6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik Fluid mechanics: fluid statics; fluid dynamics

Transkript

1 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven 6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik Fluid mechanics: fluid statics; fluid dynamics Liquids and gases, together known as fluids a more accurate definition will be given below and their characteristics are well known from daily life. In rocess engineering fluids are imortant as solvent, transort medium or even as fuel but also make u a large art of many chemical roducts. Water and air are of course of great imortance, hence names such as hydro- and aerodynamics. The field of fluid mechanics, which is a seciality in itself, covers fluid statics which rimarily addresses fluids in rest, and fluid dynamics that concentrates on fluid flow in or around tubes or more comlicated structures like vehicles or buildings, not to mention the atmoshere and oceans, seas, rivers etc. Imortant is the distinction between so-called laminar and turbulent flows (as noted in Chater 5), and the fact that velocity is a vector. The comlications of vector calculus and our limited understanding of turbulence have nonetheless, with imroved numerical rocedures and comuting ower resulted in the develoment of what is known as comutational fluid dynamics, CFD see ÅA course 445 Introduction to CFD. In this chater fluid statics is briefly touched uon, addressing static ressure and its measurement, buoyancy and surface tension. Most of the chater will focus on fluid flow and its descrition as either laminar or turbulent flow, relating shear stress to viscosity and velocity gradients. This aves the way to flow in tubes and tube networks with bends, valves, etc., where ressure dro calculations are essential for the selection of ums or comressors. Flow measurement is touched uon as well. Finally, flow around objects and the resulting drag forces are considered. Etensions to all this, such as twohase of multi-hase flow, gas/solid and liquid/solid searations (but also articulate technology and owder handling) are given in ÅA course 4454 Fluid and articulate systems. Vätskor och gaser, som tillsammans kallas fluider - en mer eakt definition ges nedan - och deras egenskaer är väl kända från vardagen. Inom rocesstekniken är fluider viktiga som lösningsmedel, transortmedium och även som bränsle och utgör även en stor del av flera kemiska rodukter. Vatten och luft är naturligtvis av stor betydelse, därav namn såsom hydro- och aerodynamik. Området strömningsmekanik, vilket är en secialitet i sig, täcker hydrostatik som främst behandlar fluider i vila, och fluiddynamik som koncentrerar sig å vätskeflödet i eller runt rör eller mer komlicerade strukturer som fordon eller byggnader, för att inte tala om atmosfären och hav, floder etc. Skillnaden mellan så kallad laminär och turbulent strömning är viktig (såsom noterats i kaitel 5), och faktumet att hastigheten är en vektor. Trots komlikationer med vektoranalys och vår begränsade förståelse av turbulens har man med hjäl av förbättrade numeriska metoder och datorkraft utvecklat det som kallas comutational fluid dynamics, CFD - se ÅA kurs 445 Introduction to CFD. I detta kaitel behandlas hydrostatik kortfattat, tar itu statiskt tryck och dess mätning, flytkraft och ytsänning. Merarten av kaitlet fokuserar å vätskeflöde och dess beskrivning som antingen ett laminärt eller turbulent flöde, där skjuvsänning relateras till viskositet och hastighetsgradienter. Detta banar väg för flöden i rör och rörnätverk med krökar, ventiler, m.m. där tryckfall beräkningar är nödvändiga för valet av umar eller komressorer. Flödesmätning behandlas också. Slutligen övervägs flöde runt föremål och de resulterande dragkrafterna. Utöver allt detta, såsom två-fas och flerfas flöden, gas/fast fas och flytande / fast fas searationer (även artikel teknik och ulver hantering) ges i ÅA kurs 4454 Fluid and articulate systems. 6-

2 6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik v. 03 Fluid mechanics: fluid statics, fluid dynamics 6. Fluid statics 6.. Static ressure, ressure measurement The behaviour of stationary fluids is described by fluid statics. A liquid in a container forms a layer with a distinct surface, and eerts forces on the walls suorting it, while a gas will fill the whole container. As illustrated by Fig. 6., two tyes of forces act on a fluid volume element: surface (ressure) forces body (gravitational) forces. 6. Hydrostatik 6.. Statiskt tryck, tryckmätning Beteendet hos stationära fluider beskrivs av hydrostatik. En vätska i en behållare bildar ett skikt med en tydlig yta, och utövar krafter å väggarna som stöder den, medan en gas fyller hela behållaren. Som illustreras av fig. 6,, verkar två tyer av krafter å ett volymelement av en fluid: yta (tryck) krafter kros (dragningskraft) krafter. Pressure is defined as surface force/area, for eamle for force F b : Fb b d w acting on the bottom surface of the volume element in vertical direction (here the z-direction is taken uwards). Note that the static ressure at z = z is the same in all directions: it is a scalar. The horizontal forces are balanced: and: Fig. 6. Forces on a fluid volume element with volume h d w and density ρ Krafter å ett volymelement med volym h d w och densitet ρ h d F The ressure difference between vertical ositions z = z and z = z + h follows from the weight of the volume element, with liquid density ρ and gravity g: n w h w F s F e n w F F g h d w F t s e Tryck definieras som ytkraft / area, till eemel för kraft F b : zz h w 0 h d 0 b zz ; (Pa) verkar å bottenytan av volymelementet i vertikal riktning (här z-riktningen uåt). Notera att det statiska trycket vid z = z är densamma i alla riktningar: det är en skalär. De horisontella krafterna är balanserade: n w zz h (N) (N) s e (Pa) (Pa) och: (KJ05) Tryckskillnaden mellan de vertikala lägen z = z och z = z + h följer vikten av volymelementet, med vätskans densitet ρ och tyngdkraften g: zz Fb d w g h ; zz h Ft d w (6-) (6-) (6-3) (6-4)

3 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven If z = z +h is at the fluid surface, eosed to atmosheric ressure 0, then z z 0 g h Om z = z + h är vid fluidens ytan, utsätts den för atmosfärstryck, då är (6-5) Fig. 6. U-tube manometer U-rör manometer (KJ05) The U-tube manometer is based on the relation between deth and ressure in static fluids, with one end oen to the atmoshere at atm 035 Pa. As in Fig. 6., with gravity g and densities ρ g and ρ l for gas and liquid, resectively: U-rörsmanometerns funktion baserar sig å förhållandet mellan dju och tryck i statiska vätskor, med ena änden öen mot atmosfären vid atm 035 Pa som i fig. 6., med tyngdkraften g och densitet ρ g och ρ l för gas och vätska, resektive: A D ρ h g l atm ρ h ρ h g ρ h g ρ h g Note that the U-tube manometer measures ressure differences! A device for measuring atmosheric ressure (which cannot be done using an U-tube manometer!) is referred to as a barometer. A closed tube filled with mercury (Hg) is (quickly) ut uside-down in an oen container filled with Hg as in Fig Gravity causes the Hg level in the tube to fall, but no air can enter the tube. The small gas volume traed is Hg vaour at equilibrium with liquid Hg, which at 0 C has a vaour ressure as low as 0.58 Pa. D l l l 3 3 g g C g A C ρ (h h ) g ρ h g A g F atm ρ h l l g l and with / och med ρ»ρ ρ h g l 3 B 3 3 ρ h g and also, from the other side / och, från den andra sida which gives, with / vilket ger, med g ρ ( h h ) g ρ (h h ) g B B atm atm A l g (6-6) Observera att U-rörsmanometrar mäter tryckskillnader! En anordning för mätning av atmosfärstryck (vilket inte kan göras med användning av en U-rörsmanometer!) kallas en barometer. Ett slutet rör fyllt med kvicksilver (Hg) är (snabbt) satt u och ned i en öen behållare fylld med Hg som i fig Tyngdkraften får Hg-nivån i röret att sjunka, men ingen luft kan komma in i röret. Den lilla gasvolymen instängd är Hg-ånga vid jämvikt med flytande Hg, vilket vid 0 C har ett ångtryck så lågt som 0,58 Pa. 6-3

4 6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik v. 03 Fluid mechanics: fluid statics, fluid dynamics Fig. 6.3 Barometer Barometer (KJ05) A force balance for the tube gives: va, Hg with/med After E. Torricelli the unit torr = mm Hg ressure. atm = 760 torr at 0 C. Liquid Hg density =3546 kg/m 3 at 0 C. va, Hg 0C atm Hg En kraftbalans för tuben ger: g h (Pa) Hg Hg g h 0.58Pa Hg atm (Pa) atm (6-7) Efter E.Torricelli enheten torr = mm Hg tryck. atm = 760 torr vid 0 C. Flytande Hg densitet är 3546 kg/m 3 vid 0 C. 6.. Bouyancy Buoyancy (fi: nostovoima), or buoyant force acts on all objects immersed or submerged in a fluid. It is an overall uwards force on the object as the result of the fact that ressure in a static fluid increases with deth. In short: buoyancy = weight of dislaced fluid see Fig According to history it was in B.C. that Archimedes of Syracuse stated that any floating object dislaces its own weight of fluid. 6.. Flytkraft Flytkraft (fi: nostovoima), verkar å alla föremål helt och delvis nedsänkta i en fluid. Det är en allmän uåtriktad kraft å föremålet som är ett resultat av det faktum att trycket i en statisk vätska ökar med djuet. Kort sagt: flytkraft = vikt av förskjuten vätska - se fig Enligt historien var det i f Kr att Arkimedes från Syracuse lade fram att "alla flytande föremål förskjuter sin egen vikt i vätska". Fig. 6.4 Buoyancy force F B, ressure, gravity force m g and centre of gravity CG Flykraft F B, tryck, tyngdkraft m g och tyngdunkt CG (KJ05) htt:// For an immersed object, horizontal forces cancel each other. The two vertical forces are gravity and buoyancy. För ett helt nedsänkt föremål tar de horisontella krafterna ut varandra. De två vertikala krafterna är tyngd- och flytkraft. 6-4

5 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven The forces on the surface of the object are the same as when that surface would be filled with the fluid. Thus, the buoyant force on a mass with volume V is equal (but oosite in sign) to the weight of the fluid in the volume V, and acts on the same centre of gravity (CG), as shown in Fig. 6.4: F - m g fluid For any object the buoyancy force it eeriences may be less than, equal to or larger than its weight: if F B > weight: the object will rise/float, if F B < weight: the object will sink, F B = weight: the object will float in susension. For eamle, for the geometry shown in Fig. 6.5 (left) and densities ρ: with object mass m 0. For cases with water (w) and air (a), as in Fig. 6.5 (right): 0 V tot B - ρ in equilibrium with / i jämvikt med ρ F B Krafterna å ytan av föremålet är samma som om denna yta skulle fyllas med fluiden. Således, är det lyftkraften å en massa med volymen V lika (men motsatt tecken) till vikten av fluiden i volymen V, och verkar å samma tyngdunkten (CG, centre of gravity), såsom visas i fig. 6.4: fluid V g (ρ V ρ V ) g ρ V ρ V and/och V (Pa) Flytkraften som alla föremål ulever kan vara mindre än, lika med eller större än dess vikt: FB > vikt: föremålet kommer att stiga/ flyta, FB < vikt: föremålet kommer att sjunka, FB = vikt: föremålet kommer att flyta i susension. Till eemel, för geometrin som visas i fig. 6.5 (vänster) och densitet ρ: F gravity tot m g 0 V V FB (ρa Va ρw Vw ) g ρw Vw g ρ V ρw V ρ 0 V tot med föremål med massan m 0. För fall med vatten (w) och luft (a), som i figur 6.5 (höger): 0 tot w V V W tot g 0 W (6-8) (6-9) (6-0) Fig. 6.5 Buoyancy of a artially submerged Flytkraft för ett delvis sänkat objekt (KJ05) 6..3 Surface tension 6..3 Ytsänning A liquid at a material interface, usually liquid-gas, eerts a force F int er unit length L along the surface see Fig Fig. 6.6 Surface tension / ytsänning htt:// En vätska vid ett materialgränssnitt, vanligen vätska - gas, utövar en kraft F int er längdenhet L längs ytan - se fig

6 6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik v. 03 Fluid mechanics: fluid statics, fluid dynamics It is the result of molecular attraction at a liquid surface being different from that in the liquid, making the surface act like a stretched membrane. Surface tension σ or γ (unit: N/m) quantifies this force: For water-air at ~0 C γ = N/m. Phenomena that result from surface tension are contact angle, caillary rise, and bubbles and drolets formation. A dimensionless number named after M. Weber gives the ratio of inertial and surface tension forces, for a characteristic velocity v for a system that involves fluid motion, for eamle in a sraying rocess: F int γ Ytsänning är resultatet av molekylärattraktion å en vätskeyta som skiljer sig från det "i" vätskan, vilket gör att ytan fungerar som en sträckt membran. Ytsänning σ eller γ (enhet: N/m) kvantifierar denna kraft: L (6-) För vatten-luft vid ~ 0 C γ = 0,073 N/m. Fenomen som är en följd av ytsänning är kontaktvinkel, kaillär stigning och bubbeloch drobildning. Ett dimensionslöst tal namngivet efter M. Weber ger förhållandet mellan tröghets- och ytsänningskrafter, för en karakteristisk hastighet v för ett system som innefattar fluider i rörelser, till eemel i en sraynings rocess: We ρ v L γ L ρ v γ L (6-) 6. Fluid dynamics 6.. Internal friction, viscosity Fluids will (try to) resist a change in shae, as will occur in fluid flow situations where different fluid elements have different velocities. In fact this gives the definition of fluid : a fluid is a substance that deforms continuously under the alication of a shear stress. 6. Fluid dynamik 6.. Intern friktion, viskositet Fluider kommer (att försöka) motstå en formförändring, vilket sker i fluidflödessituationer där olika fluidelement har olika hastigheter. I själva verket ger detta definitionen av "fluid": en fluid är en substans som deformerar kontinuerligt under åverkning av en skjuvsänning. Fig. 6.7 Shear stress τ on walls and fluid elements Skjuvsänning t vid väggen och å fluidumelement (T06) 6-6

7 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven Consider fluid flow between lates as in Fig. 6.7: the no-sli condition says that at the wall the velocity of the fluid is the same as the wall velocity, for a fied wall v fluid = 0 at the wall; between the lates a velocity rofile eists: v = v (y); shear stresses, τ fluid, arise due to velocity differences between different fluid elements. Betrakta fluidflöde mellan lattor som i fig. 6.7: no-sli tillståndet säger att vid väggen är fluidens hastighet densamma som väggens hastighet, för en fast vägg v fluid = 0 vid väggen; mellan lattorna finns en hastighetsrofil: v = v (y); skjuvsänningar, τ fluid, ustår å grund av skillnader i hastighet mellan olika fluidelement., wall fluid W y z Fig. 6.8 Velocity rofile for flow between two arallel lates Hastighetsrofil för strömning mellan två arallella lan htt:// Refer to Fig. 6.8 for a fluid between lates with width W (m), distance d (m). The shear force F = (F,F y,f z ) = (F,0,0) (unit: N) to ull the fluid at velocity v = (v,v y,v z ) = (v,0,0) gives a shear stress τ y = shear force er surface (unit: N/m ) in the fluid at y = d that is equal to: F, fluid surface wall F, wall W L Here τ y is the shear stress in direction in a lane for constant y. This in fact defines the dynamic viscosity η (unit: Pa s = kg m - s - ). It is very imortant to observe the sign convention: τ y at y = y 0 is the shear stress of fluid elements with y < y 0 on the fluid elements with y > y 0. As a result F > 0 if dv/dy < 0, hence the sign in the eression for τ y. fluid Se fig. 6.8 för en fluid mellan lattor med bredden W (m) och längden d (m). Skjuvkraften F = (F, F y, F z ) = (F, 0,0) (enhet: N) för att dra fluiden med hastigheten v = (v, v y, v z ) = (v, 0,0) ger en skjuvsänning τ y = skjuvkraft er yta (enhet: N/m ) i fluiden vid y = d som är lika med: y y d dv dy v y Här är τ y skjuvsänningen i riktning "" i ett lan med konstant "y". Detta är i själva verket definitionen för dynamisk viskositet η (enhet: Pa s = kg m - s - ). Det är mycket viktigt att observera överenskommelsen om att tecknet: τ y vid y = y 0 är skjuvsänningen av fluidelementet med y < y 0 för fluidelementen med y > y 0. Som ett resultat F > 0 om dv / dy <0, därför "-" tecknet i uttrycket för τ y. (6-3) This alies always ecet for very low ressure gases, for eamle in the uer atmoshere Detta gäller alltid förutom för mycket låga gas tryck, till eemel i den övre atmosfären 6-7

8 6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik v. 03 Fluid mechanics: fluid statics, fluid dynamics The linear relation between τ y and dv /dy is referred to as Newton s Law which holds for so-called Newtonian fluids. For non-newtonian fluids other, more comlicated relations between shear force and velocity gradient hold: for eamle, Bingham fluids (toothaste, clay) or seudo-lastic (Ostwald) fluids (blood, yoghurt). For those, viscosity is a function of the velocity gradient: Fig. 6.9 illustrates this. y Det linjära sambandet mellan τ y och dv / dy kallas Newtons lag som gäller för så kallade newtonska fluider. För icke-newtonska fluider gäller andra mer komlicerade förhållanden mellan skjuvkraft och hastighetsgradient: eemelvis Bingham fluider (tandkräm, lera) eller seudo-lastiska (Ostwald) fluider (blod, yoghurt). För dem, är viskositeten en funktion av hastighetsgradienten: dv dv ( ) dy dy fig. 6.9 illustrerar detta. (6-4) Fig. 6.9 Newtonian and non-newtonian liquids Newtonska och icke-newtonska vätskor (BMH99) Note that the flow of a fluid between lates, or in a tube or on a surface doesn t necessarily require moving walls: usually the driving force is gravity or a static ressure difference. (The latter can be created by a um or comressor.) Viscosity, which is a material roerty for a fluid, is a measure for a fluid s resistance to flow. It determines the internal friction of a moving fluid (which eventually results in lower velocities and/or ressure dro). Also widely used besides dynamic viscosity η (or µ) is the kinematic viscosity ν = η/ρ (unit: m /s). (See also section 5..). Figure 6.0 gives some data for viscosity of several gases, liquids and oils. 3 For gases the viscosity increases with temerature, ~T(K).5-, for liquids it decreases with temerature. (The values for gas and liquid become identical at the critical oint for a given substance.) Observera att flödet av en fluid mellan lattor, eller i ett rör eller å en yta kräver nödvändigtvis inte rörliga väggar: vanligtvis är tyngdkraften drivkraften eller en statiskt tryckskillnad. (Det senare kan skaas med en um eller komressor.) Viskositet, vilket är en väsentlig egenska för en fluid, är ett mått å en fluids motstånd till flöde. Den bestämmer den inre friktionen hos en rörlig fluid (som så småningom resulterar i lägre flödeshastigheter och / eller tryckfall). Ofta används förutom dynamisk viskositet η (eller μ) även den kinematiska viskositeten ν = η / ρ (enhet: m / s). (Se även avsnitt 5..). Figur 6.0 ger några ugifter om viskositet för flera gaser, vätskor och oljor. 3 För gaser ökar viskositeten med temeraturen, ~ T(K),5-, för vätskor minskar den med temeraturen. (Värdena för gas och vätska blir identiska vid den kritiska unkten för ett visst ämne.) 3 SAE = Society of Automotive Engineers 6-8

9 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven η Fig. 6.0 Dynamic viscosity for several liquids and gases Dynamiska viskositet för några vätskor och gaser 6.. Shear stress and viscous work Internal friction in a fluid flow is the result of viscosity and velocity gradients giving shear and comressive stresses as shown in Fig. 6.. These can either deform, or rotate a small fluid element. In a 3- dimensional system, nine stresses occur of which si are shear stresses: τ y, τ y, τ yz, τ zy, τ z, τ z and three or comressive stresses (i.e. ressure): τ y, τ yy and τ zz (for a Cartesian,y,z coordinate system 4 ). Again, note that τ y is a stress in direction y in an -lane. The eressions for the stresses can be given either with dynamic viscosity or kinematic viscosity: τ y dv η dy dρv ν dy ; τ yz 6.. Skjuvsänning och visköst arbete Inre friktion i ett fluidflöde är resultatet av viskositets- och hastighetgradienter vilka orsakar skjuvnings- och trycksänningar som visas i fig. 6.. Dessa kan antingen deformera eller rotera ett litet fluidelement. I ett 3-dimensionellt system förekommer nio sänningar varav se är skjuvsänningar: τ y, τ y, τ yz, τ zy, τ z, τ z och tre trycksänningar (dvs. tryck): τ y, τ yy och τ zz (för en kartesisk,y,z- koordinatsystem 5 ). Återigen, observera att τ y är en sänning i riktning y i ett -lan. Uttrycken för sänningarna kan ges antingen med dynamisk viskositet eller kinematisk viskositet: dv ν dy z dρv ν dy z ; etc. (6-5) Fig. 6. Shear stresses and comressive stresses on a fluid volume element Skjuvsänningar och trycksänningar å ett vätskevolymelement (SSJ84) 4 Likewise, nine stresses in 3-D cylindrical or sherical coordinates give τ rz, τ rθ etc. 5 Likaså nio sänningar i 3-D cylindriska eller sfäriska koordinater ger τ rz, τ rθ o.s.v. 6-9

10 6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik v. 03 Fluid mechanics: fluid statics, fluid dynamics where the eressions with kinematic viscosity in fact give eressions for momentum transfer. 6 The so-called nabla (vector) oerator allows for comact notation for ( /, / y, / z) (in Cartesian coordinates); full notation for grad v = v and div v = v are: v v y vz v v y vz v y y y v v y vz z z z Thus, for fluid flow with velocity vector v the descrition is more comlicated than that for temerature T or concentration c, which are scalars with 3-dimensional gradients T = ( T/, T / y, T / z), etc. see section 5.6. For more detail see material on vector calculus; to finalise it suffices here to note that gradients of a scalar roerty give a vector (or st order tensor); gradients of a vector roerty give a nd order tensor, etc; the vector roduct v is a scalar. A nd order tensor (like the shear stress tensor τ) is usually noted with double underline, τ, and is a vector. Although tensor calculations can be comlicated (and simlification to vectors or even scalars is often ossible) it can be used to elegantly calculate 7 the work needed to overcome viscous friction forces in a moving fluid. See for eamle Fig. 6.7: with the shear stresses on a fluid volume element eressed as tensor τ, the viscous shear force on a certain area A of the volume element is equal to F visc = τ Α, with A = An for normal vector n. If the velocity equals v at surface A then the rate of viscous work done by the fluid at surface A equals W visc = F visc v =τ A v. For a certain volume element of the volume (inside which v and τ can vary) där uttryck med kinematisk viskositet faktiskt ger uttryck för imulsöverföring 8. Den så kallade nabla (vektor) oeratören tillåter komakt notation för ( /, / y, / z) (i kartesiska koordinater); full notation för grad v = v och div v = v är: v v v y v z y z (6-6,a,b) Således för vätskeflöde med hastighetsvektor v beskrivningen är mer komlicerad än för temeraturen T eller koncentration c, som är skalärer med 3-dimensionella gradienter T = ( T/, T/ y, T/ z) etc. - se avsnitt 5.6. För mer information se material å vektoranalys, för att sammanfatta räcker det här att konstatera att gradienter med skaläregenskaer ger en vektor (eller :a ordningens tensor), gradienter med vektoregenskaer ger en :a ordningen tensor, etc. vektor rodukten v är en skalär. En :a ordningens tensor (som skjuvsänningen tensor τ) noteras vanligtvis med dubbel understrykning, τ, och är en vektor. Även om tensorberäkningar kan vara komlicerade (och förenkling till vektorer eller ens skalärer är ofta möjligt) kan de elegant användas för att beräkna 9 det arbete som krävs för att övervinna de viskösa friktionskrafterna i en strömmande fluid. Se fig. 6.7 som ett eemel å skjuvsänningar å ett volymelement fluid uttryckt som en tensor τ, den viskösa skjuvkraften å ett visst område A av volymselementet är lika med F visc = τ Α, med A = An för normala vektor n. Om hastigheten v är lika vid ytan A då är andelen visköst arbete utfört av vätskan vid ytan A är lika W visc = F visc v = τ A v. För ett visst volymelement av volymen (inuti vilken v och τ kan variera) med den totala 6 Or, diffusion of momentum, with diffusion coefficient ν (m /s); similar to Fourier s and Fick s eressions for heat and mass transfer. 7 Outside the scoe of this course, nonetheless see Eercise Eller "diffusion" av imuls, med "diffusions" koefficient ν (m /s), som liknar Fouriers och Ficks uttryck för värme- och masstransort. 9 Utanför ramen för denna kurs, se ändå Övning

11 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven with total outside surface A, the rate of work done can be found by integrating over the total surface: W visc The calculated friction work gives a heat effect that tyically is dissiated. Fortunately, the equations are simlified by regions where v = 0 so no work is done (at the wall); also at oints where velocity and shear are erendicular τ v = 0 and no work is done. A yttre ytan A, kan graden av utfört arbete hittas genom att integrera över den totala ytan: τ v da (6-7) Det beräknade friktionsarbete ger en värmeeffekt som vanligtvis försvinner. Lyckligtvis kan ekvationerna förenklas i områden där v = 0 där inget arbete utförs (å väggen), även å ställen där hastighet och skjuvning är vinkelräta τ v = 0 utförs inget arbete Laminar versus turbulent flow (See also section 5.) At low velocities a fluid flow can be visualised as layers ( lamina ), each with a certain velocity, that interact via so-called shear stresses (besides comressive forces) that deform them. Viscous forces between such layers imly maintaining this layered structure while damening oscillations. With increasing velocities the shear forces cannot revent that oscillations result in rotations and swirl occurs see also Fig. 5.0: so-called turbulent eddies are roduced Laminär kontra turbulent strömning (Se även avsnitt 5.) Vid låga hastigheter kan fluidflöde visualiseras som skikt ("lamina"), var och ett med en viss hastighet, som samverkar genom så kallade skjuvsänningar (förutom tryckkrafter) som deformerar dem. Viskösa krafter mellan sådana skikt innebär urätthållande av denna skiktade struktur medan svängningar dämas. Med stigande hastigheter kan inte skjuvkrafterna däma svängningarna som i tur leder till att rotationer och virvlar ukommer - se även fig. 5.0: så kallade turbulenta virvlar ustår. laminar: Re < 00 laminar turbulent turbulent: Re > 4000 Fig. 6. O. Reynolds laminar turbulent flow transition measurement in 883 O. Reynolds laminar turbulent strömning övergångsmätning i 883 (T06) The transition from laminar flow to turbulent flow is determined by dynamic viscosity η, the velocity v of the flow, a length dimension L of the flow (for eamle, tube diameter) and the density ρ of the fluid. It was observed by O. Reynolds in 883 in a well-known dyestreak eeriment see Fig. 6. that the flow of fluid in a circular tube changes Övergången från laminär strömning till turbulent strömning bestäms genom dynamisk viskositet η, hastigheten v hos flödet, en längddimension L av flödet (till eemel, rördiameter) och densiteten ρ hos fluiden. Det observerades av O. Reynolds 883 i ett välkänt färg-strimmeeeriment - se fig att flödet av en fluid i ett cirkulärt rör förändras från 6-

12 6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik v. 03 Fluid mechanics: fluid statics, fluid dynamics from laminar to turbulent at Reynolds number Re ~ 300 (being fully turbulent at Re = 4000), where the dimensionless Reynolds number is defined as laminärt till turbulent vid Reynolds tal Re ~ 300 (som är helt turbulent å Re = 4000), där det dimensionslösa Reynolds talet definieras som Re ρ v L η ~ ρ v η L ρ v v η L inertial force (tröghetskraft) viscous force (viskös kraft) (6-8) For volume flow V (m 3 /s) through a cross section A (m ), velocity v can be taken to be the cross-sectional average velocity <v> = V /A (m/s) in the flow direction Boundary layer flow (See also section 5.) For flow along a surface, the zero-sli condition results in a thin interface layer (~ 0.0 mm) of fluid where the velocity increases from v = 0 at the surface to the free-flow velocity further away from the surface. Indicated in Fig. 6.3 is the thickness, δ(m) of the socalled boundary layer which is tyically taken as the osition where the flow velocity is 99% of that of the undisturbed flow: v() = 0.99 V. In the boundary layer the theory of which dates back to the work of L. Prandtl in 904 all the viscous effects of the surface are assumed concentrated. As also shown in Fig. 6.3, a boundary layer can develo from laminar to turbulent flow (for a lane surface at Re ~ ). As discussed in Chater 5 this hydrodynamic boundary layer thickness is different from the thermal boundary layer thickness that controls convective heat transfer. 0 För volymflödet V (m 3 /s)) genom ett tvärsnittet A (m ), hastigheten v kan antas vara medelhastigheten över tvärsnittsarean <v> = V /A (m/s) i flödes-riktningen Gränsskikts flöde (Se även avsnitt 5.) För flöde längs en yta resulterar s.k. zero-sli tillståndet i ett tunt gränsskikt (~ 0,0 till mm) fluid där hastigheten ökar från v = 0 vid ytan till den fria flödeshastigheten längre bort från ytan. I fig. 6.3 visas tjockleken δ(m) för det så kallade gränsskiktet som tyiskt tas som osition där flödeshastigheten är 99% av den för ett obehindrat flöde: v() = 0.99 V. I gränsskiktet i teorin som går tillbaka till arbetet av L. Prandtl i 904 antas alla viskösa effekter av ytan vara koncentrerade. Såsom också visas i fig. 6.3, kan flödet i gränsskiktet utvecklas från laminärt till turbulent (för en lan yta å Re ~ ). Som diskuterats i kaitel 5 skiljer detta hydrodynamiska gränsskikts tjocklek sig från det termiska gränsskiktets tjocklek som styr konvektiv värmeöverföring. Fig. 6.3 A laminar + turbulent boundary layer Ett läminärt + turbulent gränsskikt (KJ05) 0 For an etensive analysis of boundary layer fluid dynamics, see Boundary Layer Theory by H. Schlichting (95, first English edition 979). För en omfattande analys av gränsskiktsfluiddynamik, se " Boundary Layer Theory" av H. Schlichting (95, första engelska ulagan 979). 6-

13 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven 6..5 Laminar film flow The descrition of fluid flow using the concets viscosity and shear stress allows for describing laminar fluid flow analytically. If turbulence features (that give additional friction besides those described by viscosity) are absent the relation between velocity gradients and shear stresses can be directly alied. This is illustrated by the case of stationary laminar flow of water running down a vertical surface (with given width) as a film with thickness d see Fig. 6.4a Laminärt filmflöde Beskrivningen av fluidflöde med begreen viskositet och skjuvsänning tillåter en analytisk beskrivning av laminära fluidflöden. Om turbulenta egenskaer (som ger ytterligare friktion förutom de som beskrivits av viskositet) är frånvarande kan förhållandet mellan hastighetsgradienter och skjuvsänningar direkt tillämas. Detta illustreras med fallet där ett stationärt laminärt flöde av vatten rinner ner längs en vertikal yta (med given bredd) bildar en film med tjockleken d - se fig. 6.4a. a) b) dy Fig. 6.4 Laminär liquid film flow a) forces and geometry, b) velocity and shear stress rofiles Laminär vätskeskiktströmning a) krafter och geometri, b) hastighet och skjuvsänningsrofiler (SSJ84) Given: a steady-state flow rate V =. m 3 /h; surface width W = m, water dynamic viscosity η = 0.00 Pa s and density ρ = 000 kg/m 3 ; gravity acceleration g = 9.8 m/s. The eression for the shear stress distribution allows for roducing and the eression for the velocity rofile: the vertical force balance for a volume element with length dy as shown gives F gravity = F shear, i.e. using the definition of shear stress as to obtain velocity gradient information. The maimum velocity v y = v y,ma occurs at the free surface = d, where v y,ma = ½ρgd /η. Source/källa: SSJ84 ρ ( d ) W dy g τ with/med τ v ( ) y y dv y η d dv y dv y ρ ( d ) g d Givet: ett steady-state flöde V =. m 3 /h, ytbredd W = m, vattnets dynamiska viskositet η = 0,00 Pa s och densitet ρ = 000 kg/m 3 och tyngdaccelerationen g = 9,8 m/s. Uttrycket för skjuvsänningsfördelningen gör det möjligt att ställa fram och uttrycka hastighetsrofilen: den vertikala kraftbalansen för ett volymelement med längd dy såsom visas ger F tyngd = F skjuv, dvs W dy 0 ρ ( d ) g τ integrating / integration : y ρ ( d ) g d d d η η 0 0 ρ g ( d ½ där definitionen av skjuvsänningen används för att få information om hastighetsgradienten. Den maimala hastigheten v y = v y,ma inträffar vid den fria ytan = d, där v y,ma = ½ρgd /η. y ) 0 ρ ( d ) g, η (6-9a) 6-3

14 6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik v. 03 Fluid mechanics: fluid statics, fluid dynamics From this, an average value <v y > can be calculated by integration over thickness d, and the volumetric flow rate V can be found, as well as fluid layer thickness d: Från detta, kan ett medelvärde <v y > beräknas genom integration över tjockleken d och den volymetriska flödeshastigheten V kan hittas samt fluidskiktets tjocklek d: v y d d 0 and/och v v y( ) d d y V W d d 0 ρg ( d ½ η gives/ger d 3 ) d 3ηV ρg ρgd 3η (6-9b) With the given data this gives: v y,ma =.07 m/s, <v y > = 0.7 m/s; d = 0.47 mm. The resulting velocity and shear stress rofiles are given in Fig. 6.4b. 6.3 Fluid flow: internal flow 6.3. Internal flows, velocity rofiles At mentioned above, the flow of fluid in a tube or other confinement (also referred to as internal flow, distinguished from eternal flow around objects or structures) is characterised by: zero velocity (the no-sli condition) at the walls; and maimum velocity furthest from the walls (i.e. at a tube flow centre line or at a free surface). The velocity rofile is the result of viscous friction, and for turbulent flow also eddy currents. Viscosity as eerienced is a combination of molecular viscosity (a fluid roerty) and so-called eddy viscosity (a flow roerty): η = η viscous + η eddy, as illustrated by Fig In many alications a lug flow idealisation may be assumed, described by an average velocity <v> for all ositions (ecet, of course, at the wall). Med given data fås följande: v y,ma =.07 m/s, <v y > = 0.7 m/s; d = 0.47 mm. De resulterande hastighets- och skjuvsänningsrofilerna ges i fig. 6.4b. 6.3 Fluidflöde: interna flöde 6.3. Interna flöden, hastighetsrofiler Som nämnts tidigare, är flödet av fluid i ett rör eller annan inneslutning (även kallad "internt flöde", skiljer sig från "yttre flöde" runt objekt eller strukturer) kännetecknat av: hastigheten noll (no-sli tillstånd) vid väggarna, och maimal hastighet längst bort från väggarna (dvs. vid ett rör flöde vid mittlinjen eller vid en fri yta). Hastighetsrofilen är resultatet av viskös friktion, och för turbulent flöde även "virvelströmmar. Erfaren viskositet är en kombination av molekylär viskositet (en vätske-egenska) och så kallade "virvelviskositet" (en flödesegenska): η = η viscous + η eddy, vilket illustreras i fig I många tillämningar antas idealt kolvströmning som kan beskrivas med en medelhastighet <v> för alla ositioner (utom naturligtvis vid väggen). Fig. 6.5 Plug flow idealisation (left); velocity rofile (centre); turbulent eddies (right) Kolvströmningidealisering (vänster); hastighetrofil (mitten); turbulenta virvlar (höger) 6-4

15 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven 6.3. Laminar, turbulent velocity rofiles = τ y = 6.3. Laminära och turbulenta hastighetsrofiler W W Fig. 6.6 Laminar fluid flow between two flat lates Laminär vätskeströmning mellan två lana ytor (BMH99) For a steady-state fluid flow between two stagnant arallel lates see Fig. 6.6 (left) the forces on a volume element between oint and and between y=0 (centre line) and y=y are (for late width W) : The force balance gives: with/med Note: τ y acts on fluid y > y element, so -τ y acts on fluid y < y element (the fluid element). Calculation of the velocity rofile and maimum velocity by integration gives: Calculation of the flow rate, V 4 (m 3 "" ressureforce / "" ressureforce / tryckkraft 3 V W v dy W d L ½d for late sacing d gives also averaged velocity <v >. The shear stress (straight line) and velocity rofile (arabola) are shown in Fig. 6.6 (right). A very imortant laminar fluid flow case for technical alications is that in a circular tube, known as Hagen-Poiseuille flow (named after two researchers who described it at about the same time) see Fig It s descrition follows the same lines as the revious case: from force balance via velocity gradient to velocity rofile. L 0 För ett steady-state fluidflöde mellan två stillastående arallella lattor - se fig. 6.6 (vänster) - är krafterna å ett volymelement mellan unkterna "" och "" och mellan y = 0 (mittlinje) och y = y är (för en låt med bredden W): y W ; shear force on volume element / skjuvssänningå volymelement v y ½d y dv dy d L y dv dy y y L and/och Kraftbalansen ger: y y and/och y W L y v L W y ½d Notera: τ y verkar å fluiden y > y element, och därmed verkar τ y å fluiden y < y element (fluidelementet). Beräkning av hastighetsrofilen och den maimala hastigheten genom integrering ger: v,ma y 0 (6-0c) 8 L Beräkning av flödet, V (m 3 /s): W d v, v v,ma (6-0d) 3 för lattavståndet d ger också genomsnittshastigheten <v >. Skjuvsänningen (rak linje) och hastighetsrofilen (arabel) visas i fig. 6.6 (höger). En mycket viktig ty av laminärt fluidflöde för tekniska tillämningar är det i ett cirkulärt rör, ett så kallat Hagen- Poiseuille flöde (ukallat efter två forskare som beskriv det ungefär samtidigt) - se fig Dess beskrivning följer samma linjer som det tidigare fallet: från kraftbalans via hastighetsgradient till hastighetsrofil. y (6-0a) (6-0b) 6-5

16 6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik v. 03 Fluid mechanics: fluid statics, fluid dynamics Fig. 6.7 (left) shows the system with a fluid element and the forces on it: Figur 6.7 (vänster) visar systemet med ett fluidelement och krafterna å det: Fig. 6.7 Laminar fluid flow in a circular tube Laminär vätskeströmning i ett sfäriskt rör (BMH99) shear force on volume element / skjuvsänning å volymelement force balance / kraftbalans : with / "" ressure force / tryckkraft ( Note the sign for τ r : the shear stress on the volume element act from r > r element to r r element! The ressure gradient is written as (-d/d), a ositive number if >. Calculation of the velocity rofile and maimum velocity by integration "" ressure force / tryckkraft r dv dr 4 V πr d πr v dr 8 η d 0 gives also averaged velocity <v >. The shear stress (straight lines) and velocity rofile (arabola) are shown in Fig. 6.7 (right). Of secial interest are the shear stresses at the wall and at the centre line: r r dv dr r d r ½r ) d ½r d d 6-6 and / och v ) r 0 r R Notera - tecknet för τ r : skjuvsänningen verkar å volymelementet från r > r element till r element! Tryckgradienten skrivs som (-d/d), ett ositivt tal om >. Beräkning av hastighetsrofilen och den maimala hastigheten genom integrering ger: d ( ) v r R r 4 η d and / och d,ma v R 4 η r 0 Calculation of the flow rate, V (m 3 /s): Beräkning av flödet, V (m 3 /s): R τ r fluidwall / vätskeväg πr r v τr 0 at the wall / vid väggen : d 4 v η ½R d R τ, r r ( ; v at the centre line / vid rörets center : τ r ( ½v ) r ger också i genomsnittshastigheten <v >. Skjuvsänningen (raka linjer) och hastighetsrofilen (arabel) visas i fig. 6.7 (höger). Av seciellt intresse är skjuvsänningarna vid väggen och mittlinjen: wallfluid / vägvätske,ma (6-a) (6-b) (6-c) (6-d) (6-e)

17 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven For high Reynolds numbers fluid flows become turbulent: for circular tubes this imlies Re > (The transition range Re = will be discussed later in more detail). Turbulent eddies and swirls result in a flattening of the velocity rofile as shown in Fig. 6.8: För höga Reynolds tal blir fluidflöden turbulenta: för cirkulära rör innebär detta Re > 4000 (övergångsområde Re = kommer att diskuteras mer i detalj senare). Turbulenta virvlar resulterar i en tilllattning av hastighetsrofilen som visas i fig. 6.8: Fig. 6.8 Laminar versus turbulent fluid flow in a circular tube Laminär versus turbulent vätskeströmning i ett sfäriskt rör (BMH99) These rofiles can be described by the following eressions 3 : For the turbulent flow the transition from a laminar boundary layer to the flattened turbulent core region is seen in Fig Cross-sectional average velocity <v> for a given velocity rofile is defined as: It is also used in dimensional analysis and the resulting dimensionless grous (Re, and several others). Dessa rofiler kan beskrivas med följande uttryck 4 : Laminar / laminär: v (r) = ( - r²/r²) v ma (Hagen-Poisseuille) cross-sectional average / tvärsnittmedelvärde <v> = ½ v ma Turbulent: v (r) ( - r/r) /7 v ma cross-sectional average / tvärsnittmedelvärde <v> = v ma R Övergången från ett laminärt gränsskikt till den tilllattade turbulenta kärnregionen för ett turbulentflöde visas i fig Medelhastigheten vid ett tvärsnitt <v> definieras för en given hastighetsrofil som: v (r) π r dr V(m 3 /s) πr πr (m ) 0 v (6-a) (6-b) (6-3) Den används också i dimensionsanalys och de resulterande dimensionslösa gruerna (Re, och flera andra) Tube flow entrance region For the entrance region of a tube flow a certain distance is required to roduce a so-called develoed flow with a stable velocity rofile where the laminar boundary layers are in lace see Fig For laminar tube flow, the Graetz number quantifies for the boundary layer build-u (see also section 5.) Inlosregionen för rörflöden För ett rörflöde vid inlosregionen krävs ett visst avstånd för att roducera ett s.k. "utvecklat flöde" med en stabil hastighetsrofil där de laminära gränsskikten är å lats - se fig För ett laminärt rörflöde kvantifierar Graetz numret ubyggnaden av gränsskikt (se även avsnitt 5.). 3 Sometimes eonent /8 or /6 is used for the turbulent velocity rofile. 4 Ibland används eonenten /8 eller /6 för den turbulenta hastighetsrofilen. 6-7

18 6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik v. 03 Fluid mechanics: fluid statics, fluid dynamics Fig. 6.9 Tube flow entrance region Rörströmningens inträdesområde (KJ05) The entrance length L ent for a hydrodynamically develoed tube flow (tube diameter D) can be aroimated by: Using the concet of hydraulic diameter (see net section) these eressions can also be used for non-circular tubes. 6.4 Fluid flow: ressure dro and energy dissiation in tube systems 6.4. Tube and ieline systems In a tube or tubing system, ressure dro losses resulting from fluid internal friction and wall friction in straight and curved tube sections, valves, inlet/outlet sections, diameter changes etc. must be comensated for. This is accomlished by adding mechanical energy via ums, comressors, turbines or ventilators. Additional effects that must be comensated for are kinetic energy (if flow velocities change) and otential energy (for non-horizontal tube sections, as to overcome height differences). Two tyical illustrations 5 are given in Fig L ent Re D laminar/läminar Re < 00 L ent 4.4 Re /6 D turbulent Re > 4000 Inloslängden L ent för ett utvecklat hydrodynamiskt rörflöde (rördiameter D) kan aroimeras med: Med hjäl av begreet hydraulisk diameter (se nästa avsnitt) kan dessa uttryck även användas för icke-cirkulära rör. 6.4 Fluidflöde: tryckfall och energiförlust i rörsystem 6.4. Rör och rörsystem (6-4a) (6-4b) I ett rör eller rörsystem måste tryckfallsförluster orsakade av inre friktion i fluiden, väggfriktion i raka och böjda rörsektioner, ventiler, ingående/utgående sektioner och diameterförändringar etc. komenseras för. Detta åstadkommes genom tillsats av mekanisk energi med hjäl av umar, komressorer, turbiner eller fläktar. Ytterligare effekter som måste komenseras för är kinetisk energi (om flödeshastigheten förändras) och otentiell energi (för icke-horisontella rörsektioner, för att övervinna höjdskillnader). Två tyiska illustrationer 5 ges i fig Fig. 6.0 Tube systems / Rörsystem (www) 5 Sources / källor: htt:// htt:// contractors/water_treatment/fischer/fischer.html 6-8

19 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven As reference oints for determining the energy inut needs for transorting a fluid in a tube network, consider a flow tube system from oint at height z, average velocity <v >, ressure, volume flow V to oint at height z, velocity <v >, ressure, volume flow V. Puming ower P um comensates for flow friction losses P losses (in fact, as useless heat). A general energy balance (see Chater 3) with heat inut Q and work inut W, besides otential energy, kinetic energy and flow work ( V ) energy gives m ( u gz ½ v ) V Q W Som referensunkter för att fastställa energibehovet för att transortera en fluid i ett rörsystem, betrakta ett flöde i ett rörsystem från unkt "" å höjd z, medelhastigheten <v >, trycket, volymflöde V till unkt "" å höjd z, hastighet <v >, tryck och volymflöde V. Pumeffekten P um komenserar för friktionsförluster orsakade av flödet P losses (i själva verket som oanvändbar värme). En allmän energibalans (se kaitel 3) med värmetillförseln Q och arbetsinsatsen W, förutom lägesenergi, rörelseenergi och "flödesarbets" ( V ) energi ger m ( u gz ½ v ) V (6-5) where ṁ u + V is an enthaly stream, Ḣ. For isothermal flows with no heat or work in/outut effects it simlifies to: m ( gz ½ v ) V which is a secial case, for inviscid (no viscous friction) flow, as described by Bernoulli in 738 for incomressible flow. With work (or ower) inut to comensate for friction losses W P um P and losses P Q : losses losses m ( gz ½ v ) V P for a velocity rofile for v for flow crosssectional area A. A design calculation for a tube, a tube section, or a tube network system with bends, curves, diameter changes, height differences etc. tyically involves one of the following three cases: m m A yet more general aroach considers also for the non-uniform velocity rofiles for a cross-section of the flow, with kinetic energy correction factor ξ. For laminar flows ξ =, while ξ = for turbulent flows. It follows from the fact that for a cross-sectional averaged velocity <v> there is a difference between ½ ṁ <v> and the kinetic energy of the stream, Ė kin, defining ξ as m v da E ½ kinetic A ξ 3 ½ m v ½ ρ A v där ṁ u + V är en entali ström Ḣ. För isotermiska flöden utan värme- eller arbets- inut/outut kan det förenklas till: ( gz ½ v ) V (6-6) vilket är ett secialfall, för friktionsfria (ingen viskös friktion) flöden, som beskrevs av Bernoulli i 738 för ickekomrimerbara flöden. Med arbets- (eller effekt) tillsats för att komensera för friktionsförluster W P um P och losses P Q : losses losses ( gz ½ v ) V (6-7) um P losses En ännu mer allmän strategi tar också oregelbundna hastighetsrofiler för ett flödestvärsnitt i beaktande, med kinetisk - energi korrektionsfaktorn ξ. För laminära flöden är ξ = och ξ =,05..,0 för turbulenta flöden. Detta följer av faktumet att för genomsnittliga hastigheten för ett tvärsnitt <v> finns det en skillnad mellan ½ ṁ <v> och strömmens kinetiska energi, E kin, som definierar ξ som 3 3 ½ ρ v da v da A A A (6-8) 3 3 ½ ρ A v v för en hastighetsrofil för v för tvärsnittsarean A för flöde. En design beräkning för ett rör, ett rör avsnitt eller ett rörsystem med krökar, kurvor, förändringar i diameter, höjdskillnader osv. innebär vanligtvis ett av följande tre fall: 6-9

20 6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik v. 03 Fluid mechanics: fluid statics, fluid dynamics Calculation of ower losses, rimarily ressure dro losses that must be comensated for with ums etc. in a given rocess tubing situation; Calculation of flow velocities or volume streams that will result when alying a certain uming ower to a certain tube system flow situation; or Calculation of tube diameters, lengths and tubing lay-out for a certain rocess situation, often based on given ums or ressure dro data etc. The tye of calculation deends on roduction data and caacity needs, combined with secific requirements given by the fluid (or disersion) to be transorted, and the fact that certain equiment is available only in certain sizes. Often this results in an iterative rocedure where for eamle a given um is assumed, which for a given case will give certain ressure levels and velocities that allow for adjusting the iteration arameters until a feasible solution is found Pressure dro in tube flows As shown above (and made use of for describing laminar flows such as Hagen- Poisseuille flow) the ressure dro in a tube flow system can be redicted if the shear force at the wall, τ w = τ fluid wall, is known. Pressure dro can be related to τ w which then in turn can be related to velocity rofiles across cross-sections. For turbulent flow such information is not available, since viscous effects become affected (increased) by turbulent eddies. Returning to the underlying hysics shows three forces acting on a flow volume element: two surface forces (ressure and surface shear), and body force (gravity). These can change the kinetic energy Ė k = ½ṁv and otential energy Ė = ṁgz. For a horizontal tube the body forces cannot change but surface forces will change the kinetic energy. Consider a volume element with length L (m) in a tube flow with crosssection A (m ), circumference or erimeter S (m) for a fluid with density ρ and viscosity η, as in Fig. 6.. Beräkning av effektförluster, främst tryckfallsförluster som måste komenseras med umar osv. i ett givet rörsystem; Beräkning av flödeshastigheter eller volymströmmar som kommer att resultera vid tillsättning av en viss umeffekt till ett visst rörsystems flödessituation, eller Beräkning av rördiametrar, längder och rör layout för en viss rocess situation som ofta är baserade å givna umar eller tryckfallsinformation osv. Tyen av beräkning beror å roduktionsdata och kaacitetsbehov i kombination med särskilda krav som anges av fluiden (eller disersion) som skall transorteras, och faktumet att viss utrustning är endast tillgänglig i skärskilda storlekar. Ofta resulterar detta i en iterativ rocedur där till eemel en given um antas, som för ett givet fall kommer att ge vissa trycknivåer och hastigheter som möjliggör justering av iterationsarametrarna tills en raktiskt genomförbar lösning hittas Tryckfall för flöden i rör Som framgått tidigare (och utnyttjats för att beskriva laminära flöden såsom Hagen-Poisseuille flöde) kan tryckfallet i ett rörflödessystem förutsägas om skjuvkraften vid väggen, τ w = τ fluid wall är känd. Tryckfall kan relateras till τ w som sedan i sin tur kan relateras till hastighetsrofiler över tvärsnitt. För turbulenta flöden är sådan information inte tillgänglig eftersom de viskösa effekterna åverkas (i ökande grad) av turbulenta virvlar. Genom att återgå till den underliggande fysiken visas tre krafter som verkar å ett volymflödeselement: två ytkrafter (tryck och ytskjuvning) och en kroskraft (gravitation). Dessa kan ändra den kinetiska energin Ė k = ½ṁv och den otentiella energi Ė = ṁgz. För ett horisontellt rör kan kroskrafterna inte ändra men ytkrafter kommer att förändra den kinetiska energin. Betrakta ett volymelement med längden L (m) i ett rörflöde med tvärsnittet A (m ), omkrets eller eriferi S (m) för en fluid med en densitet ρ och viskositet η, såsom i fig