Laboration 4: Tillämpningsuppgifter

Transkript

1 Laboration 4: Tillämpningsuppgifter Gerd Eriksson, André Jaun, Michael Hanke Royal Institute of Technology Department of Numerical Analysis and Computer Science 1 mars 25 Innehåll Anvisningar för labb Kulor på ett snöre (+) 3 2 Hoptryckt pelare 4 3 Piriformen och bouleväskan (+) 5 4 Havsytans buktning över ett undervattensberg 6 5 Klädlinan (*) 7 6 Åskledaren (*) 8 7 Metallröret (+) 9 8 Strömkretsen 1 9 Knäcklasten 11 1 Partikeln i fältet (*) Pilbågen Naturen växter, möss och ormar Ljudvågor under vattnet Flödespaketet partikelflöde förbi en cylinder Glödtråden (+) Teslatrasslet snurrig bana i magnetfält (*) Färgränder utspridd färg i randigt medium (*) Diffraktionsmönster (*) 2 19 Högspänning (*) 22 2 Molekylvibrationer (*) 24 1

2 Anvisningar för labb 4 Varje labbgrupp bokar in sig på webben för en uppgift och får samtidigt en föredragstid. Det finns många tillämpningsproblem att välja bland. Alla kräver användning av flera numeriska metoder. Några uppgifter är markerade med en stjärna eller ett plustecken: (*) Uppgiften är lite svårare (och därmed kanske lite roligare). (+) Uppgiften består av en vanlig del men kan utvidgas till en stjärnuppgift. För att kunna få en femma måste man klara en stjärnuppgift eller utvidgningen i en plusuppgift. Rapporten ska logiskt och begripligt sammanfatta bakgrund, problem, metoder, resultat, tillförlitlighet och slutsatser. Den ursprungliga problemlydelsen skall inte bifogas eller skrivas av. Texten skall vara så utförlig och lättbegriplig att läsaren skulle kunna göra om de beskrivna beräkningarna. Tänk dig att rapporten skall läsas av en ingenjör med till hälften glömda kunskaper i matematik, numeriska metoder, fysik m m t ex du själv om tre år! Det är tillåtet med referenser till kurslitteraturen när det gäller de grundläggande numeriska metoderna. Rapporten skall ha ett snyggt försättsblad med uppgiftens titel, författarnas namn (med entydig identifikation, t ex personnumret) och gärna en illustration. Rapporttexten skall vara mellan tre och sex A4-sidor och illustrerad med formler, figurer och kurvor. Rapporten skall inledas med en sammanfattning (abstract) på högst tio rader. MATLAB-kod och kompletterande utskrifter redovisas i bilagor. Som vanligt tar jag emot rapporten som pdf-fil och alla MATLAB-program via epost. Ni kommer att redovisa era resultat muntligt. Tillsammans med din labbkamrat ska du under ca 12 min fängsla en åhörarskara bestående av kurskamrater och ett par lärare. Vid betygsättningen bedöms om problemet med bakgrund och numerisk behandling beskrivs lättfattligt och korrekt, och om föredraget är väl förberett med trevlig presentation antingen på tavlan, med stordia eller med hjälp av datorn. 1 1 Om ni kommer att använda en datapresentation så ber jag om att ni säger till i god tid så att jag kan ordna en dataprojektor!!!! 2

3 1 Kulor på ett snöre (+) Anna har kulörta kulor av blandade storlekar i en låda. Hon väljer ut några kulor (mellan fem och tio stycken), fäster dem på ett rött sidenband med varierande avstånd och knyter fast bandets båda ändar på lika höjd i köksfönstret. Uppgiften är att rita upp Annas fönsterdekoration. Teori: Häng bandet i x-axeln mellan origo och x = a och låt antalet kulor vara n med massorna m 1, m 2,..., m n. Kulorna är så tunga att sidenbandets vikt är försumbar. Bandlängderna är L 1, L 2, L 3,...,L N där N = n + 1. Summan av bandlängderna måste förstås vara större än avståndet a mellan upphängningspunkterna. Det är lämpligt att som obekanta införa de N vinklarna u 1, u 2,..., enligt figuren. Vinklarna uppfyller: π/2 > u 1 u 2... u N > π/2. Motivera det! Rent geometriskt måste följande samband gälla (motivera!) N i=1 L i cosu i = a, N i=1 L i sinu i = Spännkraften S i varje bandstump har horisontell och vertikal komponent. Jämvikt kräver att u 1 u 2 S i cosu i = S i+1 cosu i+1, S i+1 cosu i+1 = S i+2 cosu i+2, S i sinu i = S i+1 sinu i+1 + m i g S i+1 sinu i+1 = S i+2 sinu i+2 + m i+1 g Elimineras S i, S i+1 och S i+2 ur dessa ekvationer fås följande samband (motivera!) m i+1 tanu i (m i + m i+1 )tanu i+1 + m i tanu i+2 =, i = 1,2,...,N 2. Dessa kraftsamband utgör tillsammans med de båda geometriska villkoren ett ickelinjärt ekvationssystem för bestämning av vinklarna. Lös det! Alternativ algoritm som också ska prövas: En idé är att med variabelbyte åstadkomma att ekvationssystemet till största delen blir linjärt. Då skulle det räcka att gissa två värden (t ex u 1 och u N ) och beräkna de övriga genom att lösa ett tridiagonalt linjärt system. För de båda återstående ekvationerna kan man inte längre beräkna derivatorna analytiskt, men en modifierad Newton med två-gånger-två Jacobianen approximerad av differenskvoter borde gå bra. Utveckla detta till en användbar algoritm och beräkna alla vinklarna. Kulförsvinnandeproblemet återstår att lösa: Annas pyrotekniskt intresserade pojkvän har i hemlighet preparerat bandet och kulorna och vid nyårsfirandet tänder han på bandet i origo. Det brinner sakta som en stubin utan att gå sönder, men varje gång lågan passerar en kula exploderar kulan och sprider färggrann konfetti över festdeltagarna. Rita upp de olika former kulbandet antar när kula efter kula försvinner, tills så få kulor är kvar att bandet inte kan hållas sträckt längre. Annas dekorationsdata: a = 8, L =[ ], m =[ ]. Du ska dessutom lösa problemet för en egen uppsättning data med andra bandlängder och kulmassor (minst sex olika tunga kulor ska snöret ha). Utvidgning för den som strävar efter högre betyg När bandet inte är sträckt längre kommer det att anta kedjekurveform: y(x)=a f cosh x x a f a f + y där x och y är koordinaterna för lägsta punkten och a f är formparameter. Beräkna och rita upp hur bandets form förändras då återstående kulor försvinner en efter en. 3

4 2 Hoptryckt pelare Japanska hus ställs ofta på stötdämpande pelare för att minska konsekvenserna av en eventuell jordbävning. En sådan cylindrisk pelare med radien R=1 och höjden H =4 pressas samman mellan två parallella plattor, den undre i planet z=. Vid hoptryckningen behåller pelaren rotationssymmetrin kring z-axeln. Materialet antas vara inkompressibelt, vilket innebär att volymen hålls konstant. Då pelaren trycks ihop bågnar den och dessutom töjs ändytorna ut enligt formeln r = R(1 + G( H/h 1)), där r är cirkelradien när pelaren tryckts samman till höjden h. G är en glidkonstant som anger glidförmågan vid ändytan. G = svarar mot oändlig friktion och medför r = R, G= 1 betyder perfekt glid. (Visa att perfekt glid i båda ändytorna medför att pelaren inte bågnar utan trycks ihop till en kort och tjock cylinder!) Vi betraktar fallet att G = vid övre ändytan och G =.4 vid den undre. Vinkeln α mellan horisontalplanet och den buktiga tvärsnittskurvan i xz-planet är densamma vid övre och undre plattan (se figuren). En kvadratisk bézierkurva är idealisk som modell för kurvan. En sådan kurva har en parameterrepresentation ( x y) = q(t)=p 1 t 2 + p 2 t(1 t)+p 3 (1 t) 2, t [,1] där p 1,p 2,p 3 är punkter i xz-planet (så kallade styrpunkter). För t = får man skärningspunkten av kurvan med xy-planet, d v s ( ) ru p 3 = q()=. Likadant får man skärningspunkten av kurvan med planet på höjden z = h vid t = 1: ( ) ro p 1 = q(1)=. h De obekanta variablerna blir xz-koordinaterna för p 2. Låt p i =(x i,z i ) T, i = 1,2,3. Man kan visa att vinkeln α uppfyller tanα = z 2 z 3 = z 2 z 1. x 2 x 3 x 2 x 1 Vinkeln kan elimineras. Den andra ekvationen får man genom att anta att volymen är oberoende av trycket. För rotationsvolymen kan man då använda formeln V = R πx 2 żdt (motivera uttrycket). Beräkna och rita under dessa förutsättningar pelarformen för h = 3.5, 3, 2.5, 2, 1.5, 1. Pelarens totalarea inklusive cirkelareorna kommer först att minska vid hoptryckningen, för att vid kraftig kompression åter öka. Rotationsarean bestäms av formeln R 2πx ẋ 2 + ż 2 dt (motivera detta uttryck). När arean blir större än den ursprungliga spricker ytskiktet och pelaren smulas sönder. Beräkna arean för de sju h-värdena från 1 till 4 och markera punkterna i en figur. Ett uttryck av formen F(h)= c 1 h + c 2 + c 3 h + c 4 h 2 ska nu anpassas till areavärdena. Ge en motivering till varför F(h)-uttrycket troligen är ett gott modellval. Bestäm koefficienterna med minstakvadratmetoden. Beräkna sedan med hjälp av detta uttryck det kritiska h-värde där söndersmulningen börjar. 4

5 3 Piriformen och bouleväskan (+) En piriformkurva definieras av ekvationen x 4 x 3 + y 2 /b 2 = för x 1. Rita upp några piriformer för b-värden mellan ett och tre. Namnet piriform betyder päronform för vilket b-värde passar namnet bäst? En moderiktig boulespelare bär helst sina bouleklot (med radien R) i en väska med plana parallella sidor (planen z = R och z = R) som är piriformytor med b-värdet 1.8. Bärhandtaget finns i origo och väskans utsträckning i x-led är en längdenhet. Standardväskan innehåller två bouleklot. Kloten kan inte rulla omkring i väskan, utan de nuddar varandra och tangerar dessutom väskans kurviga sarg på två ställen vardera. Problemet blir att bestämma klotens radie och placering i väskan mittpunktskoordinater: (a, R, ) och (a, R, ). Betrakta genomskärningen i planet z = som innehåller två cirklar och en omgivande piriform. Cirkeln i övre halvplanet tangerar piriformkurvan i två punkter (x 1,y 1 ) och (x 2,y 2 ). Sex obekanta finns: tangeringspunkternas koordinater samt a och R. Ställ upp sex samband och lös det ickelinjära ekvationssystemet. Det går att reducera antalet obekanta, men då kommer man inte ifrån rotuttryck i ekvationerna vilket komplicerar deriveringen. Till boulespelet hör en liten målkula som brukar kallas lillen eller grisen. Det finns olika tänkbara placeringar för den i piriformväskan. Om den liksom de båda övriga kloten ska ha centrum i planet z =, finns ett lagom utrymme för lillen mellan de båda boulekloten och väskans kant vid x = 1 (problemet betraktat som ett 2D-problem i planet z = ). Beräkna största möjliga radie för lillen och räkna ut kvoten mellan lillens radie och bouleklotens radie. Om bouleväskan med sina bouleklot ritas i 3D ser man att målkulan kan göras större om den flyttas ned i z-led. Förutom att nudda kanten x = 1 får den tangera planet z = R. Räkna ut lillens maximala radie r lill i detta fall och kvoten r lill /R. (Man kan ju passa på att lägga in en reservmålkula som tangerar planet z = R också.) Visa en tredimensionell bild av kloten och den omgivande piriformväskan. Utvidgning för den som strävar efter högre betyg Nu gäller det att åstadkomma en lyxväska med samma piriformkontur som standardväskan, men lyxbouleväskan ska innehålla tre bouleklot och en målkula. Alla boulekloten ska ha centrum i planet z = och alla ska naturligtvis vara lika stora. Pröva att placera målkulan på samma sätt som i standardväskan. Beräkna och rita lyxväskan. 5

6 4 Havsytans buktning över ett undervattensberg Gravitationen från en kropp ger upphov till en potential. Kring en sfärisk kropp blir ekvipotentialytorna sfäriska. En ostörd vattenyta ställer in sig så att den följer en ekvipotentialyta. Om jordklotet vore en perfekt sfärisk kropp helt täckt av hav skulle havsytan alltså utgöra en perfekt sfär, men så är inte fallet. Man har upptäckt områden i oceanerna där havsytan på grund av gravitationspåverkan från stora undervattensberg ligger många meter över normalnivån. Uppgiften är att beräkna vattenytans buktning över ett undervattensberg som står på en i övrigt plan havsbotten i ett område där havsdjupet är H = 1 meter. Densiteten för det järnhaltiga berget är ρ b = 787 och vattendensiteten är ρ v = 1. Berget antas vara rotationssymmetriskt kring z-axeln med höjden z topp = 98 m och med basradien R = 8 m vid havsbotten (planet z = ). Undersökningen ska utföras dels för ett konformat berg, dels för ett berg format som en halv ellipsoid. Utnyttja cylinderkoordinater (r, ϕ, z) för potentialberäkningen. Eftersom problemet är rotationssymmetriskt kommer potentialen i en punkt att vara ϕ-oberoende och endast bero av höjden ovanför planet z = och avståndet från symmetriaxeln. Potentialen Q i en punkt (r p,z p ) bestäms av Q(r p,z p )=(z p H)g (ρ b ρ v )G I(r p,z p ) där g = 9.8 är tyngdaccelerationen och G = är gravitationskonstanten. I(r p,z p ) är integralen RRR dvs, där s betecknar avståndet från (r p,,z p ) till en punkt (r,ϕ,z) inuti berget, och integrationen tas över hela bergvolymen. Trippelintegralen kan uttryckas I(r p,z p )=2 Z π Z ztopp Z q(z) r (r cosϕ r p ) 2 + r 2 sin 2 ϕ +(z z p ) 2 drdzdϕ Härled integranduttrycket! Integrationsgränsen q(z) är bergets radie vid höjden z. Utnyttja trapetsregeln för all numerisk integration, förslagsvis med 1 eller 2 delintervall i r-led och 3 i z-led. Integranden är en snäll periodisk funktion av ϕ och det bör räcka med fyra delintervall i ϕ π. Beräkna potentialen Q(r p,z p ) i ett antal punkter strax ovanför den ostörda havsytenivån, till exempel vid z p = H + j för j = 1, 2,..., j max, där j max får vara 5 i fallet konformat berg, men måste ha ett högre värde i fallet ellipsoidformat berg. Låt det radiella avståndet r p anta värdena, 5, 1, 2, 4, 6, 1, 2, 4, 6. Använd MATLABs contour för att rita ekvipotentialkurvor. Intressantast är förstås nollpotentialkurvan. Hur högt över den ostörda havsytan hamnar den? Ur contourfiguren kan den utläsas tämligen väl. Utnyttja ekvationslösning för att med större noggrannhet bestämma nollpotentialhöjderna vid de tio r p -värdena. Lägg slutligen en splinekurva genom de erhållna punkterna för att åstadkomma en mjukare nollpotentialkurva. 6

7 5 Klädlinan (*) En tvättlina med längden L b är elastisk med fjäderkonstanten k. På den osträckta linan mellan punkterna (, 2) och (2.5, 2) finns n stycken krokar (knutpunkter) på inbördes lika avstånd L x = 2.5/(n+1), där man hänger galgar med olika tunga plagg. Plagget på den i-te kroken har tillsammans med galgen och kroken massan m i. Kraftsambanden kring varje knutpunkt ger ett ickelinjärt ekvationssystem med 2n ekvationer för att bestämma de 2n obekanta x- och z-värdena för knutpunkterna. Låt den i-te punkten betecknas H ( = here), dess västra granne W och dess östra granne E. Den töjda linan mellan W och H har längden L W = W H 2. Kraftsambandet runt punkten H lyder: S W + S E m H ge z = där S W = k(1 L x /L W )(W H), och S E erhålls genom att byta W mot E. Lös det erhållna ickelinjära ekvationssystemet med Newtons metod. Det är lite jobbigt att beräkna Jacobianen för hand. Du kan utnyttja differenskvoter som approximation till jacobianelementen. Testdata: Fjäderkonstanten k = 25, tyngdaccelerationen g = 9.81, antalet krokar n = 5. Plaggens vikt (i kg): m 1 =.4, m 2 =.1, m 3 =.4, m 4 =.7, m 5 =.2. Rita resultatet! Undersök också hur mycket maximala nedhängningen påverkas, då plaggen byter plats på linan. Pröva sedan andra n-värden och upphängda plagg med andra vikter. 7

8 6 Åskledaren (*) En ledande vertikal pelare formad som en halv ellipsoid tas som modell för en åskledare. Uppgiften är att beräkna ekvipotentialkurvor runt åskledaren under ett åskväder. Potentialen är noll på åskledarens yta och i det horisontella planet (jorden) z =. Ellipsoiden beskrivs av följande ekvation med a = 1, b = 2, c = 1, z : x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 (1) Fördelen med att räkna på en ellipsoidisk ledare i stället för en mycket tunn cylinder är att potentialen V i punkter i rymden utanför ellipsoiden kan skrivas som ett explicit uttryck enligt formeln V (x,y,z)=ez G(p) G( ) eller G(p) V G( ) Ez = (2) E är fältstyrkan på stort avstånd från åskledaren; åskmolnet betraktas som oändligt avlägset och med oändlig utsträckning. Lämpligt värde är E = 2 V/m. Funktionen G(p) är integralen Z p 1 G(p)= du (3) (1 + ua )(1 + ub )(1 + uc ) och mellan x, y, z och p finns sambandet x 2 a 2 + p + y2 b 2 + p + z2 c 2 + p = 1 (4) På planet z= och på åskledarens yta där p= gäller V =. Uppgiften är att bestämma ekvipotentialkurvornas utseende i horisontella plan samt beräkna ekvipotentialkurvor i de tre vertikalplanen y =, y = 1, y = 2. Kurvor (och gärna även ekvipotentialytor) önskas för potentialerna 125, 25, 5, 1, 2 V, dvs V j = 2V j 1. Uppläggning: Ur (2) kan p-värdet för given potential V j och given höjd z i bestämmas. Det blir ekvationslösning som kompliceras av att integralen (3) ingår. När alla p-värden är kända kan ekvipotentialkurvorna erhållas genom formel (4). För att kurvorna i vertikalplan inte ska bli kantiga behövs ganska många z-värden. Välj z-vektorn z =[11 :.5 : : 2 : 9 85 : 5 : 15] ; nz = length(z) Eftersom många p-beräkningar behöver utföras (n z gånger 5 stycken), och var och en innehåller ekvationslösning med integralberäkning är det nödvändigt att lägga upp en effektiv algoritm. Det totala integralberäkningsarbetet underlättas avsevärt om man inleder med att beräkna ett fåtal G(p)- värden med numerisk integration och sedan utnyttjar splineinterpolation för att få mellanliggande värden. För ekvipotentialkurvorna kommer p-värden från noll till flera miljoner att behövas. Eftersom G(p) ökar snabbt i intervallet p 1 och därefter har långsam tillväxt upp till sitt maximivärde är det lämpligt att särskilja fallen p 1 och p 1. Beräkna först G(p) för p =, 1, 2,...,1 och utnyttja dessa värden tillsammans med G (p) för splineinterpolation i intervallet p 1. För större p-värden är det bättre att göra substitutionen α = ln p (eller α = 1 log p) med funktionssambandet G(p) =F(α) och utnyttja en uppsättning F- och F -värden med ekvidistanta α-värden för splineinterpolation då p > 1. Beräkna och utnyttja värdena F(α k )=G(1 k ) för k = 1, 2, 3,..., 7 (summera numeriskt beräknade delintegraler för intervallen [1, 1], [1, 1], osv). Visa med analytisk betraktelse att G( ) nu erhållits med fem korrekta siffror. Bra startvärden gör ekvationslösningarna snabbare. En god idé kan vara att beräkna och lagra p-värdena i en matris i ordning från små till stora värden och utnyttja ett tidigare resultat som startvärde, till exempel så här: Börja vid högsta höjden z 1 och lägsta potentialen V 1 och beräkna p 11 ur ekvation (2). Därefter beräknas p 1 j = p(z 1,V j ) för j = 2, 3, 4, 5. Fortsätt med nästa rad i matrisen: Bestäm p 21 med p 11 som startgissning, beräkna sedan p 2 j för j = 2, 3, 4, 5, osv. Obs! Lösning finns endast om V j /Ez i < 1; om z i är litet och V j är stort finns ingen rot till ekvationen. Förklara varför! Med hjälp av formel (4) kan nu ekvipotentialkurvorna beräknas och ritas. I horisontella plan blir det kurvor av känt slag (rita upp några, t ex vid z = 5, z = 96 och z = 1), men i vertikalplan får kurvorna en mer komplicerad form. Rita gärna ekvipotentialytor med MATLABs mesh eller surfl. 8

9 7 Metallröret (+) Genom ett tjockväggigt cylindriskt metallrör strömmar en het vätska med den konstanta temperaturen 45 C. Cylinderväggen har innerradien 1. cm och ytterradien 2. cm. Temperaturfördelningen u(r) i metallen bestäms av differentialekvationen r d2 u dr 2 + du = med u = 45 vid r = 1 (längdenhet cm). dr Omgivande temperatur är 2 C. Vid r = 2 är temperaturgradienten du/dr proportionell mot temperaturdifferensen, d v s där gäller du/dr = K (u 2). K är en materialkonstant, det så kallade värmeöverföringstalet mellan metall och luft. Låt metallen i testfallet ha K = 1. Gör enligt finitadifferensmetoden en diskretisering av intervallet 1 r 2 indelat i N delintervall. Visa hur randvärdesproblemet kan approximeras av ett matrisproblem. Lös detta först för N = 25, fortsätt med successiva fördubblingar av N tills önskad precision erhålls t ex fyra korrekta siffror i temperaturvärdet vid cylinderns ytterradie. Rita upp temperaturfördelningen i metallen. Man tillåter inte att metallcylinderns utsida får bli varmare än 1. Beräkna vilket som är det kritiska K-värdet för metallen för att detta ska uppnås. Undersök även hur känsligt detta kritiska K-värde är för temperaturvariationer i vätskan. Det inträffar nämligen att vätskan i röret råkar stiga till 46 C i stället för att hålla det givna temperaturvärdet 45 C. (Problemet kan lösas analytiskt, gör gärna det för kontroll.) Utvidgning för den som strävar efter högre betyg Värmediffusiviteten i metallröret är inte konstant utan kan betraktas som ett tredjegradspolynom D(r) med derivatan noll vid inner- och ytterradien, alltså vid r = 1 och r = 2, dessutom gäller D(2)=2D(1). Temperaturfördelningen u(r) bestäms nu av ( ) r d2 u dr rd (r) du =, 1 r 2, D(r) dr med samma begynnelsevillkor och randvillkor som tidigare. Lös samma problem som tidigare för detta metallrör. 9

10 8 Strömkretsen En enkel strömkrets består av en kondensator och en spole. Kondensatorn är uppladdad till spänningen U. Spolen innehåller järn och har strömberoende induktans: L = L / ( 1 + I 2). Vid tiden t = sluts kretsen och strömmen bestäms sedan av två samband: Spänningen över induktansen: U = L di dt Strömmen genom kondensatorn: I = C du dt Visa att följande differentialekvation kan härledas ur uttrycken ovan (efter derivering av första uttrycket): d 2 I dt 2 = 2I 1 + I 2 ( ) di 2 I ( 1 + I 2) dt L C Vid tiden t = gäller I = och di/dt = U /L. Lösningen I(t) till differentialekvationen är en periodisk funktion som är mer eller mindre sinusliknande beroende av hur U -värdet väljs. Gällande data är L = 1H,C = 1µF. Några olika värden på U ska prövas, dels spänningen 24 V då järnkärnans inflytande är nästan försumbart, dels två höga spänningsvärden 12 V och 24 V då strömkurvan inte blir särskilt sinuslik längre. Före den numeriska behandlingen kan det vara bra att bedöma storleksordningen på svängningstiden. Det är lätt att räkna ut frekvensen och svängningstiden för en krets med konstant C och konstant L = L. Använd ode45 för att beräkna och rita strömkurvorna (standardtoleransen i ode45 duger inte, en relativ tolerans som är flera tiopotenser mindre kan vara nödvändig). Som jämförelse ska du även utnyttja en egen RK4 för strömkurveberäkningarna. Fundera ut en bra algoritm för att bestämma strömmens toppvärde I max och för att med mycket god precision beräkna svängningstiden T. Tillförlitlighetsbedömning av I max och T krävs. Fourieranalys anpassning med trigonometriskt polynom Programmet ska göra en fourieranalys av strömkurvan, det vill säga beräkna koefficienterna a k i fourierutvecklingen av I(t): I(t)=a 1 sinωt + a 2 sin2ωt + a 3 sin3ωt +, där ω = 2π/T Att det inte blir några cosinustermer i utvecklingen följer av att funktionen I(t) är udda. För koefficienterna i formeln gäller: Z T a k = 2 I(t)sinkωtdt, k = 1,2,3,... T Beräkna de 14 första fourierkoefficienterna. Om strömmen är nästan sinusformad bör alla koefficienter utom den första vara mycket små, stämmer det? Det symmetriska utseendet hos strömkurvan gör att vissa fourierkoefficienter är noll (teoretiskt i alla fall). Vilka är det och hur väl stämmer teori och praktik? Rita i samma figur upp strömkurvan samt resultatet av fourierutvecklingen, dels då bara de tre första termerna tas med, dels då alla fjorton finns med. 1

11 9 Knäcklasten En svarvad käpp med längden L = 3 meter och axeln längs x-axeln har cirkulärt tvärsnitt med varierande tvärsnittsradie r(x). Låt käppens konturkurva, alltså r(x), bestämmas av hermiteinterpolation i sju ekvidistanta punkter mellan x= och x=l med steget.5 med konturvärdena i en vektor r =.2(2+telnr), där första testfallet utgörs av telefonnumret till Nadas studentexpedition: Fördetandra testfallet består konturdata av telefonnumret till Nadas telefax: Låt konturkurvans lutning vara noll vid x = och x = L, och gör en spline interpolation. Rita upp interpolationspunkterna och de erhållna konturkurvorna r(x) och r(x). Käppen utsätts för en tryckkraft P i axiell led och vi vill veta hur stor kraft som krävs för att den ska knäckas. Utböjningen bestäms av differentialekvationen EI(x)y = Py, y()=, y(l)= med E = 1 8 och I(x) = π 4 r(x)4 (tröghetsmomentet vid cirkulärt tvärsnitt). Använd finitadifferensmetoden och diskretisera käppen i N = 3 delintervall (dvs med vart och ett av de sex interpolationsintervallen delat i fem delar) för att omforma randvärdesproblemet till ett matrisproblem på formen Ay = λy, där uttrycket för λ innehåller kraften P och materialkonstanten E. Använd gärna en gles lagring av matrisen A. En trivial lösning till detta matrisproblem är y lika med nollvektorn (det vill säga ingen utböjning alls). För vissa värden på den axiella kraften P finns det icketriviala lösningar och det är då som käppen riskerar att knäckas. Det är förstås det minsta av dessa P-värden som är mest intressant, vilket innebär att det till beloppet minsta egenvärdet λ till A måste beräknas. När det är känt kan knäckkraftsvärdet P bestämmas ur sambandet P = λe/(δx) 2 där δx = L/3 om käppen diskretiserats i 3 intervall. Härled sambandet! Egenvärden erhålls i MATLAB med eigs(a). Använd parametern SM. En tät diskretisering, dvs ett stort N-värde, kan behövas för att knäcklasten ska erhållas med god noggrannhet. Förutom för N = 3 ska knäcklastberäkningen utföras för N = 6, 12, 24. När matrisen är stor tar eig(a) lång tid, kolla med cputime-kommandot (gör help cputime först). Jämför resultatet som du fick genom eigs med dem som du får med den inversa potensmetoden och Rayleighiterationen (N = 24). Använd kommandot cputime för att mäta tidsåtgången för de olika metoderna. En jämntjock käpp med samma knäcklast som gäller för vår knöliga käpp har en konstant radie på 4 4PL 2 /Eπ 3. Rita in den! Ta sedan ett eget telefonnummer som data och utför beräkningarna ovan. Rita 2D-konturkurvan och den tredimensionella käppen. 11

12 1 Partikeln i fältet (*) Positiva partiklar med massan m och laddningen Q rör sig i ett elektriskt och magnetiskt kraftfält. Fälten finns endast inom två cirkulära cylindrar båda med radien R och med axlarna parallella med z-axeln. Mittpunkterna finns vid x = a 1, y = b 1 respektive x = a 2, y = b 2. Det elektriska fältet i cylindrarna är E =( E,, ) respektive E =(E,, ) med konstant fältstyrka E. Magnetfältet har vertikal riktning och är starkast i mitten: B = (1 r/r)be z i första cylindern och motriktat d v s B =(1 r/r)be z i den andra, e z =(,, 1). Om partikelns position vid tiden t beskrivs med vektorn r(t) så gäller följande differentialekvation för partikelrörelsen: m r = Q(E + ṙ B). Betrakta först rörelsen för en partikel. Den har hastigheten v = 5 m/s när den kommer farande längs negativa x-axeln i positiv riktning. Börja studera rörelsen när den passerar origo. Om partikelns hastighetskomponent i z-led är noll utanför fälten så förblir den noll inuti de ovan beskrivna fälten; partikelbanan blir plan och kan beskrivas med enbart x- och y-koordinater. I detta fall erhålls differentialekvationerna ẍ =, ÿ = om partikeln befinner sig utanför cylindrarna och ẍ = Q m ( ( E 1 r 1 R r 1 = ) ) Bẏ, ÿ = Q ( m (x a 1 ) 2 +(y b 1 ) 2, 1 r 1 R ) Bẋ, där om partikeln befinner sig i första cylindern. Härled dessa uttryck ur kryssproduktsformeln ovan. Hur lyder differentialekvationerna inom den andra cylindern? Beräkna partikelbanan med Runge-Kuttas metod eller ode45 från x = ända tills partikeln har passerat ut ur andra cylindern. Pröva dig fram till lagom tidssteg som ger acceptabel noggrannhet och motivera det valda steget! För ode45 använd istället options ( MaxStep och Reltol, Abstol ). Data: m = kg, Q = C, E = 3 V/m, B = Wb/m 2, R =.1 m, a 1 =.12, b 1 =, a 2 =.26, b 2 =.24, v = m/s. Låt fem partiklar alla med hastigheten v i x-led komma in i parallella banor, startpositioner vid t = är x = och y = 2h, h,, h, 2h där h =.1R. Beräkna och rita de fem partikelbanorna etappvis i t ex 16 lika långa tidsetapper från tiden noll till en tid då alla partiklar med god marginal lämnat andra cylindern. Markera också partikelpositionerna i slutet av varje tidsetapp (så att man ser deras inbördes förskjutningar). Banorna går nästan parallellt efter utgången ur sista fältet. Genom förflyttning av den andra cylindern i y-led kan man åstadkomma att första och femte partikelbanan blir parallella. Använd någon effektiv algoritm för att bestämma cylinderplaceringen. 12

13 11 Pilbågen Busiga Bertil upptäcker att skolsalens enmeterslinjal är så böjlig att den borde duga till pilbåge. Han spänner ett snöre mellan linjaländarna det råkar finnas små hål just vid nollstrecket och vid enmetersmarkeringen och drar åt snöret så att bågen buktar 3 cm vid mittpunkten. Uppgiften är att bestämma formen på pilbågen. Den blir symmetrisk kring mittpunkten så det räcker att behandla högra halvan av intervallet a x a. För utböjningen y(x) gäller följande differentialekvation [ d 2 ( ) ] y dy 2 3/2 dx 2 + qy 1 + = dx där storheten q beror av linjalens materialegenskaper som elasticitetsmodul och tröghetsmoment. Randvillkoren är: y()=.3, y ()=, y(a)=. Dessutom finns villkoret att pilbågens längd är exakt en halv meter från x = till x = a. Det blir fråga om ett ickelinjärt randvärdesproblem med två okända konstanter a och q, ganska komplicerat! Goda startvärden behövs för att de iterativt ska kunna bestämmas. Börja därför med att lösa det förenklade problemet då y -termen försummas, för att sedan kunna utnyttja resultatet som startgissning till det ickelinjära problemet. Förenklingen ger differentialekvationen y + qy = med randvillkoren ovan. Visa att lösningen kan skrivas y(x) =.3cos qx och ange sambandet mellan a och q. Värdet på a bestäms ur villkoret om pilbågens längd. Det blir ett kombinerat integral- och ekvationslösningsproblem där båglängdsintegralen R 1 + y (x) 2 dx ingår. Då a är bestämd känner vi också q, och därmed hela pilbågsformen y(x). Nu kan den ursprungliga differentialekvationen betraktas igen. För ett givet värde på q innebär de två villkoren vid x = att vi har ett begynnelsevärdesproblem att lösa, och a-värdet erhålls vid kurvans skärningspunkt med x-axeln. Bestäm denna punkt med stor noggrannhet. Kontrollera därefter hur väl båglängdsvillkoret är uppfyllt. Pröva ett nytt q-värde och automatisera sökandet till en effektiv algoritm för att lösa ekvationen båglängd(q, a(q)) =.5, så att pilbågens rätta form erhålls. Slutligen rita upp pilbågen. 13

14 12 Naturen växter, möss och ormar Vid början av år noll planteras 1 exemplar av en nyttoväxt på en bördig ö. Beståndet utvecklar sig snabbt med tiden enligt dv/dt = a 1 V a 2 V 2, där V(t) är antalet växter vid tiden t (tidsenheten är år). Konstanterna är a 1 = 16 och a 2 = Differentialekvationen är analytiskt lösbar (separabel) men kan förstås också lösas numeriskt. Man finner att då t ökar så närmar sig V (t) ett konstant slutvärde, vilket? Låt tidpunkten vara T 1 då antalet växter stigit till 95% av slutvärdet. Ange hur många dagar efter inplanteringen som detta uppnås. Just den dagen anländer två växtätande djur till ön (man kan väl tänka sig ett par möss). Samspelet mellan växterna och djuren kan beskrivas med följande differentialekvationer, där S(t) betecknar antalet skadedjur: dv/dt = a 1 V a 2 V 2 a 3 VS, ds/dt = b 1 S b 2 V.6 S.8. I växtekvationen tillkommer termen a 3 VSsom effekt av att skadedjuren dykt upp, konstanten a 3 =.11. Djuren har svårigheter att öka ju fler de är, därav den negativa första termen i ds/dt, konstanten är b 1 = 2., Djurantalet ökar däremot när de har möjlighet att utnyttja födan; i den positiva andra termen gäller b 2 =.85. Detta differentialekvationssystem har då t går mot oändligheten en konstant stabil lösning. Sätt derivatorna lika med noll och lös det ickelinjära system som ger slutvärdena för V och S. Lös differentialekvationerna numeriskt med lämplig metod fram till tidpunkten T 2 = 1.5 (d v s ett och ett halvt år efter växtplanteringen). Har antalet växter och skadedjur hunnit stabilisera sig? Hur många procent (eller promille) avviker deras värden från slutvärdena? Vid denna tid införs rovdjur (ett ormpar) på ön för att hålla de växtätande mössens antal nere och därmed öka mängden av växter. Man får ett differentialekvationssystem där växtekvationen är oförändrad (ormarna äter inte växterna). Skadedjursekvationen blir nu ds/dt = b 1 S b 2 V.6 S.8 b 3 SR, dr/dt = c 1 R + c 2 S R. Med lämpligt valda värden på konstanterna i modellen gäller även här att V, S och R för stora t-värden närmar sig en konstant stabil lösning. Låt b 3 = 1.5, c 1 = 2. och c 2 =.25. Sätt derivatorna till noll och lös ut slutvärdena för V, S och R. Lös differentialekvationssystemet tills tre år gått sedan växterna planterades, T 3 = 3. Hur nära sina slutvärden har de inblandade parterna nått? Hjälper besprutning? Öborna som utnyttjar växterna och vill skörda frukterna är ändå inte nöjda man tycker att skadedjuren äter för mycket. Vid tidpunkten T 3 beslutar man sig för en årlig besprutningskampanj, som är så anpassad att 7 procent av skadedjuren dödas vid varje års besprutning. Effekten är tyvärr sådan att även rovdjursstammen drabbas, 2 procent av rovdjuren dödas samtidigt varje år av giftet. Lös alltså differentialekvationssystemet med besprutning varje år införd. Efter någon tid har bestånden stabiliserats till nya värden (en periodisk lösning uppstår). Har öborna gjort rätt? Studera växtbeståndet under ett år före och efter besprutningskampanjen. Hur känslig är denna ekologiska modell för störningar i koefficienterna? Gör några numeriska experiment med små (eller kanske stora) förändringar i någon eller några koefficienter och undersök hur resultatet blir! Experimentera också med andra besprutningsmedel som påverkar skadedjurs- och rovdjursbestånden annorlunda än det först prövade giftet. 14

15 13 Ljudvågor under vattnet Modifierad version av uppgift P8-15 i Kahaner-Moler-Nash. The speed of sound in ocean water depends on pressure, temperature and salinity, all of which vary with depth in fairly complicated ways. Let z denote depth in feet under the ocean surface (so that the positive z axis points down) and let c(z) denote the speed of sound at depth z. We shall ignore the changes in sound speed observed in horizontal directions. A good approximation to the sound speed is given by z c(z)=48 + p 1 + p p 3 e p 4 z/1 where p 1 = 2.29, p 2 = , p 3 = , p 4 = Make a plot of the model curve c(z). Since the sound speed varies with depth, sound rays will travel in curved paths. A fixed underwater point emits rays in all directions. Given a particular point and initial direction we would like to follow the ray path. Thus letting x be the horizontal coordinate we know the initial values: x =, z = z, dz/dx = tanβ, where β denotes the angle between the horizontal line z = z and the ray in the start point. The ray path z(x) is described by the following second order differential equation d 2 z dx 2 = q c (z) c(z) 3 where q =(c(z )/cosβ ) 2. Use the Runge-Kutta method (or ode45) to trace the ray beginning at z = 2 feet and β = 7.8 degrees. Follow the ray for 25 nautical miles (1 nautical mile is 676 feet). Plot the curve z(x). You should find that the depth at x f = 25 nautical miles is close to 25 feet. Now suppose that a sound source at a depth of 2 feet transmits to a receiver 25 miles away at a depth of 25 feet. The above calculation shows that one of the rays from the source to the receiver leaves the source at an angle close to 7.8 degrees. Because of the nonlinearity of the equation there may be other rays leaving at different angles that reach the same receiver. Run your program for β in the range from 1 up to 14 degrees, plot the ray paths and print a table of the values z(x f ). We are interested in finding values of β for which z(x f )=25. Use an efficient algorithm to determine the rays which pass through the receiver. Discuss the accuracy of your results. 15

16 14 Flödespaketet partikelflöde förbi en cylinder En långsträckt cylinder med radien R = 2 befinner sig i en inkompressibel vätska som strömmar i positiv x- riktning. Cylinderns axel är vinkelrät mot flödesriktningen. Det hela kan betraktas som ett tvådimensionellt problem i rummet. Läget (x(t), y(t)) för en flödespartikel vid tiden t bestäms av partikelns startposition (x(), y()) och av differentialekvationssystemet dx dt = 1 R2 (x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2, dy dt = 2xyR2 (x 2 + y 2 ) 2. Vid t = befinner sig fyra flödespartiklar vid x = 4 med y-positionerna.2,.6, 1. och 1.4. Beräkna och rita deras strömningskurvor fram till tiden t = 1. Notera läget för de fyra partiklarna vid denna tidpunkt. Den understa partikeln har hamnat på efterkälken. Beräkna hur lång tid som krävs för att den ska nå fram till samma x-position som den översta har vid t = 1. Vi vill nu studera hur ett paket av flödespartiklar deformeras när det strömmar förbi cylindern. Det gäller att lösa differentialekvationssystemet en tidsperiod i taget och rita en ögonblicksbild av partikelpositionerna. Låt startformationen för partikelpaketet vara en regelbunden tjugohörning med centrum i ( 4, 1) och radiellt avstånd till hörnen.6. Beräkna arean av varje deformerad polygon. För en sluten polygon finns följande trapetsregelliknande areaformel: A = 1 n 2 y i (x i+1 x i 1 ) med x = x n, x n+1 = x 1 i=1 (minustecknet om polygonpunkterna är ordnade i positiv riktning, dvs moturs). Gör om beräkningarna för en fyrtiohörning. Genomför även en richardsonextrapolation på areavärdena med antagandet att areaformeln har samma noggrannhetsordning som trapetsregeln. Fortsätt eventuellt med en fördubbling av antalet hörn. Vilken slutsats kan dras om partikelpaketets area under strömningen förbi cylindern? Utför även egna experiment med annan startform på partikelpaketet och andra startpositioner i y-led

17 15 Glödtråden (+) Betrakta randvärdesproblemet d 2 u dx 2 = σu4 I 2 R(u), u()=1, u (.5)=. Problemet är att finna temperaturfördelningen u(x) i en strömförande en meter lång metalltråd, då trådändarna hålls vid den mycket låga temperaturen 1 K. På grund av symmetrin räcker det att betrakta halva trådens längd med randvillkoren ovan. Resistiviteten i tråden är temperaturberoende: R(u)=1 +.8u. Strålningskonstanten är σ = 1 7. Man vill först lösa problemet då strömmen är I = 1 A. Använd finitadifferensmetoden och gör diskretisering i N intervall. Visa hur randvärdesproblemet kan approximeras av ett ickelinjärt ekvationssystem. Lös systemet dels för N = 1 dels för N = 2. Fortsätt att fördubbla om du tycker att noggrannheten är otillräcklig. Rita upp temperaturfördelningen i tråden. Vi vill också finna temperaturfördelningen i tråden då strömstyrkan är betydligt högre, ända upp till 9 A. När strömmen är så stark blir tråden glödhet på mitten men är fortfarande ytterst kall i ändarna. Det kan då vara knepigt att hitta en fungerande startgissning. Fundera ut en lämplig algoritm som successivt löser mellanliggande temperaturfördelningsproblem först för strömstyrkor strax över 1 A och därefter lagom strömhöjning. Algoritmen bör därmed klara av att beräkna de knepiga temperaturfördelningskurvorna som höga strömstyrkor ger upphov till. Utvidgning för den som strävar efter högre betyg En alternativ möjlighet består i att utnyttja att lösningen till en parabolisk ekvation (t ex värmeledningsekvationen) konvergerar mot en stationär lösning. Därför kan vi försöka att lösa problemet u t = 2 u x 2 σu4 + I 2 R(u) med randvillkor u(t,)=1, u x (t,.5)=, t och ett godtyckligt begynnelsevillkor, t ex u(,x)=1, x.5. Lös problemet för olika strömstyrkor 1 A,...,9Amedhjälp av linjemetoden för stora tidsintervall tills lösningen inte längre förändras. Rita resultatet. 17

18 16 Teslatrasslet snurrig bana i magnetfält (*) Genom en ring med radien a går strömmen I. Ringen är placerad i planet z = med centrum i origo. Strömmen ger upphov till ett magnetfält. Låt q vara en punkt på ringen, q =(a cosϕ, a sin ϕ, ). I punkten p =(r,,z) bestäms det magnetiska fältet enligt Biot- Savarts lag av p B(r,,z)= µ rµ 4π Z π π i(ϕ) s(ϕ) s 3 adϕ µ r är permeabilitetstalet för ledaren och µ = 4π1 7 (i SI-enheter)..1.1 q.1.1 Visa att fältkomponenterna blir i(ϕ)=i ( sinϕ,cosϕ,), s(ϕ)=p q =(r acosϕ, asinϕ, z) s = p q 2 = (r acosϕ) 2 + a 2 sin 2 ϕ + z 2. Z π B x = C π Z zcosϕ π s 3 dϕ, B y =, B z = C π a r cosϕ s 3 dϕ där konstanten C = µ r I a 1 7 med I i ampere och a i meter. Enheten för magnetisk flödestäthet är tesla. Magnetfältet har som synes endast komponenter i radiell led och i z-led. Av symmetriskäl gäller detta för alla vertikala plan genom origo. Komponentbeteckningen B x (i planet y = ) ersätter vi därför med B r som betecknar radiell fältkomponent. Fältlinjeberäkning: I varje vertikalplan genom origo (rz-plan) beskrivs de magnetiska fältlinjerna i parameterform, (r(v), z(v)), av differentialekvationssystemet dr/dv = B r (r,z), dz/dv = B z (r,z), r()=r, z()=. Använd RK4 eller ode45 för den numeriska behandlingen. Utnyttja vid beräkning av B r och B z att integranderna är periodiska funktioner. Fältlinjerna bildar slutna ovala kurvor; rita kurvor för r =.2a,.3a,.4a,.5a. Data: a =.1, I = 2., µ r = 4. Beräkning av partikelbanor: En laddad partikel, laddning Q, massa m, påverkas av det magnetiska fältet från den strömförande ringen. Partikelbanan är tidsberoende, s(t)=(x(t),y(t),z(t)), och beskrivs av differentialekvationen m s = Q(ṡ B). Magnetfältet har i punkten (x,y,z) komponenterna B x = x r B r, B y = y r B r, B z, där r = x 2 + y 2. Inför c p = Q/m. Härled följande rörelseekvationer för en partikel med given startposition, riktning och hastighet: ẍ = c p (ẏb z żb y ), ÿ = c p (żb x ẋb z ), z = c p (ẋb y ẏb x ). Skriv om till ett system av första ordningens ODE och utnyttja ode45 för att beräkna och rita banan för en partikel med laddning/massa-förhållandet (As/kg). Experimentera med olika kombinationer av begynnelsepositioner och starthastighet. För testfallets partikel gäller x()=1.2a, y()=, z()=.15a, ẋ()=, ẏ()=v, ż()= med v = 2 m/s. Hur mycket varierar hastigheten under den trassliga färden? 18

19 17 Färgränder utspridd färg i randigt medium (*) En färgklump råkar falla ned i en kanal där vatten strömmar genom skikt av olika porösa material. Kanalen sträcker sig från x = till x = L. Färgklumpen spills vid x = L/2 och orsakar direkt en koncentrationsfördelning u (x)=e 12(x L/2)2. Mängden spilld färg är M = R L u (x)dx. Med tiden rör sig färgfläcken och sprids ut i hela kanalen. Så småningom uppnås ett randigt jämviktstillstånd för färgkoncentrationen u(x) i kanalen, där u(x) bestäms av en andra ordningens differentialekvation..6 Mediet i kanalen (ringformad i figuren) består av återkommande skikt av två porösa kompositmaterial med olika materialegenskaper (densitet, etc)..2.4 För diffusiviteten (dvs spridningsbenägenheten för färgen) gäller att medelvärdet är D =.5 och D(x) överstiger D i de mörka.2 kompositskikten och ligger under D i de ljusa. För enkelhets.4 skull antar vi D(x)=D (1+.5sin2πx), där skikten är en halv längdenhet vardera (x löper utmed kanalen, dvs längs cirkelbågen i detta fall). Strömningshastigheten a(x) för färgen i mediet uppfyller a(x) =.6 i de mörka skikten och a(x) =.2 i de ljusa. Vid skiktgränserna (diskontinuitetspunkterna x =,.5, 1, 1.5,..., L) får hastigheten anta medelvärdet a(x)=.4. Differentialekvationen för färgkoncentrationen i jämviktstillståndet lyder: D(x) d2 u dx 2 + D (x) du dx d (a(x)u)=, x L. dx Randvillkoren för färgkoncentrationen i en sluten kanal är av kontinuitetsskäl: u()=u(l) och du du dx ()= dx (L). Låt undersökningen gälla en kanal med L = 4. Använd finitadifferensmetoden med steget h = L/8 för att bestämma koncentrationsfördelningen vid jämvikt. Det blir ett matrisproblem på formen Au = med singulär systemmatris. För att få den önskade entydiga lösningen måste villkoret R L u(x)dx = M utnyttjas på lämpligt vis. Rita upp den cirkulära kanalen och kurvan som visar koncentrationsfördelningen av den utspridda färgen i kanalen. Skriv ut max- och min-värdena. Hur pålitligt är resultatet? Räkna om med halverat steg, eventuellt flera gånger. 19

20 18 Diffraktionsmönster (*) När man låter ljus eller andra elektromagnetiska vågor passera genom en smal spalt eller förbi en skarp kant uppstår diffraktion. På en skärm kan vi se ett diffraktionsmönster som beror av våglängden λ, spaltbredden a och diffraktionsvinkeln θ. För fallet med mycket smal spalt och stort avstånd L till skärmen bestäms diffraktionsmönstrets intensitet I vid positionen ξ på skärmen av ( ) sinα 2 I(ξ)=I, där α = πa α λ sin θ πa ξ λ L, ξ << d Intensiteten I är maxvärdet som erhålls när vinkeln θ är noll (och på skärmen: ξ = ). Vi kan låta I ha värdet ett. Detta speciella fall av diffraktion kallas fraunhoferdiffraktion efter den tyske fysikern Joseph von Fraunhofer 2 ( ). Fresneldiffraktion är namnet på en finurlig matematisk algoritm för beräkning av diffraktionsmönster mer generellt. Det kan gälla diffraktion orsakad av en skarp kant eller av en spalt eller av ett långsmalt föremål (nål, grässtrå) som kommer i vägen för ljusvågorna. Teorin för fresneldiffraktion utvecklades av Augustin Jean Fresnel 3 ( ), fransk matematiker och fysiker. Det matematiska redskapet för att åskådliggöra diffraktionmönstret är Cornus spiral, lussekattskurvan i figuren. Den högra delen av spiralen erhålls som lösning r(u)=(x(u), y(u)), u till differentialekvationssystemet Diffraktion orsakad av skarp kant.6 Cornus spiral q d 2 x du 2 = d 2 y du 2 = ds du = dy πu du, x()=, x ()=1 dx πu du, y()=, y ()= ( dx ) 2 ( du + dy 2, du) s()= q Intensiteten är prop mot kvadraten på vektorlängden Använd RK4 eller ode45 för ode-lösningen fram till u max = 5 (eller något längre). Storheten s betecknar båglängden från origo till punkten (x, y). Rita upp spiralen. Vänstra spiraldelen svarar mot negativa u- värden och fås genom teckenbyte på x- och y-koordinaterna. Cornus spiral kan även uttryckas med hjälp av de så kallade fresnelintegralerna x(u)= R u πt2 cos 2 dt och πt2 sin dt. Teoretiskt gäller s(u)=u; visa det! Sambandet innebär att man kan kontrollera till- y(u)= R u 2 förlitligheten hos ode-lösningen genom att studera avvikelsen mellan beräknad båglängd s och parametern u. Skarp kant Vid diffraktion orsakad av en skarp kant gäller att intensiteten I(ξ) vid positionen ξ på skärmen beror av båglängdsparametern u på cornuspiralen enligt ξ = Lλ/2u, I(ξ)=I( Lλ/2u)=I r(u) q 2 2 q 1 q 2 2 Punkten r(u)=(x(u), y(u)) ligger på cornuspiralen, q och q 1 är fixpunkterna (russinens placering i lussekatten): q =( 1 2, 1 2 ) och q 1 =( 1 2, 1 2 ). Storheten I är intensitetsvärdet på skärmen utan diffraktion. Vi kan låta I = 1. Den skarpa kanten finns vid u = ; negativt u innebär att kanten är ett hinder för vågorna, medan u > betyder fri passage. Geometriskt sett bestäms intensiteten I av vektorn från q till r(u) (se figuren) och history/mathematicians/fresnel.html 2

21 I-värdet är proportionellt mot kvadraten på vektorlängden. Visa med hjälp av formeln att intensiteten rakt framför kanten vid ξ = u = är1/4. Beräkna och rita upp intensitetskurvan då L =.15 m och λ = 64 nm. Kurvan har många toppar bestäm de båda första maximipunkternas positioner med stor noggrannhet. När man har kolumnvektorerna x och I får man diffraktionsmönstret med pcolor(x*[1 1], ones(size(x))*[ 1], I*[1 1]), colormap gray, shading flat Smal spalt Även här bestäms intensiteten av en vektor på Cornus spiral. Spaltbredden a har betydelse, olika bredder ger olika diffraktionsmönster. Fresnels algoritm börjar med en transformering av a till båglängdsparametervärde, u a = a/ Lλ/2. Intensitetsbestämmande vektor på spiralen är g(u)=r(u + u a 2 ) r(u u a 2 ). Det innebär att det alltid är konstant båglängd u a längs spiralen från punkten r(u u a 2 ) till punkten r(u + u a 2 ). I(ξ)=I( Lλ/2u)=c g(u) 2 2, u Med konstanten c = 1/max g(u) 2 2 blir intensitetens maxvärde ett. Av symmetriskäl gäller I( ξ)=i(ξ). Beräkna och rita intensitetskurvor och diffraktionsmönster för spaltbredderna.24,.48,.72 mm och för våglängderna 4, 52, 64 och 77 nm. Skärmavståndet är L =.15 m, I(ξ) vid spaltbredd.72 mm.5.5 λ=52 nm (heldragen), λ=77 nm (prickad) λ=52 nm λ=77 nm Hur väl överensstämmer fraunhoferdiffraktionens intensitetskurva med fresneldiffraktionens? Undersök detta för våglängderna 4 och 77 nm vid minsta spaltbredden.24 mm. Skuggan av ett strå Det uppstår ett diffraktionsmönster av omvänt slag då en nål eller ett smalt strå med bredden a tvingar ljusvågorna att böja av. Skuggan på skärmen bildar ett diffust randmönster. Nu är det två vektorer på Cornus spiral som bestämmer intensiteten nämligen g (u)=r(u u a 2 ) q och g 1 (u)=q 1 r(u + u a 2 ), där liksom tidigare u a = a/ Lλ/2. I(ξ)=I( Lλ/2u)=c g (u)+g 1 (u) 2 2, u, I( ξ)=i(ξ). Normeringskonstanten c bestäms antingen så att maximalt intensitetsvärde blir ett eller så att intensiteten långt från stråskuggan blir ett. Beräkna och rita intensitetskurvor och diffraktionsmönster. Ta samma bredder och våglängder som tidigare. 21

22 19 Högspänning (*) Katodstråleröret en TV använder mycket höga spänningar, i storleksordningen av många kilovolt. Däremot är strömstyrkan mycket liten. En möjlighet att bereda sådana spänningar är en högspänningskaskad som består av en kedja av spänningsfördubblare. Er uppgift består i att beräkna spänningarna i en Villardspänningsfördubblare för radavböjningen av elektronstrålen. Kretsen ses i figuren bredvid. Ingångsspänningen E(t) är sinusliknande med radfrekvensen. Det mest intressanta värdet är spänningen över motståndet R L i stationära tillståndet. En liten detalj i kretsen är anmärkningsvärd: Vi har lagt till en parasitär kapacitet parallellt med dioden D 3 som inte finns i den reala kretsen. Denna kapacitet leder till att vi kan beskriva kretsen med hjälp av ordinära differentialekvationer. Låt x i vara spänningen över C i, i = 1,2,3. Då gäller dx 1 C 1 dt dx 2 C 2 dt dx 3 C 3 dt = 1 R L x 1 + F( x 1 x 3 ), = 1 R Q (x 2 + x 3 + E(t)), = 1 R Q (x 2 + x 3 + E(t)) + F( x 1 x 3 ) F(x 3 ), där F(u D ) beskriver diodernas ström-spänningskarakteristik. Visa det! Vi använder följande värden: C 1 = C 2 = 2.75nF, R Q =.1MΩ, R L = 5MΩ, V = 3.95kV, f = kHz, (.63 ) E(t)=Vsin2π ft, F(u D )=5 1 5 exp V u D 1 ma. Den parasitära kapaciteten sätter vi till C 3 = 1pF. Uppläggning: Det stationära tillståndet är en periodisk svängning där perioden T omfattar en svängning av inspänningen. Det betyder T = 1/ f. Låt y =(x 1,x 2,x 3 ) T. Differentialekvationen kan formellt skrivas d dt y = f(t,y), t [,T]. En första idé kunde vara att lösa begynnelsevärdeproblemet över många perioder tills man får en periodisk lösning. Gör det! Försök att beräkna en numerisk lösning över 1 perioder. Verkar metoden vara lämplig? En annan idé är relaterad till randvärdesproblem. Lösningen är periodisk om y()=y(t ). Det motiverar följande algoritm: Antag att vi kan lösa begynnelsevärdesproblemet d dt y = f(t,y), y()=x, för alla begynnelsevärden y() =x (t ex med hjälp av ett standardprogram). Låt y(t; x) vara lösningen. Sedan måste vi bestämma ett värde x så att g(x) := y(t;x) x =. 22