemet (ltret beskrivet i Figur ) som uttrycker x(t k ) som funktion av tidigare värden av x(t k ) samt tidigare och samtida värden av u(t k ), dvs x(t k ) = f(x(t k i ), u(t k j )), i, j 0. (Ledng: Den resulterande modellen kommer att ha formatet x(t k ) = d x(t k ) + d u(t k ) + d u(t k ) + d 4 u(t k ) och i brist på en härledd modell kan denna utnyttjas för resten av uppgiften.) b) (p) Med den termologi som troducerats i kursen Matematisk Modellerg i samband med systemidentierg, vilken typ av modell skulle Figur närmast beskriva?

3 c) (p) Uttryck modellen från a) fallet med hjälp av matrisprodukter, X(t k ) = AX(t k ) + BU(t k ), där A respektive B kan vara matriser och X(t k ) respektive U(t k ) kan vara vektorer, tex, u(t k ) u(t k ) U(t k ) =. u(t k n ) d) (p) För vilka värden på (de konstanta) parametrarna a, b och c är systemet beskrivet i Figur stabilt? e) (4p) För att identiera systemet (dvs bestämma numeriska värden på a, b och c) har man tillgång till följande impulssvar: För signalen (impulsen) u(t 0 ) = och u(t k ) = 0 för k 0 mäts (x(t k ) = 0 för k < 0): k 0 4 x(t k ) Bestäm på basen av denna formation numeriska värden på a, b och c!

4 Lösngsförslag till tentamen den december MM-00 För en rak cirkulär kon med spetsvkeln α gäller: b r = tan α / h A= π tan bα / g h = Ah g h r a)-fallet α/ Jämvikt: = ut = ka = kπ tan bα / gh h = kπ tan α / b)-fallet b g d = ut d π tan h RST bα / g UW = kπ tan bα / gh π tan bα / gh dh = kπ tan bα / gh dh = k π tan α / h b g Också möjligt att lösa utgående från: d = A dh

5 c-fallet h 0 = 0,868 m Ljäriserg f = k π tan bα / gh df a = = = 5, 0 dh π tan bα / gh0 df b = = = 06, m d π tan bα / gh0 dh = ah b h + b 0g c, 0h τ = = 8680s a, 0 4 s Simulergsexempel: Uppnående av fortfarighet oljär ljär h (m) tid (h)

6 MM-00, Lösng: a) Förslagsvis kan signalen w(t k ) troduceras enligt guren: u(t k ) + w(t k ) + x(t k ) z a b + z c Figur : Blockschema för ett digitalt lter. Då fås x(t k ) = w(t k ) + bz w(t k ) + cz w(t k ) w(t k ) = u(t k ) + az w(t k ) w(t k ) = u(t k) az x(t k ) = u(t k) az + u(t k ) bz az + u(t k ) cz az ( az )x(t k ) = u(t k ) + bz u(t k ) + cz u(t k ) vilket ger svaret x(t k ) = ax(t k ) + u(t k ) + bu(t k ) + cu(t k ) b) En ARX- eller en IIR-modell. c) Flera möjligheter, tex: x(t k ) = ax(t k ) + ( b c ) u(t k ) u(t k ) u(t k ) d) För a <. e) Modellen från a) fallet ger: x(t ) = a + b =.900 x(t ) = ax(t ) + c = 5.60 x(t ) = ax(t ) = vilket ger a = 0.9, b = och c =.