5. Värmeöverföring Heat transfer

Transkript

1 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven 5. Värmeöverföring Heat was defined in chapter 3 as transfer of energy as a result of a temperature difference or a temperature gradient. The two physical mechanisms behind it are conduction, which involves the microscale motion of matter, and radiation, which involves electromagnetic waves. A third mechanism is convection, which is a combination of conduction heat transfer to or from a moving medium and the transfer of the heat energy to another location by this medium. See also cartoon Fig. 5.. While often one of these mechanisms is the most important and rate-determining one, in many situations all three must be considered. Värme definierades i kapitel 3 som energiöverföring p.g.a. en temperaturskillnad eller en temperaturgradient. De två fysikaliska mekanismerna bakom det är konduktion, som involverar materias rörelse på mikroskala, och strålning som involverar elektromagnetiska vågor. En tredje mekanism är konvektion, som är en kombination av konduktiv värmeöverföring till eller från ett medium i rörelse och transporten av värmeenergi med detta medium. Se också serieteckningen i Fig. 5.. Trots att en av dessa tre mekanismer ofta är av större betydelse än de andra, och således hastighetsbestämmande, måste ofta alla tre tas i beaktande. Fig. 5. Mekanismer för värmeöverföring Mechanisms for heat transfer (REF!) o Konduktion / Conduction o Konvektion / Convection o Strålning / Radiation (BÖ88) 5. Heat conduction 5.. Fourier s law In a non-moving medium (i.e. a solid or stagnant fluid), in the presence of a temperature gradient heat is transferred from high to low temperature as a result of molecular movement; this is referred to as heat conduction. Molecules or atoms with a higher temperature will transfer more thermal (i.e. kinetic) energy to molecules or atoms with a lower temperature than vice versa, which gives a net transfer of heat energy to lower temperatures. (Refer also to the Second Law of Thermodynamics, section 3.6). For a one-dimensional temperature gradient T/ x or, on a smaller scale, dt/dx, Fourier s Law gives the conductive heat transfer rate Q (W) through a cross-sectional area A (m ), giving heat flux Q " (W/m ). If the so-called heat 5. Värmekonduktion 5.. Fouriers lag I ett stillastående medium (dvs. ett fast ämne eller en stagnant vätska), gör en temperaturgradient att värme överförs som en följd av molekylernas rörelse. Detta kallas värmekonduktion. Molekyler eller atomer med en högre temperatur överför mera termisk (dvs. kinetisk) energi till molekyler eller atomer med lägre temperatur än vice versa, vilket resulterar i att värmeenergi strömmar till lägre temperaturer. (Se också Termodynamikens andra grundlag, avsnitt 3.6). För en endimensionell temperaturgradient T/ x eller, på en mindre skala, dt/dx ger Fouriers lag att den konduktiva värmeöverföringshastigheten Q (W) genom en tvärsnittsarea A (m ), resulterar i ett värmeflöde Q " (W/m ). Om den så kallade värmekonduktiviteten eller 5-

2 5. Värmeöverföring v. 0/3 conductivity, or thermal conductivity, λ, (unit: W/m K) is a constant (i.e. can be assumed independent of temperature and location in the medium), Fourier s Law for in one dimension, x, is: termiska konduktiviteten, λ, 3 (enhet W/ m K) är konstant (dvs. kan antas vara oberoende av temperatur och position i mediet), är Fouriers lag för en dimension, x: as further illustrated by Fig. 5.. dt Q Q A (W) Q " dx A dt dx (W/m ) vilket vidare illustreras av Fig 5.. (5-) Fig. 5. Fourier s Lag i en dimension Fourier s Law in one dimension (T06) For a general case with a 3- dimensional temperature gradient T = ( T/ x, T/ y, T/ z) Fourier s Law gives, for constant λ, the heat fluxes as a vector Q " λt. The temperature field inside the medium can then be written as T = T(t, x) with time t and 3-dimensional location vector x. For stationary heat transfer, the time derivative T/ t = 0 at each position. För det allmänna fallet med en 3- dimensionell temperaturgradient T= 4 ( T/ x, T/ y, T/ z) ger Fouriers lag värmeflödena, med konstant λ, som en vektor Q " λt.temperaturfältet i mediet kan då beskrivas som T = T(t, x), med tiden t och den 3-dimensionella positionsvektorn x. För stationär värmeöverföring är tidsderivatan T/ t = 0 Fig. 5.3 Värmeledning i två dimensioner (T > T ) Heat conduction in two dimensions (T > T ) (KJ05) Quite often symbol k is used for this see for example KJ05, T06 The vector operator gives the gradient ( / x, / y, / z) in three Cartesian (x,y,z) dimensions. 3 Ofta används k som symbol för detta - se t.ex. KJ05, T06 4 Vektoroperatorn ger gradienten ( / x, / y, / z) i tre kartesiska (x,y,z) dimensioner. 5-

3 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven As shown in Fig. 5.3 the heat transfer vector is perpendicular to the isothermal surfaces, (i.e., Q is a vector with direction T ). The material property λ is in fact a function of temperature: more accurately Q " ( T) T. Often the temperaturedependence λ(t) can be simplified by an averaged, constant value. For materials ranging from gases to metallic solids, typical values for thermal conductivity λ, ranging from 0.0 to 500 W/(m K) are given in Fig överallt. Enligt Fig. 5.3 är värmeöverföringen vinkelrät mot de isotermiska ytorna (dvs. Q är en vektor med riktningen T ). Materialegenskapen λ är de facto en funktion av temperaturen, närmare bestämt Q " ( T) T. Temperaturberoendet λ(t) kan ofta förenklas med ett konstant medelvärde. Den termiska konduktiviteten, för material från gaser till metaller, sträcker sig från 0,0 till 500 W/(m K), vilket demonstreras av Fig 5.4. Fig. 5.4 Typiska värden för termisk konduktivitet för olika material. Typical values for thermal conductivity for various materials (T06) Note that there is no such thing as a temperature balance and it should always be remembered that energy transfer is being described. More correct notation would involve the use of heat concentration ρ c p T (unit: J/m 3 ), with density ρ and specific heat c p. Q " c p d( cp T ) dx with thermal diffusivity/ med termisk Observera att något koncept som temperaturbalans inte existerar och att man alltid bör minnas att det är fråga om energiöverföring. En mera korrekt benämning kunde vara värmekoncentration ρ c p T (enhet: J/m 3 ), med densitet ρ och specifik värmekapacitet c p. d( c a dx p T ) (W/m diffusivitet a c p ) (m /s) (5-) This defines the thermal diffusivity, a (unit: m /s), typical values for a (which, like ρ, λ and c p is temperature dependent!) are 0-5 m /s for gases,0-7 m /s for liquids,0-6 m /s for non-metallic solids and 5 ~ m /s for metals. Fourier s Law can be interpreted as one example of a general transport equation of the type: flow or current = driving force /resistance. A heat resistance can be formulated as R heat = T / Q (unit: Detta definierar den termiska diffusiviteten, a (enhet: m /s). Typiska värden för a (som i likhet med ρ, λ och c p är temperaturberoende!) är 0-5 m /s för gaser, 0-7 m /s för vätskor, 0-6 m /s för fasta icke-metaller och 5 ~ m /s för metaller. Fouriers lag kan tolkas som ett exempel på en allmän transportekvation av typen: flöde eller ström = drivande kraft/resistans. Värmeresistans kan 5-3

4 5. Värmeöverföring v. 0/3 K/W or ºC/W), whilst a heat conductance can be defined as G heat = /R heat = Q / T (unit: W/K or W/ºC). For a plane material with thickness L, surface A and conductivity λ, G heat = /R heat = λ A/L. 5.. One-dimensional, steady-state heat conduction For stationary -dimensional heat conduction through a plane wall with thickness L depending on whether λ=constant or λ=λ(t), Fourier s Law gives formuleras som R värme = T / Q (enhet: K/W eller C/W), medan värmekonduktans kan definieras som G värme = /R värme = Q / T (enhet: W/K or W/ C). För ett plant material med tjockleken L, ytarea A och konduktivitet λ, G värme = /R värme = λ A/L. 5.. Endimensionell steady-state värmekonduktion För stationär värmekonduktion i en dimension genom en plan vägg med tjockleken L, beroende på om λ = konstant eller λ=λ(t), Fouriers lag ger Q" Q" L 0 L 0 dx dx T(L) T( 0) T(L) T( 0) With, for example, a simple linear temperature dependence λ(t)=λ 0 (+αt) the second expression gives Q" L dx 0 T ( L T (0) T(L) T( ) dt Q" 0 L or / eller (T)dT Q" ) 0 ( T ) dt Q" 0 T(L) T( 0) (T)dT L Med t.ex. ett linjärt temperaturberoende λ(t)=λ 0 (+αt) ger det andra uttrycket T ( L) T (0) ½ T ( L) T (0) d d L (5-3a) (5-3b) (5-4) T in λ λ T out T 0 =T in T x. Q T =T out Fig. 5.5 Värmeledning genom ett skiktmaterial Heat conduction through a plane layered material The heat flux Q " through a layered planar wall composed of material layers with thickness d i and conductivity λ i is found by considering the material as a series of heat resistances d i /λ i, as illustrated by Fig Note that for a steady-state situation Q " is the same for every location, so that for a two-layer material: Värmeöverföringen Q " genom en plan vägg med flera skikt, av tjockleken d i och konduktiviteten λ i, fås genom att betrakta materialet som en serie värmeresistanser d i /λ i, i likhet med Fig Observera att i fortfarighetstillstånd är Q " samma oberoende av läget, så att för ett material i två skikt: T x constant; T Q " x T x (5-5) 5-4

5 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven Thus, for each layer: For two layers and, the (maybe unknown) temperature T can be eliminated: d Q " T di Q " Ti T 0 d Q " T d d Q " T i T i d Q " T T d Q " T T T d d d dn d Q 3 "... 3 N 0 0 i d Q " total average Således, (5-6) T total where λ + gives an average value for thickness d +d. Similarly, for N planeparallel layers, defining an average conductivity λ average : För två skikt och, kan (den eventuellt obekanta) temperaturen T elimineras: (5-7) (5-8) där λ + ger ett medelvärde för tjockleken d + d. På samma sätt definieras den genomsnittliga konduktiviteten λ average för N parallella plana, skikt: (5-9) Fig. 5.6 Geometri för cylindriska och sfäriska system Geometry for cylindrical and spherical systems (T06) For one-dimensional stationary conduction in the radial direction in cylindrical or spherical geometries, as shown in Fig. 5.6, the heat transfer area A becomes a function of distance, r, from the centre, A(r). Fourier s Law becomes: dt Q(r) A(r) dr A(r) rl (m A(r) 4r (m (W) ) ) För endimensionell, stationär konduktion i den radiella riktningen för cylindriska eller sfäriska system, se Fig. 5.6, blir värmeöverföringsarean A en funktion av avståndet, r, från centrum, A(r). Fouriers lag antar formen: (5-0) with/med ( - D cylindrical/cylindrisk) ( - D spherical/sphärisk) (5-) (5-) Here, the heat resistance R heat = T / Q of a cylindrical or spherical section [d in, d out ] with thickness d in -d out equals Här är värmemotståndet R värme = T / Q för ett cylindriskt eller sfäriskt avsnitt [d in, d out ] med tjockleken d in -d out lika med R R cylindrical spherical dout-d λπld d out in geom λπd in -d ln dout ln din λπl dout-d λπd d in with/med d in out ln with/med d dout-d dout ln d geom in in (logarithmic mean/logaritmiskt medelvärde) d out d in (5-3, 5-4) (geometric mean/geometriskt medelvärde) 5-5

6 5. Värmeöverföring v. 0/3 Transient or time-dependent heat conduction, and heat conduction in two or three dimensions are briefly addressed in section 5.6 and in more detail in ÅA course Transport processes Convective heat transfer In convection or convective heat transfer, heat is entrained with a moving (conducting) medium. The medium flow may be the result of external forces, referred to as forced convection see Fig. 5.7 or the result of density differences caused by temperature (or species concentration) differences, which is referred to as free, or natural convection. Forced convection is usually much more important than natural convection. Transient, eller tidsberoende, värmekonduktion, och värmekonduktion i två eller tre dimensioner beaktas flyktigt i avsnitt 5.6 och mera detaljerat i ÅA kursen Transportprocesser Konvektiv värmeöverföring Vid konvektion, eller konvektiv värmeöverföring, fångas värme upp (konduktivt) av ett medium i rörelse. Mediets strömning kan vara resultatet av externa krafter, s.k. påtvingad konvektion se Fig. 5.7 eller av densitetsskillnader orsakade av skillnader i temperatur eller koncentration, vilket kallas naturlig konvektion. Påtvingad konvektion är vanligtvis av större betydelse än naturlig konvektion. Fig. 5.7 Convective heat transfer Konvektiv värmeöverföring (T06) The general rate expression for heat transfer by convection is Q h A T Det allmänna hastighetsuttrycket för konvektiv värmeöverföring är (W) (5-5) for a heat exchange surface A (m ), temperature difference T (K, C) between the media or materials, and heat transfer coefficient h, unit: W/(m K). 5 In fact, the heat is conducted away from the heat transfer surface (or towards this surface) to (or from) the flowing medium by heat conduction, as described by Fourier s Law (see section 5.). As will be discussed below, the convective heat transfer resistance is confined to a thin (0.0 ~ mm) layer of the flowing medium at the heat transfer surface, which is referred to as the (heat transfer) boundary layer - see also chapter 6. 5 Do not confuse the symbol h with its common use for enthalpy! In some literature the symbol α is used for a heat transfer coefficient in order to avoid confusion, for example ÖS96. för en värmeöverföringsyta A (m ), temperaturskillnad T (K, C) mellan medierna eller materialen, samt värmeöverföringskoefficienten h, med enhet: W/(m K). 6 I själva verket leds värme bort från värmeöverföringsytan (eller till ytan) genom konduktion till (eller från) det strömmande mediet, i enlighet med Fouriers lag (se avsnitt 5.). Enligt vad som diskuteras nedan, är den konvektiva värmeresistansen begränsad till ett tunt skikt (0,0 ~ mm) i det strömmande mediet, kallat (värmeöverföringens) gränsskikt se också kapitel 6. 6 Blanda inte ihop symbolen h med entalpi, som den också används för! I en del litteratur används symbolen α för värmeöverföringskoefficienten för att undvika missförstånd, se t.ex. ÖS

7 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven With heat transfer Q at the surface (say, y=0), and conductivity λ BL for the boundary layer medium, and h is then defined as Q h It can be stated that the heat transfer coefficient h, which is based on empirical understanding, contains all we do not know about the convective heat transfer process. The heat transfer coefficient depends on the geometry flow velocity (or velocities, if both media are fluids) type of flowing media (gas, liquid) temperatures of the two media. Thus, for a certain situation the system geometry, flow velocities and physical properties of the media (grouped in a few dimensionless groups, as will be shown below) determine the value for h. As mentioned, heat convection that results from a forced fluid flow must be distinguished from natural (or free) heat convection that is caused by fluid flow that results from density differences that, in turn, can be the result of temperature differences see Fig BL dt A dy BL Med värmeöverföringen Q på ytan (t.ex. y=0) och konduktiviteten λ BL för gränsskiktets medium är y 0 (5-6) och h definieras som dt dy y 0 (5-7) T Det kan påpekas att värmeöverföringskoefficienten h, som är baserad på empiri, innehåller allt det vi inte vet om den konvektiva värmeöverföringsprocessen. Värmeöverföringskoefficienten beror på bägge mediers geometri flödeshastighet (eller hastigheter, om båda är fluider) typ av fluid (gas, vätska) temperaturer. Värdet på h bestäms således, för en given situation, av systemets geometri, flödeshastigheter och mediernas fysikaliska egenskaper (grupperade i några dimensionslösa grupper, enligt vad som visas nedan). Som redan nämndes, måste man skilja på värmekonvektion som resultat av påtvingat flöde och på naturlig värmekonvektion, härstammande från flöden orsakade av densitetsskillnader, som i sin tur kan vara orsakade av temperaturskillnader se Fig Fig. 5.8 Forced (a) and natural (b) convection heat transfer Påtvingad (a) och naturlig (b) konvektiv värmeöverföring (KJ05) As shown in Table 5., values for the heat transfer coefficient for forced convection are significantly higher than those for natural convection. Värden för värmeöverföringskoefficienten för påtvingad konvektion är betydligt högre än motsvarande för naturlig konvektion, vilket framgår av tabell 5.. Tab. 5. Typical values for forced and natural convection heat transfer Typiska värden för påtvingad och naturlig konvektiv värmeöverföring (KJ05) 5-7

8 5. Värmeöverföring v. 0/3 5.. Boundary layers, fluid flow, viscosity, Prandtl number Because forced convective heat transfer is largely determined by the fluid dynamics of the flow that carries the heat to/from a surface, some concepts of fluid dynamics must be introduced here see Chapter 6 for more detail on this subject. An important feature of fluid flow is that depending on the structure or object it flows around, or the tube it flows in, it shows a profile of differing velocities. This velocity profile is the result of zero velocity ( no slip ) with an object or other material at a contact surface, and interactions (momentum transfer) between fluid segments with different velocities. This is illustrated by the boundary layer flow in Fig Gränsskikt, flöden, viskositet, Prandtls tal Eftersom påtvingad konvektiv värmeöverföring långt bestäms av flödesdynamiken hos den ström som för värme från/till en yta måste vissa flödesdynamiska koncept introduceras här se kapitel 6 för en mera ingående beskrivning av ämnet. En viktig egenskap hos fluida flöden är att, beroende på strukturen på det föremål fluiden strömmar runt, eller det rör den strömmar igenom, uppvisar den en icke-uniform hastighetsprofil. Denna hastighetsprofil är ett resultat av att flödeshastigheten är noll (sk. no slip ) vid en kontaktyta, och att flödessegment med olika hastigheter interagerar (överföring av rörelsemängd) sinsemellan. Detta illustreras av gränsskiktströmningen i Fig Fig. 5.9 Bounday layer flow with velocity profile. Gränsskiktströmning med hastighetsprofil (KJ05) At low velocities a fluid flow can be visualised as layers ( lamina ), each with a certain velocity, that interact via so-called shear stresses that (besides compressive forces) deform them. Viscous forces between such layers imply maintaining this layered structure while dampening oscillations. With increasing velocities the shear forces cannot prevent that oscillations result in rotations and swirl occurs see Fig. 5.0: so-called turbulent eddies are produced. Vid låga hastigheter kan ett fluidflöde visualiseras som skikt ( lamina ) med olika hastigheter som interagerar via så kallade skjuvspänningar, vilka (utöver komprimerande krafter) deformerar dem. Viskösa krafter mellan dylika skikt håller ihop den skiktade (laminära) strukturen, medan de dämpar oscillationer. När hastigheterna ökar kan inte skjuvkrafterna längre hindra att oscillationerna resulterar i rotationer och virvlar uppstår - se Fig. 5.0, turbulenta virvlar bildas. Fig. 5.0 Fluid elements deformation and rotation Fluidumelementets deformering och rotation Fluid viscosity to be discussed in more detail in section 6. is the fluid material property that determines the transition Viskositet diskuteras mera detaljerat i avsnitt 6. är den materialegenskap hos en fluid som avgör övergången från 5-8

9 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven from laminar flow to turbulent flow, together with the velocity v (note: a vector) of the flow, a length dimension L of the flow (for example, tube diameter) and the density ρ of the flow. It was observed by O. Reynolds in 883 in a well-known dyestreak experiment (see Chapter 6) that the flow of fluid in a circular tube changes from laminar to turbulent at Reynolds number Re ~ 300 (being fully turbulent at Re = 4000), where the dimensionless Reynolds number is defined as laminärt till turbulent flöde, tillsammans med flödeshastigheten v (obs: en vektor), en längddimension för flödet (t.ex. rördiameter) och flödets densitet. O. Reynolds observerade 883, utgående från ett välkänt bläckstråleexperiment (se kapitel 6), att ett fluidflöde i ett rör ändrar från laminärt flöde till turbulent vid Reynolds tal Re ~ 300 (och fullständigt turbulent vid Re = 4000). Det dimensionslösa Reynolds tal definieras som v L Re v L ~ inertial force (tröghetskraft) viscous force (viskös kraft) (5-8) where η is the dynamic viscosity (unit: Pa s). For a volume flow V (m 3 /s) through a cross section A (m ), the velocity v can be taken to be the cross-sectional average velocity <v> = V /A (m/s) in the direction of the flow. Viscosity, a material property for a fluid, is a measure for a fluid s resistance to flow. It determines the internal friction of a moving fluid (which eventually results in lower velocities or pressure drop). Also widely used besides dynamic viscosity η is the kinematic viscosity ν = η/ρ (unit: m /s). Likewise, for flow along a plane surface such as shown in Fig. 5.9 the boundary layer becomes turbulent for Re x = ρ V x/η = 5 0 5, with distance x (m) along the surface, and velocity of the undisturbed flow V (m/s). This is illustrated by Fig. 5.. där η är den dynamiska viskositeten (enhet: Pa s). För ett volymflöde V (m 3 /s) genom en tvärsnittyta A (m ), kan hastigheten v antas vara tvärsnittets medelhastighet <v> = V /A (m/s) i flödets riktning. Viskositet, en materialegenskap, är ett mått på fluidens flödesmotstånd. Den avgör den interna friktionen hos en strömmande fluid (vilket leder till lägre hastighet eller tryckfall). Vid sidan om dynamisk viskositet η används också ofta kinematisk viskositet ν = η/ρ (enhet: m /s). På samma sätt blir för ett flöde längs en plan yta, illustrerat i Fig. 5.9, gränsskiktet turbulent då Re x = ρ V x/η = 5 0 5, för avståndet x (m) längs ytan och det ostörda flödets hastighet längs ytan V (m/s). Detta illustreras av Fig. 5.. Fig. 5. A laminar + turbulent boundary layer Ett läminärt + turbulent gränsskikt (KJ05) Indicated in Figs. 5.9 and 5. is also that the thickness, δ (m) of the (here: hydrodynamic) boundary layer is typically taken as the position where the flow Figurerna 5.9 och 5. indikerar också att tjockleken, δ (m), på (här: hydrodynamiska) gränsskiktet räknas vanligen från det läge där flödeshastigheten är 99% 5-9

10 5. Värmeöverföring v. 0/3 velocity is 99% of that of the undisturbed flow: v(x) / V = Forced convective heat transfer is strongly controlled by the thickness of the boundary layer, which varies with the position at the heat transfer surface and is therefore often determined as an average value for the surface. The heat transfer resistance can be considered to be confined to a thermal boundary layer, as shown in Fig. 5.. av det ostörda flödets hastighet: v(x) / V = Påtvingad konvektiv värmeöverföring är starkt kontrollerad av gränsskiktets tjocklek, som varierar med läget på värmeöverföringsytan och är därför ofta representerat av ett medelvärde för ytan. Värmeöverföringsmotståndet kan antas vara begränsat till ett termiskt gränsskikt, enligt Fig. 5.. Fig. 5. Thermal bounday layer with temperature profile. Termiskt gränsskikt med temperaturprofil (KJ05) There is, however, a detail that must be taken into account: the thicknesses the of the hydrodynamic (δ) and thermal boundary (δ T ) layer are not the same. The simple reason for this that the physical mechanisms for the diffusion of heat given by a = λ/ρ c p (m /s) and momentum as determined by ν = η/ρ (m /s) are different. This is quantified for by the dimensionless group named after L. Prandtl: Det bör noteras att det hydrodynamiska (δ) och det termiska (δ T ) gränskikten tjocklekar inte är de samma. Den enkla orsaken för detta är att de fysikaliska mekanismerna för värmediffusion, som bestäms av a = λ/ρ c p (m /s), och rörelsemängd, som bestäms av ν = η/ρ (m /s), är olika. Detta kvantifieras av den dimensionslösa storhet som namngetts efter L. Prandtl: Pr a c p Typical values for Prandtl numbers are given in Fig For a simple di-atomic gas Pr ~ 0.7 and Pr /3 ~ 0.9. T viscous diffusion rate thermal diffusion rate 3 c p ( / ) 3 a 3 Pr 3 (5-9a) (5-9b) Typiska värden för Prandtls tal ges i Fig För en enkel diatomisk gas är Pr ~ 0.7 och Pr /3 ~ 0.9. Fig. 5.3 Prandtl numbers for typical liquids and gases. Prandtl-tal för typiska vätskor or gaser (KJ05) 5-0

11 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven Note that the parameters in Pr all vary with temperature (and pressure); it is common practice use average values for ρ, η, λ, c p for boundary layer ( film ) temperature T film = ½ (T s + T ) for Fig In many cases the heat conductivity of the (flowing) fluid medium is (much) lower than that of the surface material. The very thin fluid layer is then the largest heat transfer resistance and heat transfer limitations on the side of the object or other medium can be neglected (see also section 5.3). For the thermal boundary layer, two heat balances hold, which gives some insight into the heat transfer coefficient Q Q " h ( T A surface T fluid with/med y h T showing that thin boundary layers promote heat transfer. ) h T T Observera att alla parametrar i Pr beror på temperatur (och tryck). Det är praxis att använda medelvärden för ρ, η, λ, c p vid gränsskikt ( film ) temperaturen T film = ½ (T s + T ) för Fig I många fall är det strömmande mediets värmekonduktivitet (mycket) lägre än ytmaterialets. Det mycket tunna fluidskiktet bidrar då med det största värmeöverföringsmotståndet och värmeöverföringsbegränsningar från föremålets eller det andra mediums sida är negligerbara (se också avsnitt 5.3). För det termiska gränsskiktet gäller två värmebalanser, vilka ger en insikt i värmeöverföringskoefficientens natur fluid dt dy T fluid T surface h fluid fluid T T y surface (5-0) som visar att ett tunt gränsskikt gynnar värmeöverföringen. 5.. Nusselt number In the previous section it was shown that the convective heat transfer coefficient can be related to the thickness δ T of the thermal boundary layer. Unfortunately, it is complicated and often impossible to determine (local) values for δ T, and therefore another procedure is followed, based on a dimensionless group named after W. Nusselt. The Nusselt number Nu, follows from comparing the convective heat transfer to the heat transfer through a thermal boundary layer 5.. Nusselts tal I föregående avsnitt visades det att den konvektiva värmeöverföringskoefficienten kan relateras till det termiska gränsskiktets tjocklek δ T. Tyvärr är det svårt, ofta omöjligt, att bestämma (lokala) värden för δ T och därför följs ofta en annan metod, baserad på en dimensionslös grupp uppkallad efter W. Nusselt. Nusselts tal, Nu, fås genom att jämföra den konvektiva värmeöverföringen med värmeöverföringen genom ett termiskt gränsskikt. Q conv h A T fluid T A T Q Q conv cond Q cond h T fluid fluid Nu dt A dy fluid T A T (5-, 5-, 5-3) This shows that for an idealised laminar boundary (as in Fig. 5.9), Nu =. In more general geometries (which may be quite complicated, with fluid flow velocities depending on position, around or in complex structures or channels) the boundary layer thickness varies strongly with position. For those cases a Nusselt number is produced likewise, base on a Enligt detta, för ett idealt laminärt gränsskikt (som i Fig. 5.9), är Nu =. I mera allmänna geometrier (som kan bli ganska komplicerade, med flödeshastigheter beroende på läge, omkring eller i komplicerade strukturer eller kanaler), gränsskiktstjockleket varierar kraftigt med läget. I sådana fall bildas Nusselts tal på liknande sätt, baserat på 5-

12 5. Värmeöverföring v. 0/3 length scale, say, L (m) of the geometry, the value for the heat transfer coefficient is determined using h L Nu fluid This relates Nu to the fluid flow via Re and to the properties of the boundary layer via Pr. In some cases other parameters enter the expressions for Nu, via other dimensionless groups see below. The relation between Nu, Re and Pr can also be produced using a procedure known as dimensional analysis for more detail see ÅA course Mass transfer and separation technology 4430, Z3, or textbook Z06. In short, this procedure aims at producing a general expression for the heat transfer coefficient, using a list of relevant process parameters with flow velocity v, length scale L, and conductivity, viscosity, density and heat capacity of the fluid medium. According to the so-called PI theorem by Buckingham (B4), this problem of 7 variables, with 4 base units (m, s, kg, K) see section. results in 3 dimensionless groups, i.e. Nu, Re and Pr. A set of experiments can then generate the coefficients a,b,c of an empirical expression of the type Nu = a Re b Pr c. (Since the expression is dimensionless the necessary experiments can be done at another scale (size) than what would be a final design objective, saving time, money and resources. A pre-requirement for this is that the values for the dimensionless groups are similar for the experimenting and the final design. As said more detail is given elsewhere and cannot be included in the material for this course.) heat convection (värmekonvektion) heat conduction (värmeledning) h f(v,l,,,,c en längdskala, t.ex. L (m), för geometrin, och värmeöverföringskoefficientens värde bestäms med hjälp av f( Re, Pr ) Detta relaterar nu till fluidflödet genom Re och till gränsskiktets egenskaper genom Pr. I vissa fall fås uttryck för Nu som är beroende också av andra parametrar, genom andra dimensionslösa grupper se nedan. Förhållandet mellan Nu, Re och Pr kan också fås genom en metod som kallas dimensionsanalys för en djupare insikt, se ÅA kursen Massöverföring och separationsteknik 4430, Z3, eller i textboken Z06. I korthet strävar denna metod efter att producera ett allmänt uttryck för värmeöverföringskoefficienten utgående från en mängd relevanta processparametrar (5-5) p ) (5-4) med flödeshastigheten, v, längdskala, L, samt det fluida mediets konduktivitet, viskositet, densitet och värmekapacitet. Enligt Buckinghams pi-teorem (B4), resulterar detta problem, med 7 variabler och 4 basenheter (m, s, kg, K), se avsnitt. i 3 dimensionslösa grupper, Nu, Re och Pr. En uppsättning experiment kan generera koefficienterna a, b, c för ett empiriskt uttryck av typen Nu = a Re b Pr c. (Eftersom uttrycket är dimensionslöst, kan de nödvändiga experimenten utföras på en annan skala än den slutliga designen och på så sätt spara tid, pengar och resurser. Ett krav för detta är att värdena på de dimensionslösa grupperna är av samma storleksordning för både experiment och slutlig design. Som sagt, en detaljrikare förklaring ges annanstans och kan inte inkluderas i materialet för denna kurs.) 5..3 Expressions for heat transfer coefficient and Nusselt number Several geometries are of great importance in technical applications and for these convective heat transfer and Nu numbers are well defined. One example is an flow over an 5.. Uttryck för värmeöverföringskoefficienten och Nusselts tal Flertalet geometrier är av stor betydelse i tekniska sammanhang och för dessa är konvektiv värmeöverföring och Nusselts tal väldefinerade. 5-

13 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven isothermal flat plate, as in Fig Three cases can be considered, depending on whether the boundary layer shows a transition from laminar to turbulent. This occurs at the position x where Re x = v x ρ/η a. The boundary layer is laminar over the entire plate. b. The boundary layer is for a large part turbulent. c. The turbulent boundary layer extends over almost the entire plate. Ett exempel är flöde över en isotermisk plan yta som i Fig Tre fall kan beaktas, beroende på om gränsskiktet visar en övergång från laminärt till turbulent flöde. Detta sker vid det läge x där Re x = v x ρ/η a. Gränsskiktet är laminärt över hela ytan. b. Gränsskiktet är till stor del turbulent. c. Det turbulenta gränsskiktet sträcker sig över nästan hela ytan. Fig. 5.4 to/from an isothermal flat plate Värmeöverföring till/från en plan yta (KJ05) Indicated in the Figs. is also the average value Re L for length x = [0,L], defined as ReL L Nusselt numbers for this geometry are given in Table 5., for an isothermal plate. L 0 Re x I figurerna indikeras också medelvärdet Re L för längden x = [0,L], definierat som dx Nusselts tal för en isotermisk plan yta ges i tabell 5.. Tab. 5. Nusselt numbers for heat transfer to/from an isothermal flat plate Nusselt-tal för värmeöverföring till/från en plan yta (KJ05) (5-6) hx x Nux 0.33 Re hx x Nux Rex averaged over local Nusselt numbers / x 4 / 5 Pr Pr / 3 / 3 length L Nusselt numbers h L / / 3 NuL ReL Pr h L 4 / 5 NuL (0.037 ReL 87) Pr h L 4 / 5 / 3 NuL ReL Pr / 3 for / för Re / medelvärde Nusselt-tal för längden L : for / för / lokala Nusselt-tal : for / för Re x for / för Re 5 for / för Re L x L 5 0 Re 0 L Pr Pr 60 8 Pr Pr Pr 60 (5-7) (5-8) (5-9) (5-30) (5-3)

14 5. Värmeöverföring v. 0/3 The expressions in Table 5. can also be used for the somewhat different situation of a constant heat flux Q ". For the local Nu x the constants 0.33 and become and , respectively; for the averaged values Nu L there is no significant difference with the isothermal case. Flow situations can be divided into two important geometries or situation types: Flow along an (outside) surface or around an obstacle, external flow Flow inside a channel (most importantly tube flow), internal flow A generalised expression for flow around obstacles (with characteristic size or diameter D) is Uttrycken i Tabell 5. kan också användas för den aningen annorlunda situationen, då värmeflödet Q " är konstant. Konstanterna för de lokala värdena på Nu x 0,33 och 0,096 blir då 0,453 och 0,0308. För de genomsnittliga värdena Nu L är situationen i praktiken oförändrad från det isotermiska fallet. Omständigheterna för ett flöde kan delas in i två viktiga geometrier eller situationer: Flöde längs (utsidan) av en yta eller runt ett föremål, externt flöde Flöde inuti en kanal (framförallt rörströmning), internt flöde Ett allmänt uttryck för flöde runt ett föremål (med karakteristisk storlek eller diameter D) kan ges som h D Nu C Re λ m D Pr n 6 ; Re 0, 0.7 Pr 500 (5-3) with values for C and m (as function of Re D ) and n ~ ⅓ (as function of Pr) taken from tables. A correction factor for T surface << T flow or T surface >> T flow can be added, since ρ=ρ(t), η=η(t), c p =c p (T), λ=λ(t). For convection over a spherical surface (diameter D): hd NuD (0.4Re for/för 3.5 Re where the last factor is a (viscosity) correction for T surface << T flow or T surface >> T flow with η s = η(t surface ) at the surface. For convection over a cylindrical surface (diameter D), in crossflow: hd NuD C Re where again the last term is a correction for T surface << T flow or T surface >> T flow. The values for the parameters C, m and n are given in Table 5.3. D / D m D med värden för C och m (som funktion av Re D ) och n ~ ⅓ (som funktion av Pr) tagna ur tabeller. En korrektionsfaktor för T yta << T flöde eller T yta >> T flöde kan tilläggas, eftersom ρ=ρ(t), η=η(t), c p =c p (T), λ=λ(t). För konvektion över en sfärisk yta (med diametern D): 0.06Re Pr n / 3 D and/och )Pr 0.4 ( ) s / Pr 380 där den sista faktorn är en (viskositets-) korrigering för T yta << T flöde eller T yta >> T flöde, med η s = η(t yta ) vid ytan. För konvektion vinkelrätt över en cylindrisk yta (med diametern D): ( Pr Pr surface / 4 ) där den sista faktorn igen är en korrigering för T yta << T flöde eller T yta >> T flöde. Värdena för parametrarna C, m och n finns givna i Tabell 5.3. Tab. 5.3 Parameters for Nu for crossflow over a cylinder Parametrar för Nu för strömning vinkelrätt mot en cylinder (T06) (5-33) (5-34) 5-4

15 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven Also very important are flows in tubes. For laminar flow in a tube (Re D < ) with diameter D, for constant wall temperature: Nu D = h D/λ = 3.66; for constant heat flux: Nu D = h D/λ = For turbulent flows in pipes (with diameter D and length L) the following expression is used: for/för Re and for /och för T Nu T For turbulent pipe flows (with diameter D) where the temperature differences between wall and flow are large (T wall >> T flow, or T wall << T flow ) a better result is obtained with the following expression: for/för Re Nu D and for /och för T D D wall D 0, 03Re 0000, 0.7 Pr 60, T flow : n 0,3 ; Flöden i rör är också av särskild betydelse. För laminärt flöde i ett rör (Re D < ) med diameter D, för konstant väggtemperatur: Nu D = h D/λ = 3,66. För konstant värmeflöde: Nu D = h D/λ = 4,36. För turbulent flöde i rör (med diametern D och längden L) används följande uttryck: 0, 8 D : n 0,3 ; Pr n T wall 0000, 0.7 Pr 6700, wall 0, 8 n 0, 07 Re D Pr ( 0. 4 ) flow T L/D 0 flow : n 0,4 För turbulent flöde i ett rör (med diameter D) med stora temperaturskillnader mellan väggen och strömningen (T vägg >> T flöde eller T vägg << T flöde ) fås ett bättre resultat med följande uttryck: wall T wall T flow L/D 0 : n 0,4 (5-35) (5-36) where the last factor, correcting for the effect of a large difference in viscosity, is known as the Sieder-Tate correction. Obviously, not all tube or channel flows involve round tubes: for other geometries a so-called hydraulic diameter is used for diameter D see section 6.4. där den sista faktorn, som korrigerar för stora skillnader i viskositeten, kallas Sieder-Tates korrigering. Självklart sker all rörströmning inte i runda rör. För andra geometrier används en så kallad hydraulisk diameter istället för diametern D se avsnitt 6.4. Fig. 5.5 Velocity (a) and thermal (b) boundary layer in the entrance region of a channel. Hastighets- (a) och termiskt (b) gränsskikt i inträdesområdet för rörströmning (KJ05) An aspect that must be noted for relatively short tubes is the entrance effect as illustrated in Fig Clearly, some distance from the entrance is needed for the boundary layers to build up so-called developed flow. In the entrance region the heat transfer rate is higher as a result of thinner boundary layers present there. For laminar flow this can be accountted for by the dimensionless Graetz number, defined as Re Pr D Gz x v D a x 5-5 En aspekt som måste noteras för relativt korta rör, är inträdeseffekten illustrerad i Fig Det krävs ett visst avstånd från öppningen innan gränsskikten bildat ett så kallat utvecklat flöde. I inträdesområdet är värmeöverföringen högre p.g.a. tunnare gränsskikt där. För laminärt flöde kan detta representeras av det dimensionslösa Graetz-talet, definierat som (5-37)

16 5. Värmeöverföring v. 0/3 for a length section x from the entrance of a tube with diameter D. 7 For the entrance region Gz > 0, for developed flow Gz < 5. For circular tube flow with constant wall temperature the following expression can be used for laminar flow: For turbulent tube flow this can be corrected for by a factor D Nu Nu ( ) L for tube length L, diameter D. Many other system geometries are possible, like tube bundles, clouds or swarms of droplets, bubbles or solid particles, packed or fluidised beds, etc. etc. a very useful source for Nu numbers and heat transfer coefficients is the Wärmeatlas of the German VDI. A special case, important for technical applications occurs for a tube flow where the temperature of the wall is constant over the whole length see Fig Gz Nu Nu, Re 300 / Gz 0.7 för en längdsektion x från öppningen till röret, med diametern D. 8 För ett inträdesområde är Gz > 0, för utvecklat flöde är Gz < 5. För ett laminärt flöde i ett cirkulärt rör, med konstant väggtemperatur, kan följande uttryck användas: För ett turbulent flöde kan detta korrigeras med en faktor, Re 4000 (5-38a) (5-38b) med rörlängden L och diametern D. Många andra geometrier är möjliga, som t.ex. rörknippen, moln av droppar, bubblor eller fasta partiklar, packade eller fluidiserade bäddar etc. en mycket användbar källa för värden Nu och värmeöverföringskoefficienter det tyska VDIs Wärmeatlas. Ett viktigt specialfall för tekniska applikationer gäller för strömning i rör, där väggtemperaturen är konstant över hela längden se Fig Fig. 5.6 Convective heat transfer in tube flow with constant wall temperature. Konvektiv värmeöverföring för rörströmning med konstant väggtemperatur (KJ05) For this case the expression for a heat exchanger see Chapter 4. can be used Q m c ( T T ) U flow with temperature differences T i at inlet position i and T e at exit position e, heat exchange surface A (m ) and overall heat transfer coefficient U (W/(m K). The logarithmic-mean temperature T lm is defined as (see also Eq. (4-6)): p e i T lm A Ti ln I det fallet kan uttrycket för en värmeväxlare användas se kapitel 4. Ti Te T i ln T e U A T lm (5-39) med temperaturskillnaden T i vid inloppet i och T e vid utloppet e, värmeöverföringsytan A (m ) och värmegenomgångstalet U (W/(m K). Den logaritmiska medeltemperaturen T lm defineras som (se även ekv. (4-6)): Te T i (5-40) T e 7 In some literature defined as /Gz = Re Pr D/x for example BMH99, SSJ84 8 Definieras i viss litteratur som /Gz = Re Pr D/x t.ex. BMH99, SSJ84 5-6

17 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven A diagram that gives the logarithmic mean temperature T lm as function of two temperature differences T L and T 0 is added to this chapter as an Appendix Overall heat transfer coefficient Ett diagram, ur vilket den logaritmiska medeltemperaturen T lm fås som funktion av två temperaturskillnader T L och T 0, finns som bilaga till detta kapitel Värmegenomgångstal The overall heat transfer coefficient U follows from the resistances, in series, of convective heat transfer at the inside, h in, and outside, h out, and the conductive resistances for material layers with thickness d i and conductivities λ i : U h This is illustrated by Fig. 5.7 for a heat flux Q " (W/m ) from fluid (flow) through a wall (and dirt layer) to fluid (flow) equal to Q " = U (<T > <T >) with (average) temperatures <T > and <T >. in d i i i Värmegenomgångstalet U (äv. total värmeöverföringskoefficient) fås av insidans och utsidans konvektiva värmemotstånd h in respektive h out, samt de konduktiva motstånden för de olika materialskikten, med tjocklek d i och konduktivitet λ i, i serie efter varandra: h out (5-4) Detta illustreras av Fig. 5.7 för ett värmeflöde Q " (W/m ) från en fluid (- ström), till en vägg (med ett smutslager), till en fluid (-ström). Värmeflödet Q " = U (<T > <T >) med (medel-) temperaturerna <T > och <T >. A A A 3 Fig. 5.7 Overall heat transfer resistance composed of convective and conductive resistances Totala värmeöverföringsresistansen uppbyggd av konvektiva och konduktiva resistanser (BMH99) The overall resistance /U equals the sum of resistances: dw dd U h h Note that if the interface surfaces are curved, A A A 3, this must be taken into account: A dw A U h A A with/med A w A A, w d avg, w A A avg,w dd d d 5-7 Det totala motståndet /U är lika med summan av alla resistanser: A Rheat totala (5-4) G A A heat total Notera att om gränssnittsytornas areor är böjda, dvs A A A 3, måste skillnaden i area tas i beaktande: avg, d d d h d d d d d w, A A R A A avg,d heat total A d d d (5-43) (5-44)

18 5. Värmeöverföring v. 0/3 More on combining convective and conductive heat transfer will follow in section Natural (or free) convection Relatively small velocities but noticeable motion occurs in an a medium as a result of density (or concentration) differences, where material with lower density will move upwards with respect to more dense material. This can give rise to natural, or free, convective heat transfer that may be neglected for most technical applications. Nonetheless this heat transfer mechanism can become an important (side-) effect that must be controlled or can be beneficial and for that reason it must be well understood. Similar to forced convection a heat transfer coefficient can be calculated, again making use of a Nusselt number but the expressions are somewhat different. If at the same time also forced convection occurs then the value for the Re number for the forced allows for assessing whether natural convection, forced convection or both must be considered. The phenomenon of natural convection is illustrated in Fig. 5.8, showing again a heat transfer boundary layer with thickness δ h (= δ T ). Mera om att kombinera konvektiv och konduktiv värmeöverföring följer i avsnitt Naturlig konvektion, eller egenkonvektion Relativt små hastigheter men observerbar rörelse förekommer i ett medium som en konsekvens av densitetsskillnader (eller koncentrationsskillnader), där ämnet med lägre densitet förflyttas uppåt i förhållande till det tätare ämnet. Detta kan ge upphov till naturlig (ibland kallad egen- eller fri) konvektion, som kan bortses från i de flesta tekniska sammanhang. Trots det kan denna värmeöverföringsmekanism komma att vara en betydelsefull (sido-) effekt som måste kontrolleras, eller kan dras nytta av, och måste därför vara bekant. Precis som vid påtvingad konvektion kan en värmeöverföringskoefficient beräknas, även här med hjälp av Nusselts tal, men med ett litet avvikande uttryck för Nu. Då påtvingad konvektion förekommer samtidigt, kan värdet på Re för det påtvingade flödet användas för att avgöra huruvida naturlig konvektion, påtvingad konvektion eller båda måste beaktas. Fenomenet naturlig konvektion illustreras i Fig. 5.8, där ett gränsskikt för värmeöverföringen, med tjockleken δ h, (= δ T ) igen förekommer. Fig. 5.8 Natural convection as a result of temperature differences in a medium Naturlig konvektion som ett resultat av temperaturskillnader i ett medium (BMH99) A hot (or cold) surface can cause a temperature gradient in a surrounding medium, and the resulting density differences ρ induce convection. Also, the convection can be induced by En het (eller kall) yta kan orsaka en temperaturgradient i ett omgivande medium, där de resulterande densitetsskillnaderna ρ ger upphov till konvektion. Konvektion kan också orsakas av 5-8

19 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven concentration differences that are the result of a chemical reaction taking place, for example at or near a catalyst surface (see also ÅA course Mass transfer and separation technology 4430). For natural convection (usually laminar) along a surface as a result of a temperature difference T = T wall (at the surface) T (in the undisturbed medium), the Nu number for heat transfer i a function of Gravity, g, and Coefficient of expansion of volume V of the medium β = (/V) ( V/ T) p=const taken for T=T. Note that for an ideal gas at temperature T, β = /T; T in K. The effect of T and β on density is taken as the combination β T = ρ/ρ wall, showing the density difference that occurs. Similar to forced convection, a dimensional analysis produces the relation between the relevant parameters as a set of dimensionless groups: h f( T, g,l,,,,c koncentrationsskillnader som uppstått till följd av en kemisk reaktion, t.ex. invid ytan på en katalysatorpartikel (se också ÅAkursen Massöverföring och separationsteknik 4430). Nu talet för värmeöverföring vid naturlig konvektion, (vanligtvis laminär) längs en yta, orsakats av en temperaturskillnad T = T vägg (vid ytan) T (i det ostörda mediet), är en funktion av Gravitation, g, och Mediets volymetriska expansionskoefficient β = (/V) ( V/ T) p=konst vid T=T. Notera att för en idealgas vid temperaturen T, β = /T där T ges i K. Effekten av T och β på densiteten kan antas vara β T = ρ/ρ wall och påvisar således den densitetsskillnad som förekommer. På samma sätt som vid påtvingad konvektion, ger en dimensionsanalys förhållandet mellan de relevanta parametrarna som en mängd dimensionslösa grupper: Nu f(gr,pr) (5-45) 3 with /med Gr L ( T ) g where g is the gravity acceleration and Gr där g är gravitationsaccelerationen och Gr is a dimensionless number named after F. ett dimensionslöst tal uppkallat efter F. Grashof. For a number of geometries the Grashof. Nu för ett antal geometrier ges i values for Nu are given in Table 5.4. tabell 5.4. Table. 5.4 Expressions for Nu number for natural convection Uttryck för Nu talet för naturlig konvektion p ) Vertical plates or cylinders Nu = 0.59 (Gr Pr) /4 0 3 <Gr Pr<0 8 Nu = 0.3 (Gr Pr) /3 Gr Pr>0 8 Horizontal cylinders Nu = 0.53 (Gr Pr) /4 0 3 <Gr Pr<0 8 Nu = 0.3 (Gr Pr) /3 Gr Pr>0 8 Horizontal plate Nu = 0.54 (Gr Pr) /4 0 5 <Gr Pr< 0 7 (above heated or below cooled) Nu = 0.7 (Gr Pr) /3 Gr Pr> 0 7 Horizontal plate Nu = 0.7 (Gr Pr) /4 Gr Pr>3 0 5 (below heated or above cooled) (5-46) (5-47) (5-48) (5-49) (5-50) (5-5) (5-5) In Table 5.4 the combination Gr Pr is seen in all expressions: it is also known as the dimensionless group Ra named after lord Rayleigh. Also, values of Ra = Gr Pr ~ separate laminar from turbulent natural convection, therefore two expressions for most cases. I tabell 5.4 finns kombinationen Gr Pr i samtliga uttryck: den är också känd som den dimensionslösa gruppen Ra, efter lord Rayleigh. Värden på Ra = Gr Pr ~ åtskiljer också laminär från turbulent naturlig konvektion. Därför behövs två uttryck i de flesta fall. 5-9

20 5. Värmeöverföring v. 0/3 Finally, natural convection is more important than forced convection if Re << Gr (and vice versa). If Re² ~ Gr then both natural and free convection most be considered. When Nu forced convection and Nu natural convection are known, they can be combined (as parallel resistances ~ /Nu): Nu total Nu forced conv. (tvungen k onv.) and the overall value for the heat transfer coefficient is determined from Nu total. For a range of applications, values for local (h) and total (U) heat transfer coefficients are tabelised in Table 5.5 Slutligen, naturlig konvektion är av större betydelse än påtvingad konvektion om Re << Gr (och vice versa). Om Re ~ Gr måste både naturlig och påtvingad konvektion tas i beaktande. När både Nu påtvingad konvektion och Nu naturlig konvektion är kända kan de kombineras (som parallella motstånd ~ /Nu): (5-53) Nu natural conv. (naturlig konv.) och det totala värdet på värmeöverföringskoefficienten bestäms av Nu total. Tabell 5.5 ger värden på lokala (h) och totala (U) värmeöverföringskoefficienter för en rad tillämpningar. Table. 5.5 Typical values for local and total heat transfer coefficients Typiska värden för lokala och totala värmeöverföringskoefficienter (BMH99) Fig. 5.9 Heat conduction in a layered copper / rubber material Värmeledning i ett skiktmaterial kopper/gummi (KJ05) 5.3 Combined conduction and convection heat transfer; the lumped system approximation In circumstances where one thermal resistance is much larger than another (or more others), important simplifications can be made. For example, in a two-layer structure of rubber (λ = 0.3 W/m K) and copper (λ = 400 W/m K), both with thickness cm, the thermal resistances (per m ) are 0.54 K/W and K/W, respectively see Fig As a result here is a negligible temperature gradient across one of the materials and that heat transfer resistance may be neglected. 5.3 Kombinerad konduktiv och konvektiv värmeöverföring; sk. lumped system approximering I fall där ett värmemotstånd är mycket större än ett annat (eller andra) kan viktiga förenklingar göras. T.ex. för en struktur i två skikt bestående av gummi (λ = 0,3 W/m K) och koppar (λ = 400 W/m K), båda av tjockleken cm, är värmemotstånden (per m ) 0,54 K/W, respektive 0,00005 K/W se Fig Följaktligen är temperaturgradienten negligerbar över det ena materialet och kan således bortses från. 5-0

21 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven Fig. 5.9 Heat conduction in a layered copper / rubber material Värmeledning i ett skiktmaterial koppar/gummi (KJ05) Very often conductive heat resistances are much smaller than convective heat resistances. The cool down (or heat-up) of a body that is suddenly immersed in a colder (or hotter) fluid see Fig. 5.0 depends on how fast heat is transferred to/from the interface surface at both sides of it. Konduktiva värmemotstånd är väldigt ofta mycket mindre än de konvektiva. Nedkylning (eller upphettning) av ett kropp som nedsänks i en kallare (eller varmare) vätska se Fig. 5.0 beror på hur snabbt värme överförs till/från gränsytorna på båda sidorna. Fig. 5.0 from a submerged hot object in a cold fluid Värmeöverföring från ett varmt objekt nedsänkt i en kall vätska (KJ05) Besides heat transfer resistances on the fluid side, heat conductivity inside the immersed body may become limiting. But the object can also be a bubble or droplet where internal mixing significantly increases heat transfer! The time it takes for the centre of the immersed body to reach the same temperature as its surface depends on the ratio between the resistances for convective and conductive heat transfer, R heat cond and R heat conv. In transient situations, temperatures are a function of time and position, but the so-called lumped system approach can be used when variations with position (inside a material) can be ignored. For a body with a characteristic size L char = volume /surface = V/A, thermal conductivity λ and interface heat transfer coefficient h, these resistances and their ratio are equal to Lchar Rheat conv ; Rheat cond ; ha A object R R Förutom värmeöverföringsmotstånd på vätskans sida, kan också konduktiviteten inuti kroppen vara begränsande. Objektet i fråga kan också vara en bubbla eller droppe, där intern omblandning märkbart påskyndar värmeöverföringen! Tiden det tar för det nedsänkta objektets mitt att uppnå samma temperatur som dess yta, beror på förhållandet mellan de konvektiva och konduktiva värmeöverförings-motstånden, R heat cond and R heat conv. I tidsberoende situationer är temperaturerna funktioner av tid och position en s.k. lumped system metod kan användas i de fall där variationer med positionen inuti materialet kan ignoreras. För en kropp, med karakteristisk storlek L char = volym/area = V/A, värmekonduktivitet λ och gränsskiktets värmeöverföringskoefficient h, är dessa motstånd och deras förhållanden lika med heat cond heat conv hl char object Bi (5-54,5-55,5-56) 5-

22 5. Värmeöverföring v. 0/3 Dimensionless ratio hl char /λ is known as dimensionless number Bi = internal resistance / outside boundary resistance, named after J.-B. Biot. The expression is similar to that for Nusselt number Nu, except that Nu contains the conductivity λ of the surrounding (moving) medium. In general, if Bi < 0. there is little temperature variation inside the immersed body and it can be considered to have a uniform temperature. Cases where Bi > 0. are considerably more complicated as will be briefly addressed in section Convective heat transfer with condensation or boiling Phase transitions such as boiling and condensation involve rather large amounts of heat, large density changes and high heat transfer rates. Condensation occurs when the temperature of a surface is lower than the condensation (i.e. saturation) temperature of a vapour, or T surf <T condens = T sat,vapour (for a given pressure) see section 4.5. Depending on if the liquid can wet the surface (depending on surface tension) either film condensation or droplet condensation occurs, as in Fig. 5.. Det dimensionslösa förhållandet hl char /λ brukar benämnas Bi = inre motstånd / yttre gränsskiktsmotstånd, efter J-B Biot. Uttrycket liknar Nusselts tal Nu, med den skillnaden att Nu beror av konduktiviteten λ hos det omgivande (strömmande) mediet. Allmänt taget kan det sägas, att om Bi < 0, finns det mycket små temperaturvariationer inuti den nedsänkta kroppen, och den kan antas ha en jämn temperatur. Fall där Bi > 0, är betydligt mera komplex och kommer att behandlas i korthet i avsnitt Konvektiv värmeöverföring med kondensation eller förångning Fasövergångar som förångning eller kondensation innebär förhållandevis stora mängder värme, stora densitetsförändringar och höga värmeöverföringshastigheter. Kondensering sker när kontaktytans temperatur är lägre än kondenserings- (dvs. mättnings-) temperaturen för en gas, T surf < T condens = T sat,vapour (vid ett givet tryck) se avsnitt 4.5. Beroende på om vätskan kan väta ytan (beror på ytspänningen) sker antingen film- eller droppkondensation, som i Fig. 5.. Fig. 5. Droplet condensation ( ) and film condenation ( ) of steam on a copper plate (also shown is a.7 mm thermo-couple) Droppkondensation ( ) och filmkondensation ( ) av vattenånga på en kopparplatta (på bilden syns även ett termoelement) (H89) Film condensation covers the whole surface, while droplet condensation leaves much of the surface exposed to vapour. Condensation (and also boiling) can occur On horizontal or vertical surfaces, which has an effect on how liquid is removed (by gravity); On the inside or outside of tubes. Filmkondensation täcker hela ytan, medan droppkondensation lämnar en stor del av ytan exponerad mot ångan. Kondensation (och även förångning) kan förekomma På horisontala och vertikala ytor, vilket påverkar hur vätskan förflyttas (gravitation) På insidan eller utsidan av rör. 5-

23 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven rates for droplet condensation are ~0x higher than for film condensation. For droplet condensation, heat transfer coefficients as high as kw/(m K) have been reported. For steam, typical heat transfer coefficients are (ÖS96): h film condensation ~ 000 W/(m K), and h droplet condensation ~ W/(m K). It is important to realise that the heat transfer rate Q for a surface area A is equal to Q h A T T since (condensing) material has cooled from T vapour to T saturated vapour before the condensation occurs. If on the other hand the temperature difference T saturated vapour T vapour is small compared to T vapour - T surface then it may be that dry heat convection may be more important, but it must always be noted that h dry convection h condensation! Some typical values for condensation heat transfer are given in Table 5.6. Värmeöverföringshastigheter för droppkondensation är ~0x högre än för filmkondensation. Värmeöverföringskoefficien-terna för droppkondensation har rapporterats vara så höga som kw/(m K). Typiska värmeöverföringskoefficienter för ånga är (ÖS96): h filmkondensation ~ 000 W/(m K), och h droppkondensation ~ W/(m K). Det är viktigt att inse att värmeöverföringshastigheten Q för en yta A är ( sat vapour surf ) h A ( Tvapour Tsurf ) (5-57) eftersom (det kondenserande) ämnet har kylts ned från T ånga till T mätad ånga innan kondensationen sker. Om å andra sidan är temperaturskillnaden T mättad ånga T ånga liten i jämförelse med T ånga - T yta kan det hända att torr värmekonvektion är av större betydelse, men det bör alltid noteras att h torr konvektion h kondensation! Några typiska värden för värmeöverföring vid kondensation ges i Tabell 5.6. Table. 5.6 Approximate values for condensation heat transfer coefficients, at 00 kpa Ungefärliga värden för värmeöverföringskoefficienten vid kondensation, vid 00 kpa (H89) Non-condensable gases in the vapour can greatly reduce the rate of condensation. These gases will accumulate at the condenser surface and lower the vapour pressure of the condensing vapour. (When designing a condenser, arrangements for purging inert gases should therefore be included.) If 0.0 < p inert / p total < 0.4 this can be taken into account by the empirical correction factor as also presented in Fig. 5.. For example, 0% air in a condensing vapour decreases the heat transfer by a factor of 4! On the other hand, if p inert / p total > 0.4 h mixture with non-condensable gases h pure vapour Icke-kondenserande gaser i ångan kan minska kondensationshastigheten avsevärt. Dessa gaser ackumuleras vid kondenseringsytan och sänker den kondenserade gasens ångtryck. (Därför bör man inkludera arrangemang för rensning av inerta gaser, vid design av en kondensor). Om 0,0 < p inert / p total < 0,4 kan man inkludera en empirisk korrigeringsfaktor enligt 0. p p total inert (5-58) vilket också presenteras i Fig. 5.. T.ex., 0 % luft i kondenserande ånga säker värmeöverföringen med en faktor på 4! Å andra sidan, om p inert / p total > 0.4 kan 5-3

24 5. Värmeöverföring v. 0/3 hmixture / hpure vapour p inert / p total (-) Fig. 5. Correction factor for non-condensing gases during condensation Korrigeringsfaktor för icke-kondenserade gaser vid kondensation the heat transfer coefficient can be based on gas cooling without condensation. Boiling occurs when the temperature of a surface is higher than the condensation (i.e. saturation) temperature of a liquid, or T surf > T condens = T sat,liquid (for a given pressure) Eight situations can be distinguished, based on the following possibilities: The hot surface is horizontal, or vertical The liquid is undercooled (local boiling) or saturated (bulk boiling) The boiling liquid is flowing, or stagnant Similar to condensation, it is important to realise that the heat transfer rate Q for a surface area A is equal to Q h A (T T sat liquid since (boiling) material has been heated from T liquid to T saturated liquid before boiling occurs. surf ) värmeöverföringskoefficienten baseras på nedkylning utan kondensation. Förångning sker när ytans temperatur överstiger kondenseringstemperaturen (dvs. mättningstemperaturen) för en vätska, eller T yta > T kondens = T mättn, vätska (för ett givet tryck). Man kan skilja på åtta situationer, baserat på följande omständigheter: Ytan är horisontal, eller vertikal Vätskan är underkyld, eller mättad (kokande) Den kokande vätskan strömmar, eller är stillastående På samma sätt som vid kondensation, är det viktigt att inse att värmeöverföringshastigheten för en ytas area A är lika med (! ) h A (T T surf liquid ) (5-59) eftersom (det kokande) ämnet har upphettats från T vätska to T mättad vätska innan förångningen sker. Fig. 5.3 Six regimes for boiling heat transfer Sex mekanismer för värmeöverföring vid kokning (H89) 5-4

25 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven Thus, the boiling process of a liquid depends primarily on the temperature difference T = T surface T sat, liquid, for which Fig. 5.3 gives six different boiling regimes: (I) free convection, overheating; (II + III) nucleation boiling (bubbles formation); (IV + V) film boiling (closed vapour blanket); (VI) film boiling with thermal radiation. The differences between these regimes are made visible in Fig Således beror förångningsprocessen för en vätska främst på temperaturskillnaden T = T yta T mättad vätska, för vilken Fig. 5.3 ger sex olika mekanismer för förångning: (I) naturlig konvektion, överhettning (II + III) nukleation (bubblor bildas); (IV + V) filmförångning (sluten ånghinna); (VI) filmförångning med värmestrålning. Skillnaden mellan dessa mekanismer framgår av Fig Fig. 5.4 Boiling (of methanol) on a copper tube / Kokning (av metanol) på ett koppar-rör (a) nucleate boiling 43 kw/m, T = 37 C; (b) transition boling 8 kw/m, T = 6 C; (c) film boling 4 kw/m, T = 8 C; (H89) Typical numbers for heat transfer coefficients in pipe evaporators (typically vertical heated by condensing steam on the outside) are h = W/(m K) for dilute aqueous solutions, h = W/(m K) for hydrocarbons. For boiling water: h = W/(m K) (ÖS96). Some typical values for boiling heat transfer are given in Table 5.7, for water. Typiska värden för värmeöverföringskoefficienter i rörvärmeväxlare (vanligen vertikala, uppvärmda av kondenserande ånga på utsidan) är h = W/(m K) för utspädda vattenlösningar, h = W/(m K) för kolväten. För kokande vatten är h = W/(m K) (ÖS96). Några typiska värden för värmeöverföring vid förångning av vatten ges i Tabell 5.7. Table. 5.7 Approximate values for boiling heat transfer coefficients for water, at 00 kpa Ungefärliga värden för värmeöverföringskoefficienten vid förångning av vatten, vid 00 kpa (H89) 5.5 Radiation heat transfer 5.5. Heat radiation, thermal radiation Radiative heat transfer involves the transfer of heat between surfaces of different temperature separated by a transparent ( diathermal ) medium, by electromagnetic waves. Radiant energy can be exchanged without any intervening medium and across (very) long distances. 5.5 Värmeöverföring vid strålning 5.5. Värmestrålning, termisk strålning Värmeöverföring vid strålning involverar överföring av värme mellan två ytor vid olika temperatur, åtskilda av ett genomskinligt ( diatermiskt ) medium, via elektromagnetiska vågor. Strålningsenergi kan transporteras utan inblandning av utomstående medier över (mycket) långa 5-5

26 5. Värmeöverföring v. 0/3 For radiation heat transfer, most important is the wavelength range 0.3 λ 00 µm (300 λ 0 5 nm), primarily the infrared region. As illustrated by Fig. 5.5, this region is bounded by ultraviolet (UV), visible light ( µm) and microwave wavelengths. sträckor. Av största betydelse för värmestrålning är väglängder inom intervallet 0.3 λ 00 µm (300 λ 0 5 nm), främst det infraröda området. Detta område avgränsas av det ultraviolet (UV), synliga ljusets ( µm) och mikrovågornas våglängder, vilket visualiseras i Fig Fig. 5.5 The electromagnetic spectrum with infra-red and visible light wavelengths Det elektromagnetiska spektret med våglängder för infrarött och synligt ljus (T06) An alternative description involves the 9 transfer of photons that are released/absorbed when electrons in atoms jump energy bands in atoms or molecules. Inside most solids or liquids these photons won t travel far but in gases and vacuum very long distances are covered: solar radiation reaches us from the sun, at ~ 5800 K after travelling through vacuum, 3 4 K space. Thus, heat transfer by radiation, or thermal radiation in practice implies the transfer of energy between surfaces of objects through vacuum or gases that have little or no interaction with the radiation. So-called participating gases do, however, have absorption bands in the infrared region, with water and carbon dioxide as important examples. (This is responsible for the greenhouse effect that controls the temperature of Earth.) In this En alternativ beskrivning innefattar överföring av fotoner 0 som avges/ absorberas när atomernas elektroner hoppar mellan olika energinivåer i atomer eller molekyler. Inuti de flesta fasta material eller vätskor kan inte dessa fotoner färdas långt, men nog i gaser och vakuum. Solens strålning, vid ~5800 K, når oss efter att ha färdats genom vakuum vid 3 4 K. Således syftar värmestrålning i praktiken på energiöverföring mellan föremåls ytor, genom vakuum eller gaser, som påverkar strålningen väldigt litet, eller inte över huvudtaget. Vissa gaser påverkar dock värmestrålningen, i och med att de har absorptionsband i det infraröda området: vatten och koldioxid är viktiga exempel här. (Detta är orsaken till växthuseffekten som reglerar jordens temperatur.) Detta fenomen kommer inte 9 Petela (P0) refers to photons as zero-mass matter 0 Petela (P0) hänvisar till fotoner som materia utan massa 5-6

27 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven introductory chapter participating gases won t be considered - see ÅA course Process engineering thermodynamics for more detail. A complicating factor is that radiant energy and also radiant properties of materials are dependent on wavelength λ and may be direction-dependent as well. Moreover, material properties are temperature-dependent. Important simplifications are so-called blackbody and gray body radiation. The own radiation (besides reflected incoming radiation, see below) Q R (W) from a surface with emissivity ε (-) surface A (m ) and temperature T(in K!!) equals 4 Q A T with Stefan-Boltzmann coefficient σ = W/m K 4. E b (W/m ) gives the blackbody radiation heat flux, where a blackbody is characterised by: ε = in the Stefan-Boltzmann Law all incident radiation is absorbed radiation is maximum for its temperature at each wavelength the intensity of the emitted radiation is independent of direction: it is a diffuse emitter A diffuse surface radiates as a blackbody see Fig. 5.6 but weakened by emission factor ε. A att behandlas i detta introducerande kapitel se ÅA kursen Process Engineering Thermodynamics för mera information i ämnet. En försvårande faktor är att strålningsenergi och också ett materials strålningsegenskaper beror på våglängden λ och kan även vara beroende av riktning. Dessutom är materialegenskaperna temperaturberoende. Viktiga förenklingar är så kallad svartkropps- och grå kroppsstrålning. Den egna strålningen (bortsett från reflekterad inkommande strålning, se nedan) Q R (W) från en yta med emissiviteten ε (-), arean A (m ) och temperaturen T (i K!!) är 4 Eb with Eb T (5-60) där Stefan-Boltzmanns konstant σ = W/m K 4. E b (W/m ) är svartkroppsstrålningens värmeflöde, där en svartkropp karakteriseras av: ε = i Stefan-Boltzmanns lag all inkommande strålning absorberas maximal strålning för varje våglängd, med avseende på temperaturen den emitterade strålningen är oberoende av riktningen: s.k. diffus emission En diffus yta sänder ut strålning som en svartkropp se Fig.5.6 men begränsas av emissiviteten ε. Fig. 5.6 A diffuse emitter En diffus emitter (T06) The spectral distribution of thermal radiation emitted by a blackbody is described by Planck s radiation law: E (, T ) E b where ħ = h/π, h = Planck s constant J s, c 0 = vacuum speed of light m/s, k B = Boltzmann s constant J/K, T = temperature K, λ = wavelength in m. b ( T ) Spektralfördelningen för värmestrålning utsänd av en svartkropp beskrivs av Plancks lag: c 0 c (5-6) 0 5 kbt e där ħ = h/π, h = Plancks konstant J s, c 0 = ljusets hastighet i vakuum m/s, k B = Boltzmanns konstant J/K, T = temperatur K, λ = våglängd i m. 5-7

28 5. Värmeöverföring v. 0/3 This profile is shown in Fig. 5.7 for 000 K and 000 K, respectively. The area under the curve integrates to the blackbody radiation flux E b : 0 E b ( T ) d T Profilerna för 000 K och 000 K beskrivs i Fig Arean under kurvan motsvarar svartkroppsstrålningens flöde E b : 4 E ( T ) b (5-6) Fig. 5.7 Emissive spectrum for radiation from blackbodies and gray bodies Det emissiva spektret för strålning från svartkropp och gråa kropp (T06) For a blackbody, the wavelength λ max for which the intensity is maximal is related to temperature T by λ T = 898 max which is known as Wien s displacement law. For example, λ max = 0 T = 300 K, λ max = 0.5 T = 6000 K. The emissivity of a real surface is defined as E (, T ) d 0 0 with / med for so-called hemi-spherical emissivity ε, or ε(t) see Fig For a specific wavelength, the spectral hemi-spherical emissivity is ε λ or ε λ (T). For what is known as a gray body, there is no effect of wavelength, nor of direction: Thus, a gray body is diffuse (like a blackbody). (, T ) E För en svartkropp relaterar den maximala våglängden λ max till temperaturen T enligt µm K vilket är känt under namnet Wiens lag. T.ex., λ max = 0 T = 300 K, λ max = 0,5 T = 6000 K. Emissiviteten för en verklig yta definieras som b ( T ) d ( T ) T E(, T ) (, T ) E ( T ) b ( T ) f ( T ) f ( ) 4 (5-63) (5-64) (5-65) för s.k. halv-sfäriska emissiviteten ε, eller ε(t) se Fig För en viss våglängd är spektrala halvsfäriska emissiviteten ε λ eller ε λ (T). För en s.k. grå kropp spelar varken våglängd eller riktning någon roll: (5-66) I den bemärkelsen är en grå kropp diffus (i likhet med en svartkropp). 5-8

29 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven Before continuing, it is noted that although thermal radiation depends on T 4 it is a common misconception that it becomes relevant first at temperatures of a few 00 C. Especially if other heat transfer mechanisms are weak there can still be a significant heat transfer effect that arises from radiation Emissivity, transmittance, reflectance, absorptivity Innan vi fortsätter bör vi notera att, trots att värmestrålningen beror av T 4, är det ett vanligt missförstånd att den är relevant först vid några 00 C. Framförallt i de fall då andra värmeöverföringsmekanismer är svaga, kan strålningen spela en stor roll Emissivitet, transmittans, reflektion, absorptivitet Typical gray body values are given for a wide range of materials in Table 5.8. Clearly, white as a colour doesn t mean a low value for emissivity ε: a typical value for most materials is ε = Of great importance is surface roughness. Absorption of radiation of a certain wavelength (band) can give a material a colour. Typiska värden för gråa kroppar, för en mängd material ges i Tabell 5.8. Det är tydligt att vit, som färg, inte innebär låg emissivitet ε: ett typiskt värde för de flesta material är ε = 0, ,90. Ytskrovlighet är av stor betydelse. Absorption av strålning inom vissa våglängdsband kan ge ett material dess färg. Table. 5.8 Typical values for gray body emissivity of materials Typiska värd för grå kropp emissivitet för material (KJ05) The interaction of incoming thermal radiation with a real, a gray body and a blackbody is illustrated by Fig Interaktionen mellan inkommande värmestrålning och ett verkligt objekt, en grå kropp och en svartkropp illustreras av Fig. 5.8 Interaction of (a) real and (b) blackbody surfaces with incoming radiation. (KJ05) Interaktion av (a) en verklig yta och (b) en svart kropps yta med inkommande strålning 5-9

30 5. Värmeöverföring v. 0/3 As said, one important feature for a blackbody is that all incoming radiation is absorbed while none is reflected. As further illustrated by Fig. 5.9 incoming radiation may also partly pass a medium if the material has sufficient transmittance. Fig Som sagt är en viktig aspekt hos en svartkropp att all inkommande strålning absorberas, medan inget reflekteras. Fig. 5.9 illustrerar vidare hur strålning kan passera igenom ett medium om mediet har tillräcklig transmittans. Incident angle θ with respect to normal Fig. 5.9 Reflection, absorption and transmittance of incoming thermal radiation. Reflektion, absorption och transmittans av inkommande termisk strålning (KJ05) Reflectivity ρ (-), absorptivity α (-) and transmittance τ (-) are defined as Reflektion ρ (-), absorption α (-) och transmittans τ (-) definieras som reflected energy (reflekterad energi) incident energy (instrålade energi) with / med This is known as Kirchoff s Law, in practice accurate for ε > 0.5. ; absorbed energy (absorberade energi) incident energy (instrålade energi) transmitted energy (transmittade energi) incident energy (instrålade energi) adding up to = as a result of an energy balance. For an opaque material τ = 0, and as a result ρ + α =. och summan av dem är alltid. För ett ogenomskinligt ( opak ) material är τ = 0, vilket leder till att ρ + α =. More exactly, for incident angle θ, För att vara exakt, gäller för temperature T and wavelength λ: ρ = infallsvinkeln θ, temperaturen T och ρ(λ,θ,t), α = α(λ,θ,t), τ = τ(λ,θ,t), as also ε = ε(λ,θ,t). Kirchoff (also known from electrical network theory) showed that for all surfaces våglängden λ: ρ = ρ(λ,θ,t), α = α(λ,θ,t), τ = τ(λ,θ,t), liksom för ε = ε(λ,θ,t). Kirchoff (även känd från teori om elektriska kretsar) visade att för alla ytor gäller (,, T ) (,, T ); (5-7) vilket går under namnet Kirchoffs lag och är speciellt exakt då ε > 0,5. ; (5-67, 5-68) (5-69) (5-70) Fig A small gray object in a blackbody wall furnace (KJ05) Ett litet objekt i en ugn med en svart kropp som vägg 5-30

31 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven An exception to this law would mean a violation of the Second Law of Thermodynamics, since it would allow heat transfer from cold to hot. This can be seen when considering a situation as in Fig. 5.30: a small, gray, diffuse body with surface A at temperature T in an evacuated oven with black walls at temperature T, and T > T. The object receives radiation from the walls: Q = α σ T 4 (W/m ) and after some time its temperature has risen to T. It will emit radiation which is then at a rate Q = ε σ T 4 (W/m ). Thus α = ε, but strictly speaking only if the two surfaces that exchange the radiation are at the same temperature (because the value for absorptivity α depends on the temperature of the emitting source). In practice the error is small for T up to a few 00 C Radiation heat transfer between surfaces; radiosity Ett undantag från denna lag, skulle innebära ett brott mot termodynamikens andra huvudsats, eftersom det skulle tillåta värmeöverföring från kallt till varmt. Detta åskådliggörs av Fig. 5.30: ett litet, grått, diffust objekt med ytan A och temperaturen T i en tom ugn med svarta väggar, vid temperaturen T, och där T > T. Objektet mottar strålning från väggarna:q = α σ T 4 (W/m ) och efter en tid har dess temperatur stigit till T. Det utsänder då strålning enligt Q = ε σ T 4 (W/m ). Enligt det måste α = ε gälla, men strikt taget endast om de två ytorna har samma temperatur (eftersom absorptiviteten α beror på strålningskällans temperatur). I praktiken är felet litet för T upp emot några 00 C Värmeöverföring genom strålning mellan ytor, radiositet The radiant heat transfer of a surface with temperature T (K) and emissivity ε with the surroundings at T sur can be expressed as Q A ( T if it can be assumed that: the surface and the surroundings are isothermal the whole surface A is incident with the surroundings the surroundings behave as a blackbody or the area of the surroundings >> A the surface is a diffusive emitter and reflector. As for the intensity of the radiation, there is a correction factor for the effect of an incident angle θ with respect to the normal to the surface which is also known as Lambert s cosine law: If the incoming radiation has an angle θ with respect to the perpendicular to the receiving surface the result will be that a larger surface is covered. (Likewise, shadows are longer when the sun is closer to the horizon.) 4 4 R T sur / omg Q R ( ) Q (0) cos( ) R Strålningsvärmeöverföring från en yta med temperaturen T (K) och emissivitet ε till omgivningen T omg kan uttryckas som ) (5-7) ifall det kan antas att: ytan och dess omgivning är isotermiska hela ytan A infaller mot omgivningen omgivningen beter sig som en svartkropp eller har en yta som är >> A ytan är en diffus emitter och reflektor Gällande strålningsintensiteten, tas infallsvinkeln θ, i förhållande till ytans normal, i beaktande i form av en korrektionsfaktor, kallad Lamberts cosinuslag: (5-73) Om den inkommande strålningens infallsvinkel avviker med θ från den lodräta infallsvinkeln mot ytan, resulterar det i att en större yta täcks av samma strålning. (På samma sätt som en skugga blir längre ju närmare horisonten solen är.) 5-3

32 5. Värmeöverföring v. 0/3 For a non-blackbody surface, the energy balance for the surface states that the net leaving radiation flux Q R,out,net equals the own emission ε E b = ε σ T 4 minus the absorbed incoming radiation. Or, ε E b plus the reflected incoming radiation ρ Q R,in, for an opaque gray material (τ = 0, α=ε=-ρ) see Fig. 5.3: För en yta där svartkroppsantagandet inte gäller, följer från energibalansen för ytan att det totala strålningsflödet Q R,out,net måste vara lika med den emitterade strålningen ε E b = ε σ T 4 minus den absorberade inkommande strålningen. Eller, annars sagt, ε E b plus den reflekterade inkommande strålningen ρ Q R,in, för ett ogenomskinligt grått material (τ = 0 α=ε=-ρ) se Fig. 5.3: Fig. 5.3 Radiation to and from a gray diffuse surface (KJ05) Strålning till och från en grå diffus yta where E b is used for blackbody emission and G represents the incoming radiation. Thus, an energy balance gives or / eller with α=ε. This defines the so-called radiosity, J, as all the radiation leaving a surface, i.e. emitted and reflected radiation. An energy balance then gives for the net radiation from the surface The last expression defines a radiation heat transfer resistance, R R ; for a blackbody R R = 0. J E där E b är svartkroppsstrålning och G representerar den inkommande strålningen. En energibalans ger Q " R out Q, " R, out, own Q " R in Q, " R, out, own( ) Q ", med α = ε. Detta definierar den så kallade radiositeten, J, som all strålning som lämnar en yta, dvs. emitterad och reflekterad strålning. En energibalans för den totala strålningen från en yta ger då Q " R out net Q " R out Q,,, " R, in J G Eb ( ) G G Eb G after eliminating G/ efter eliminering av G: Q " R, out, net ( Eb J) ( Eb J) Q R, out, net A ( Eb J), with / med RR R A R b ( ) G R in (5-74) (5-75) (5-76) Det sista uttrycket definierar ett värmestrålningsmotstånd, R R. För en svartkropp är R R = View factors At this point it is necessary to have a better look at up to what extent surfaces can actually see each other and exchange heat via thermal radiation. The Vinkelfaktorer I detta skede är det nödvändigt att få en bättre insikt i hur olika ytor kan se varandra och utbyta värme genom termisk strålning. Vinkelfaktorerna F i j 5-3

33 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven view factors F i j (also referred to as configuration factors, shape factors, or angle factors) quantify how much (i.e. what fraction) of the radiation from surface i reaches other surface j, (by a straightline path) as determined by Lambert s cosine law, and vice versa see Fig kvantifierar hur mycket (dvs. vilken fraktion) av strålningen från ytan i som träffar ytan j (via en rak linje) enligt Lamberts cosinuslag, och vice versa se Fig Fig. 5.3 Geometric factors that determine a view factor (KJ05) Geometriska faktorer som bestämmer vinkelfaktorn For any two surfaces A i and A j in any geometrical arrangement Fi j where 0 F i j, and for a system with many (N) surfaces For any geometry, F i j is defined as F A N F i j j i i j Ai S Ai Aj För två ytor A i och A j oberoende av geometriskt upplägg gäller i Fj i A (5-77) j där 0 F i j, och för ett system med många (N) ytor cos cos j da da För alla geometrier definieras F i j som j i (5-78) (5-79) with the variables defined in Fig Two examples in Fig further illustrate the concept. med variablerna definierade i Fig Två exempel i Fig illustrerar konceptet ytterligare F i j = 0, F j i = 0 F i j =, F j i = ½ A i = πr, A j = πr Fig Views factors: two examples (KJ05) Vinkelfaktorer: två exempel 5-33

34 5. Värmeöverföring v. 0/ Radiation heat transfer between black or gray surfaces For two black surfaces, some of the radiation form surface strikes surface and vice versa see Fig. 5.34a Strålning mellan svarta och gråa ytor För två svarta ytor, träffar en del av strålningen från yta yta och tvärtom se Fig. 5.34a. Fig Thermal radiation between (a, ) two blackbodies, (b, ) two gray bodies Värmestrålning mellan (a, ) två svarta kroppar, (b, ) två gråa kroppar (KJ05) For two black surfaces with different temperatures, the net radiative heat transfer Q = radiation leaving surface radiation leaving and arriving at minus radiation leaving and arriving at equals Q EbAF EbAF Q A F ( E E ) b b as in Fig. 5.34b, which demonstrates the usefulness of the radiosity concept. This can also be written as ( J J) Q with/ R Thus, there are three transfer resistances: This is further illustrated for a general geometry in Fig För två svarta ytor med olika temperaturer är den totala värmestrålningen Q = strålning som lämnar yta och träffar yta minus strålning som lämnar yta och träffar yta är lika med with/ med A F ( T 4 A F T 4 ) A F In analogy with radiation between Analogt med strålning mellan blackbodies, using J instead of E b, Q svartkroppar, med J istället för E b, blir Q equals Q JAF JAF with/ med AF AF 4 4 Q (5-8) A F ( J J ) (!) A F ( T T ) R - - med som i Fig. 5.34b, vilket demonstrerar användbarheten av konceptet radiositet. Detta kan också skrivas som R- A F (5-8) således finns det tre överföringsmotstånd: ; R ; R- R- A A AF AF (5-80) (5-83, 5-84, 5-85) Detta illustreras vidare för en allmän geometri i Fig

35 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven Surface A at temperature T with emissivity ε Radiative heat transfer Surface A surface A Q ε A ε σ(t T ) ε A F A ε σ A (T T ) ε A ε ε F A ε and similar for Q F = view factor A A Surface A at temperature T with emissivity ε (5-86) Fig Thermal radiation between gray bodies Värmestrålning mellan gråa kroppar (Z) For a few very important geometries this results in the expressions as in Fig Fig ger uttryck för några mycket viktiga specialfall av geometrier. (5-87) (5-88) (5-89) (5-90) Fig Examples for thermal radiation between gray bodies Några exempel för värmestrålning mellan gråa kroppar (KJ05) coefficient for radiation As a final point for this discussion a heat transfer coefficient for thermal radiation will be derived. The purpose of this is to Värmeöverföringskoefficienter för strålning Som ett sista tema i denna diskussion ska värmeöverföringskoefficienten för termisk strålning härledas. Avsikten med detta är 5-35

36 5. Värmeöverföring v. 0/3 produce expressions similar to those for conductive and convective heat transfer, with a linear driving force T, or gradient T/ x. If the temperature difference T = T T of a thermal radiation process is small compared to T and T, a radiative heat transfer coefficient h R can be defined by (for the radiation from surface ): att producera uttryck som liknar de för konduktiv och konvektiv värmeöverföring, med en linjär drivande kraft T, eller gradient T/ x. Om temperaturskillnaden T = T T för en termisk strålningsprocess är liten i jämförelse med T och T kan en värmekoefficient för strålningen (från ytan ) definieras som: Q with/ med R h (x h T Q R 4 R (T - T (T - T ) - y 4 ) (x R 4 - y / A 4 (T ) (T ) (x T ) (W/m T ) (T T ) y ) (x y) (x y) (x ) y ) (5-9) (5-9) Thus can also be simplified to with/ med h R T T T ε 4 T Detta kan också förenklas till 3 4 T 3 (T T ) (T T ) (5-93) Thus, radiative heat transfer resistance is defined as T Rheat,R Q R Strålningens värmeöverföringsmotstånd definieras således som T (5-94) Q A h A similar to conductive and convective heat på samma sätt som vid konduktiv och transfer. Combined with the above this konvektiv värmeöverföring. Kombinerat gives: med ovanstående ger detta: Q R h ε (T T ) (T T ) ε 4 T 3 R (5-95) T R R Because the physical mechanisms behind thermal radiation are very different from that of heat conduction or convection, it is, however, not straightforward to combine them in a set of expressions or model equations that describe all at the same time. Preferably, a solution is found by iterating between solutions for separate model descriptions for radiation, and for conduction and convection, respectively. More detail is given in ÅA course Process engineering thermodynamics (Z3a) and in the literature: BS06, IdWBL07, HSM). 5.6 Non-stationary (transient) conductive heat transfer (a short introduction) The heat transfer processes addressed in this chapter so far were -dimensional and Eftersom de fysikaliska mekanismerna bakom termisk strålning skiljer sig drastiskt från de bakom konduktion och konvektion är det, trots det, inte helt enkelt att kombinera dem i uttryck eller modeller som beskriver dem alla på en gång. Företrädesvis hittas en lösning genom att iterera mellan lösningar för de enskilda modellbeskrivningarna för strålning, respektive konduktion och konvektion. En mera detaljerad beskrivning ges i ÅA kursen Process Engineering Thermodynamics (Z3a) och i litteraturen: BS06, IdWBL07, HSM. 5.6 Icke-stationär (transient) konduktiv värmeöverföring (en kort introduktion) Värmeöverföringsprocesserna beaktade så här långt i detta kapitel har varit

37 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven mostly steady-state cases. Equally important are non-stationary, transient situations and/or cases where more than one dimension must be considered. An indepth assessment of this, including cases where fluid flows and heat transfer occur simultaneously, is given in ÅA course Transport processes here a brief introduction is given. Non-steady or transient heat conduction through a stagnant medium depends not only on heat conductivity λ but also on heat capacity c (or c p, c v ). A general energy balance for mass m gives Q Q where in principle the heat transfer rate Q is a 3-dimensional vector Q that creates (or is the result of!) a vector temperature gradient (in Cartesian coordinates): in out dimensionella och i allmänhet steadystate. Lika viktiga är icke-stationära, tidsvarianta situationer och/eller fall där flera än en dimension måste tas i beaktande. En djupgående utredning, inkluderande fall där fluidflöden och värmeöverföring sker sida vid sida, ges i kursen Transportprocesser - här ges en kort introduktion. Tidsvariant (i motsats till steady state) värmekonduktion genom ett stagnant medium beror inte endast på konduktiviteten λ utan också på värmekapaciteten c (eller c p, c v ). En allmän energibalans för massan m ger T m c (5-96) t där värmeöverföringshastigheten i princip är en 3-dimensionell vektor som ger upphov till (eller är ett resultat av!) en vektoriell temperaturgradient (i kartesiska koordinater): T T T T,, x y z (5-97) This is illustrated in Fig (for 3- dimensional heat transfer in general). Detta illustreras i Fig (för 3- dimensionell värmeöverföring i allmänhet). Fig in three dimensions Värmetransport i tre dimensioner (ÖS96) 5.6. One-dimensional transient heat conduction For a -dimensional situation as in Fig En-dimensionell tidsvariant (transient) värmekonduktion För en -dimensionell situation som i Fig. 5.38, Fig Transient heat conduction in one dimension Tidsvariant värmeledning i en dimension 5-37

38 5. Värmeöverföring v. 0/3 the energy (heat) balance for a thin balance volume dv with mass dm = ρ dv = ρ A dx for area A gives: which is commonly known as the diffusion equation. The initial (t=0) and boundary conditions determine a heat transfer process, with the three most important cases being: ger energibalansen (eller värme-) för en tunn balansvolym dv med massan dm = ρ dv = ρ A dx med ytan A: T Q Q in Q out dm c dx t x T Q with / med dm/dx ρ A A c t x T with / med Fourier' s Law / Fourier's Lag Q - A x T - A T x c A t x T T T A a (5-00) x t x vilket vanligtvis kallas diffusionsekvationen. Start- (t=0) och randvillkoren avgör vilken värmeöverföringsprocess som råder. De tre viktigaste fallen är: (5-98) (5-99) 0 Q. Sudden change of T T at / vid t 0 : 0. Sudden change of " x0 at t 3. Sudden change of 0 h at / vid t 0 : 0 / vid : T(x,0) T T(x,0) T surface temperature / Plötslig ändring på ytans temperatur T(x,0) T for / för t 0 and / och surface heat flux / Plötslig ändring på ytans värmeledningsflux for / för t 0 and / och surface convection / Plötslig ändring på ytans värmekonvektionsflux for / för t 0 and / och T(0, t) T T(0, t) - Q x T(0, t) - h (T x surr for / för t 0 " x0 for / för - T(0,t)) for / för t 0 t 0 (5-0) (5-0) (5-03) Case is a bit more elaborated on here see Fig Vi går litet djupare in på fall här - se Fig Fig Temperature profiles during transient heat conduction (-D) Temperaturprofiler under tidsvariant värmeledning (-D) (BMH99) It can be directly applied to diffusion of matter by replacing temperature T by concentration c (kg/m 3, or mol/m 3 ), and molecular diffusion coefficient Đ (m /s) instead of a see also ÅA course 4430 Mass transfer and separation technology. Kan direkt användas för diffusion av material genom att ersätta temperatur T med koncentration c (kg/m 3 eller mol/m 3 ), och molär diffusionskoefficient Đ (m /s) istället för a - se också ÅA kursen 4430 Massöverföring och separationsprocesser. 5-38

39 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven Assume a material with flat boundary at x=0, infinite length in x-direction, with T=T 0 at all x. At time t 0 the temperature at x=0 is increased to T=T and heat starts to enter (diffuse into) the material. At x, T stays at T 0. With these boundary / initial conditions the diffusion equation solves to the timedependent temperature profile that shows how the heat penetrates the object. Introducing dimensionless variables θ = (T-T 0 )/(T -T 0 ) and ξ = x/(4at) ½ the following solution is found: T T T T where erf(x) is known as the error function, illustrated by and tabelised in Fig An approximate expression for the error function is given in ÖS96: erf(x) - exp(-.8x x x 3 ). 0 x 4at 0 e d Antag ett material med en platt sida vid x = 0, oändlig längd i x-riktningen, med T = T 0 för alla x. Vid tiden t 0 höjs temperaturen vid x = 0 till T = T och värme börja tränga (diffundera) in i materialet. Vid x, hålls T vid T 0. Med dessa rand-/startvillkor löser diffusionsekvationen den tidsberoende temperaturprofilen som visar hur värmen penetrerar objektet. Följande lösning hittas då de dimensionslösa variablerna θ = (T-T 0 )/(T -T 0 ) and ξ = x/(4at) ½ introduceras: with / med y 0 e d erf ( y ) (5-04) där erf(x) är den s.k. felfunktionen, illustrerad av och tabelliserad i Fig Ett approximativt uttryck för felfunktionen ges i ÖS 96: : erf(x) - exp(-.8x x x 3 ). Fig The error-function Error-funktionen The resulting temperature profile is shown in Fig. 5.4, for increasing time t. Den resulterande temperaturprofilen visas i Fig. 5.4, för ökande tid t. Fig. 5.4 Penetration depth during transient heat conduction (-D) (BMH99) Genomträngningsdjupet under tidsvariant värmeledning (-D) 5-39

40 5. Värmeöverföring v. 0/3 A so-called penetration depth δ is found by taking the slope of the temperature profile lines at x=0 in Fig. 5.4, which gives T x x 0 T What is known as the penetration theory can be applied if object sizes L are large or times t are sufficiently short so that the other side or boundary of the object is not affected by the developing temperature profile (and vice versa). The penetration depth concept is valid for Fo < 0., where Fo is the dimensionless Fourier number named after J. Fourier. Fo is (for heat transfer) defined as for a medium with thickness d; it gives the ratio between time t and the penetration time L /a. Depending on how long the conduction process goes on, the medium can be considered semi-infinite if the other side doesn t notice any change: Fo < 0.. If the penetration depth ~ medium dimensions, i.e. for Fo > 0. the medium is finite and the penetration theory cannot be used. For many finite media, however, temperature profile symmetry can be assumed and results of the type T 0 a t Fo L L T T0 x f( t) f( ), T T0 R for half-size R can be obtained for a sudden object surface temperature increase T 0 T at t=0 see Fig Ett så kallat genomträngningsdjup δ hittas genom att ta lutningen på temperaturprofilen vid x =0 i Fig. 5.4, vilket ger with / med a t Det som kallas genomträngningsteori kan användas om objektens storlek L är stora eller tiderna t är tillräckligt korta, så att objektets motsatta sida eller gränskikt inte påverkas av den temperaturprofil som utvecklas (och vice versa). Konceptet genomträngningsdjup gäller för Fo < 0,, där Fo är det dimensionslösas Fouriertalet, uppkallat efter J. Fourier. Fo (för värmeöverföring) definieras som (5-06) t a (5-05) för ett medium med tjockleken d. Det ger ett förhållande mellan tiden t och genomträngningstiden L /a. Beroende på hur länge genomträngningsprocessen pågår, kan mediet anses vara semi-oändligt, om den motsatta sidan inte påverkas: Fo < 0,. Om genomträngningsdjupet ~ mediets längd, dvs. för Fo > 0,, är mediet ändligt och genomträngningsteorin kan inte användas. För många ändliga media kan en symmetrisk temperaturprofil antas och man får resultat av typen L for / för R (5-07) för den halva storleken R, vid en plötslig ökning av yttemperaturen T 0 T vid t = 0 - se Fig Fig. 5.4 Temperature profiles during transient heat conduction (-D): Fo > 0. Temperaturprofiler under tidsvariant värmeledning (-D): Fo > 0. (BMH99) 5-40

41 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven For simple geometries, diagrams can be used to find average <T> or centre temperatures T m, such as given in Fig for flat plates, cylinders or spheres. För enkla geometrier kan diagram användas för att finna medel- <T> eller mittemperaturer T m, såsom i Fig för platta föremål, cylindrar eller sfärer. Fig Mean ( ) and centre ( ) temperature of bodies: non-stationary heat conduction Medel- ( ) och mitt- ( ) temperatur för objekt: tidsvariant värmeledning (BMH99) In section 5.3 the Biot number Bi was introduced in connection to the lumped system approach, stating that when heat transfer at the medium surface is slow compared to conduction inside the medium, Bi << and the temperature profile in the medium can be assumed uniform. For Bi > ~ 0. a time-dependent temperature profile inside the object must be considered (and maybe calculated) see Fig for a plane wall geometry. I avsnitt 5.3 introducerades Biot-talet Bi i samband med lumped systemmetoden, och det påvisades att när värmeöverföringen vid mediets yta är långsam i jämförelse med konduktionen inuti mediet, Bi << och temperaturprofilen inne i mediet kan antas vara uniform. För Bi > ~ 0, måste en tidsberoende temperaturprofil inuti objektet beaktas (och kanske beräknas) - se Fig för ett fall med en plan vägg. Fig Convective cooling of a plane wall: Bi << ( ) or Bi > ~ ( ) Konvektiv kylning av en plan vägg: Bi << ( ) eller Bi > ~ ( ) (KJ05) 5-4

42 5. Värmeöverföring v. 0/3 For a plane wall at initial temperature T i, a sudden convective heat transfer with surrounding temperature T f and heat transfer coefficient h as in Fig can be described as T T a x x (5-08) with initial & boundary conditions / med start & randvillkor T(x,0) Ti for / för T 0; T T - λa ha(t Tf ) for / för x L; - λa ha(tf T) x x for / för x L (5-09) Using dimensionless variables Genom att använda dimensionslösa variabler T - Tf T - T with / med x at X, τ L L a solution is found that is in the form of an infinite series, which for Bi < 0. gives the same result as for the lumped system approximation: h A θ t exp m c p, För en plan vägg med starttemperaturen T i, en plötslig konvektiv värmeöverföring, med omgivande temperaturen T f och värmeöverföringskoefficienten h - se Fig kan beskrivas som hl Fo, Bi λ θ θ τ X θ i f θ θ for / för τ 0, Bi θ for/ för X X hittar man en lösning i form av en oändlig serie, vilken för Bi < 0, ger samma resultat som för lumped systemapproximationen: Bi Fo for / för Bi 0 exp. (5-0) (5-) This is further illustrated in Fig. 5.45, which shows the temperature profile for this case as a function of Bi -. Detta illustreras vidare i Fig. 5.45, som visar temperaturprofilen för detta fall som en funktion av Bi -. Fig Convective cooling of a plane wall: Bi << ( ) or Bi > ~ ( ): result Konvektiv kylning av en plan vägg: Bi << ( ) eller Bi > ~ ( ): resultat (KJ05) 5-4

43 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven 5.6. Final remarks For 3-dimensional transient heat conduction in a balance volume dv with mass dm = ρ dv = ρ dx dy dz the temperature gradient vector and energy balance equations are 5.6. Slutliga anmärkningar För 3-dimensionell tidsvariant värmekonduktion i en balansvolym dv, med massan dm = ρ dv = ρ dx dy dz är temperaturgradientvektorn och energibalansen T T T T T T T T,, and / och a a T x y z t x y z With the appropriate initial- and boundary conditions this can be solved, usually requiring a numerical method. Often, during / at the same time as a heat transfer process, heat may be generated (or taken up), for example as a result of an exothermic (or endothermic) chemical or nuclear reaction. This can be taken into account by including it into the balance equations: (5-) Med lämpliga start- och randvillkor kan detta lösas, vanligen med någon numerisk metod. Ofta, vid sidan om en värmeöverföringsprocess kan värme genereras (eller upptas), t.ex. som en följd av kemisk eller kärnreaktion. Detta kan beaktas genom inkludering i balansekvationerna: T c t for heat production q / T x T y T q z för värmeproduktionen q (W/m 3 ) (5-3) As a final remark: the contact between two media or materials is typically not perfect and a contact resistance should be taken into account based on surface roughness etc., giving small gaps of typically µm see Fig Tabelised data is used for calculating a heat transfer resistance. Som en sista anmärkning: Kontakten mellan två media eller material är vanligtvis inte perfekt och ett kontaktmotstånd bör tas i beaktande, baserat på ytskrovlighet etc., vilket ger upphov till små mellanrum av storleken 0,5-50 µm - se Fig Tabellerad data används för att beräkna värmeöverföringsmotstånd. Fig Material contact resistance Kontaktmotstånd hos ett material (KJ05) 5-43

44 5. Värmeöverföring v. 0/3 5.7 Exercises An oven wall consists in succession of a layer of firebricks with λ f =. W/(m K), a layer of insulation material with λ i = 0.08 W/(m K) and a layer of outside bricks with λ b = 0.69 W/(m K). Each layer is 0 cm thick. Inside the oven the temperature T in = 87 C, outside the temperature is T out = 3 C. The surface area of the wall is 4 m. a. Calculate the heat loss by conduction every 4 h. b. Calculate the centre temperature T m in the middle of the layer of insulation. (answer: a kw 4 h = 063 MJ, b. 469 C) A 9 mm outside diameter copper tube for hot water is insulated with a 8 mm thick layer of insulation material with thermal conductivity λ = W/(m K). The temperature profile through the insulation layer is given by the equation (see also the graph): a. Calculate the heat transfer rate per unit length Q =Q /L (W/m), and b. calculate the heat fluxes Q at r = r i and at r = r 0 (W/m ) (answer: a. 7.8 W/m; b, 98 W/m, 03 W/m ). 3 A computer chip is cooled by a flow of air at T= 0 C, p = bar, with velocity 3.4 m/s. If the maximum allowable temperature of the chip is 65 C, how much heat (in W) must then be removed by forced convection? Assume Pr = 0.7; η = 0-5 Pa.s and λ = 0.07 W/m K for air. (answer: 0.93 W) 4 Birds fluff their feathers to stay warm during winter. Estimate the convective heat transfer Q from a 5.7 Övningar En ugns vägg består av olika skikt: tegel med λ f =. W/(m K), isolering med λ i = 0.08 W/(m K) och ett yttre skikt med tegel λ b = 0.69 W/(m K). Alla lager är 0 cm tjocka. Inuti ugnen är temperaturen T in = 87 C, utanför är temperaturen T out = 3 C. Väggarean är 43 m. a. Beräkna värmeförlusten genom konduktion per 4 h. b. Beräkna temperaturen T m i isoleringsskiktets mittpunkt. (svar: a kw 4 h = 063 MJ, b. 469 C) Ett kopparrör för vatten, med yttre diametern 9 mm, isoleras med ett 8 mm tjockt skikt av isolerande material, med den termiska konduktiviteten λ = W/(m K). Temperaturprofilen genom isoleringsskiktet ges av ekvationen (se också grafen): a. Beräkna värmeöverföringshastigheten per längdenhet Q = Q /L (W/m), och b. beräkna värmeflödet Q vid r = r i och r = r 0 (W/m ) (svar: a. 7.8 W/m; b, 98 W/m, 03 W/m ). 3 Ett datorchip kyls med ett luftflöde vid T= 0 C, p = bar, med hastigheten 3,4 m/s. Hur mycket värme måste ledas bort (i W) genom påtvingad konvektion, ifall chippets maxtemperatur inte får överstiga 65 C? Antag Pr = 0.7; η = 0-5 Pa.s och λ = 0.07 W/m K för luft. (svar: 0.93 W) 4 Fåglar burrar upp sina fjädrar för att hållas varma under vintern. Uppskatta den konvektiva värmeöverföringen Q från en liten fågel i v = 9 m/s blåst. 5-44

45 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven small bird in a v = 9 m/s wind, treating the bird as a d = 6 cm diameter sphere. Data: the surface temperature at the feathers is -7 C, the temperature of the surrounding air is -0 C, pressure is bar. The convective heat transfer coefficient, h, is related to wind velocity v by: 0.5 hd vd.53 for air viscosity η = Pa.s; air density ρ =.33 kg/m 3 ; air thermal conductivity λ = 0.04 W/(m K). (answer: Nu = 0; Q =.49 W). 5 A solar collector is used to produce hot water. A d =. cm inner diameter copper tube is fixed to the back of a collector plate, which is held at 75 C by incident sunlight. Water enters the tube at T in = 5 C at a mass flow rate ṁ = 0.0 kg/s. Assuming that T tube wall = 75 C also, calculate the length L of tube needed so that the water exit temperature will be 55 C. Neglect the heat transfer resistance in tube wall and on the outside. Data: water 5 C: ρ = 997 kg/m 3 ; η = Pa.s, λ = 0.6 W/m K, c p = 4.78 kj/kgk; water 55 C: ρ = 986 kg/; η = Pa.s, λ = W/m K, c p = 4.79 kj/kgk; (answer: Re = 00, Pr = 4.9, Nu = 3.66, h = U = 9 W/(m K), T lm = 33 C, Q =.53 kw, A = 0.43 m, L = 6.46 m.) Behandla fågeln som en sfär med diametern d= 6 cm. Data: yttemperaturen för fjädrarna är -7 C, den omgivande luften har temperaturen - 0 C, trycket är bar. Den konvektiva värmeöverföringskoefficienten h beror av vindens hastighet enligt: 0 ; or/eller : Nu 0.53Re 0.5 med luftens viskositet η =, Pa.s; luftens densitet ρ =,33 kg/m3; luftens värmekonduktivitet λ = 0,04 W/(m K). (svar: Nu = 0; Q =,49 W). 5 En sol-kollektor används för att producera varmt vatten. Ett kopparrör med d =, cm är fäst på kollektorns baksida, som håller temperaturen 75 C med hjälp av infallande soljus. Vatten som träder in i röret har temperaturen T in = 5 C och massaflödet ṁ = 0.0 kg/s. Antag att T tube wall = 75 C och beräkna den behövliga rörlängden L, för att vattnet ska uppnå temperaturen 55 C. Bortse från värmeöverföringsmotståndet i rörväggen och på utsidan. Data: vatten 5 C: ρ = 997 kg/m 3 ; η = Pa.s, λ = 0.6 W/m K, c p = 4.78 kj/kgk; vatten 55 C: ρ = 986 kg/; η = Pa.s, λ = W/m K, c p = 4.79 kj/kgk; (svar: Re = 00, Pr = 4.9, Nu = 3.66, h = U = 9 W/(m K), T lm = 33 C,Q =.53 kw, A = 0.43 m, L = 6.46 m.) 6 Compare the natural convection heat transfer coefficients, h, for a.5 m high wall for two situations: a. Air C, wall 0 C; b. Air C, wall 7 C Data for air (p = bar) at 5 ~ 0 C: ρ =. kg/m 3 ; η = Pa.s; λ = 0.05 W/m K; Pr = 0.7. Assume ideal gas. (answer: a. Gr = , Nu = 355, h = 3.55 W/m K, b. Gr =.9 0 0, Nu = 65, h =.65 W/m K). 6 Jämför värmeöverföringskoefficienterna för naturlig konvektion, h, för en,5 m hög vägg under de två följande omständigheterna: a. Luft C, vägg 0 C b. Luft C, vägg 7 C Data för luft (p = bar) vid 5 ~ 0 C: ρ =. kg/m 3 ; η = Pa.s; λ = 0.05 W/m K; Pr = 0.7. Antag idealgas. (svar: a. Gr = , Nu = 355, h = 3.55 W/m K, b. Gr =.9 0 0, Nu = 65, h =.65 W/m K). 5-45

46 5. Värmeöverföring v. 0/3 7 A cm cm 0.3 cm computer chip is cooled by a forced air flow with heat transfer coefficient h = 5 W/(m K). The electronic component is located as a thin layer at the bottom surface of the chip, generating.6 W heat. Air temperature T f is 0 C, for silicon, λ= 48 W/(m K). Calculate the top and bottom surface temperatures of the chip T and T, using either heat resistances, or directly using heat convection and conductivity. (answer: T = 46.3 C, T = C) 8 A hot steel ball is annealed by dropping it in a cool oil bath. The ball is d = 0.5 in diameter, mass m = 0.08 lbm and its initial temperature is T i = 400 F. If the heat transfer coefficient between ball and oil is h= 6 BTU/(h ft² F), calculate how long it will take for the ball to cool to 50 F. Assume the oil bath temperature constant at T f = 70 F. Use λ steel = 3.8 BTU/(h ft R); c p steel = 0. BTU/(lbm R). Start with converting the data to SI units. (answer: Bi = ; T = 5 s). 9 Steam at 80 C, 80 kpa and velocity 5 m/s hits (in cross-flow) a 30 mm diameter round tube with temperature a) 40 C or b) 00 C. Calculate the heat transfer density Q " (W/m ) for these two cases. Steam data: viscosity η Pa.s, conductivity λ 0.08 W/(mK), Pr.0 (answer: a: dry heat transfer, h = 36 W/(m K), Q " = 5458 W/m, b. condensation at 3 C, T = 3 C, h ~ 0000 W/(m K, Q " = 60 kw/m ) 0 Consider the sun as a blackbody radiator at 5800 K. The diameter of the sun is ~ m, the diameter of earth is ~ m; the distance between earth and sun is ~.5 0 m. 7 Ett cm cm 0.3 cm datorchip kyls genom ett påtvingat konvektivt luftflöde, med värmeöverförings-koefficienten h = 5 W/(m K). Den elektroniska komponenten har formen av ett tunt skikt på chippets undre sida, och genererar,6 W värme. Luftens temperatur T f är 0 C, för kisel är λ= 48 W/(m K). Beräkna topp- och bottentemperaturerna för chippet T och T, antingen med hjälp av värmemotstånd, eller direkt med hjälp av konvektion och konduktivitet. (svar: T = 46.3 C, T = C) 8 Ett hett stålklot anlöps genom att sänka ner det i ett kylt oljebad. Klotet har diametern d = 0,5, massan m = 0,08 lbm och dess initialtemperatur är T i = 400 F. Om värmeöverföringskoefficienten mellan klot och olja är h = 6 BTU/(h ft² F), beräkna hur lång tid det tar för klotet att svalna till 50 F. Antag att oljebadets temperatur är konstant vid T f = 70 F. Använd λ stål = 3.8 BTU/(h ft R); c p stål = 0. BTU/(lbm R). Börja med att konvertera till SI-enheter. (svar: Bi = ; T = 5 s). 9 Ånga vid 80 C, 80 kpa och hastigheten 5 m/s träffar ett runt rör (vinkelrätt mot flödet) med diametern 30 mm med temperaturen a) 40 C eller b) 00 C. Beräkna värmeöverföringstätheten (W/m ) för dessa två fall. Data för ånga: viskositet η Pa.s, konduktivitet λ 0.08 W/(mK), Pr.0 (svar: a: torr värmeöverföring, h = 36 W/(m K), Q " = 5458 W/m, b. kondensering vid 3 C, T = 3 C, h ~ 0000 W/(m K, = 60 kw/m ) 0 Beakta solen som en svartkropp vid 5800 K. Solens diameter är ~, m, jordens diameter är ~,9 0 7 m. Avståndet mellan jorden och solen är ~,5 0 m. Beräkna 5-46

47 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven Calculate: a. The total energy emitted by the sun (W) b. The amount of the sun s energy intercepted by earth (W) c. The solar radiation flux (W/m ) that strikes reaches the earth s atmosphere at a right angle. Compare it with a measured solar flux of 70 W/m measured on a clear day in Colorado, USA. (answers: a W, b W, c. 376 W/m is ~ the Colorado value) Radiation occurs between floor, walls and ceiling of a room as shown in the figure. Calculate the view factors from the end wall () to the other five surfaces (...6) using the diagram given. a. Den totala energin som solen sänder ut i form av strålning (W) b. Den mängd av solens energi som fångas upp av jorden (W). c. Strålningsflödet från solen (W/m ) som träffar jorden i en rät vinkel. Jämför det med ett uppmätt flöde på 70 W/m en solig dag i Colorado, USA. (svar: a. 3, W, b., W, c. 376 W/m är ~ värdet i Colorado) Strålning sker mellan golv, väggar och tak i ett rum, som i bilden. Beräkna vinkelfaktorerna från kortväggen () till de fem övriga ytorna (...6) med hjälp av det bifogade diagrammet. (answers: F 0., F 3 = ( - 0.)/4 = 0.5 = F 4 = F 5 = F 6 ) A tube that transports steam at 50 C runs along a long corridor as illustrated in the Figure. The temperature of all walls is 0 C and wall emissivity is The temperature of the tube on the outside of the isolation at diameter 0.5 m is measured to be 5 C, at an emissivity of a. Calculate the heat losses per meter tube length as a result of heat radiation, and b. By how much would the heat losses decrease if the isolation is painted with Alpaint with emissivity 0.4. (answers: a. 33. W/m (assuming A»A gives 33.5 W/m; b. 6.0 W/m is a reduction of 5.6%). 3 An asphalt layer of 6 cm is put on a road at temperature T = 35 C in stagnant air of 0 C. The temperature of the road the asphalt is put on is also 0 C. How (svar: F 0,; F 3 = ( 0,)/4 = 0,5 = F 4 = F 5 = F 6) Ett rör som transporterar ånga vid 50 C löper längs en korridor enligt illustrationen i figuren. Alla väggar har temperaturen 0 C och emissiviteten 0,85. Rörets temperatur på isoleringens yttre sida, vid diametern 0,5 m, uppmäts till 5 C, med emissiviteten 0,85. a. Beräkna värmeförlusterna per meter rörlängd pga. värmestrålning och b. hur mycket värmeförlusterna skulle minska om röret målades med aluminiumfärg med emissiviteten 0,4. (svar: a. 33. W/m (antagandet A»A ger 33.5 W/m; b. 6.0 W/m är en reducering på 5.6%). 3 Ett asfaltskikt på 6 cm med temperaturen T = 35 C läggs på en väg i stillastående luft vid 0 C. Temperaturen hos den väg som asfalten läggs på är också 0 C. Hur länge tar det för asfalten 5-47

48 5. Värmeöverföring v. 0/3 long does it take for the asphalt to reach an average temperature <T> of 5 C and what is the centre temperature T m of the asphalt layer then? Assume that the temperature profile in the asphalt is symmetric. Data for the asphalt: ρ = 000 kg/m 3, c p = 90 J/(kgK), λ = 0.7 W/(mK). Use the diagrams in Fig (answer: diagram: Fo = 0.5, 99 s, 7.5 C) att nå en medeltemperatur <T> på 5 C och vad är asfaltsskiktets mittemperatur då? Antag att temperaturprofilen i asfalten är symmetrisk. Data för asfalten: ρ = 000 kg/m 3, c p = 90 J/(kgK), λ=0.7 W/(mK). Använd diagrammen i Fig (svar: diagram: Fo = 0.5, 99 s, 7.5 C). Svensk text (0): Thomas Björklöf Litteratur References 5. BMH99: W.J. Beek, K.M.K. Muttzall, J.W. van Heuven Transport phenomena Wiley, nd ed. (999) BS06: H.D. Baehr, K. Stephan, Wärme- und Stoffübertragung, Springer 5. ed., (006) Chapter 5 B4: E. Buckingham On physically similar systems Phys. Rev. 4 (94) BÖ88: Y. Bayazitoglu, M. Necati Özisik Elements of heat transfer McGraw-Hill (988) H89: J.P. Holman McGraw-Hill (989) Chapter 9 HSM: J.R. Howell, R. Siegel, M.P. Mengüç Thermal radiation heat transfer CRC Press (0) IdWBL07: F.P. Incropera, D.P. DeWitt, T.L. Bergman, A.S. Lavine Fundamentals of heat and mass transfer, Wiley, 6th ed. (007) Chapters & 3 KJ05: D. Kaminski, M. Jensen Introduction to Thermal and Fluids Engineering, Wiley (005) P0: R. Petela Engineering thermodynamics of thermal radiation McGraw-Hill (00) SSJ84: J.M. Smith, E. Stammers, L.P.B.M. Janssen Fysische Transportverschijnselen I TU Delft / D.U.M. (984) (in Dutch) T06: S.R. Turns Thermal Fluid Sciences, Cambridge Univ. Press (006) Z06: M. Zlokarnik, Scale-up in Chemical Engineering, Wiley-VCH (006) Z3: R. Zevenhoven Massöverföring & separationsteknik course 4430 material Åbo Akademi University (03) (in Swedish) Z3a: R. Zevenhoven Process engineering thermodynamics part a, course material Åbo Akademi University (03) ÖS96: G. Öhman, H. Saxén Värmeteknikens grunder, Åbo Akademi University (996) p (chapters 5-8). (in Swedish) Appendix Diagram for log-mean temperature T lm (BMH99) Appendix Diagram för logaritmisk medelvärdestemperatur T lm (BMH99) 5-48