Bedömning och undervisning. Madeleine Löwing

Transkript

1 Bedömning och undervisning Madeleine Löwing

2 Föreläsningen behandlar tre olika, men sammanhängande, aspekter av bedömning och undervisning Den första gäller hur du kan studera matema3kinnehållet ur e6 undervisningsperspek3v genom a6 göra det vi kallar en didak3sk ämnesanalys. Den andra behandlar hur denna analys sedan utny6jas vid planering av undervisningen och Den tredje behandlar hur du med denna analys som grund kan bedöma kvalitet i elevernas matema3kkunnande.

3 Formativ bedömning eller bedömning för lärande Forma3v bedömning handlar om a6 bedöma elevernas kunskaper och är e6 bra sä6 a6 utveckla matema3kundervisning. En förutsä6ning för a6 du ska kunna bedöma andra individers matema3kkunskaper är a6 du själv har goda didak3ska ämneskunskaper inom matema3kens olika områden. Med hjälp av en karta, alltså dina didak3ska ämneskunskaper, kan du kommunicera vad eleven ska lära sig och vilka kvaliteter som krävs i elevens kunnande. Den mentala kartan utgör alltså e6 stöd för dig a6 planera din undervisning och för a6 ge eleven adekvat hjälp.

4 Matematikdidaktik - en modell Ämnes- Kunskaper Didak&ska ämneskunskaper IUP Lek3ons planering Bedömning Undervisningsprocessen Diagnoser Konkre3sering Pedagogisk planering Läsårsplanering Prov Labora3oner

5 Det krävs ämneskunskap för att bedöma!

6 Strukturerad pedagogisk planering Den goda lärare Låter eleverna ha inflytande över vad som händer i klassrummet har sam3digt en klar struktur i planeringen och styr verksamheten med fast men varsam hand mot de mål som finns i planeringen. Det gäller a6 kombinerar en målmedveten undervisning med stor flexibilitet i såväl planering som genomförande samt a6 reflektera över den egna undervisningen i rela3on 3ll elevernas inlärning och utveckling. För a6 möjliggöra god undervisning är det några faktorer som är betydelsefulla. Det gäller a6 din tolkning av matema3kinnehållet i kursplanen, planering, undervisning och bedömning är i linje med varandra. De6a brukar kallas alignment och symet med a6 göra en strukturerad pedagogisk planering är a6 synliggöra denna linje.

7 Förkunskaper If I had to reduce all of educa3onal psychology to just one principle, I would say this: The most important factor influencing learning is what the learner already knows. Ascertain this and teach him accordingly. (Ausubel, 1968) Löwing 2013

8 Didaktisk ämnesanalys Med hjälp av en didak3sk ämnesanalys av olika matema3kinnehåll kan vi rita delar av kartan i matema3klandskapet och därigenom synliggöra förkunskapsstrukturer. Denna typ av analys av e6 innehåll synliggör vad eleverna ska lära sig, vad de ska urskilja (få syn på) och vad du kan förväntas hjälpa dem med.

9 Didaktisk ämnesanalys Utgå från kursplanens centrala innehåll, Lgr 11 Tolka innehållet och formulera operativa mål Bryt ner dessa mål i delmål. Gör kriterieuppgifter och analysera dem. Hur hänger de samman? Vilka förkunskaper krävs för att lösa dessa uppgifter? På vilket sätt ska man behärska innehållet? Hur vet man att ett mål är uppnått? Konstruera nya kriterieuppgifter. Osv. Löwing januari 2013

10 Mål för årskurs 9: - Geometriska objekt och dess inbördes rela3oner. Geometriska egenskaper hos dessa objekt Mål för årskurs 6: - Grundläggande geometriska objekt, däribland polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock samt deras inbördes rela3oner. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt. Mål för årskurs 3 - Grundläggande geometriska objekt, däribland punkter, linjer, sträckor, fyrhörningar, trianglar, cirklar, klot, koner, cylindrar och rätblock samt deras inbördes rela3oner. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt. Förskolan - Utvecklar sin förståelse för rum, form, läge, riktning och grundläggande egenskaper hos mängder, antal, ordning och talbegrepp samt för mätning, 3d och förändring

11 Mål för årskurs 3 Grundläggande geometriska objekt, däribland punkter, linjer, sträckor, fyrhörningar, trianglar, klot, koner, cylindrar och rätblock samt deras inbördes rela3oner. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt. Geometriska objekt Fyrhörning Triangel trehörning Parallelltrapets Parallellogram Romb Rektangel Kvadrat Egenskaper beskrivs med begrepp Sida, hörn Vinkel, rät, trubbig, spetsig Parallell Kongruent Symmetri Diagonal Regelbunden, Oregelbunden Omkrets

12 För att eleven ska ha möjlighet att urskilja egenskaper bör man gå från Bigurer med få egenskaper till Bigurer med många olika egenskaper Löwing & Kilborn 2010

13 Parallelltrapetset Algebra: Uttryck, variabel Distributiva lagen, kommutativa lagen ex. 3a + 4a = a(3 + 4) Beräkningar Begrepp som eleven bör behärska: Parallelltrapets, Parallell, Sida, Höjd, Bas, Normal, Vinkelrät, Diagonal, Trianglar, Area, och?? Tänk igenom: Vilka svårigheter kan uppstå? Var brukar eleverna fastna?

14 Att beräkna arean på en parallellogram Begrepp som du bör behärska är parallellogram, rektangel, sida, höjd, normal, vinkelrät, triangel, area, bas, vinkelrät, diagonal, parallell och.. I nödvändiga förkunskaper ingår att du bör ha förstått area på ett sådant sätt att du har en utvecklingsbar tankemodell. Det är en hjälp om du kan tänka på area som rutor, cm 2, vilka täcker ytan. Vidare bör du tidigt ha förstått att area kan konserveras (Piaget), alltså flyttas runt utan att den ändras. Parallellogrammen till vänster kan inte direkt delas upp i kvadrater. Du kan emellertid flytta den högra triangeln och placera den till vänster som syns i figuren till höger. Där syns att en parallellogram med samma bas och samma höjd som en given rektangel har lika stor area som rektangeln.

15 Förståelse av geometriska begrepp kan ligga på olika kognitiva nivåer makarna Van Hiele synliggjorde de6a i sin forskning. När det gäller parallelltrapetset så kan elever i årskurserna 1 3 känna igen och namnge denna geometriska figur. De bör även kunna resonera kring den som en fyrhörning med egenskaper som två parallella sidor, diagonaler, hörn och vinklar samt diskutera likheter och skillnader i förhållande 3ll andra fyrhörningar. På nästa nivå kan eleverna dra höjden, som är en normal 3ll basen samt diskutera omkrets och area i specifika fall. Senare kan eleverna tänka kring parallelltrapetser i generella termer på e6 sä6 som visats ovan. UppgiMer som eleverna ska lösa kan således konstrueras på olika sä6 och lösas på olika kogni3va nivåer.

16 Begrepp och uppfattning (förståelse) Under- visnings process Begrepp nivå A+1 Uppfa6ning nivå A+1, 1 Uppfa6ning nivå A+1, 2 F F F F Uppfa6ning nivå A+1, 3 Begrepp nivå A Uppfa6ning nivå A, 1 Uppfa6ning nivå A, 2 Uppfa6ning nivå A, 3

17 Ett första steg mot en didaktisk ämnesteori Så här beskrivs en didak3sk ämnesteori av Johansson och Kilborn (1986): Det är vår den grundläggande orsaken All dessa skillnader i val av innehåll ligger i det faktum a@ vi saknar en didakask ämnesteori, en ämnesteori för skolämnet matemaak. Denna teori går inte a@ härleda ur den akademiska disciplinen matemaak. De instrument man på den nivån har utvecklat är mycket trubbiga och okänsliga hjälpmedel för vardagsmänniskan när hon skall försöka greppa sin omvärld. En didakask ämnesteori för skolämnet matemaak går heller inte a@ härleda från erfarenheter av några begränsade fenomen, som man ofa arbetar med inom den pedagogiska och inlärningspsykologiska forskningen. Istället behöver vi en teori som innehåller omvärldsrelaterade kunskapsstrukturer och som samadigt är väl anpassad All kunskaper om hur lärare och elever uppfa@ar de@a innehåll. Institution för pedagogik och didaktik Madeleine Löwing

18 Ämneskunskaper i relation till individ och situation. SyMet med en teori är a6 den skall bidra 3ll a6 förklara och systema3sera kunskap inom e6 speciellt område. Vad en matema3kdidak3sk teori bör förklara och systema3sera är hur elever på olika sä6 kan lära sig matema3k i olika åldrar och utgående från individuella förutsä6ningar, förmåga och behov. EMersom elever i olika åldrar såväl lär som uppfa6ar omvärlden på olika sä6, måste det som lärs utvecklas stegvis från förenklade preliminära uppfa6ningar 3ll allt mer slutgil3ga. Hur dessa slutgil3ga uppfa6ningar ser ut är beroende på elevens individuella behov och förmåga. Institution för pedagogik och didaktik Madeleine Löwing

19 Ball och Bass beskriver pedagogical content knowledge, PCK så här: Pedagogical content knowledge is a special form of knowledge that bundles knowledge with knowledge of learners, learning and pedagogy. These bundles offer a crucial recourse for teaching mathema3cs, for they can help the teacher an3cipate what students have trouble learning, and have ready alterna3ve models or explana3ons to mediate those difficul3es. A second problem concerns how subject ma6er must be understood in order to be usable in teaching. We need to probe not just what teachers need to know, but to learn also how that knowledge need to be held and used in course of teaching Institution för pedagogik och didaktik Madeleine Löwing

20 Läraren, innehållet och eleven Goda ämneskunskaper är en för lärarna skall kunna ta utgångspunkt i e@ tänkt innehåll. Skall All exempel en uppfa@ning om e@ specifikt innehåll urskiljas eller fokuseras hos eleven, måste läraren själv ha Allräckliga kunskaper om ämnet. Först då kan han eller hon veta vad som skall urskiljas, vad som är perifert, hur olika principer inom ämnet är relaterade All varandra och hur dessa grundläggande principer kan presenteras. Genom en djupare ämneskunskap kan läraren förklara och skapa analogier när e@ specifikt innehåll diskuteras och skall förmedlas. Men varken gedigna ämneskunskaper i sig eller väl utvecklad metodisk förmåga är Allräckliga. Det är hur dessa två aspekter av undervisning förenas som är central, vilket denna studie visar. (Alexandersson)

21 Lärare visar en hög social kompetens, alla elever uppmärksammas Lärare fokuserar oma på a6 alla elever ska bli sedda och få komma 3ll tals och våga prata, istället för på vad eleverna fak3skt säger och vilken matema3sk förståelse som kommer 3ll u6ryck i redovisningarna. En konsekvens av de6a blir a6 felak3ga redovisningar och lösningar inte uppmärksammas och tas upp 3ll diskussion och korrigeras, utan får stå kvar oemotsagda på tavlan, något som i sin tur skapar förvirring bland eleverna. De kan ju inte all3d avgöra om det kan vara så kanske är det e6 annat sä6 a6 tänka?

22 Framgångsfaktorer Läraren har tydliga mål för lek3onen : Månghörningar och dess egenskaper Lek3onen är e6 led i en välplanerad sekvens av geometrilek3oner Eleverna arbetar 3llsammans, pratar om begrepp och illustrerar dem Läraren går runt och stödjer deras arbete genom a6 ställa utmanande frågor samt korrigerar om något blir fel Läraren samlar klassen för en gemensam sammanfa6ning Eleverna arbetar individuellt vilket befäster kunskaperna Bild L5.4 Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

23 Vanligaste målen i projektansökningarna Bort från läromedlens styrning Mer varia3on i undervisningen Arbeta med förmågor Bygga upp en Matema3kverkstad Madeleine Löwing,

24 Formativ bedömning eller bedömning för lärande Bygger enligt Hogden och Wiliam (2006) på på fem principer. Undervisningen måste utgå från var eleverna är Eleverna måste känna 3ll avsikten (mål och syme) med undervisningen Eleverna ska vara ak3va i inlärningsprocessen Eleverna måste få diskutera (utrycka) sina idéer Feedback 3ll eleverna är en förutsä6ning för förbä6ring.

25 Ett formativt arbetssätt Läraren lyssnar på elevernas svar och frågor i samband med genomgångar, labora3oner m.m. Läraren måste med frågor och kommentarer skapa konflikter i felak3ga resonemang som elever bygger upp och på så sä6 synliggörande matema3ken. Om man inte tar upp och diskuterar felak3ga lösningar eller icke utvecklingsbara strategier, och förklarar varför de inte fungerar eller är utvecklingsbara, uteblir det forma3va arbetssä6 lärare oma säger sig vilja arbeta med

26 Feedback and Feedforward En av de vik3gaste aspekterna för forma3v bedömning är a6 ge feedback 3ll eleverna utgående från uppställda mål och i rela3on 3ll deras presta3oner. Rela3onen mellan feedback och målrelaterade utmaningar är komplex. Feedbacken ska vara relaterad 3ll kri3ska aspekter av de innehållsliga målen Det är främst uppgimsrelaterad feedback som visat sig vara avgörande för inre mo3va3on. Feedback på uppgimsnivå är också mest effek3v om den inte är för specifik utan ger kunskap som kan användas utöver den specifika uppgimen. Feedback på personlig nivå, värderande feedback 3ll eleven alltså beröm på personnivå, utan koppling 3ll själva uppgimen eller innehållet, är den typ av feedback som har minst effekt på lärandet. (Hake & Timperley, 2007)

27 Vilken lärarkunskap krävs? Om de6a skriver Ma (1999) These principles make substan3al demands on teachers subject knowledge not only to make sense of what pupils say but also to be able to determine what would be the most appropriate next steps for the pupil. This is not the abstract knowledge gained from advanced mathema3cs, but rather a profound understanding of fundamental mathema3cs.

28 Mål och fokus.. Ex från innehåll-och delningsdivision. Eleverna skriver egna utsagor, redovisar på tavlan: 4/20 = 5 (20 delat på 4) 24/8 = 3 (24 delas på 3 blir 8) 16/3 = 5 27 kr/ 9 kr (27 kr delas på 3 barn = 9 kr) Demonstra3on: 15/3 2. Redovisa färdiga u6ryck i fyrfältsblad. Alla grupper utom en gör delningsdivision. Innehållsexemplet ändras 3ll delning. Elevfråga: Varför får vi så lä6a tal, kan vi inte få lite större? 1

29 1/2 = 50% = 0,5 Att jämföra ½, 50% och 0,5 är olyckligt, Talen 0,5 och ½ uppfattas som tal. Talet ½ kan också tolkas som en andel, nämligen 1 av 2 eller 50 av 100 dvs. 50/ % är däremot inte ett tal utan enbart en andel och ger ett tal först när man tar 50% av något. 50% av en hel är lika med ½ 50% av 4 är lika med 2.

30 Variation men. Vad är det som ska varieras? Arbetsform och arbetssä6: naturligt och gynnsamt a6 variera arbetssä6 i undervisningen och därmed ge eleven möjlighet a6 förstå och befästa kunskapen samt formulera, reflektera, argumentera och kommunicera Undervisningens innehåll: a6 variera aspekter av innehållet i undervisningen, a6 variera graden av konkre3sering, så a6 den anpassas 3ll olika individuella behov a6 variera representa3onsform Frågor 3ll eleverna i avsikt: a6 individualisera genom a6 med flexibilitet följa upp nya idéer från eleverna, utmana olika elever eller med hjälp av frågor synliggöra missuppfa6ningar och 3llrä6alägga dessa. Det är alltså inte varia3onen i sig som är det primära det är symet med varia3on. Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

31 Variation av vad? Utvecklingsbart och generaliserbart. Men Materialet begränsar möjligheten 3ll varia3on av e6 antal aspekter av bråkbegreppet. Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

32 Förmåga? Redovisning/uppföljning? Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

33 Formativ bedömning och variation i tankeformer. UppgiB (Åk 7): Av talen 6, 9 och 15 kan man bilda sex olika bråk, vilket är a) minst b) störst En elevgrupp redovisar vid tavlan och beskriver a6 de hade tänkt via tal i decimalform. En annan elev: 15 är minsta delen och ju mindre delar där nere (nämnaren), desto mindre är bråket. Alltså femtondelar. Har man då få sådana bitar (täljaren) så måste det vara minst. Och då är sex femtondelar minst emersom det är färre än nio femtondelar. Ju större delar (nämnaren) och ju fler av dessa man tar desto större blir talet. Alltså femton sjä6edelar är störst. Läraren säger så kan man också tänka och går vidare. Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

34 Hur kan undervisningen utvecklas? Läraren utvecklar och fördjupar sina didaktiska ämneskunskaper Undervisningsprocessens delar förtydligas Målbeskrivning som är operativa Innehållslig progression årskurs F- 9 Materialets syfte: Konkretisering, Laboration eller Färdighetsträning Individualisering Bedömning Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

35 Klassrumsstudier Insamling och analys av material utifrån: Ramfaktormodellen Didaktisk ämnesteori Teori för: utvärdering bedömning klassrumsstudier Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

36 Ramfaktormodellen Politiska mål Syfte och mål enligt Styrdokumenten Pedagogisk planering Givna (fasta) Ramar Av läraren valda ramar Undervisningsprocessen Undervisningens resultat

37 Lektion i årskurs 8 Uppgiften: Skriv i 7/4 som procent. L Kan du skriva den som blandad form? E Ääh, en hel och tre fjärdedelar. L Ja, en hel och tre fjärdedelar. Kan du skriva den som decimal form nu? E En komma tre. L Tre fjärdedelar hur mycket blir det? E Ääh. L Hm Vad ser du här? E Att hundra delat på fem är 20 gånger. L Om du skall göra samma sak här? E Hundra delat på fyra? L Hur mycket är det? E Ääh tr.. L Hälften av hundra hur mycket är det? E 50. L Och hälften av 50? E Ja vänta nu, öh. vad heter det 25. L Ja och den gånger den?

38 E --- L Nej, kom igen nu! E Ja men L Det är cirka tjugofemöringar och tjugofem vad som helst. 25 plus 25 hur mycket är det? E 25 plus 25? L Hm. E 50. L.och 25? E Va? L Plus 25. E Jaha, är 75 L Ja alltså det här blir lika med? E 75. L 75 Tänk så här först, vi har en hel. sen 75,.,och om du skriver den i procent, hur mycket blir det? E 175 L Har du fattat? E Ja.

39 Den sista frågan är retorisk och kan enligt skolans lektionsnormer bara besvaras med ja. Fråga är emellertid vad eleven hade fattat: Hade hon till exempel förstått att eftersom 1/4 = 25% så kan 3/4 skrivas som 3 25%? Hade hon som ett alternativ förstått att 3/4 = 0,75, vilket enligt bokens strategi kan skrivas som 75%?

40 Ett uppgift och dess lösning En cirkel C är given. A är en kvadrat som är omskriven cirkeln C och B är en kvadrat som är inskriven i cirkeln C: Hur stor är den större kvadraten jämfört med den mindre? Den större kvadratens sida är densamma som cirkelns diameter, d. Denna har alltså arean d 2. För att beräkna den mindre kvadratens area, beräknar vi först dess sida. Den mindre kvadraten har diagonal gemensam med cirkeln. Om dess sida är s ger det, med Pythagoras sats, s =,vilket i sin tur ger kvadraten arean Den större kvadraten är alltså dubbels så stor som den mindre.

41 . Alternativ lösning Figur 2 Eleven vrider den inre kvadraten i figur 1 så a6 hon får figur 2. I figuren bildas fyra likbenta och rätvinkliga trianglar med den inre kvadratens sida som hypotenusa och halva den y6re kvadratens sida som katetrar. HälMen av den större kvadratens sida utgörs av halva diametern för cirkeln. Det är. Pytagoras sats ger då =, vilket direkt innebär a6 den mindre kvadratens area är hälmen så stor som den störres.

42 Ytterligare en lösning Figur 3 Eleven utgår från den andra figuren ovan och ritar in två symmetrilinjer. Alternativt ges eleverna denna figur att utgå ifrån. Nu är de fyra yttre trianglarna spegelbilden av respektive inre trianglar i den inre kvadratens sidor. Dessa är alltså kongruenta och har därmed samma area. Den större kvadraten består av åtta sådana trianglar och den mindre av fyra, varför den större kvadraten är dubbelt så stor som den mindre.

43 En annan uppgift och dess lösning Du har en cylinder. Hur mycket större blir volymen om diametern och höjden blir dubbelt så långa? Många elever tycker att det verkar svårt att lösa denna uppgift när de inte vet hur stor radien eller höjden är. Du ger dem kanske rådet att anta några värden. Antag att radien är 10 cm och höjden 10 cm. Cylinderns volm beräknas med hjälp av formeln V =. Cylinder 1 har radien 10 cm och höjden 10 cm. Cylinder 2 har radien 20 cm och höjden 20 cm. Förhållandet mellan de båda volymerna är

44 Två alternativa lösningar Du har en cylinder. Hur mycket större blir volymen om diametern och höjden blir dubbelt så långa? Elever som kommit lite längre i si6 matema3ska tänkande kan använda formler och resonera u3från dessa. 8 Några elever kanske använder förhållandet mellan längdskala och volymskala och ser då direkt att svaret blir 8 gånger.

45 En välgjord, strukturerad pedagogisk planering fungerar som e6 stöd för dig och dina elever i det dagliga arbetet och möjliggör en forma3v undervisningsprocess. När du planerar din undervisning bör du ha e6 systemtänkande. Utgå från det matema3kinnehåll som ska behandlas, välj sedan uppgimer, arbetssä6, etcetera så a6 elevens lärande främjas. Tänk själv igenom vad du vill a6 eleverna ska förstå. Gå däremer igenom mål och kunskapskrav 3llsammans med eleverna

46 Frågor för dig att besvara vid planering inför en lektion eller en svit av lektioner Vad ska du undervisa om nästa lektion/område? Vilka mål har du för elevens lärande? Vad behöver eleven ha förstått för att ha möjlighet att förstå det du avser? Hur vet du om eleven har dessa kunskaper? Vilken/Vilka förklaringsmodell/er kommer du att använda för att beskriva innehåller (begreppet, modellen, metoden)? Vilka uppgifter avser du att använda i undervisningen? (kvalitet, sekvensering etc.) Hur kommer du att individualisera undervisningen? Vilket arbetssätt är lämpligt för att behandla det aktuella innehållet? Hur vet du att eleverna efter lektionen/lektionerna har nått målet?

47 Arbeta språkutvecklande Det innebär a6 du hjälper eleven a6 använda en korrekt terminologi och a6 du på e6 adekvat sä6 talar om olika begrepp, egenskaper eller modeller inom matema3ken. Du ska korrigera och ställa frågor så a6 du kan vara säker på a6 eleven förstå6 begreppen, sambanden etcetera på e6 korrekt sä6 och a6 hon u6rycker sig tydligt. Lärande samtal och reflekterande diskussioner med eleverna som effek3va och dynamiska klassrumsak3viteter som synliggör lärandet. Hajer, & Meestringa, Theun, 2010 Wiliam, 2007 Gibbons, 2006

48 Vad står det i kursplanen? Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, föra och följa matematiska resonemang, och använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

49 Att bedöma förmågor Möjligheterna att bedöma dessa förmågor är helt beroende av det centrala innehållet. Eleverna kan inte värdera strategier de inte har, eller analysera begrepp och samband som de inte känner till. De kan inte heller använda metoder de inte behärskar, resonera om dem eller uttrycka dem. Att behärska det som beskrivs i centralt innehåll är en förutsättning för att eleven ska kunna uttrycka, utveckla eller öva sina förmågor. Kunskaperna som testas med Diamant skapar förutsättningar för eleverna att utveckla sina förmågor.

50 Förmågorna är inte heller statiska utan måste hela tiden utvecklas parallellt med att innehållet i det matematiska kunnandet utvecklas. Eleven behöver således successivt tillägna sig ett mer utvecklat språk, nya uttrycksformer och förmåga att föra logiska resonemang i nya situationer och inom nya områden.

51 Madeleine Löwing