en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

Transkript

1 Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen 4 + Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som 4 + d Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, 4 + d [ ] + [ + d ] d + d + där C är en konstant Derivering av F ger att F C + / C + För att detta ska vara lika med + måste C Alltså är F + / en primitiv funktion till + Vi får + d [ ] h Beräkna integralen e d 6d Beräkna integralen + d För att kunna räkna ut integralen behöver vi bestämma en primitiv funktion till integranden Vi behöver alltså bestämma en funktion F som uppfyller F + Om integranden istället hade varit skulle vi direkt veta att en primitiv funktion är / / / Nu är vår integrand roten ur ett förstagradsuttryck och just att vi har ett förstagradsuttryck under rottecknet gör att den inre derivatan av motsvarande formel + / är en konstant, så vi borde därför ha en primitiv funktion i formen Integranden finns faktiskt med i tabellen över primitiva funktioner till elementära funktioner Skriver vi integranden som så vet vi att en primitiv funktion är Integralen blir e e a, där a e, a ln a e ln e e [ ] e d e e e e F C + /,

2 d 6j Beräkna integralen 7 Vi kan känna igen integranden som ett uttryck i formen f f, för om vi sätter f 7 så är f och f f 7 Med formeln för logaritmisk derivering vet vi att en primitiv funktion är Alltså är 6l Beräkna integralen ln f ln 7 d [ ] 7 ln 7 ln ln 6 ln 6 ln ln 6 ln d Integranden är en funktion i formen f f, sånär som på en faktor Med f + + är nämligen f + + och vi har att f f Formeln för logaritmisk derivering ger att en primitiv funktion är Vi får log f ln [ ] + + d ln + + ln + + ln + + ln 4 ln ln 4 ln 8 ln ln 6o Beräkna integralen coth d När det inte finns med några integrationsgränser betyder det att vi ska bestämma alla primitiva funktioner till integranden Cotangens hyperbolicus är i själva verket funktionen coth cosh sinh e + e e e e + e e e Genom att stirra på kvoten ser vi att täljaren är derivatan av nämnaren Alltså är de primitiva funktionerna lika med coth d ln e e + C, där C är en konstant Anm Vi kan skriva om den primitiva funktionen till ln e e + C ln e e + C ln sinh + C ln + ln sinh + C ln sinh + C

3 6q Beräkna integralen π/6 sin + cos d Först delar vi upp integralen i två delar, Sammantaget får vi π/6 sin + cos d π/6 π/6 sin + cos d sin d + π/6 cos d I + I Vi ska beräkna de två integralerna i högerledet med substitutioner I : När vi ska beräkna en integral med hjälp av en substitution gäller det att kunna känna igen integranden som en uttryckskombination av typen fu u, där u är ett uttryck i och f någon funktion I vår integral kan vi se att med u så är u och integranden kan skrivas som sin u u Med substitutionen u blir alltså integralen sin d { u, du u d d } sin u du 6b Beräkna integralen e d Om vi tittar på formeln för partialintegrering, f g d F g F g d, I : När vi gör substitutionen måste vi också byta integrationsgränserna till u och uπ/6 π/6 π Alltså blir uträkningen π/6 sin d { u, du d, u: π/ } π/ På motsvarande sätt får vi π/6 [ ] π/ sin u du cos u cos π + cos 4 cos d { u, du d, u: π/ } π/ [ ] π/ cos u du sin u sin π sin så ser vi att om vi väljer g så kommer den faktorn att deriveras till en konstant i högerledets integralterm För att detta ska vara en förbättring förutsätter detta givetvis att vi kan hitta en primitiv funktion F till den andra faktorn f e och dessutom kunna integrera denna Med en liknande omskrivning som vi gjorde i uppgift 6h får vi att F e Med partiell integration får vi alltså e d [ ] e e + e e d e d e + e [ e ] e + e + e e e + e

4 6d Beräkna integralen cos d Integranden består av två faktorer och cos så partialintegration borde vara lämplig Om vi ska använda partialintegration måste vi bestämma vilken faktor vi ska derivera och vilken vi ska integrera I detta fall verkar det vara lämpligt att derivera för då sjunker dess gradtal med en enhet, cos d sin sin d Integralen i högerledet är fortfarande inte en integral som vi direkt kan bestämma, men problemet har faktiskt reducerats något Istället för har vi som faktor Om vi partialintegrerar ytterligare en gång försvinner, sin d cos cos d cos + cos d cos + sin + C faktorn och integrera den andra Ofta när logaritmfaktorer förekommer väljer man att derivera dessa, 9 [ ] 9 9 ln d ln d 9 9 ln9 d Den rationella integranden i högerledet förenklar vi med en polynomdivision, + Sammanställer vi uträkningarna fås cos d sin cos + sin + C sin + cos + C Anm Istället för att beteckna integrationskonstanten med C i det sista ledet som vi egentligen borde göra skriver vi C och underförstår att vi har olika konstanter de i olika leden Alltså är En primitiv funktion är Vi har alltså att + + d + + log 6h Beräkna integralen 9 ln d Vi kan utläsa två faktorer i integranden, och ln, vilket antyder partialintegration Om vi tänker använda partialintegration ska vi derivera den ena 9 [ ] 9 ln d 8 ln 8 9 ln + + ln 8 ln 9 ln ln 9 ln 8 9 ln ln ln ln ln

5 6k Beräkna integralen arctan d Återigen har vi en integrand bestående av två faktorer Vid första påsyn kan det verka smart att derivera för då blir den en konstant, men det betyder att vi måste hitta en primitiv funktion till arctan och det verkar svårt Vi deriverar därför arctan istället Partiell integration ger arctan d arctan arctan + d + d Förenklar vi integranden i högerledet med en polynomdivision får vi Vi har alltså + + arctan d arctan + d arctan + arctan + C + arctan + C faktorerna vara lika enkla att derivera och integrera, så låt oss integrera e och derivera sin utan speciell anledning, e sin d e sin e cos d e sin + e cos d Integralen förenklades inte särskilt mycket; istället för faktorn sin har vi cos Kanske får vi tillbaka sinus-funktionen om vi partialintegrerar ytterligare en gång, e cos d e cos e sin d e cos e sin d Vi får alltså tillbaka vår ursprungsintegral! Alltså har vi visat att e sin d e sin e cos 4 e sin d Samlar vi integraltermerna i ena ledet får vi e sin d e sin e cos + C 6b Beräkna integralen sin d 6m Beräkna integralen e sin d Eftersom integranden består av två faktorer som är elementära funktioner kan det ligga nära till hands att prova med partiell integrering I detta fall verkar båda Det som är besvärande med integranden är argumentet till sinus-funktionen För att försöka bli av med den provar vi med substitutionen u, sin d { u, du u d d d, d u du } u sin u du u

6 Nu har vi fått en integral som lämpar sig för partiell integrering Vi deriverar u och integrerar sin u, u cos u u cos u I den ursprungliga variabeln blir detta, cos u du cos + sin + C cos u du u cos u + sin u + C Anm Som en etra kontroll att vi räknat rätt kan vi derivera den primitiva funktionen och se om vi får tillbaka vår integrand, d cos + sin + C d cos sin + cos + cos + sin + cos sin 6f Beräkna integralen / arcsin d Vi första påsyn kan integralen verka hopplös Hemligheten är att se integranden som en produkt, arcsin, och sen derivera bort arcsin-funktionen i en partiell integrering, / [ ] / / arcsin d arcsin d I integralen i högerledet förekommer uttrycket i nämnaren och detta uttrycks derivata i täljaren sånär som på en faktor, så substitutionen u verkar given, arcsin arcsin + / d { u, du d, u: 4 } 6 π + π + /4 du [ u π + u / 4 π + ] /4 6d Beräkna integralen + ln + d 6i Beräkna integralen arctan + d Integranden är ett förstagradsuttryck multiplicerat med en logaritm Då kan det vara lämpligt att derivera bort logaritm-faktorn med partiell integrering, + ln + d + ln + ln [ ] + ln + [ d ln + + d ] ln Integranden är lite intressant Kom ihåg att derivatan av arctan är +, så om u arctan då kan integranden skrivas som u u Med andra ord ska vi substituera u arctan, arctan d d {u arctan ; du + + } u du u + C arctan + C

7 + 64e Beräkna integralen + d Om vi delar upp integralen i två delar, + + d + d + d +, får vi först en integral där täljaren är nämnarens derivata och sedan en integral som vi vet den primitiva funktionen till, [ ] [ ] ln + + arctan ln ln + arctan arctan ln + 4 π Den andra integralen i högerledet av liknar mycket en integral som har arctan som primitiv funktion, men vi har inte riktigt den situationen För att få en :a i nämnarens konstantterm bryter vi ut en faktor 4, / Substituerar vi nu u / så får vi eakt den integrand som ger arctan, d + 4 d 4 { u /, du d, u: } + Sammantaget har vi du [ ] u + arctan u arctan arctan 8 π + 4 d + 4 d d + 4 ln 8 π 64f Beräkna integralen + 4 d Vi delar upp integralen i två delar, + 4 d + 4 d d + 4 I den första integralen i högerledet är täljaren derivatan av nämnaren förutom en faktor så vi har att + 4 d [ ] + 4 d ln + 4 ln 8 ln 4 ln 8 4 ln 64g Beräkna integralen + d I nämnaren har vi uttrycket + och dess derivata förekommer i täljaren, så vi substituerar u +, + d { u +, du d, u: } du [ u ] u 4

8 64h Beräkna integralen + d Om vi skriver om integranden som + + så ser vi att uttrycket u + har en derivata som förekommer i täljaren Dessutom ingår faktorn i täljaren, men den kan vi skriva som u Alltså verkar det upplagt för substitutionen u +, + d + d { u + ; du d } u u u du u du u + u + C C C Eftersom vi har ett förstagradsuttryck i täljaren kan vi utnyttja det som nämnarens derivata efter en omskrivning, d d + Den första integralen i högerledet är nu en logaritmisk derivata, + [ + + d ln + + ] d + + ln ln ln Den andra integralen är en arctan-integral vilket vi ser efter en enkel substitution, d + { u + ; du d; u: } + du [ ] u + arctan u arctan arctan arctan 4 π Sammantaget har vi d ln + arctan 4 π 64i Beräkna integralen d 64k Beräkna integralen d + + Eftersom integranden är en rationell funktion finns en fastlagd arbetsgång Vi bestämmer först nämnarens rötter Om vi börjar med att kvadratkomplettera nämnarpolynomet får vi Polynomet har alltså komplea rötter och då kan vi inte faktorisera det i reella förstagradsfaktorer Vi undersöker först vilka nollställen nämnarpolynomet har Kvadratkomplettering ger { ±

9 Enligt faktorsatsen kan alltså integranden skrivas som Vi kan nu partialbråkuppdela detta uttryck, vilket betyder att det finns konstanter A och B så att + + A + + B + För att bestämma konstanterna A och B ska vi använda två olika metoder Metod Identifikation av båda led Vi skriver högerledet i med gemensam nämnare, A + + B A + + B A + B + A + B, + + och jämför med vänsterledet i Eftersom båda led ska vara lika för alla måste täljarpolynom vara identiska, dvs koefficienterna måste vara lika, Metod Handpåläggning A + B A + B A B Handpåläggning är en teknik som man kan använda för att bestämma de konstanter som svarar mot enkla faktorer och multipla faktorer med maimalt gradtal, mer om detta i uppgift 64l För att bestämma konstanten A tar vi handen och täcker över den faktor i vänsterledet som svarar mot A, +, och stoppar sedan istället för in nollstället till den faktor vi täcker över; i detta fall Vi får då värdet på konstanten A, A På motsvarande sätt får vi fram B, B + + Varför denna magiska metod fungerar står förklarat i eempel 76 i kursboken Nu när vi partialbråkuppdelat integranden blir resten enkelt, d l Beräkna integralen + [ ] d ln + ln + + ln 4 ln ln ln 4 ln ln 4 + d Eftersom vi har en rationell integrand och täljaren är inte nämnarens derivata så bestämmer vi först nämnarens rötter Nämnaren är ett tredjegradspolynom och även om det finns formler för att beräkna rötterna är de så pass komplicerade att det är bättre att först försöka gissa rötterna Vi börjar med att prova några enkla -värden, : +, : +, : +, : + 4, : + Vi undersöker inga fler heltal eftersom ett polynom med heltalskoefficienter kan inte ha några heltalsrötter som till beloppet är större än beloppet av polynomets konstantterm Eftersom vi nu vet två av rötterna och ger faktorsatsen att polynomet kan skrivas som + + A Den tredje roten A får vi reda på genom att te stoppa in i sambandet ovan, A A

10 Alltså kan integranden skrivas som + Med partialbråkuppdelning kan detta skrivas som + A + B + C + Eftersom + är en enkel faktor i nämnaren ger handpåläggning C 9 Konstanten A kan vi också bestämma med handpåläggning eftersom den svarar mot faktorn som har maimalt gradtal, A + Konstanten B kan vi däremot inte bestämma med handpåläggning eftersom den svarar mot och samma faktor finns upphöjd till en högre potens i partialbråkuppdelningen Hittills har vi alltså visat att Stoppar vi in fås + + B 9 + B 9 B 9 Vi får nu att d d + [ ] ln 9 ln ln 9 ln ln 9 ln ln ln 64m Beräkna integralen Eftersom täljaren har högre gradtal än nämnaren förenklar vi integranden med en polynomdivision, Alltså är och d , d d För att räkna ut integralen i högerledet bestämmer vi först nämnarens nollställen Genom prövning ser vi att är en rot Faktorsatsen ger att nämnaren kan skrivas 4 + A + B, där vi får den andra faktorn med en polynomdivision Vi har alltså att

11 Vi kvadratkompletterar den andra faktorn , och ser att den saknar reella rötter En partialbråkuppdelning av integranden i högerledet av är alltså i formen Handpåläggning ger A + B + C + + A Stoppar vi in i fås 6 Stoppar vi in i fås + + C 7 + B Vi kan nu beräkna integralen i, d C B + ln arctan + + C + d + Vi behöver partialbråkuppdela kvoten i högerledet för att beräkna en primitiv funktion Genom gissning får vi att och + är rötter till nämnaren Faktorsatsen ger därmed att Stoppar vi in fås Vi ansätter alltså + + A A A A + B + C + Handpåläggning ger dvs A + 4 +, C + 4, B + + Sätter vi in fås + B + B 64n Beräkna integralen + + d För att undvika att behöva utföra en polynomdivision kan vi lägga till och dra ifrån, Alltså är + + d [ ] [ + d + + ln ln + ] + d + + ln ln 4 + ln ln + ln

12 64o Beräkna integralen 4 d Eftersom vi har en udda potens av i täljaren är det lämpligt att göra substitutionen u 4 för att först förenkla integralen, 4 d 4 d { u 4; du d; u: 4 } 4 u + 4 [ u du ln u 4 ] u 4 ln 4 ln ln u + 4 u du Anm Notera att integranden har singulariteter i nπ för n, ±, ±, så den primitiva funktionen gäller bara inom intervall mellan singulariteterna Te är användningen av integralkalkylens huvudsats i uträkningen π/4 π/4 tan d [ ] π/4 tan tan π π tan π π π/4 π 4 + π 4 π felaktig Varför är förresten svaret orimligt? 67d Beräkna integralen tan d 67c Beräkna integralen tan d Med hjälp av trigonometriska formler kan vi skriva om integranden, tan d sin sin sin cos d cos cos d cos sin d Här ser vi att vi har sin som är derivatan av cos som en faktor Vi substituerar därför t cos, Variabeln förekommer i integranden endast som tan och detta är ett av standardfallen då man ska substituera t tan fall på sidan 8 i kursboken, tan d { t tan ; dt + tan d } t t + + t dt + t dt + t dt t arctan t + C tan arctan tan + C tan + C Anm Vi har att t { t cos, dt sin d } t t + dt + ln t + C t t cos + ln cos + C så svaret stämmer med facit cos { cos + tan } tan + dt

13 67e Beräkna integralen tan 4 d 67h Beräkna integralen π/ π/ d sin Integranden innehåller bara tan så vi substituerar t tan, tan 4 d { t tan, dt + tan d + t d } t 4 dt { polynomdivision } t + + t + t dt t t + arctan t + C tan tan + + C Vi förlänger med sin och använder trigonometriska ettan, π/ π/ d π/ sin π/ sin π/ sin d π/ sin cos d { t cos ; dt sin d; t: } / dt { partialbråkuppdelning } t t + / / t [ ] dt t + ln t ln t + / ln ln ln ln / ln / ln t dt 67e Beräkna integralen π/ sin sin d Med formeln för dubbla vinkeln har vi att Beräkna integralen sin d π/ sin sin d π/ sin cos sin d π/ Faktorn cos är derivatan av sin, så vi substituerar t sin, { t sin ; dt cos d; t: } [ ] t t dt sin cos d Formeln för halva vinkeln ger att cos sin d d cos d { t ; dt d } 4 cos t dt 4 sin t + C 4 sin + C

14 Beräkna integralen sin d Med den trigonometriska ettan kan vi skriva om integranden, sin d sin sin d cos sin d 7 Beräkna b c d, d α Nu passar substitutionen t cos t bra, { t cos ; dt sin d } t dt t t + C cos cos + C b Eftersom integranden har en singularitet i är integralen generaliserad och lika med d d [ lim lim ] lim a a + a a + a a + c I detta fall är integrationsintervallet obegränsat och integralen är därmed en generaliserad integral som ska tolkas som 4 Beräkna integralen sin 4 d Vi använder formeln för halva vinkeln upprepade gånger, cos sin 4 d d 4 cos + 4 cos d + cos sin + 4 cos d 4 4 sin + 4 d 4 4 sin sin 4 + C 8 4 sin + sin 4 + C d R α lim d [ α+ ] R { om α } lim R α R α + α lim R α {, om α >, R α divergent, om α <, om α >, α divergent, om α < Om α så blir integralen R d [ lim R lim ln R ] R lim ln R divergent R Alltså blir svaret d α, om α >, α divergent, om α

15 d 7b Beräkna + Ledning: Sätt tan t Integrandens nämnare blir aldrig noll så integranden har ingen singularitet i integrationsintervallet Däremot är integrationsintervallet obegränsat så integralen är generaliserad Vi har d + lim R R d + { tan t, d + tan t dt + dt, t: arctan R } lim R arctan R dt + tan t { R arctan R π/ ; + tan t cos t } lim s π/ lim s π/ s s s π/ lim cos t dt { formeln för halva vinkeln } + cos t dt [ ] s lim s π/ t + 4 sin t s + 4 sin s 4 π + 4 sin π 4 π 97d Avgör om den generaliserade integralen är konvergent eller divergent a b d Om a < så har integranden en singularitet i och om b < så finns en singularitet i Det är i dessa fall integralen är generaliserad Eftersom vi har två singulariteter delar vi upp integrationsintervallet i två delar så att singulariteterna hamnar i varsina intervall, a b d / a b d + a b d I + I / För att integralen i vänsterledet ska eistera måste båda integralerna i högerledet eistera Vi undersöker integraltermerna separat I : Det som avgör om integralen är konvergent är integrandens storleksordning då + Vi ska alltså tänka smått! I närheten av origo är a b a så vi kan förvänta oss att integralen konvergerar/divergerar samtidigt med / a d Denna integral är ett känt integralfall som man ofta använder som jämförelsefall, { / a konvergent, om a >, d divergent, om a För att göra detta lösa resonemang giltigt använder vi jämförelseprincipen sats 9 och jämför de två integranderna när + Vi har att Jämförelseprincipen ger nu att a b lim + a lim + b / konvergerar samtidigt, dvs / a b d a b d och / a d { konvergent, om a >, divergent, om a I : Resonemanget liknar det vi gjorde för integralen I I närheten av har vi att a b b

16 så vi jämför vår integral med Vi har att / b d { konvergent, då b >, divergent, då b a b lim b lim a så vi har att ln + Alltså är vår integral divergent R d lim R [ lim ln R ln + ] R R d lim R d lim ln R R Alltså konvergerar I samtidigt med b d, dvs { a b konvergent, då b >, d divergent, då b / Sammanfattningsvis har vi att { a b konvergent, om a > och b >, d divergent, annars 97g Avgör om den generaliserade integralen är konvergent eller divergent d + 97e Avgör om den generaliserade integralen är konvergent eller divergent ln + Nämnaren är inte noll i integrationsintervallet så vi har inga singulariteter utan vi har bara ett obegränsat integrationsintervall Konvergensen hos integralen bestäms av om integranden avtar tillräckligt fort när I detta fall ser vi att ln + d för >, Nämnaren antar värdet för och Integranden har alltså singulariteter i dessa punkter Eftersom ligger utanför integrationsintervallet påverkar den inte konvergensen Förutom den singulära punkten är integrationsintervallet obegränsat Vi delar därför upp integrationsintervallet i två delar, en del som innehåller singulariteten i origo och en del som är obegränsad men utan singulariteten, d + d + + d + I + I För att integralen i vänsterledet ska vara konvergent måste båda integralerna i högerledet vara konvergenta I : Nära origo har integranden storleksordningen och eftersom integralen + d

17 I : är konvergent så kan vi misstänka att vår integral också är konvergent Jämför vi de två integranderna i får vi att lim + + lim + + och jämförelseprincipen ger att I är konvergent När har integranden storleksordningen + / Integralen / d är konvergent se uppgift 7c, så eftersom + lim lim + lim / + ger jämförelseprincipen att I är konvergent Alltså är integralen konvergent d + Som vanligt gäller att integralen är konvergent om både i / d ln och ii / d ln är konvergenta Singulariteten i verkar lite besvärlig så vi börjar med att undersöka integralen i punkt ii När vi undersöker integranden nära har vi att ln + { Maclaurinutveckling av ln + + O } + O + O + O Integranden har en singularitet av typen / i och då är integralen divergent punkt i sats 9 Eftersom integralen ii är divergent är integralen divergent d ln 97m Avgör om den generaliserade integralen är konvergent eller divergent d ln Vi har två singulariteter i integrationsintervallet, eftersom lim ln, +, eftersom lim ln

18 68b Visa att 7 + d ln 7 dvs från integralen Hmm, vi har att d + När man ska visa olikheter av den här typen använder man oftast integralens monotonicitet, dvs Om f g i ett intervall [a, b] så är b a f d b a g d, Sats 7iv Tanken är att vi hittar en enkel funktion g som går att integrera analytiskt och som ger värdet i högerledet Detta kan vara ganska knepigt ibland Låt oss först titta på ett misslyckat försök Metod misslyckande I intervallet [, ] är men nu kommer faktorn in och förstör det roliga eftersom inte uppfyller 7 i hela intervallet Metod Lyckosamt Efter att ha tittat lite noggrannare på integralen ser vi att om vi ersätter i täljaren med det mindre uttrycket 6 så får vi i täljaren derivatan av nämnaren och det ger just en logaritmisk primitiv funktion Det verkar lovande! + 7 d d d [ 7 ln + 7 ] 7 ln Alltså har vi att + 7 och integralens monotonicitet ger att + 7 d d [ 6 ] Vi har visserligen fått fram en undre gräns på integralens värde men vår gräns är mindre än det önskade 7 ln Vi har alltså misslyckats Felet vi gjorde var att olikheten 7 vi utgick från är för grov Vi måste på något sätt skatta integranden bättre Metod misslyckande 68c Visa att d e + π Det som förhindrar oss från att enkelt hitta en primitiv funktion är e i nämnaren Tittar vi dessutom på högerledet π/ så skulle den kunna uppstå av [ ] arctan π/, Istället för att planlöst försöka skatta integranden kan vi titta lite på vad vi har i högerledet och försöka arbeta baklänges Uttrycket ln skulle kunna komma från [ ] ln + ln, dvs av integralen d +

19 En tänkbar strategi är alltså att ersätta e med Vi får se om det fungerar Funktionen e är avtagande och eftersom e så är Detta ger att e e + + Integralens monotonicitet ger för i intervallet [, e + + öppnar för en substitution Vi provar! e sin d e s ds e d { s, d d, s: } [ e s ] e d e + d + [ arctan ] π/ 7 Beräkna arean inom kurvan { + cos t + sin t, y cos t sin t, t π 68d Visa att e sin d e Just faktorn e brukar vålla besvär vid analytiska integralberäkningar Dess primitiva funktion går inte att uttrycka i elementära funktioner, så en naiv skattning av typen sin e sin e har vi inget för Samtidigt vill vi inte försöka skatta bort e eftersom talet e förekommer i högerledet och det är ett tecken på att eponentialfunktionen på något sätt är inblandad och bör möjligtvis sparas Från tidigare i kursen kanske vi kommer ihåg olikheten sin, för Sats Den är värd att prova, för om vi ersätter sin med får vi dessutom derivatan av eponentialfunktionens argument som en faktor i integranden och detta Kurvan är en parameterkurva så arean ges av π ẏ ẋy dt, om kurvan genomlöper randen i positivt led Det där med positivt led är viktigt att komma ihåg Problemet är inte så mycket att vi skulle råka integrera kurvan i negativt led för då blir areaintegralen negativ och det räcker om vi byter tecken för att få arean Problemet är om kurvan har öglor, för då kan kurvan innesluta olika delområden med olika omloppsriktningar och delareorna börjar kancellera varandra +

20 Vi kan upptäcka möjliga öglor genom att undersöka om det finns punkter på kurvan som genomlöps fler gånger, dvs om det finns två olika parametervärden t t och t t som ger samma punkt, t t, yt yt Så låt oss undersöka detta, Adderar vi och fås Detta insatt i te ger Vi måste alltså ha att t, yt t, yt + cos t + sin t + cos t + sin t, cos t sin t cos t sin t + cos t + cos t cos t cos t sin t sin t cos t cos t, sin t sin t 4 cos t+t : Då är sin t+t eftersom cosinus och sinus har olika nollställen ger därför att sin t t vilket är fallet ovan Vi har alltså visat att förutom kurvans start- och ändpunkt finns det ingen punkt som svarar mot två parametervärden, dvs kurvan är enkel och saknar öglor Areaintegralen blir nu π ẏ ẋy dt π + cos t + sin t sin t cos t sin t + cos tcos t sin t dt { förenklingar och trigonometriska ettan } π 4π π sin t + cos t + dt [ cos t + sin t + t ] π Eftersom areaintegralen har ett negativt värde har vi alltså integrerat kurvan i negativ led och arean ska vara π Flytta över allt i vänsterledet och använd additionsformlerna cos t cos t sin t sin t sin t t sin t t För att ska vara uppfylld måste vi ha ett av fallen sin t + t cos t + t 6 76 Beräkna arean inom kurvan cos t, y sin t, t π sin t t : Då är också uppfylld Detta ger att t t nπ t t + nπ för något heltal n Eftersom parameterintervallet [, π] har längd π kan den enda lösningen som uppfyller t t vara t och t π eller ombytta roller, vilket betyder att kurvans startpunkt och ändpunkt sammanfaller Vi ska först undersöka om kurvan har några öglor, dvs om det finns någon punkt på kurvan som svarar mot olika parametervärden t t och t t, mao cos t cos t, sin t sin t

21 Eftersom funktionen är en-entydig är dessa båda ekvationer ekvivalenta med cos t cos t, sin t sin t Detta är precis samma system som vi undersökte i uppgift 7 Vi visade då att, förutom start- och ändpunkten, finns det inga punkter som uppfyller sambanden Arean ges då av beloppstecknen tar vi med eftersom vi inte vet i vilken riktning vi genomlöper kurvan, π ẏ dt π π cos t sin t cos t dt π cos 4 t sin + cos t cos t t dt dt π { konjugatregeln } 8 + cos t cos t dt π + cos t cos t cos t dt 8 π 8 π dt + π π cos t dt sin t cos t dt + cos 4t { s sin t, ds sin t dt, s: } 8 π + π 8 π dt 78 Beräkna arean av var och en av de öglor i, y-planet som bildas av kurvan sin t, y sin t Eftersom sin t är π-periodisk och y sin t är π-periodisk så har de minsta gemensamma period π vilket betyder att kurvan genomlöps helt om vi väljer ett parameterintervall med längd π Vi kan för enkelhets skull välja parameterintervallet [, π] Vi bestämmer öglorna genom att undersöka i vilka punkter kurvan skär sig själv, dvs när det finns två parametervärden t t och t t som ger samma punkt Med andra ord söker vi lösningarna till Vi skriver om med formeln för dubbla vinkeln, För att lösa och undersöker vi två fall sin t : Då får vi från och att sin t sin t, sin t sin t sin t cos t sin t cos t cos t cos t Vi har alltså att sin t sin t, cos t cos t, och detta system har inga lösningar t t vilket vi visat tidigare i uppgift 7 sin t : I detta fall är båda ekvationerna uppfyllda, och vi har att t, t π eller t π

22 Kurvan skär alltså sig själv i punkten som svarar mot parametervärdena t, t π och t π 7 Beräkna arean av det område som i polära koordinater definieras av r sin v + cos v och v π/ t, t π, t π/ Kurvan har därmed två öglor med randkurvorna { sin t, y sin t, t π} respektive { sin t, y sin t, π t π} Områdena som innesluts av respektive ögla har areorna och π π π ẏ dt π 4 [ π sin t cos t dt { formeln för dubbla vinkeln } sin t cos t dt 4 ] π [ cos t + cos t ] π 4 π cos t sin t dt ẏ dt { Samma primitiva funktion som ovan } [ ] π [ 4 cos t + cos t π ] π π π sin t dt + 4, Det man måste se upp med är att den polära representationen inte är unik De två polära koordinaterna r, v och r, v + π svarar mot samma punkt Det kan innebära att två kurvsegment som till synes är olika har olika vinklar ändå innesluter samma område eftersom den ena kurvan har negativ radie och då speglas över till motstående vinkelområde r < v I vårt fall är vinkeln begränsad till [, π/] så detta fenomen kan inte uppstå Arean ges av formeln π/ rv dv π/ π/ dv sin v + cos v dv sin v + sin v cos v + cos v { v, d dv, : π } 4 π π/ d + sin dv + sin v

23 Det kan vara svårt att direkt se någon metod för att räkna ut integralen, men eftersom integranden är ett rationellt uttryck i en trigonometrisk funktion kan vi alltid ta till universalsubstitutionen t tan Denna inverssubstitution fungerar eftersom tan är strängt väande på [, π/] Vi behöver uttrycka sin i t, sin sin sin cos tan cos tan + tan Vi har också att dt + tan d + t d d dt + t och integrationsgränserna blir π/ t, t t + t 7b Beräkna arean av det område som begränsas av r sin v, polära koordinater Vi måste först undersöka om vi har problemet med att den polära kurvan beskriver samma kurvområde två gånger på grund av identifikationen r, v r, v + π Vi ritar upp hur radien r beror av den polära vinkeln v, r π π Här ser vi att vi just drabbas av detta eftersom alla vinklar v + π till höger om π ger en radie med omvänt tecken än den med vinkel v π v Integralen blir alltså 4 + t dt + t + t dt t + lim R dt + t + t [ ] R t + Analytiskt ser vi detta också v r r v + π rv + π sinv + π sin v rv Alltså beskriver parametervärdena mellan π och π samma kurva som parametervärdena mellan och π Kurvan innesluter därmed arean π rv dv π π cos 6v sin v dv { formeln för halva vinkeln } dv 4 4 π 4 π [ v 6 sin 6v ] π

24 Avsnitt, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c W9 ABCD är basytan en kvadrat i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen S Låt SA a, SB b och SC c Beräkna SD Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut S A S S B SA + AB SB AB SB SA b a, A D B C C SB + BC SC BC SC SB c b Vi kan också rita in de vektorer som är givna i uppgiftsteten S B Eftersom basytan är en kvadrat så är AD BC c b a c D C A b C B Vi ska nu försöka uttrycka vektorn SD i de givna vektorerna a, b och c Som ett första steg kan vi uttrycka SD genom att gå via hörnet A, S Alltså är A SD a + AD a + c b a b + c B A D SD SA + AD a + AD Nu behöver vi uttrycka en av baskvadratens kantvektorer AD i a, b och c Om vi tittar på de övriga hörnen och kanterna i kvadraten så ser vi att vissa kantvektorer

25 W O, A, B och C är fyra givna punkter i rummet med OA a, OB b och OC c Bestäm en vektor OD uttryckt i a, b och c, så att de fyra punkterna A, B, C och D i valfri ordning blir hörnen i ett parallellogram Låt oss rita upp en figur av den information som är given i uppgiften A B C a b c O Det som utmärker ett parallellogram är att motstående kanter är lika långa och parallella Uttryckt med vektorer betyder detta att Vi kan också formulera uppgiften som A D B C AB DC AD BC Vad vi söker är en femte punkt D så att punkterna A, B, C och D bildar hörnen i ett parallellogram D C Givet: Bestäm: a OA, b OB och c OC d OD, så att AB DC och AD BC A Figuren är inte helt korrekt, för enligt uppgiftsteten behöver inte hörnpunkterna vara i någon speciell ordning, och då finns två andra möjliga konfigurationer C B D A A granne med B och C B C D B A A granne med C och D Men vi kan börja med att undersöka om det är möjligt att välja OD så att den första konfigurationen uppstår Skulle det visa sig att det inte är möjligt, då kan vi undersöka de övriga två fallen Eftersom vi i slutänden ska ge svaret i a, b och c så kan vi uttrycka villkoren i det vi vill visa med dessa vekorer A D A B C D O O O AB AO + OB OA + OB a + b DC DO + OC OD + OC d + c AD AO + OD OA + OD a + d

26 C BC BO + OC OB + OC W4 Beräkna vinkeln mellan vektorerna,, och,, ON system B b + c Vinkeln mellan vektorerna får vi från formeln O b Uppgiften kan alltså formuleras som Givet: a, b och c Bestäm: d så att γ a cos γ a b a b a + b d + c, a + d b + c För att ska vara uppfylld ser vi att d måste väljas som a + b d + c d a b + c I vårt fall ger detta cos γ,,,,,,,, , vilket svarar mot γ π Stoppar vi in detta in i fås vl a + d a + a b + c b + c hl Alltså, genom att välja OD a b + c så bildar punkterna A, B, C och D hörnen i ett parallellogram Anm Om vi hade valt en av de andra konfigurationerna skulle vi fått ett annat svar D C C D C A B A B A B D A granne med B och D A granne med B och C A granne med C och D

27 W4 Beräkna längden av vektorn P Q om a P 4,,, Q,,, b P,,, Q 6,, 4, c P,, 4, Q,,, om vi har ett ortonormerat koordinatssystem Vi löser uppgiften på två olika sätt Metod Uträkning av P Q Först räknar vi ut vektorn P Q med formeln P Q Q P, a P Q Q P,, 4,, 4,,,,, b P Q Q P 6,, 4,, 6,, 4,,, c P Q Q P,,,, 4,, 4 4,, Eftersom koordinatsystemet är ON ges längden av P Q a, b, c av formeln P Q a + b + c, a P Q + + 8, b P Q + +, c P Q Metod Avståndsformeln Längden av P Q är lika med avståndet mellan punkterna P p, p, p och Q q, q, q, och detta avstånd ges av formeln P Q p q + p q + p q, eftersom koordinatsystemet är ON a P Q , b P Q , c P Q W4 Beräkna arbetet W som uträttas av kraften a vid den rätlinjiga förflyttningen från P till Q i följande fall ON-system: a a,,, P 4, 7,, Q 6,,, b a,,, P,,, Q,, Från mekaniken vet vi att arbetet W är W kraften sträckan Med kraften menar vi den verksamma kraften, dvs den komposant a av kraften som pekar i förflyttningens riktning Det uträttade arbetet ges därmed av P W a P Q { a och P Q är parallella } a P Q Om det är så att a är motriktad förflyttningens riktning definierar man arbetet med ett negativt värde så att fortfarande gäller Formeln kan faktiskt skrivas om till en räknemässigt enklare formel genom att notera att den andra komposanten av kraften a den overksamma kraften är vinkelrät mot P Q Därmed är W a P Q a P Q + a P Q a + a P Q a P Q Vi har nu a P Q Q P 6 4, 7,, 9, 4, b W a P Q,,, 9, , P Q Q P,,,, 4, W a P Q,,,, a a Q

28 W46 Punkterna,,, 6, 7, 6 och, 6, 9 är hörn i en kub Bestäm de övriga hörnen Låt oss för enkelhets skull införa beteckningar på de givna hörnpunkterna P,,, Q 6, 7, 6, R, 6, 9 En kub är ett rätblock med alla kanter lika långa d Punkterna P, Q och R skulle kunna vara vilka tre hörn som helst i kuben, men vi kan sortera bort vissa konfigurationer som omöjliga genom att undersöka avståndet mellan punkterna P Q , P R , QR Nu ser vi att det enda möjliga förhållandet mellan P, Q och R är Q P R d d Den fjärde hörnpunkten S som ligger på samma yta som P, Q, R ges av Q P S S P + P R + RS { RS P Q } P + P R + P Q,, +, 6, 9 + 6, 7, 6 8,,, R där likheten RS P Q följer av att kuben har lika långa sidor För att komma åt de övriga hörnpunkterna, som vi döper till T, U, V och W enligt figuren nedan, behöver vi en kantvektor som inte ligger i planet P QRS, te P T Q P W T Villkoren för att bestämma P T får vi från att vi har en kub, vilket ger att P T är vinkelrät mot de två kantvektorerna P Q och P R, dvs P T P Q, P T P R, och att P T är lika lång som P Q och P R, S R U P T P Q P R Om vi skriver P T i komponentform som a, b, c, då ger ovanstående villkor att a, b, c 6, 7, 6 6a + 7b + 6c, a, b, c, 6, 9 a + 6b 9c, a, b, c a + b + c Vi ska nu försöka lösa ekvationssystemet, och V

29 ger a + 6b 9c 6a + 7b + 6c b c b c b c Detta insatt i ger a + 6 c 9c a 9 c Både a 9 c och b c insatt i ger 9 c + c + c c ±, vilket ger a 9 c 9 och b c ±6 Alltså finns två lösningar a, b, c 9, 6, eller a, b, c 9, 6, De två lösningarna svarar mot att T kan ligga på ömse sidor om ytan P QRS Q P T S R Med P T given kan vi räkna ut de övriga hörnen i kuben genom att uttrycka dem i de kända kantvektorerna T Q P R S P Med insatta siffror blir detta T S V P V P T + T V P T + P S P T 9, 6, : P W 9, 6, + 6, 7, 6,, 8, P U 9, 6, +, 6, 9 7,, 7, P V 9, 6, + 8,,, 9, P T 9, 6, : P W 9, 6, + 6, 7, 6,, 4, P U 9, 6, +, 6, 9,,, P V 9, 6, + 8,, 7, 7, W Kan konstanten a bestämmas så att punkterna, a, a, 4,, och,, a ligger i rät linje? Bestäm i så fall ekvationerna för denna räta linje P Q P T W T R U P W P T + T W P T + P Q P U P T + T U P T + P R Om punkterna P, a, a, Q 4,, och R,, a ska ligga på en rät linje måste vektorerna P Q och QR vara parallella, dvs de ska uppfylla villkoret P Q P Q α QR R

30 för någon skalär α Detta ger i komponentform 4, a, a α 4,, a ger att α 9 ger att a + 6α, och detta ger att blir uppfylld, 9α, a 6α, a aα vl av a 9, hl av a α 9 9 Alltså måste a för att punkterna ska ligga på en rät linje En riktningsvektor till linjen får vi då som v QR R Q 4,, 9, 6, En punkt på linjen är Q 4,, så linjens ekvation är 4 9 y 6 z Metod Geometriskt De två linjerna är lika om de har riktningsvektorer som är parallella och en punkt gemensam Från parameteriseringen av linjerna kan vi avläsa respektive linjes riktningsvektor koefficienterna framför t respektive s,,, och a, c, Om de ska vara parallella måste det finnas en skalär α så att dvs,, α a, c,, a α, c α, Från får vi att α Ekvation och ger då att α a /α och c /α Med dessa värden på a och c är linjerna parallella Linjerna sammanfaller om de dessutom har en punkt gemensam Tag punkten,, på den första linjen svarar mot parametervärdet t Vi ska nu visa att den punkten även ligger på den andra linjen genom att ta fram ett parametervärde s som ger just,,, dvs 4 + s 4 b s d + s 6 W Kan konstanterna a, b, c och d bestämmas så att parameterframställningarna + t 4 + as y t och y b + cs z t z d + s betyder samma linje? Ekvation 4 ger att s Detta insatt i och 6 ger b b, d + d Alltså, om a, b, c och d så beskriver de två parametriseringarna samma linje Vi ska lösa uppgiften med två olika metoder

31 Metod Analytiskt De två linjerna är lika om varje punkt på den ena linjen också tillhör den andra linjen Tag därför en godtycklig punkt på den första linjen, y, z + t, t, t, där t är ett godtyckligt fit parametervärde Vi ska nu visa att det finns ett parametervärde s s som ger denna punkt givetvis efter att ha anpassat konstanterna a, b, c och d Vi ska alltså ta fram s och a, b, c, d så att W Bestäm ekvationerna i parameterform för skärningslinjen till planen a + y + z 6 och y + z, respektive b + y z och z a Skärningslinjen består av alla punkter som tillhör båda planen + t 4 + as, 7 t b + cs, 8 t d + s 9 Från 9 får vi s t d som vi stoppar in i 7 och 8, Vi samlar t i ena ledet + t 4 + a t d, t b + c t d, + ad + at, b + cd + ct Konstanterna a, b, c, d ska nu väljas så att ovanstående ekvationer är uppfyllda oavsett vilket värde t har Detta betyder att vi måste ha att vilket ger + ad, a, b + cd, c a, b, c och d skärningslinje Det betyder att en punkt, y, z på skärningslinjen uppfyller båda planens ekvationer, + ger Detta insatt i ger Alltså, om + y + z 6, y + z + z 9 z z + y + z 6 y z z, y z, så ligger, y, z på skärningslinjen Vi kan variera z och på så sätt röra oss längs skärningslinjen Variabeln z spelar alltså rollen av parameter till linjen Om vi döper z till t så får vi alltså t, y t, z t,

32 vilket är en parametrisering av skärningslinjen Hade vi istället satt z t skulle vi fått svaret i facit Det är en annan parametrisering av samma skärningslinje b Lösningsgången är precis densamma som till a-uppgiften Skärningslinjen ges av alla punkter som uppfyller båda planens ekvationer och v som är parallella med planet r v u + y z, 4 insatt i ger + y dvs y Om z 4 y, z, så ligger, y, z på skärningslinjen Denna gång är det y som agerar som parameter, och med y t får vi följande parametrisering av skärningslinjen Parametriseringen blir då r r + s u + t v eftersom varje punkt i planet kan skrivas som en linjärkombination av u och v om vi utgår från baspunkten r Som punkt i planet kan vi te välja r,, Vi får två vektorer som är parallella med planet om vi tar vektorn från,, till 7,, och vektorn från,, till,, 4, t, y t, z,, 7,,,, 4 dvs 7,, 4,,, och,, 4,, Planet parametriseras alltså av,, + s4,, + t,, b Den allmänna formen för ett plan i koordinatform är W7 Bestäm ekvationen för planet genom punkterna,,, 7,, och,, 4 a i parameterform, och b utan parametrar A + By y + Cz z, där A, B och C är konstanter och, y, z är en punkt i planet Eftersom vi redan vet punkter som ingår i planet kan vi sätta te, y, z,, De andra två punkterna ska också ligga i planet och därför uppfylla planets ekvation, dvs a För att bestämma en parametrisering av planet behöver vi en punkt r, y, z i planet och två icke-parallella linjärt oberoende vektorer u A7 + B + C, A + B + C 4, 4A B + C A + C

33 Från får vi att A C och detta insatt i ger Vi kan alltså välja 4 C B + C B 6 C A t, B 6 t, C t, b a b,,,,, +,,,, b a a b,, Anm Formeln kan vara ganska svår att komma ihåg I avsnitt ges en determinantformel för kryssprodukten som är enklare att lägga på minnet för vilket som helst värde på t och få värden på A, B och C Väljer vi t fås heltalen A, B 6 och C Planets ekvation blir + 6y + z + + 6y + z 64 Anm Konstanterna A, B, C svarar mot det sökta planets normalvektor och olika val av t ger olika längd på denna normalvektor W6 En tetraeder har hörnen A,,, B,, 4, C, 7, och D 6, 4, Bestäm ekvationen för a planet genom ABC, b höjden genom hörnet D En tetraeder är den figur vi får när vi förbinder fyra punkter, som inte alla ligger i ett plan, med räta linjer W9 Beräkna a b och b a om a a,, 4, b,,, b a,,, b,,, och vi har ett högerhänt ON system Vi använder formeln i sats 7, a b a b a b, a b + a b, a b a b, och sen kan vi använda den antikommutativa lagen för att bestämma b a a a b,, 4,, 4, + 4, 9, 7, 7, b a a b 9, 7, 7, A a För att bestämma en ekvation för planet ABC behöver vi en punkt i planet r och en normalvektor n till planet en vektor vinkelrät mot planet Då ges planets ekvation i vektorform av D B C n r r Vi har redan givet tre punkter i planet så vi kan te välja r A,,

34 De två kantvektorerna AB och AC är båda parallella med planet så deras kryssprodukt är vinkelrät mot planet AB AC D W6 Beräkna arean av den triangel, vars hörn är a punkterna 4,,, 6,, och,, 4, b punkterna,,,,, och,, ON system A Vi sätter alltså n AB AC,, 4, 7,,,, 4, 4 4 4, 4 +, 4 6, 4, Planets ekvation blir alltså n r r 6, 4,, y, z,, 6 4y z 8 + 7y + z 47 b Höjden till hörnet D är den vinkelräta sträcka från basplanet ABC till D A D B B C C Den triangel med hörn i punkterna A, B och C har två kantvektorer AB och AC Om γ betecknar vinkeln mellan AB och AC, då ges triangeln area av A γ C AC sin γ B Area basen höjden AB AC sin γ AB AC a Med A 4,,, B 6,, och C,, 4 bli alltså arean Area AB AC 6 4,, 4,, 4,,,,, +, 8,, b I detta fall är A,,, B,, och C,, och triangelns area är Area AB AC,,,,,,,,, +,,, Höjden är alltså parallell med normalvektorn n 6, 4, till planet ABC Vi vet dessutom att punkten D 6, 4, ligger på höjdlinjen, så ekvationen för höjden blir 6 6 y 4 4 z 6 8 y 4 7 z

35 W6 Beräkna arean av fyrhörningen ABCD då A,, B 7,, C, 4 och D, 6 ON-system Vi ritar upp fyrhörningen D C B W67 Beräkna a 4, c sin v cos v cos v sin v, f 4 6, g 4 6 A Nu ser vi att fyrhörningens area är lika med den sammanlagda arean av trianglarna ABC och ACD Eftersom vi har en formel för arean av en triangel i tre dimensioner kan vi tänka oss att fyrhörningen ligger i, y-planet och att vi tillfogar en z-riktning, dvs Vi får nu att A,,, B 7,,, C, 4,, D, 6, areaabcd areaabc + areaacd AB AC + AC AD 7,,, 4, +, 4,, 6,, 4,,, +,,, 7, 4, +, 4 7,, 7 +,, +,, determinanter beräknar vi med minneregeln a c a b + c d a b ad bc c d , sin v cos v cos v sin v sin v sin v cos v cos v sin v + cos v -determinanter beräknas med en kofaktorutveckling längs första raden, f , 4 g

36 W68 Beräkna vektorn a b med hjälp av determinantframställningen, då i ett ortonormerat högersystem, a a,,, b,,, c a,,, b,, Vi kan se detta genom följande förfarande Vi delar först upp parallellepipedern i två lika stora halvor, Determinantformeln för kryssprodukten lyder a b e e e a a a b b b Varje halva kan sedan delas upp i tre tetraedrar, och vi räknar ut determinanten med kofaktorutveckling längs första raden e e e a a b e e + e e + e + e,, e e e c a b e e +e e + 6 e + 6 e, 6, 6 Eftersom parallellepipedern har volym V [a, b, c], där a, b och c är tre vektorer som spänner upp epipedern, så har tetraedern volymen 6 V 6 [a, b, c] I detta fall kan vi välja kantvektorerna till W7 Beräkna volymen av tetraedern med hörnen,,,,,,, 8, och 4,, ON-system Geometriskt kan man se att om vi tar se kopior av tetraedern kan vi pussla ihop dem så att vi får en parallellepiped,, c a b 4,,, 8,,, a,,,,,,, b, 8,,, 4, 6,, c 4,,,,,, 6,

37 och volymen blir 6 V 6 [a, b, c] Eftersom vi fick ett negativt värde var {a, b, c} ett vänstersystem och volymen är +9 c Vi har att 6 [a, b, c] 7 { Kofaktorutveckling :a raden } Alltså är vektorerna linjärt beroende W7 Undersök om följande vektorer är linjärt beroende eller oberoende: a a,,, b,, 4 och c,,, b a, 6,, b,, 7 och c,, 4 Vektorerna är linjärt beroende omm om och endast om de alla ligger i ett plan, vilket är detsamma som att parallellepipedern de spänner upp har volym noll Vektorerna är alltså linjärt beroende omm Volym [a, b, c] a Vi har att [a, b, c] 4 { Kofaktorutveckling :a raden } Alltså är vektorerna linjärt oberoende W7 För vilka värden på talet a är vektorerna, a, a,, a, och, a, linjärt beroende? Bestäm för dessa a-värden en linjärkombination av vektorerna med minst en koefficient, som är De tre vektorerna är linjärt beroende omm deras trippelprodukt är noll Eftersom [, a, a;, a, ;, a, ] a a a a { Kofaktorutveckling :a raden } a a a + a a a a a a + a a a a a + a a a a aa, så ser vi att vektorerna är linjärt beroende när a eller a För a och a ska vi nu hitta konstanter c, c och c, som alla inte är noll, så att c, a, a + c, a, + c, a,,,

38 a : a : I detta fall är vektorerna,,,,, och,,, och då ser vi att den första vektorn plus den andra vektorn ger den tredje vektorn, dvs,, +,,,,,, +,,,, vilket är den sökta linjärkombinationen Vi har att vektorerna är,,,,, och,, Avståndsvektorn är alltså parallell med normalvektorn n till planet Normalvektorn kan vi avläsa från planets ekvation koefficienterna framför, y och z, n,, Tar vi en punkt Q,, i planet välj bara en punkt som uppfyller planets ekvation så är avståndet mellan P och planet lika med längden av vektorn QP :s komposant i n-riktningen Q P Komposant av QP i n-riktningen Den första och den tredje vektorn är lika,,,,,,, +,,,, Alltså är d QP e n e n QP e n QP n n,,,, W74 Beräkna avståndet från punkten,, till planet + y z + ONsystem Låt P,, Det kortaste avståndet mellan P och planet är det vinkelräta avståndet d P n W76a Beräkna avståndet mellan planen y + z och 4y + z ON-system För att planen ska ha ett positivt avstånd mellan sig måste de vara parallella annars skär de varandra, vilket är samma sak som att deras normalvektorer är parallella I detta fall kan vi avläsa att normalvektorerna är n,, och n, 4,

39 och då ser vi direkt att n n, dvs de pekar i samma riktning Tar vi nu en punkt P,, i det första planet så är avståndet mellan planen lika med avståndet mellan punkten P och det andra planet P Alltså, d QP e n e n QP e n QP n n,,, 4, Vi har alltså reducerat avståndsproblemet mellan två plan till att bestämma avståndet mellan en punkt och ett plan 4y + z Det kortaste avståndet mellan P och planet är det vinkelräta avståndet, dvs avståndsvektorn är parallell med n, 4, W77a Beräkna i ett ON-system avståndet från punkten,, till linjen y +, + z 7 n d P Vi skriver om linjens evation i en mer standardform, y, + z / Avståndet mellan punkten P,, och linjen är det vinkelräta avståndet Välj nu en punkt Q,, i planet uppfyller planets ekvation Då är avståndet d lika med längden av vektorn QP :s komposant i n -riktningen P d Q P QP en en Från planets ekvation kan vi avläsa linjens riktningsvektor v,,, talen i nämnarna Tar vi en punkt Q,, 7 på linjen uppfyller linjens ekvation; tag, ger att z 7 så är avståndet d lika längden av med QP :s

40 komposant vinkelrätt mot v W79 Beräkna avståndet mellan följande linjer i ett ON-system: P QP :s komposant vinkelrätt mot v v a c + y + z 4 och + t t y 4 + t och y + t z 6 + t z + t y z, Q Vi får denna komposant som differensen mellan QP och QP :s komposant i v- riktningen P Det kortaste avståndet mellan linjerna är det vinkelräta avståndet Q QP :s komposant i v-riktningen d dvs d QP QP e v e v QP v QP v v,, 7,, 7,, + +,,,, + +,, 4,, +,,,, Om v och v är respektive linjes riktning så är alltså avståndsvektorn parallell med n v v vinkelrät mot både v och v Om vi tar två punkter P och Q på respektive linje så är avståndet d lika med längden av vektorn QP :s komposant i n-riktning P d QP e n Q a I detta fall ser vi från linjernas ekvationer läs av talen i nämnarna att de har riktningsvektorerna v,, respektive v,,

41 Vektorn vinkelrät mot linjerna blir e e e n v v e e + e e e + e 6 e e + 9 e 6,, 9 Två punkter på linjen får vi te genom att sätta i linjernas ekvationer + 4 y + y z z y z y 8 z P,,, Q, 8, med e e e n v v e e + e e e + e e + e e,, Vi får två punkter på respektive linje genom att välja ett parametervärde, te t, Avståndet mellan linjerna är d QP e n QP n n P, 4, 6 och Q,, , 4, 6,, + + Vi får nu att avståndet mellan linjerna blir d QP e n QP n n, 8, 6,, c Vi kan avläsa linjernas riktningsvektorer koefficienterna framför t från deras parametriseringar W8 Beräkna det kortaste avståndet mellan rymddiagonalen i en kub med sidan a längdenheter och en av sidoytornas diagonaler, som inte skär rynddiagonalen Vi placerar kuben i ett koordinatsystem med ena hörnet i origo och de från hörnet utgående kanterna längs koordinatalarna z a v,, och v,, Det vinkelräta avståndet är alltså längden av en vektor som är parallell a a y

42 Rymddiagonalen är den linje som sammanbinder hörnet i origo med hörnet a, a, a Vi kan annars placera kuben så att rymddiagonalen blir denna linje Eftersom den går genom origo och har riktningsvektor a, a, a kan linjen parametriseras som + at, y + at, z + at,, a, a, a Nu finns en hel del diagonaler längs sidoytorna som inte skär rymddiagonalen Alltså kan den parametriseras som a + t, y + a t, z a a t Vi söker alltså avståndet mellan linjerna at, y at, z at, och a, y at, z a at Avståndet mellan linjerna är det vinkelräta avståndet, dvs avståndsvektorn är parallell med kryssprodukten av linjernas riktningsvektorer e e e n a, a, a, a, a a a a a a a a e a a e a a a + e a a a a e + a e + a e a, a, a Vi tar nu två punkter på respektive linje P a, a, a och Q a,, a Avståndet mellan linjerna är då längden av QP :s komposant i n-riktning, Men alla dessa diagonaler ligger symmetriskt kring rymddiagonalen så de kommer ha samma avstånd till rymddiagonalen De diagonaler på samma rad kan fås att övergå till varandra genom att vrida kuben med rymddiagonalen som ael Diagonaler i samma kolumn övergår i varandra genom att vrida kuben så att origo och a, a, a byter plats Vi kan alltså välja en av dessa diagonaler, säg den som går genom a,, a och a, a, Diagonalen går genom punkten a,, a och har riktningen a, a, a,, a, a, a a,, a z a, a, y d QP e n QP n n a a 6 a 6, a, a, a, a a + a + a