Matematik på Science

Transkript

1 Matematik på Science c Johan Wild johan.wild@europaskolan.se Johan Wild Här ges några exempel på vad som tas upp och varför på Science-programmet. Denna text riktar sig till läsare med relevanta förkunskaper i matematik. Med relevata menas här relevanta för att förstå denna text. 1 Vetenskapen matematik Låt oss först belysa skillnaden mellan vetenskapen matematik, verkligheten och skolämnet matematik. En vanlig missuppfattning är att matematik endast kan vara intressant för en elev om eleven känner att matematiken har en relevant tillämpning. Det är fel. De flesta människor fascineras över eleganta abstrakta resonemang och mer eller mindre mystiska, men logiska, resultat. I väldigt många sammanhang där man vill visa på hur kul det är med matematik, tar man upp exempel från rent abstrakt matematik. Ofta är det något från kombinatoriken, talteorin eller geometrin. Det kan också röra sig om mer eller mindre omöjliga geometriska objekt som möbiusband eller fraktaler. Att tillämpa matematiken i olika ämnen är naturligtvis intressant. För att detta inte skall urarta till kopplade ickelinjära partiella differentialekvationer som bara kan lösas numeriskt, måste man förenkla modellerna. Den diskussionen hör dock inte hemma i matematiken, den är en del av respektive tillämpningsämne. Någonstans mitt emellan vetenskapen matematik och verkligheten har skolämnet matematik vuxit fram. Här behandlas problem som inte är matematiskt intressanta, eller har något med verkligheten att göra. Till exempel finns en övning i ett läromedel som går ut på att räkna ut hur lång en stav var innan den förkortades med 15%, om den efteråt är 70 cm lång. Jag tror inte att speciellt många gymnasister känner att detta är ett inspirerande problem från verkligheten. När tog du bort 15% från en stav sist, och efteråt beräknade hur lång den var från början? Jag förordar att vi så långt det är praktiskt möjligt gör oss av med skolämnet matematik. Istället bör vi undervisa i vetenskapen matematik för att utveckla eleverna och tillhandahålla intressant teori. Därutöver förordar jag ett tätare samarbete med tillämpningsämnena så att vi får relevanta diskussioner om matematiska modeller. 2 Matematikens storskaliga struktur Fysiken har sin kosmologi som beskriver universum på en så stor skala att man inte bekymrar sig om så små saker som den interna strukturen i 1

2 enskilda galaxer. Man är intresserad av universums storskaliga struktur. Jag har skämtsamt myntat begreppet matematikens storskaliga struktur som är tänkt att sätta fingret på de begrepp som är så generella att de i någon mening bildar en slags storskalig struktur på matematiken. Exempel är begreppen mängd, grupp, ring, kropp, metrik, norm, vektoralgebra och inre produkt. Jag tror att det är möjligt att förmedla dessa begrepp till elever på gymnasiet. Ett bra exempel är att man förmodligen får en bättre förståelse för Fourierserier, eller Fouriertransformen, om man tidigt kan identifiera att det i själva verkat bara handlar om ett basbyte i ett intreproduktrum. Ett anant exempel, som ligger närmare de traditionella gymnasiekurserna är likheterna mellan Z och polynom, samt deras respektive fraktionskroppar, och vidare till reella tal och potensserier. Tabellen nedan visar de begrepp som är gemensamma. Ring Kropp Heltal Rationella tal Reella tal Polynom Rationella uttryck Potensserier Addition Multiplikativ invers Decimalutveckling Additativ invers (Division) Algebraisk (Subtraktion) Förlänga Transendent Multiplikation Förkorta Faktor MGN Primtal/ Irreducibel Kvot Delare Rest SGD MGM Relativt prima Sätter man fingret på dessa likheter, ger man inte bara eleverna djupare insikt i matematiken, de får också lättare att förstå traditionella gymnasieproblem. Ett bra exempel på detta sammanfattas i tabellen nedan. Den belyser sambandet mellan polynom, polynomfunktioner och polynomekvationer. 2

3 Funktion Ekvation Polynom f(x) = ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx + c Hitta nollställen Lös ekvationen Faktorisera y x { x1 =... x 2 =... k(x x 1 )(x x 2 ) Kvadratiskt nollställe Dubbelrot Multiplicitet två Inget nollställe Lösning saknas Irreducibelt polynom Att lösa en andragradsekvation är en del av kursmålen på gymnasiet. Begreppen irreducibelt polynom och multiplicitet tas dock normalt inte upp. Kursmålen i sig är tillräckligt generella för att ta upp dessa begrepp, men författarna till de dominerande läromedlen har valt att inte ta upp dem, och då blir det så. I Sverige är det i praktiken läromedelsförfattarna som styr över undervisningens innehåll! Hur som helst öppnar dessa två begrepp dörren för att knyta ihop polynomteorin med motsvarande ekvationer och funktioner. Att införa två ganska enkla begrepp kan alltså ge en betydande vinst. 3 Högre matematik på gymnasiet konkretiserat Här följer några konkreta exempel på hur begrepp från högre matematik tas upp. Observera att detta är ett urval! 3.1 Talteori Vi inleder med talteori, och går då igenom bland annat begreppen grupp, ring och kropp, additativ och multiplikativ invers, primtal, delare och relativt prima. Även ändliga kroppar tas upp (Z p ). Vi är noga med att redogöra för axiom, definitioner och bevisar diverse satser. Vi belyser att det finns ringar där elementen inte har unik faktorisering, men om man tror på att detta gäller i Z, kan man förstå många satser i talteorin mer eller mindre intuitivt. Ett bra exempel är följande sats. Sats 1. Det finns inget rationellt tal, vars kvadrat är 3. När vi senare avhandlat logaritmer kan man i samma stil bevisa följande sats. Sats 2. a Z log 10 a Z eller log 10 a / Q I samband med talteorin tar vi upp delar av matematikens historia, med tyngdpunkt på Pythagoras och dennes talteori. Vi jämför definitioner 3

4 och axiom från klassisk tid med de moderna varianterna. Följande sats är ett bra exempel. Sats 3. Produkten av två jämna tal är jämn. Det finns flera syften med att ta upp detta stoff och göra det på detta sätt. På den pedagogiska sidan finns det poänger med att sätta ned foten i vetenskapen matematik. Det är kul att göra något nytt! Matematiskt lägger detta grunden för att ta upp diverse begrepp inom polynomteorin i senare kurser. Att införa komplexa tal underlättas om eleverna har denna grund. Det är ju helt enkelt (!) en algebra på par av tal. Vi behandlar också begreppen kardinalitet, uppräknelig och överuppräknelig. Cantors bevis för att de reella talen är överuppräkneliga är ett mycket bra exempel på ett fall där man på något vis tror på alla steg i beviset, men ändå inte på resultatet. Det är ofta så att man blir mer intresserad då man inte förstår, vilket (lite tillspetsat) motsäger den gängse uppfattningen att det är så viktigt att alla elever måste förstå för att ha intresset kvar. 3.2 Funktioner och polynom Funktionsbegreppet behandlas också mer generellt än traditionellt. Vi är också noga med symboler och notation, som f : A B och x x 2. Som nämnts ovan lägger vi stor vikt vid att ingjuta en djupare förståelse för sambanden mellan grafen till en polynomekvation, ekvationens rötter och polynomets faktorisering. Detta tas först upp för polynom av grad två (Matematik B) och sedan för polynom av högre grad (Matematik C). Texten Polynom av grad två innehåller en mycket stor övning som tränar nästan allt som har att göra med detta att göra. I korthet går den ut på att eleverna väljer två punkter som skall vara nollställen för en polynomfunktion av grad två. De får då f(x) = k(x x 1 )(x x 2 ). Genom att välja en punkt till och ett funktionsvärde vid denna punkt kan de bestämma k. De skall multiplicera faktorerna och får då ett polynom. De skall då söka rötterna till denna polynomekvation och skall då naturligtvis återfå x 1 och x 2. På detta sätt innehåller övningen (på flera ställen) en självkontroll. Vidare skall eleven bland annat kvadratkomplettera polynomet och rita funktionens graf. Allt detta görs utan miniräknare, vilket ger en utmärkt träning i algebra och bråkräkning. I Matematik C finns en liknande övning för polynom av grad tre. Nu kan det intressanta hända att polynomet kan ha irreducibla faktorer, eller faktorer med högre multiplicitet. Att utforska alla fall i detalj ger en djup förståelse för ur polynomteorin hänger ihop med grafen till motsvarande funktion. 4

5 3.3 Gränsvärden, derivata och integraler En bra definition av gränsvärdesbegreppet och kontinuitet tycker jag inte att vi har tid med. Även om ǫ δ-gymnastik kan vara en bra träning i att läsa avancerade texter och ha flera andra fördelar, tycker inte jag att det leder till något intressant på samma sätt som till exempel begreppet ring. Vi gör däremot en mer korrekt härledning av till exempel lim x 0 sin x x än man normalt gör. (I konventionella läromedel görs detta genom att experimentera med en miniräknare!) Även kedjeregeln och produktregeln härleds. Riemann-integralen definieras, men vi gör ingen större poäng med supremum över olika indelningar av ett intervall. Även här tycker jag inte att det är värt tiden det tar. Däremot tar vi upp exempel på icke-riemannintegrerbara funktioner, eller områden där man inte kan integrera över med denna definition. Vi tar inte upp någon mått-teori. 3.4 Fraktaler och dimensionsbegreppet Vi definierar Euklidisk, topologisk och fraktal dimension varefter några klassiska fraktaler avhandlas. Vi genomför en trevlig liten övning där eleverna ritar en kurva på ett papper. På pappret ritas sedan ett nät. Antalet rutor som kurvan går genom räknas, varefter nätet förfinas. Detta upprepas, och man kan rita antalet rutor som funktion av rutornas diameter. Ur denna graf kan man sedan beräkna (genom kurvanpassning i ett kalkylprogram, denna övning genomförs i första årskursen) nät-dimensionen för kurvan. (Vill man ha box-dimensionen skall man täcka över kurvan med kvadrater, men det är svårt i praktiken att ta infimum över alla möjliga övertäckningar.) Detta kommer att ge dimensioner mellan 1 och 2. Det är förvånansvärt tydligt att en starkt bruten kurva ger en högre dimension. 3.5 Normer, metrik och geometri Begreppen metrik och norm återkommer lite då och då i olika kurser. Vi definierar dessa noga och exemplifierar i R 2 med olika metriker. Speciellt ritas cirklar (vars definition då är en punktmängd där punkterna har samma avstånd från en viss punkt) i olika metriker. När integralbegreppet väl är infört inför vi även norm och metrik i funktionsrum. Även skalärprodukten av två funktioner tas upp, och vi tar upp Fourierserier ytligt. Geometri behandlas både på ett klassiskt sätt (Euklidisk geometri) och med moderna definitioner (med en punkt som ett ordnat par av tal). Vi är noga med att inte blanda resultat från olika axiomatiska system. 5

6 Till exempel är det högst icke-trivialt att uttala sig om vad summan av vinklarna i en triangel är i koordinatgeometrin. Det är intressant att notera att det finns olika sätt att göra geometri. Att definiera en punkt som ett ordnat par av tal gör begreppet koordinatsystem redundant. Med denna definition finns inte punkterna någonstans. I differentialgeometrin utgår man istället från att det finns en mängd och en uppsättning kontinuerliga funktioner från denna till R n. Nu finns punkterna, men det krävs ett koordinatsystem för att indexera dem. Har man en skalärprodukt kan man definiera vinklar med denna. Detta skiljer sig från en vinkel som båglängden av en cirkelsektor med radie ett mellan två linjer. Att diskutera detta sätter fingret på matematikens struktur. Man måste verkligen tänka sig för då man skall bevisa att produkten av riktningskoefficienterna för två vinkelräta linjer blir 1! Det är svårt, men spännande, att hitta en lagom nivå för gymnasiet. 3.6 Ur finalen När komplexa tal väl avhandlats visar vi att R[x]/(x 2 +1) är isomorf med C. Detta tycker jag själv är en av höjdpunkterna. Här kommer nästan alla gymnasiets begrepp på samma gång. Dels jämförs detta naturligtvis med fallet Z/(p) = Z p från årskurs ett, dels rymmer det mycket av polynom teorin från årskurs två, och så ramlar de (då ganska nyligen introducerade) komplexa talen ut som genom ett trollslag. 4 Till sist Det finns mycket mer att säga om den konkreta undervisningen, och detta dokument måste förstås i ett sammanhang. Helhetsbilden utgörs av de läromedel som skrivits, de laborationer som eleverna gör och, framför allt, av det budskap som framförs muntligt varje lektion. Syftet med undervisningen är bland annat att förmedla förståelse för matematiska begrepp till eleverna och att förbereda dem för högre studier. Det viktigaste är dock att väcka nyfikenhet och fascination för matematiken. Det här med matematik verkar kul, det vill jag lära mig mer om! 6