Detta har hänt på TMA976! till och med läsvecka 7

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Detta har hänt på TMA976! till och med läsvecka 7"

Transkript

1 Detta har hänt på TMA976! till och med läsvecka 7 Peter Kumlin Innehåll Vecka 3. Existens/entydighetsresultat för ordinära differentialekvationer. 3 Vecka 5. Partiallösningar till linjära ode Lite till om ode Ordo-begreppen Vecka l Hospitals regel En mycket snäll funktion Differensekvationer Vecka Fixpunktssatsen och Newtons metod Vecka Rot bättre än kvot Lite till om numeriska serier Limes superior/limes inferior Omordning av serier Vecka 6 6. En övningsuppgift Vecka Ett tentamensproblem Ett problem till Karakterisering av kompakta mängder i R n, n =,,3, Likformig kontinuitet

2 Nedanstående anteckningar täcker material som har tagits upp (eller borde ha tagits upp) på föreläsningarna i mån av tid men som inte finns med i kursböckerna. Materialet ingår inte i kursen i den mening att man förväntas kunna redovisa det på tentamen. Dock är det inte skadligt för någon student att ta del av det. Tala gärna om för mig om ni hittar något fel eller om ni har synpunkter på något ytterligare som skulle tagits med.

3 Vecka Vad gicks igenom vecka? Kort presentation av kursens huvudmoment, introduktion av terminologi för differentialekvationer, genomgång av lösningsmetoder för linjära differntialekvationer av ordning (metoden med integrerande faktor) och separabla differentialekvationer, diskussion av existens och entydighet för differentialekvationer av ordning samt formulering av Picards existenssats (se nedan), genomgång av några exempel i detta sammanhang, vidare genomgång av materialet i [D] om linjära differentialekvationer av ordning n allmänt och sedan om specialfallet med konstanta koefficienter, definition av e icx där c är ett komplext tal, förskjutningsregeln och formulering av huvudstasen på sidan 3 i [D]. Satsen bevisades och slutligen gjordes en genomgång av lämpliga ansatser för partiallösningar.. Existens/entydighetsresultat för ordinära differentialekvationer I kapitel 8 i Persson/Böiers envariabelbok (PB) ges exempel på differentialekvationer av olika ordning och på algoritmer för att hitta lösningar till dessa. Vi kan med bokens hjälp endast visa existens av en lösning till en differentialekvation genom att presentera en explicit lösning. Det sägs inget om entydighet för lösningar. Vi formulerar därför ett par satser som besvarar vissa av dessa frågor. Bevis utelämnas då de förutsätter kunskaper (vissa kompakthetsresultat) som vi inte har tillgängliga. Vi inskränker oss till följande problem: Har differentialekvationen { y ( ) = g(x,y), x I y(x 0 ) = y 0, där I är ett intervall som innehåller x 0, en lösning y(x) för x I? Denna fråga besvaras delvis av följande två satser där den första satsen även uttalar sig om entydigheten. Sats. (Picard). Låt Ω = [x 0 a,x 0 + a] [y 0 b,y 0 + b], a,b > 0, vara en omgivning av (x 0,y 0 ) där funktionen g(x,y) är kontinuerlig och uppfyller ett Lipschitz-villkor i y, dvs det finns ett reellt tal M sådant att g(x,y ) g(x,y ) M y y, alla (x,y ),(x,y ) Ω. Då har differentialekvationen ( ) en entydigt bestämd kontinuerligt deriverbar lösning y(x) i ett intervall [x 0 c,x 0 +c] [x 0 a,x 0 +a] för något c > 0. Om Ω = [x 0 a,x 0 +a] R, a > 0, så gäller c = a. Bevisiden bygger på att man studerar följden y n (x), n =,,... av s.k. Picarditerationer definierade av { y (x) = y 0 + x x 0 g(t,y 0 )dt y n+ (x) = y 0 + x x 0 g(t,y n (t))dt, n =,,... 3

4 Vi noterar här att en kontinuerlig funktion y(x) är en lösning till ( ) om och endast om y(x) satisfierar ( ) y(x) = y 0 + x x 0 g(t,y(t))dt, x I. Observera att om y(x) är en kontinuerlig funktion som satisfierar ( ) så är y(x) en kontinuerligt deriverbar funktion. Det återstår att bevisa är att följden (y n (x)) n= konvergerar likformigt på I mot en kontinuerlig funktion y(x) så att man kan gå i gräns i x y n+ (x) = y 0 + f(t,y n (t))dt. x 0 Sats. (Peano). Antag att g(x, y) är kontinuerlig i en omgivning Ω = [x 0 a,x 0 + a] [y 0 b,y 0 + b], a,b > 0, av (x 0,y 0 ). Då har differentialekvationen ( ) en kontinuerligt deriverbar lösning y(x) i ett intervall [x 0 c,x 0 +c] [x 0 a,x 0 +a] för något c > 0. Notera att Peanosatsen inte uttalar sig om entydigheten av lösningen. Ett exempel på en differentialekvation där Peanos men inte Picards existenssats är tillämplig är följande: { y (+) = 3y 3, x I y(0) = 0 där I är ett intervall som innehåller x = 0. Här är inte g Lipschitz-kontinuerlig (men väl kontinuerlig) i en omgivning av (0, 0). Medelvärdessatsen ger ju att g(y) g(0) = g (ξ) y 0, där ξ ligger mellan y och 0, och g är obegränsad i varje intervall (0,ǫ), ǫ > 0. Det gäller att (x b) 3, x > b y a,b (x) = 0, a x b (x a) 3 x < a är lösningar till (+) för varje a 0 b. Speciellt är y(x) = x 3 en lösning till (+). Detta gäller också funktionen y = 0. Vi har alltså oändligt många lösningar till (+). Vad gäller entydigheten av lösningar i Picardsaten är detta lätt att visa. Antag att y (x),y (x) är två lösningar till ( ) i [x 0,x 0 +ǫ], ǫ > 0. Då gäller y (x) y (x) = M x x x 0 (g(t,y (t)) g(t,y (t)))dt x 0 y (t) y (t) dt, x [x 0,x 0 +ǫ]. 4

5 Sätt λ(x) = x x 0 y (t) y (t) dt. Notera att λ(x 0 ) = 0. Det gäller att λ (x) Mλ(x), x (x 0,x 0 +ǫ), och alltså (e Mx λ(x)) 0 för x (x 0,x 0 + ǫ). Integration över intervallet [x 0,x] ger 0 λ(x) e M(x x0) λ(x 0 ) = 0, x [x 0,x 0 +ǫ]. Alltså λ(x) = 0 för x (x 0,x 0 +ǫ). På liknande sätt visas påståendet för x x 0. För n:te ordningens differentialekvationer av typen { y (n) = f(x,y,y,...,y (n ) ), x I y(x 0 ) = y 0,y (x 0 ) = y,...,y (n ) = y n skrivs dessa om som system av :a ordningens differentialekvationer med u = y u = y... u n = y (n ) enligt u = u, u (x 0 ) = y 0 u = u 3, u (x 0 ) = y u n = u n, u n (x 0 ) = y n u n = f(x,u,u,...,u n ), u n (x 0 ) = y n Metoden med Picarditerationer, en vektorvärd version, kan tillämpas här. För vidare studium hänvisas till exempelvis K.G.Andersson/L-C.Böiers: Ordinära differentialekvationer, Studentlitteratur. Vecka Vad gicks igenom vecka? Genomgång av olika ansatser för partikulärlösningar till linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter inklusive en allmän formel med Greenfunktionen till problemet, Eulers differentialekvation. Formulering och bevis av Taylors formel, även beviset baserat på Cauchys medelvärdessats, och standardutvecklingar för de vanliga elementära funktionerna. Entydighetssats för Taylorutvecklingar diskuterades. Tillämpningar av Taylorutvecklingar studerades.. Partiallösningar till linjära ode I samband med diskussionen om hur olika ansatser för partiallösningar till linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter kan väljas gavs ett allmänt recept som vi formulerar som en sats. 5

6 Sats.. Låt G(x) vara den lösning till P(D)y y (n) +a n y (n ) +...a 0 y = 0 som uppfyller villkoren y(0) = y (0) =...y (n ) = 0, y (n ) =. Då är y p (x) = x x 0 G(x t)f(t)dt en lösning till P(D)y = f(x). Denna lösning y p uppfyller villkoren y(x 0 ) = y (x 0 ) =... = y (n ) (x 0 ) = 0. Funktionen G(x) kallas Greenkärna m.a.p. differentialoperatorn P(D). Beviset för denna sats bygger på upprepad användning av satsen om derivering under integraltecknet, se Persson/Böiers flervariabelbok (PB) Sats sid 86. För läsarens bekvämlighet formulerar vi påståendet i den satsen här: Om h(x, t) och h x(x,t) är kontinuerliga funktioner i x och t gäller d dx x 0 h(x,t)dt = h(x,x)+ x 0 h x(x,t)dt. Bevisiden är här att studera differenskvoten för I(x) x h(x,t)dt, dvs 0 x s (I(x+s) I(x)) = h(x+s,t) h(x,t) dt+ x+s h(x+s,t)dt 0 s s där man måste visa att första termen x 0 h x(x,t)dt och andra termen h(x,x) då s 0. Ett exempel på en tillämpning av denna sats ges av y y = e x +, där en liten kalkyl ger G(x) = sinh(x) och y p (x) = x 0 sinh(x t) e t + dt =... = sinhx ln ex + + (ex xe x ). Speciellt uppfyller y p villkoren y(0) = y (0) = 0 då x 0 valts till 0.. Lite till om ode Vi har noterat att för linjär differentialoperatorer P(D) med konstanta koefficienter gäller P(D)[y] = (D n +a n D n +...+a D+a 0 )[y] = (D r ) m...(d r k ) m k [y], x 6

7 där r,...,r k är rötterna till motsvarande karakteristiska ekvation med multipliciteterna m,...,m k. Motsvarande faktorisering låter sig inte allmänt göras i fallet med variabla koefficienter a n (x),...,a 0 (x). Det kan göras ibland vilket följande exempel visar. Betrakta allmänt operatorn P(D)[y] = (D +a (x)d +a 0 (x))[y]. Då ((D r (x))(d r (x)))[y] = (D r (x))[y r (x)y] = gäller att = y (r (x)+r (x))y +(r (x)r (x) r (x))y om P(D)[y] = f(x) ((D r (x))(d r (x)))[y] = f(x) a (x) = r (x) r (x), a 0 (x) = r (x)r (x) r (x). Differentialekvationen löses då genom att lösa systemet av första ordningens linjära differentialekvationer (D r (x))[z] = f(x), (D r (x))[y] = z(x) Varför inte försöka lösa differentialekvationen y xy +(x )y = x på detta sättgenomatthittalämpligar (x)ochr (x).lämpligtvalärr (x) = r (x) = x. Genomför kalkylerna. Låt oss exemplifiera en annan metod att hantera homogena linjära differentialekvationer utgående från ett exempel. Betrakta y y cosx+ysinx = 0. Givet att vi känner till en lösning v(x) till differentialekvationen ovan ansätter vi y(x) = v(x)w(x). Om man deriverar y(x) och sätter in i differentialekvationen reduceras denna linjära differentialekvation i y av andra ordningen till en linjär differentialekvation av första ordningen i w. Konkret i fallet ovan, om man sättter v(x) = e sinx så fås w +w cosx = 0, en ekvation som kan lösas med integrerande faktor. Metoden låter sig lätt generaliseras. 7

8 Mycken möda har genom historien lagts ner på att hitta explicita lösningar till diverse differentialekvationer. Tekniken har varit att göra listiga variabelsubstitutioner och omskrivningar. Vi kan här bara peka på ett par sådana associerade med några kända gubbar. Variabelbyte i oberoende variabeln: Eulers diff.-ekv.: Sätt t = lnx. x n y (n) +a n x n y (n ) +...+a xy +a 0 y = f(x), x > 0 Variabelbyte i beroende variabeln: Bernoullis diff.-ekv.: Sätt z(x) = y(x) α y +g(x)y +h(x)y α = 0, α 0,. Böcker med långa listor av differentialekvationer med explicita lösningar finns att studera. Fördelen med en explicit lösning är att man lättare kan studera lösningens beroende på ingående parametrar..3 Ordo-begreppen I samband med Taylorutvecklingar har ordo-symbolen (stora ordo och lilla ordo) använts. Vi ger här en definition av begreppen. Låt h(x) vara en funktion med definitionsmämngd D f, där D f [ c,c] för alla c > 0. n nedan betecknar ett icke-negativt heltal där x 0 tolkas som. h(x) = O(x n ) då x 0 betyder att det finns ett intervall I = [ c,c], c > 0 och ett reellt tal M så att h(x) M x n, alla x [ c,c] D f. h(x) = o(x n ) då x 0 betyder att h(x) lim 0 x 0 x n = 0. Speciellt följer att h(x) = o(x n ) medför h(x) = O(x n ) men omvändningen gäller ej. Beteckningarna O((x a) n ) och o((x a) n ) då x a definieras analogt. Påståendet att en funktion g(x) är kontinuerlig i x = a kan med ordosymbolen skrivas g(x) = g(a)+o(), x a. 8

9 Påståendet att en funktion g(x) är deriverbar i x = a med derivatan g (a) kan med ordosymbolen skrivas g(x) = g(a)+g (a)(x a)+o(x a), x a. Vi noterar några räkneregler för O(x n ) där n är icke-negativt heltal. Om h(x) = O(x n ) så är även h(x) = O(x m ) då m < n Om m < n så är O(x m )+O(x n ) = O(x m ) co(x n ) = O(x n ) där c är en konstant x m O(x n ) = O(x n+m ) O(x n )±O(x n ) = O(x n ) O(x m ) O(x n ) = O(x m+n ) Om y = O(x n ) så är O(y m ) = O(x nm ) För o(x n ) finns motsvarande räkneregler men vi utelämnar dessa. 3 Vecka 3 Vad gicks igenom vecka 3? l Hospitals regel med bevis, differensekvationer speciellt linjära av andra ordningen med konstanta koefficienter, hur allmänna homogenlösningen tas fram via karakteristiska polynomet till differensoperatorn, lämpliga ansatser för att bestämma partikulärlösningar 3. l Hospitals regel Vi noterar att antagandet i l Hospitals regel att g (x) har konstant tecken i intervallen (x,x 0 ) och (x 0,x ) (kan vara olika i de olika intervallen) är ekvivalent med det till synes svagare antagandet g (x) 0. Detta är en konsekvens av Darboux sats som gåtts igenom förra läsperioden. För läsarens bekvämlighet formuleras den satsen här. Sats 3. (Darboux). Antag att g är en deriverbar funktion på intervallet [a, b]. Då finns för varje γ mellan g (a) och g (b) ett tal ξ (a,b) sådant att g (ξ) = γ. Observera att det inte förutsätts att g(x) är kontinuerligt deriverbar. Det finns deriverbara funktioner som inte har kontinuerlig derivata. Ett exempel är { x g(x) = sin x x 0 0 x = 0 9

10 som är deriverbar för alla x men vars derivata inte är kontinuerlig i x = 0. Ett exempel som visar att villkoret g (x) 0 i l Hospitals regel inte kan försummas: Sätt { f(x) = x+ sinx g(x) = e sinx f(x). Vi noterar nu att. g(x) +, x +. f (x),g (x) existerar 3. f (x) g (x) = sinx+cosx) 0, x + (där en faktor cosx förkortats) men e sinx (x+ cosx 4. e f(x) f(x) g(x) e för all x 3 (t ex), vilket innebär att g(x) 0, x + l Hopsitals regel är inte tillämpbar då g (x) växlar tecken i varje intervall (a, ), a R. Det är sällan som l Hospitals regel är ett måste för att visa existens av gränsvärden. Vi kompletterar ELW:s exempel på sidan 5 och uppgift 644a med alternativa argument: Ex : lim x x( π arctanx) = inses från x( π arctanx) = x x +t dt = x([ t t +t ] x + x (+t ) dt) = Detta ger = x +x +x x +t dt x x (+t ) dt. x( π arctanx) = x där x x (+t ) dt x +x 0 påståendet följer. 644a: lim x lnx x lnx x x x x x dt = +t +x +x x (+t ) dt, lnt dt = inses från lnx dt = lnt x ([ t x lnt ]x + +t dt 0 då 0 x. Låt x och lnx dt) = (lnt) x ( x lnx x ln + x (lnt) dt+ x (lnt) dt). 0

11 Vidare gäller då x och 0 lnx x 0 lnx x x x då x. Påståendet följer. (lnt) 3. En mycket snäll funktion lnx dt x x (ln) 0 lnx dt x (lnt) x x (ln x) = 4 lnx 0 I samband med Taylorutvecklingar kan man studera funktionen { e x x > 0 f(x) = 0 x 0 Denna funktion är kontinuerligt deriverbar på R hur många gånger som helst, betecknat f C (R), och speciellt gäller f (n) (0) = 0 för n = 0,,,... Visa detta! Detta innebär att f har en Taylorserie Σ f (n) (0) n=0 n! x n som konvergerar för alla x R, eftersom Σ f (n) (0) n=0 n! x n = 0 för alla x R, samtidigt som f(x) > 0 för x > 0. Detta medför att f(x) = Σ f (n) (0) n=0 n! x n för alla x [ ǫ,ǫ] endast för ǫ = 0. Funktioner med egenskapen att det för alla x R finns ett ǫ = ǫ(x) > 0 så att f(x) = Σ f (n) (0) n=0 x n, x [ ǫ,ǫ] n! kallas real-analytiska. Exemplet ovan visar att det finns funktioner i C (R) som inte är real-analytiska. 3.3 Differensekvationer Vi observerar att linjära differensekvationer med konstanta koefficienter kan skrivas om som matrisekvationer enligt följande: För ( ) y n+p +a p y n+p +...+a y n+ +a 0 y n = 0, n = 0,,,... sätter vi Y n = y n y n+., n = 0,,,... y n+p

12 och A = a 0 a a... a p A är en p p matris. Vi kan då skriva ( ) som vilket ger Y n+ = AY n, n = 0,,,... Y n = A n Y 0, n = 0,,,... Den karakteristiska ekvationen till ( ), dvs. (+) r p +a p r p +...+a r +a 0 = 0 är lika med sekularekvationen det(a λi) = 0, där I betcknar enhetsmatrisen av typ p p, dvs λ λ... 0 (++) = 0, a 0 a a... a p λ med r = λ. Sekularekvatinens rötter är egenvärdena till matrisen A. SpektralsatsenförmatrisergerattA n,n =,,3,...,lättkanberäknasfördiagonaliserbara matriser A vilket kommer att diskuteras i den kommande kursen i linjär algebra (eller kanske redan behandlats i den första kursen i linjär algebra). Läsaren uppmanas att redan nu och med hjälp av räknereglerna för determinanter visa att ekvationerna i (+) och (++) är desamma. Vi tillämpar matrisformuleringen på exempel 9 sidan 46 i ELW. Fibonaccis talföljd (F n ) n=0 definieras av F 0 = 0 F = F n+ = F n+ +F n, n = 0,,,... och dyker upp vid beskrivning av ett flertal fenomen i naturen. Om vi sätter [ ] yn Y n =, n = 0,,,... y n+ och A = [ 0 ]

13 kan differensekvationen skrivas Y n = A n Y 0, n = 0,,,... Egenvärdena till A (och då även rötterna till den karakteristiska ekvationen för F n+ = F n+ +F n, n = 0,,,...) är lika med 4 Vecka 4 ± 5. Vad gicks igenom vecka 4? Fixpunktssatsen med uppskattningar, Newton- Raphsons metod med uppskattningar, serier och begreppen konvergens/divergens, nödvändigt villkor för konvergens, positiva serier och huvudsatsen för positiva serier, integralkriteriet, jämförelsekriteriet och dito på gränsvärdesform. 4. Fixpunktssatsen och Newtons metod Vi kallar, se INR, en funktion f : I I en kontraktion på intervallet I om det finns ett positivt reellt tal k, k < så att Följande sats gäller enligt INR: x, x I f(x) f( x) k x x. Sats 4. (fixpunktssatsen). Antag att I = [a, b], a<b, och. f : I I. f är en kontraktion på I. Då gäller att. det finns en entydigt bestämd fixpunkt α I, dvs f(α) = α, och. för varje x 0 I gäller att följden (x n ) n=0, där x n+ = f(x n ), n = 0,,,... konvergerar och har gränsvärdet α (= fixpunkten). Notera att f ovan är en kontraktion om f är en deriverbar funktion på I och sup f (x) <. x I Följande uppskattningar gäller (beteckningar enligt satsen ovan) 3

14 A : B : x n+ α k x n α, n = 0,,,... (följer direkt från kontraktionsegenskapen för f) (följer från x n α k x n+ x n, n = 0,,,... x n α = x n f(x n )+f(x n ) α x n x n+ + f(x n ) f(α) x n x n+ +k x n α.) Jämför dessa uppskattningar med motsvarande uppskattningar för Newton-Raphsons metod. Intervallet I = [a,b] kan inte ersättas av intervallet (a,b) i fixpunktssatsen. Betrakta t ex funktionen f(x) = x på intervallet (0,) som är en kontraktion på intervallet (0, ) men saknar fixpunkt. Fixpunktssatsen gäller även för I = R men beviset får modifieras lite. Gör detta. Utnyttja t ex att och x f(x),x x f(x),x. Dock gäller inte fixpunktssatsen om I = R och f inte är en kontraktion på I men uppfyller Se t ex vad som gäller för x, x I, x x f(x) f( x) < x x. f(x) = { x ex x 0 + x x > 0 Fixpunktssatsen kan (ibland) användas för att lösa ekvationen f(x) = x. Om man vill lösa ekvationen f(x) = 0 kan (ibland) Newton-Raphsons metod användas. Men även om f (x) 0 för alla x så är man inte garanterad att (x n ) n=0 konvergerar där f : R R, x 0 R (vald) och x n+ = x n f(x n) f (x n ), n = 0,,,... Följande uppskattningar (som delvis återfinns i INR) gäller om I R är ett intervallmedx n,x n+,α I,därf(α) = 0,ochf C (I)ifallAochf C (I) i fall B. 4

15 A : x n+ α K L x n α, x n+ α K L x n+ x n. B : x n α M L x n+ x n, där L = inf x I f (x), M = sup x I f (x) och K = sup x I f (x). Tips: För att visa uppskattning A Taylorutvecklar man lämpligen kring x = x n med en restterm på Lagrange form av ordning och betraktar fallen x = α respektive x = x n+. Vi ger två lösningar till uppgift 88a i ELW, en baserad på fixpunktssatsen och den andra på satsen om monotona talföljders konvergens. Problem: Sätt x =, x n+ = +x n för n =,,3,... Visa att (x n ) n= konvergerar och beräkna dess gränsvärde. Lösning med fixpunktssatsen: Sätt f(x) = +x. Detta ger x n+ = f(x n ) för n =,,3,... Vi noterar att f(x) är en avtagande funktion för x > och att f() = (x = ). Vidare är f( ) = 3 >. Alltså gäller Dessutom ger medelvärdessatsen att f : [,] [,]. f(x) f(y) = f (η x,y ) x y för alla x,y [,] för något η x,y mellan x och y. Då f (x) = (+x) gäller max x [,] f (x) = 4 9 <, och alltså är f(x) en Lipschitzkontinuerlig funktion med Lipschitzkonstant k = 4 9 <, dvs f är en kontraktion på [,]. Fixpunktssatsen ger då att (x n) n= konvergerar mot f:s entydigt bestämda fixpunkt i ξ i [,]. Fixpunkten bestäms av ξ = f(ξ) dvs Vi får ξ = 5. ξ +ξ = 0, ξ [,]. 5

16 Lösning med satsen om monotona följders konvergens: Vi börjar med att beräkna de första talen i talföljden. x =, x =, x 3 = 3, x 4 = 3 5, x 5 = 5 8, x 6 = 8 3,... Det förefaller som om (x n ) n= är en avtagande och (x n ) n= är en växande följd (detta vet vi från från iterationstolkningen då f 0, se INR, men det är ju inte kunskap vi ska använda här). Låt oss (t.ex.) visa att (x n ) n= är en avtagande följd. Vi noterar att x n+ x n = = + +x n x n = +x n +x n x n = +x n ( x n x n ). Från definitionen ser vi att x k > 0 för alla positiva heltal k och vidare att x n+ x n < 0 om x n x n < 0. Detta är ekvivalent med att x n > 5. Vi har att x > 5. Återstår att visa att x n > 5 medför att x n+ > 5. Men x n+ = +x n +x n = +x n > = (3 5) =. = 3+ 5 = Induktion ger alltså att (x n ) n= är en avtagande följd då x n > 5 för alla positiva heltal n. Detta ger enligt satsen om monotona talföljders konvergens att (x n ) n= konvergerar och har gränsvärdet ξ = + ξ + ξ. En liten kalkyl (observera att ξ 5 ) ger Vidare gäller 5 ξ = = ξ. x n = =... = ξ, n. +x n +ξ Alltså är (x n ) n= konvergent med gränsvärdet 5. 6

17 5 Vecka 5 Vad gicks igenom vecka 5? Rot- och kvotkriterierna inkl generalisering av rotkriteriet med lim ersatt med limsup. Vidare diskussion av begreppen absolutkonvergent serie och betingat konvergent serie samt formulering av Leibniz konvergenskriterium samt bevis av detta. Begreppet omordning av serier studerades. Potensserier och deras konvergensområden samt hur man beräknar konvergensradier gicks igenom. 5. Rot bättre än kvot Låt oss med rot-/kvotkriteriernas hjälp försöka avgöra om serien Σ n=a n konvergerar eller ej där ( )k n = k, k =,,3,... a n = ( )k n = k +, k = 0,,,... Här ser vi att då och n an, n k a k, k k+ a k+, k. Rotkriteriet ger då att serien ovan konvergerar. Men och a k+ a k, k a k+ a k+, k varför kvotkriteriet inte kan avgöra konvergens/divergens för serien. Detta är ingen slump! Det gäller att om existerar så existerar också och Visa detta. a n+ lim n a n lim n an n lim n a n+ an = lim. n n a n 7

18 5. Lite till om numeriska serier För något år sedan, alltså inte i år, noterade vi på föreläsning att rot-/kvotkriterierna inte förmådde avgöra om och när den positiva serien Σ k= a k, där a k = k p med parameter p R, konvergerar. Dessa kriterier bygger på jämförelse med geometriska serier och när k a k / a k+ a k då k kan inget sägas om seriens konvergens. Vet man lite mer, t ex hur snabbt a k+ a k går mot då k kan man säga lite mer. Detta är innehållet i Raabes konvergenskriterium som vi gick igenom då och som vi nu formulerar som en sats här. Sats 5. (Raabeskonvergenskriterium). Låt a k > 0 för k =,,3,... och antag att k( a k a k+ ) L, k. Då gäller att. L > medför att Σ k= a k konvergerar. L < medför att Σ k= a k divergerar 3. L = medför att ingen slutsats kan dras. Läsaren uppmanas att tillämpa Raabes kriterium på serien Σ k= k p där p R. Vi får rätt resultat i fallen p men för p = kan ingen slutsats dras. Vi skisserar nu beviset för Raabes kriterium. Fall: Antag L >. Då finns ett heltal N och ett ǫ > 0 så att dvs det gäller att k( a k a k+ ) > +ǫ, k N, ka k (k +)a k+ > ǫa k+, k = N,N +,N +,... Summera nu dessa olikheter för k = N,N +,...,m. Vi får Detta ger Na N (m+)a m+ > ǫσ m+ k=n+ a k. Σ m+ k=n+ a k < ǫ Na N, m N, och enligt huvudsatsen för positiva serier konvergerar Σ k= a k eftersom dess partialsummor är uppåt begränsade. Fall: Antag L <. Då finns ett heltal N och ett ǫ > 0 så att dvs det gäller att k( a k a k+ ) < ǫ, k N, ka k < (k +)a k+ ǫa k+, k = N,N +,N +,... 8

19 Följdaktligen gäller att ka k < (k +)a k+ och alltså C k < a k k = N,N +,N +,... för något positivt reellt tal C. Då serien Σ k= k divergerar divergerar Σ k= a k enligt jämförelsekriteriet för positiva serier. 5.3 Limes superior/limes inferior När vi diskuterade rotkriteriet för positiva serier observerade vi att påståendet i satsen (med betecknigar enligt ELW) också gäller om ersätts av lim k ak = A k lim sup k k ak = A. Definitionen av limsup för en begränsad talföljd (x k ) k= ges av ( ) lim supx k = lim sup{x n : n k}. k k Här ser vi att (z k ) k=, där z k = sup{x n : n k}, bildar en avtagande, begränsad talföljd som konvergerar enligt satsen om monotona talföljders konvergens. Följdakligen existerar limsup k x k och karakteriseras av att uppfyller villkoren att x = limsupx k k. för varje ǫ > 0 existerar ett positivt heltal N så att och k N x k < x+ǫ. för varje ǫ > 0 och varje positivt heltal N finns ett k N så att x k > x ǫ. Om sup byts ut mot inf i ( ) fås begreppet limes inferior för en talföljd (x k ) k=. Det gäller för varje begränsad talföljd (x k) k= att limsup k x k och liminf k x k existerar och vidare att < liminf x k limsupx k <. k k Om liminf k x k = limsup k x k existerar lim k x k och är lika med limsup k x k. 9

20 Ex: x k = ( ) k, k =,,3,..., har lim supx k = k men lim inf k x k = lim x k existerar ej. k 5.4 Omordning av serier Slutligen levererar vi bevis för satserna 8.5 och 8.6 i ELW. Σ k= a σ(k) är en omordning av serien Σ k= a k om σ är en permutation av (,,3,...), dvs σ är en bijektion på mängden {,,3,...}. Detta innebär att σ(k) = σ(l) medför k = l, och för alla positiva heltal k finns positivt heltal l så att σ(l) = k. Vi visar nu att varje omordning Σ k= a σ(k) av en absolutkonvergentserie Σ k= a k är absolutkonvergent och har samma summa som Σ k= a k. Antag alltså att Σ k= a k är absolutkonvergent, dvs Σ k= a k är en konvergent positiv serie. Då är Σ k= a σ(k) en konvergent positiv serie eftersom en övre begränsning A till partialsummorna Σ n k= a k, n =,,3,... också är en övre begränsning till partialsummorna Σ n k= a σ(k), n =,,3,... Detta följer av att för varje n gäller Σ n k= a σ(k) Σ max{σ(),σ(),...,σ(n)} k= a k A. Alltså är Σ k= a σ(k) en absolutkonvergent serie. Antag nu att S är summan av serien Σ k= a k. Det återstår att visa att också Σ k= a σ(k) har summan S. Fixera ǫ > 0 och välj ett positivt heltal N så att Σ k=n a k < ǫ. Detta är möjligt då Σ k= a k konvergerar. Sätt Ñ = min{n : {,,...,N} {σ(),σ(),...,σ(n)}}. Vi har Alltså gäller Σ n k=a σ(k) S Σ k=n a k < ǫ, n Ñ. lim n Σn k=a σ(k) = S. 0

21 Vi visar nu följande påstående: För varje betingat konvergent serie Σ k= a k och varje reellt tal S finns en omordning Σ k= a σ(k) (finns inte bara en utan oändligt många) som är konvergent och har summan S. Sätt a + k = max{a k,0} och a k = max{ a k,0}. Då är a k = a + k a k och a k = a + k + a k. Eftersom Σ k= a k är betingat konvergent, och alltså Σ k= a k är konvergent medan Σ k= a k är divergent, divergerar de båda serierna { Σ k= a + k. Detta gäller p g a att Σ k= a k a k = a k +a k = a + k a k, k =,,... Låt nu (c k ) k= vara den delföljd av (a k) k= som består av alla a k 0 och (d k ) k= vara den delföljd av (a k) k= som består av alla a k < 0. Skapa nu följden (a σ(k) ) k= som c,...,c n,d,...,d n,c n+,...,c n3,d n+,...,d n4,c n3+,...,c n5,d n4+,... där och induktivt n = min{n : c +c +...+c n > S} n = min{n : c +...+c n +d +d +...+d n < S} n k+ = min{n > n k : c +...+c n +d +...+d n +...+d nk och +d nk +c nk c n > S} n k+ = min{n > n k : c +...+c n +d +...+d n +...+c nk för k =,,3,... Det följer att +c nk+ +d nk d n < S} lim k Σ k=a σ(k) = S eftersom lim k a k = 0, då Σ k= a k är konvergent, och alltså lim k c n k c nk+ = lim k d n k d nk+ = 0. Man visar också enkelt att varje betingat konvergent serie har divergenta omordningar.

22 6 Vecka 6 Vad gicks igenom vecka 6? Termvis derivering/integrering av potensserier och användning av detta för att beräkna summor av potensserier behandlades. Vi visade att lösningar till linjära differentialekvationer kan bestämmas med hjälp av potensserier. Vidare behandlades funktionsföljder och funktionsserier och begreppen punktvis konvergens på ett intervall/likformig konvergens på ett intervall gicks igenom utifrån ett flertal exempel. Exempel som visade på hur fel det kan gå om man kastar om gränsövergångar diskuterades. 6. En övningsuppgift Enligt ett önskemål får ni här ett lösningsförslag på följande uppgift (ELW kapitel 9 uppgift 908b): Bestäm konvergensintervallet M och summan av potensserien x k Σ k=( ) k k(k ). Lösning: Sätt { 0 k = l, l =,,3,... a k = ( ) l l(l ) k = l, l =,,3,... Potensserien kan då skrivas som Σ k= a kx k. Observera att den ursprunliga potensserien endast innehåller jämna potenser av x. Beräkning av konvergensradien R: Vi noterar att R = limsup k l ak = lim sup{ : l k} =, k k l(l ) då l lim l l(l ) =. Alltså får vi R = (alternativt gör variabelbytet t = x och beräkna konvergensradien för potensserien i t och från detta dra slutsats om konvergensradien för potensserien i x). Beräkning av konvergensintervallet M: Vi vet att varje absolutkonvergent serie konvergerar. Eftersom Σ k= k konvergerar följer att Σ k= ( ) k (±) k k(k ) = Σ k= k(k ) konvergerar enligt jämförelsekriteriet på gränsvärdesform och alltså gäller M = [,].

23 Beräkning av potensseriens summa för x M: Kalla potensseriens summa för f(x). Vi vet att för x < R = kan vi derivera potensserien termvis och att den resulterande potensserien har samma konvergensradie, dvs. Alltså följer att f (x) = Σ k xk k=( ) k och på samma sätt fås Man noterar också att f (x) = Σ k= ( ) k x k = Σ k=0 ( x ) k = +x. f(0) = f (0) = 0. För x < kan vi bestämma f(x) genom att integrera +x två gånger. En första integration från 0 till x ger och en andra integration ger f (x) = arctanx, x < f(x) = xarctanx ln(+x ), x <. Vi konstaterar nu att xarctanx ln( + x ) är en kontinuerlig funktion på intervallet [, ]. Det återstår nu att bestämma seriens summa för ±. Det följer av att serien är absolutkonvergent för ± att potensserien är kontinuerlig i dessa ändpunkter i konvergensintervallet. Vi visar nu detta. Det räcker att studera punkten x = då potensseriens summa är en jämn funktion. Fixera ǫ > 0. Ska visa att det finns ett δ > 0 så att x k x ( δ,] Σ k=( ) k k(k ) Σ k=( ) k k(k ) < ǫ. Vi noterar att Σ k=( ) k x k k(k ) Σ k=( ) k k(k ) Σ k= k(k ) xk. k(k ) Eftersom den positiva serien Σ k= konvergerar finns positivt heltal N så att Σ k=n k(k ) < ǫ. Låt C beteckna summan av Σ k= Σ k= k(k ). Detta ger för x att k(k ) xk Σ N k= k(k ) xk + ǫ. 3

24 Vi kan nu välja ett δ > 0 så att den första termen i olikhetens högerled blir mindre än ǫ för alla x ( δ,] eftersom Σ N k= k(k ) xk C x N. Välj t ex δ = n ǫ C där vi antagit att ǫ C < vilket inte är någon inskränkning (ni inser varför eller hur?). Vi har visat att potensserien är kontinuerlig i x = ± och alltså är summan lika med arctan ln = π 4 ln. Kommentar: Vi visade i uppgiften ovan att x k lim x Σ k=( ) k k(k ) = Σ k=( ) k k(k ) utgående från att Σ k= ( )k k(k ) vilket Abel gjorde, att följande gäller. Sats 6. (Abels sats). Antag att f(x) = Σ k=0a k x k, x ( R,R). är absolutkonvergent. Man kan visa, Om serien konvergerar i x = R så existerar gränsvärdet lim x R f(x) och 7 Vecka 7 lim x R f(x) = Σ k=0a k R k. Vad gicks igenom vecka 7? Diskussion av satser om omkastning av gränsövergångar för likformigt konvergenta funktionsföljder. Formulering och bevis av Weierstrass M-sats samt tillämpning av de olika resultaten på olika exempel. Repetition av begreppen addition, multiplikation med skalär, skalärprodukt, belopp och egenskaper för dessa för vektorrummen R n, n =,,3,... Definition och flertal exempel rörande gränsvärden för vektorvärda funktioner av flera variabler, polära/sfäriska koordinater samt kort om räkneregler för gränsvärden. Tyvärr var tiden för knapp för att hinna gå igenom kontinuitet för funktioner av flera variabler samt de tre satser i PB som handlar om egenskaper för kontinuerliga funktioner på kompakta mängder eller bågvis sammanhängande mängder. 7. Ett tentamensproblem På omtentan på kursen i augusti 008 fannns ett problem där man skulle avgöra om en viss funktionsserie var likformigt konvergent på R. Då lösningar inte är utlagda för den tentan ges en lösning här. Problem: Visa att Σ k= x x +k 4

25 är punktvis konvergent på R. Avgör om funktionsserien konvergerar likformigt på R. Lösning: Sätt f k (x) = x x +k. Då f k (x) x k för k =,,... och Σ k= k konvergerarsåkonvergerar,enligtjämförelsekriteriet,funktionsserienσ k= f k(x) punktvispå R.Kallaserienssummas(x).Vinoteraratts(x)ärenuddafunktion då funftionerna f k (x) är udda. Vidare är f k (x) 0 då x 0 för k =,,... Via teckenstudium av derivatan av f k (x) får vi att funktionen f k (x) är växande på [0,k], avtagande på [k, ) och tar värdet k för x = k. Vi observerar (t.ex.) också att f l (k), l = k,k +,k +,...,k. 5k Detta ger att Σ k l=k+f l (k) k 5k = 5 för k =,,... Alltså kan inte funktionsserien vara likformigt konvergent på R eftersom s(n) s n (n) Σ n l=n+f l (n) 5 för varje positivt heltal n, där s n (x) betecknar den n-te partialsumman av Σ x k=x +k. Vi har alltså att sup s(x) s n (x) 0, n. x R (Man kan notera att funktionsserien är likformigt konvergent på varje begränsat interval enligt Weierstrass M-sats.) 7. Ett problem till Man kan visa likformig konvergens för vissa funktionsserier även då man inte kan använda Weierstass M-sats. Visa till Ex: att Σ k=( ) kxk k är likformigt konvergent på intervallet [0, ]. Allmänt gäller att om en funktionsföljd/funktionsserie konvergerar likformigt på en mängd D så konvergerar den likformigt på varje delmängd D D, och om konvergensenärlikformigpåpåvarjemängdd n,n =,,3,...,såärkonvergensen likformig på mängderna N n= D n, N =,,3,...,, men inte nödvändigtvis på n= D n. Visa detta. 5

26 7.3 KarakteriseringavkompaktamängderiR n, n =,,3,... NedangesenekvivalentbeskrivningavkompakthetförmängderM i R n itermer av egenskaper av följder av element i M. Vi studerar först fallet med n =. Följande resultat är användbart. Sats 7.. Låt (a n ) n= vara en godtycklig talföljd av reella tal. Då finns en delföljd (a nk ) k= av (a n) n= som är monoton. Bevis: En monoton talföljd är en följd som är antingen avtagande eller växande. Låt oss först införa begreppet vändpunkt nedåt. Vi säger att a n0 är en vändpunkt nedåt för följden (a n ) n= om a m a n0 för alla m > n 0. Två fall kan förekomma. Fall : Det finns oändligt många vändpunkter nedåt. Beteckna dessa med a n,a n,...,a nk,... där n < n <... < n k <... Följden (a nk ) k= är avtagande då a n a n... a nk... Fall : Det finns inga eller högst ändligt många vändpunkter nedåt. Välj ett element a m sådant att det inte finns några vändpunkter a n nedåt med n m. Välj sedan ett element a m med m > m och a m a m. Ett sådant element måste existera då det inte finns vändpunkter nedåt med index större än eller lika med m. Fortsätt iduktivt att välja element så att a mk+ a mk. Detta ger en följd (a mk ) k= där a m a m... a mk... Följden är alltså växande och påståendet i satsen är visat. Vi kan nu visa följande resultat baserat på supremumaxiomet. Beviset är rättframt och utelämnas här. Sats 7.. Låt (a n ) n= vara en godtycklig växande talföljd. Då gäller: (a n ) n= är uppåt begränsad om och endast om (a n ) n= är konvergent. På samma sätt visas också Sats 7.3. Låt (a n ) n= vara en godtycklig avtagande talföljd. Då gäller: (a n ) n= är nedåt begränsad om och endast om (a n ) n= är konvergent. Vi kan nu formulera och bevisa Sats 7.4 (Karakterisering av kompakta delmängder av R). Låt K vara en delmängd av R. Då är K kompakt om och endast om för varje följd (a n ) n= sådan att a n K för alla n det finns en delföljd (a nk ) k= och ett tal a K så att a nk a då k. 6

27 Bevis:AntagförstattK ärenkompakt,dvsslutenochbegränsad,delmängdav R och låt (a n ) n= vara en följd sådan att a n K för alla n. Då finns en monoton delföljd (a nk ) k= av (a n) n= enligt Sats 6.. Då K är en begränsad mängd är (a nk ) k= en begränsad följd. Enligt Sats 6. och Sats 6.3 måste (a n k ) k= vara konvergent. Låt a beckna gränsvärdet av följden. Då varje a nk K, k =,,..., måste a K K. Men K är sluten så K K och alltså gäller a K. Vi antar nu att för varje följd (a n ) n= sådan att a n K för alla n finns en delföljd (a nk ) k= och ett tal a K så att a n k a då k. Vi ska visa att K då måste vara sluten och begränsad. K är begränsad: Antag att K inte är begränsad och visa att detta motsäger vårt antagande ovan. Eftersom K är obegränsad finns för varje reellt tal M ett element a K sådant att a M. Välj ett godtyckligt element i K och kalla det a. Välj a K så att a a +. Välj induktivt a n+ så att a n+ a n + för n =,,... Följden (a n ) n= kan inte ha en konvergent delföljd ty om den hade det skulle denna delföljd vara begränsad samtidigt som det gäller att a n då n. Motsägelse och alltså är K begränsad. K är sluten: Antag att K inte är sluten och visa att detta motsäger vårt antagande ovan. Om K inte är sluten finns en randpunkt a till K som inte tillhör K. Välj för varje positivt heltal n ett element i K B(a, n ). Kalla detta a n. Notera att K B(a, n ) för alla n eftersom a är en randpunkttill K. Följden (a n ) n= ligger i K och konvergerar mot gränsvärdet a eftersom a n a n för alla n. Detta ger en motsägelse. Alltså måste K vara sluten. Beviset av satsen är nu klart. Sats 7.4 kan nu generaliseras till godtyckligt R n. Vi har Sats 7.5 (Karakterisering av kompakta delmängder av R n ). Låt K vara en delmängd av R n. Då är K kompakt om och endast om för varje följd (a k ) k= sådan att a k K för alla k finns en delföljd (a kl ) l= och ett tal a K så att a kl a då l. Beviside: Andra delen av beviset av Sats 7.4 går igenom i fallet R n med n > varför vi endast behandlar första delen av beviset. Låt alltså K vara en sluten och begränsad delmängd i R n och låt (a k ) k= vara en godtycklig följd i K. Vi har a k = (a k,,a k,,...,a k,n ), k =,,... Eftersom K är en begränsad mängd gäller att det finns ett reellt tal M sådant att a k M för k =,,... Då gäller a k, a k M, k =,,... Eftersom följden (a k, ) k= är begränsad finns enligt Sats 6., Sats 6. och Sats 6.3 en konvergent delföljd, beteckna den (a () k, ) k=, av (a k,) k=. Betrakta nu delföljden (a () k ) k= av (a k) k=. Vi har a () k = (a () k,,a() k,,...,a() k,n ), k =,,... 7

28 a () k, a() M, k =,,..., k därdetenligtsatsernaovangällerattföljden(a () k, ) k= harenkonvergentdelföljd som vi betecknar (a () k, ) k=. Fortsätt induktivt att betrakta följden på koordinatplats l+ för följden (a (l) k ) k=, där a (l) k = (a(l) k,,a(l) k,,...,a(l) k,n ), k =,,... och välj ut en delföljd för vilken de reella talen på plats l+ konvergerar. Efter ett ändligt antal utgallringar (tagande av delföljder av delföljder) har vi fått en delföljd(a (n) k ) k= av(a k) k= förvilkadereellatalenpåsamtligakoordinatplatser konvergerar. Det som återstår är att visa att (a (n) k ) k= konvergerar mot ett elenent i K. Läsaren uppmanas att använda karakteriseringen av kompakthet ovan för att visa Satserna 4 och 5 på sidan 4 i PB samt även följande resultat. Sats 7.6. Låt f : D R p, D R n, vara en kontinuerlig funktion, där D är en kompakt mängd. Då är f(d) = {f(x) : x D} en kompakt mängd i R p. 7.4 Likformig kontinuitet Tyvärr hann jag inte säga något om likformig kontinuitet men låt mig helt kort ge några kommentarer här. Låt f : D R p, D R n, vara en vektorvärd funktion på D. Här betecknar n,p godtyckliga positiva heltal. Vi säger att f är kontinuerlig på D om det för alla x D och alla ǫ > 0 finns δ > 0 så att x y < δ, y D f(x) f(y) < ǫ. (Observera att här får δ bero på både ǫ och x) f är likformigt kontinuerlig på D om det för alla ǫ > 0 finns δ > 0 så att x y < δ, x, y D f(x) f(y) < ǫ. (Observera att här få δ bara bero på ǫ) Man noterar att en likformigt kontinuerlig funktion på D måste vara en kontinuerlig funktion på D men inte omvänt. Vi ger några exempel på dessa begrepp för reella funktioner, dvs n = p =. 8

29 Ex: f(x) = x, x [0,] är en funktion som är likformigt kontinuerlig på [0,]. Visa detta. Ex: f(x) = x, x [, ) är en funktion som är kontinuerlig på [, ) men inte likformigt kontinuerlig på [, ). Visa detta. Ex: f(x) = x, x (0,] är kontinuerlig men inte likformigt kontinuerlig på (0, ]. Visa också detta. Ex: En funktion som är likformigt kontinuerlig på en mängd är likformigt kontinuerlig på varje delmängd av denna. En funktion som är likformigt kontinuerlig på en uppräknelig mängd av mängder (i R n, t ex n = ) är likformigt kontinuerlig på varje ändlig union av dessa mängder men inte nödvändigtvis likformigt kontinuerlig på unionen av alla de uppräkneligt många mängderna. Jämför de två första exemplen ovan. Ex: Antag att I(= [a,b]) är ett slutet begränsat intervall och att f(x) är en deriverbar funktion på (a,b). Då gäller att om sup f (x) < x (a,b) så är f likformigt kontinuerlig på I, vilket lätt visas med hjälp av medelvärdessatsen (modell Lagrange). Ex: Funktionen f(x) = x, x [0,] är likformigt kontinuerlig på [0,]. Detta följer direkt från Sats 5 i PB. Notera här att sup f (x) = x (0,) så observationen i föregående exempel kan inte användas. Vi kan däremot visa den likformiga kontinuiteten utgående från definitionen. Antag att δ > 0 och 0 x < x+δ. För y = x+δ gäller f(x) f(y) = x y = x y = δ δ. x+ y x+ x+δ Fixera nu ett godtyckligt ǫ > 0. Då gäller med δ = ǫ att Likformiga kontinuiteten visad. x y < δ, x,y [0,] f(x) f(y) < ǫ. 9

Besökstider: ca och 17.00

Besökstider: ca och 17.00 MATEMATIK Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Tentamen i Matematisk analys, fortsättningskurs F/TM, TMA976, 2015-01-14, TID(14.00-18.00) Inga hjälpmedel, förutom penna och linjal, är tillåtna,

Läs mer

Om konvergens av serier

Om konvergens av serier Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie

Läs mer

Instuderingsfrågor i Funktionsteori

Instuderingsfrågor i Funktionsteori Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du

Läs mer

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n. ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och

Läs mer

Funktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =

Funktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014 SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra

Läs mer

Serier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =

Serier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n = Serier Serier eller oändliga summor har flyktigt behandlats redan i tidigare kurser. Vi ska nu gå igenom teorin på ett lite mer systematiskt sätt. I många fall spelar det ingen roll om termerna a k är

Läs mer

Lösningsförslag till TATA42-tentan

Lösningsförslag till TATA42-tentan Lösningsförslag till TATA-tentan 8-6-.. Då ekvationen är linjär av första ordningen löses den enklast med hjälp av integrerande faktor (I.F.). Skriv först ekvationen på standardform. (+ )y y + y + + y

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 2

Tentamen i Envariabelanalys 2 Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna

Läs mer

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a

Läs mer

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna

Läs mer

Lösningsförslag envariabelanalys

Lösningsförslag envariabelanalys Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen

Läs mer

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.

Läs mer

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer

Läs mer

Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer

Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer Anders Källén 11 maj 2016 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi diskutera vad vi allmänt kan säga om lösningar till ett system

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon

Läs mer

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Kontinuitet och gränsvärden

Kontinuitet och gränsvärden Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika

Läs mer

MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS

MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS SVANTE JANSON 1. Kompakta mängder Definition. En delmängd av R n kallas kompakt om den är sluten och begränsad. Sats 1. Om K är en kompakt mängd i R n och {x i } är en följd

Läs mer

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi

Läs mer

gränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n

gränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

Lösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.

Lösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x. Lösningar till MVE6 Matematisk analys i en variabel för I 7-4-. a Division ger yy + y x. Ekvationen är alltså separabel. Integration av vänstra ledet ger y + y dy ln + y Efter integration blir det alltså

Läs mer

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

Meningslöst nonsens. December 14, 2014 December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

Numeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19

Numeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19 Dagens ämnen 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens Jämförelsesatser 1 / 19 Dagens

Läs mer

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int. Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är

Läs mer

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

ALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...

ALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14... ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................

Läs mer

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella

Läs mer

Existens och entydighet

Existens och entydighet Föreläsning 7 Eistens och entydighet 7.1 Aktuella avsnitt i läroboken Appendi Eistence and Uniqueness of Solutions. 47 48 FÖRELÄSNING 7. EXISTENS OCH ENTYDIGHET Som vi sett i flera eempel kan man ibland

Läs mer

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian. MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell

Läs mer

Lösningsförslag till tentan i 5B1115 Matematik 1 för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T,

Lösningsförslag till tentan i 5B1115 Matematik 1 för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T, Institutionen för Matematik, KTH. Lösningsförslag till tentan i 5B5 Matematik för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T, 8.. Visa att påståendet P n : n + n < 4 n är sant för n =,, 4.... (a) P : + = 4 +

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/ Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.

Läs mer

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

Anteckningar för kursen Analys i en Variabel Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Fixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).

Fixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x). Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus

Läs mer

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018 Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x. Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER

12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER 122 12 NUMERISKA SERIER 12. Numerisa serier Vi har tidigare i avsnitt 10.9 sett ett samband mellan summor och integraler. Vi har ocså i avsnitt 11 definierat begreppet generaliserade integraler och för

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Niels Chr. Overgaard & Johan Fredriksson 3 september 205 Problem 0. Skriv följande summor mha summationstecken. ( Dvs på formen q k=p a k där k är en räknare som löper med heltalssteg mellan

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) = SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 22-2- DEL A. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = xe x2 /4. Lösningsförslag. Standardgränsvärdet xe x, då x ger att lim f(x) = lim x x ± x ± e

Läs mer

Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola. Skissartade lösningsförslag till tentamen TMA976.

Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola. Skissartade lösningsförslag till tentamen TMA976. Institutionen för matematisa vetensaper Chalmers tenisa högsola Sissartade lösningsförslag till tentamen TMA976 Datum: 2015 01 14 1. Lös differentialevationen y y = e x (x + e x ) y(0) = 1 y (0) = 0 Differentialevationen

Läs mer

k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =

k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) = LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Några viktiga satser om deriverbara funktioner. Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4

Läsanvisningar till kapitel 4 Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger

Läs mer

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.

Läs mer

Om kontinuerliga funktioner

Om kontinuerliga funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens Grunder Om kontinuerliga funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om kontinuerliga funktioner 1 (12) 1 Introduktion Vi ska nu diskutera

Läs mer

avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.

avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Ordlista 1 1 Analysens grunder avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M i ett metriskt rum har Bolzano- Weierstrass-egenskapen

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och

Läs mer

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Litteraturkommentarer till föreläsningarna

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Litteraturkommentarer till föreläsningarna för ED, KTS, MT till föreläsningarna VT2 2017 TNA004 FÖ 1 Kap 7.1 7.2. Kommentarer 7.1 Plan area Area mellan funktionskurvor. Figurerna och texten på sid. 311 313 är viktigt för förståelsen av hela detta

Läs mer

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal

Läs mer

1 Föreläsning 12, Taylors formel, och att approximera en funktion med ett polynom

1 Föreläsning 12, Taylors formel, och att approximera en funktion med ett polynom red Föreläsning, Taylors formel, och att approximera en funktion med ett polynom. Taylorpolynom. Fakultet 0! =, läses noll-fakultet.! =. Vidare är! = = och 3! = 3 =. Allmänt fˆr n =,,,..., n! =... n n.

Läs mer

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

Lösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori

Lösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också

Läs mer

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Föreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd.

Föreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd. Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www.math.uu.se/ rikardo/ envariabelanalys/huvudsidor/index.html Funktioner En funktion f, från mängden

Läs mer

z = z 2. z = z 2 z /z 2 = 1 1 z = x + c z(x) = x + c = ln x + c + c 2 y(x) = ln y = 0 y(x) = c 2

z = z 2. z = z 2 z /z 2 = 1 1 z = x + c z(x) = x + c = ln x + c + c 2 y(x) = ln y = 0 y(x) = c 2 Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 1 1. Lös differentialekvationen y = (y ) 2 med hjälp av substitutionen z(x) = y (x). Kommentar: detta är standard substitutionen för differentialekvationer

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH Analys 60 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Om de reella talen Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om de reella talen () Introduktion Den matematiska analysen är intimt förenad

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 38 Repetition Lekt 16 Uppskatta (8.2) 1/3 genom att använda differentialer. Svara på bråkform.

Läs mer

Lösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.

Lösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4. Lösningar till MVE07 Matematisk analys i en variabel för I 8-0-0. (a Division ger y + 5x x 2 + 4 y x x2 + 4. 5x x 2 + 4 dx 5 2 ln(x2 + 4, vilket ger den integrerande faktorn (x 2 + 4 5/2. Ekvationen multipliceras

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

1 Att läsa matematik.

1 Att läsa matematik. 1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 5. 5.8 5. Följder och serier Detta avsnitt är repetition, och jag hoppas att ni snart kan snappa upp det som står däri. Speciellt viktigt är det att komma ihåg vad en geometrisk

Läs mer

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat

Läs mer

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT1 2017 Sixten Nilsson TNA003 FÖ 1: Kap 3.1 3.2 Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är

Läs mer

1 Att läsa matematik.

1 Att läsa matematik. 1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Gränsvärden och L Hôspitals regel Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Gränsvärden och L Hôspitals regel 1 (11) Introduktion Gränsvärdesöverläggningar

Läs mer

Tentamen SF e Januari 2016

Tentamen SF e Januari 2016 Tentamen SF6 8e Januari 6 Hjälpmedel: Papper, penna. poäng per uppgift totalt poäng. Betg E är garanterat vid 6 poäng, betg D vid poäng, betg vid C poäng, betg B vid 8 poäng och betg A vid poäng. För de

Läs mer

1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.

1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Ordlista för Funktionalanalys 1 (28 augusti 2002) 1 Analysens grunder avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

Lipschitz-kontinuitet

Lipschitz-kontinuitet Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim

Läs mer

Envariabelanalys 2, Föreläsning 8

Envariabelanalys 2, Föreläsning 8 Envariabelanalys 2, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Differentialoperatorer D: Dy = y, D 2 y = D(Dy) = D(y ) = y och så vidare. Även uttryck som (D β)(d α) = D 2 (α + β)d + αβ tolkas formellt

Läs mer

Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.

Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00. Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 oktober 20, kl. 8:00 3:00 av 8 3 poäng. Svar: i. sant, ii. falskt, iii. sant, iv. sant, v.

Läs mer

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl. Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.

Läs mer

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x), Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska

Läs mer

Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer

Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer Michael Björklund, f-mib@f.kth.se Grundläggande begrepp Definition 1 Ett begynnelsevärdesproblem för ordinära differentialekvationer har följande

Läs mer