Wienerfiltrering. Martin Enqvist och Markus Gerdin. Reglerteknik och kommunikationssystem Linköpings universitet. Wienerfiltrering
|
|
- Ulrika Bengtsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 1 Martin Enqvist och Markus Gerdin Reglerteknik och kommunikationssystem Linköpings universitet
2 Repetition, spektralfaktorisering 2 Vi har en stationär stokastisk process y i, <i<, med R y (i) = y k,y k i = Ey k yk i (1) S y (z) = R y (i)z i (2) i= Den kanoniska spektralfaktoriseringen ges, om S y (e iw ) > 0, av S y (z) =L(z)r e L (z ) (3) där L(z) minfas ( inverterbar), L( ) =1och r e > 0. Innovationerna e i som ges av e(z) =L 1 (z)y(z) är vitt brus och innehåller samma information som y i.
3 Glättning i kontinuerlig tid 3 Vi vill skatta s(t) från y(t) med hjälp av (7.1.1) ŝ(t) = w(t, τ)y(τ)dτ (4) så att kriteriet (7.1.3) minimeras. Eftersom processerna antas stationära blir (7.1.6) E s(t) ŝ(t) 2 (5) w(t, τ) =k(t τ) (6)
4 Glättning i kontinuerlig tid, fortsättning 4 Ortogonalitetsvillkoret ger att (7.1.4) (s(t) ŝ(t)) y(σ) s(t),y(σ) = ŝ(t),y(σ) R sy (t σ) = k(t τ)r y (τ σ)dτ Fouriertransformering av denna ekvation (med σ =0) ger (7.1.9) K(f) = S sy(f) S y (f) (7)
5 Glättning i kontinuerlig tid, specialfall 5 För specialfallet (7.1.11) y(t) =s(t)+v(t) (8) (s(t) och v(t) oberoende) fås K(f) = S sy(f) S y (f) = S s (f) S s (f)+s v (f) (9) Betrakta fallet S v (f) N. Vi har då att K(f) S s(f) N, S s(f) N 0 (10) och att K(f) 1, S s(f) N (11)
6 Wiener-Hopf, kontinuerlig tid 6 Betrakta skattningsproblemet (7.2.1) ŝ(t t) = 0 k(τ)y(t τ)dτ (12) Ortogonalitetsvillkoret ger, för t σ, att (7.2.2) (s(t) ŝ(t t)) y(σ) s(t),y(σ) = ŝ(t t),y(σ) R sy (t σ) = 0 k(τ)r y (t τ σ)dτ Detta är en Wiener-Hopf-ekvation i kontinuerlig tid.
7 Wiener-Hopf, fortsättning 7 Wiener-Hopf-ekvationen kan även skrivas (för t 0) R sy (t) = 0 k(τ)r y (t τ)dτ k m =0,m<0 (13) För att lösa denna ekvation definierar vi g(t) =R sy (t) 0 k(τ)r y (t τ) (14) som är definierad för alla t och strikt antikausal.
8 Wiener-Hopf, fortsättning 8 L-transformering ger G(s) RL ( s ) }{{} strikt antikausal G(s) =S sy (s) K(s)S y (s) (15) G(s) =S sy (s) K(s)L(s)RL ( s ) (16) K(s) = = S sy(s) r e L ( s ) K(s)L(s) }{{} kausal { } Ssy (s) r e L ( s ) + 1 L(s) (17) Vi måste kräva att S y (s) är strikt positiv på imaginära axeln för att kunna använda kanonisk spektralfaktorisering. (18)
9 Diskret tid 9 Diskret tid
10 Glättning 10 Vi vill skatta s i från y i med hjälp av (7.3.1) ŝ i = m= w im y m (19) så att kriteriet minimeras. Eftersom processerna antas stationära blir (7.1.6) E s i ŝ i 2 (20) w im = k i m (21)
11 Glättning, fortsättning 11 Ortogonalitetsvillkoret ger att (7.3.2) (s i ŝ i ) y l s i,y l = ŝ i,y l R sy (i l) = k(i m)r y (m l)dτ m= Fouriertransformering av denna ekvation (med l =0) ger (7.3.6) K(e jω )= S sy(e jw ) S y (e jw ) (22) Detta är sats
12 Wiener-Hopf 12 Betrakta skattningsproblemet (7.3.12) ŝ i i = m=0 k m y i m (23) Ortogonalitetsvillkoret ger, för i l, att (s i ŝ i i ) y l s i,y l = ŝ i i,y l R sy (i l) = k m R y (i m l) m=0 Detta är den diskreta Wiener-Hopf-ekvationen
13 Wiener-Hopf, fortsättning 13 Wiener-Hopf-ekvationen kan även skrivas (för i 0) (7.3.14) R sy (i) = m= k m R y (i m) k m =0,m<0 (24) För att lösa denna ekvation definierar vi (7.4.1) g i = R sy (i) m=0 k m R y (i m) (25) som är definierad för alla i och strikt antikausal.
14 Wiener-Hopf, fortsättning 14 Z-transformering ger G(z) r e L (z ) }{{} strikt antikausal G(z) =S sy (z) K(z)S y (z) (26) G(z) =S sy (z) K(z)L(z)r e L (z ) (27) K(z) = = S sy(z) r e L (z ) K(z)L(z) }{{} kausal { } Ssy (z) r e L (z ) + 1 L(z) (28) Detta är Wienerfiltret (sats 7.4.1). Vi måste kräva att S y (z) är strikt positiv på enhetscirkeln för att kunna använda kanonisk spektralfaktorisering. (29)
15 Kausala delen 15 Kausala delen av en rationell funktion F (z) kan bestämmas med hjälp av partialbråksuppdelning. (7.5.1), (7.5.2) F (z) =r 0 + m i=0 {F (z)} + = {r 0 } + + l i k=1 m i=0 r ik (z p i ) k (30) l i { rik k=1 (z p i ) k } + (31)
16 Kausala delen, fortsättning 16 Kausala delen av partialbråken bestäms sedan av några enkla regler (sid ): {c} + = c för konstanter c. { } 1 z + a + = 1 z + a, a < 1 1 a, a > 1 (32) { 1 (z + a) i } + = 1 (z + a) i, a < 1 1 a i, a > 1 (33)
17 Prediktion 17 Vid prediktion, s i = y i+λ, har vi (enligt lemma 6.3.1) S sy = z λ S y (z) vilket ger (7.6.2) K(z) = { Ssy (z) } r e L (z ) + 1 L(z) = För enstegsprediktion (λ =1) fås (7.6.6) { z λ } S y (z) r e L (z ) + 1 L(z) = { z λ L(z) } + 1 L(z) (34) ( 1 K(z) ={zl(z)} + L(z) = z(l(z) 1) 1 L(z) = z 1 1 ) L(z) (35)
18 Additivt vitt brus 18 För specialfallet med additivt vitt brus (7.6.11), y i = s i + v i (36) S v (z) =r (37) S vs (z) =0 (38) har vi och S sy (z) =S s (z) (39) S y (z) =S s (z)+s v (z) =S s (z)+r (40)
19 Additivt vitt brus, fortsättning 19 Vi har alltså (7.6.14)-(7.6.17) { } Ssy (z) 1 K(z) = r e L (z ) + L(z) { } Sy (z) r 1 = r e L (z ) + L(z) { } r 1 = L(z) r e L (z ) + L(z) ( { } 1 r = {L(z)} + L (z ) =1 r r e 1 L(z) + r e ) 1 L(z)
20 Kausal filtrering med innovationer 20 Betrakta skattningsproblemet (7.7.1), kausal filtrering från innovationer ŝ i i = i k= g i k e k (41) Ortogonalitetsvillkoret ger att (s i ŝ i i ) e l s i,e l = ŝ i i,e l R se (i l) = i k= g i k r e δ kl = g i l r e Denna Wiener-Hopf-ekvation är trivial.
21 med innovationer 21 Transformera sekvensen g i : G(z) = g i z i = i=0 i=0 R se (i) r e z i = { } Sse (z) r e + = { Ssy (z) } L (z )r e + (42) Lemma används i sista likheten. Eftersom e(z) = 1 L(z) y(z) fås nu slutligen K(z) = { Ssy (z) } r e L (z ) + 1 L(z) (43) Detta är återigenwienerfiltret (sats 7.4.1).
22 med innovationer, forts. 22 Med hjälp av innovationer kan man härleda formlerna för prediktion och additivt vitt brus på ett alternativt (enklare?) sätt. Man kan fråga sig varför man lika gärna kan använda innovationerna som y i när man skattar s i. Detta beror på att e(z) =L 1 (z)y(z) där L 1 (z) är kausalt inverterbar. Antag t.ex. att y i är vitt brus och att vi använder det (korkade) vitningsfiltret L 1 (z) =z 1. Eftersom den senaste mätningen y i då inte kommer med, så får vi uppenbarligen en sämre skattning!
23 Vektorfallet 23 För vektorvärda processer används normalt Kalman-filtret. Flera av formlerna för Wiener-filtret kan dock skrivas för vektorvärda processer. Glättning: K(z) =S sy (z)s 1 y (z) (44) : K(z) = { S sy L (z ) } + R 1 e L 1 (z) (45) där S(z) =L(z)R e L (z ) (46) I boken finns även formler för additivt vitt brus med prediktion.
24 Rekursiva Wienerfilter 24 Rekursiva WF = Tidsinvarianta KF Tillståndsmodell för processen {y i } x i+1 = Fx i + Gu i, i 0 (47a) y i = Hx i + v i (47b) där {u i } och {v i } är stationära stokastiska processer med x 0 u i, v i x 0 u j v j 1 Π 0 ( 0 ) 0 = Q S 0 δ R ij 0 S (48)
25 Kovariansfunktioner 25 (Lemma 8.1.1) Betrakta tillståndsmodellen (8.1.1)-(8.1.2) och låt Π i = x i,x i. Då gäller det att där N i F Π i H + GS. Π i+1 = F Π i F + GQG, i 0 (49a) { F R x (i, j) x i,x j = i j Π j i j Π i F (j i) (49b) i j HF i j 1 N j i>j R y (i, j) y i,y j = R + HΠ i H i = j (49c) Ni F (j i 1) H i<j En tidsinvariant tillståndsmodell ger alltså i allmänhet inte upphov till stationära processer {x i } och {y i }.
26 Stationära processer 26 Problemet är att Π i är tidsvariabel. Dock: F stabil (λ max (F ) < 1 ) Π i Π sådan att Π =F ΠF + GQG då i, {x i } och {y i } asymptotiskt stationära En unik, hermitesk, positivt semidefinit lösning Π till den tidsdiskreta Lyapunovekvationen existerar om F är stabil och Q 0. Specialfall: F stabil, Π 0 = Π {x i } och {y i } stationära
27 Kovariansfunktioner igen 27 (Lemma 8.1.2) Betrakta tillståndsmodellen (8.1.1)-(8.1.2) och antag att F är stabil och att Π 0 = Π där Π =F ΠF + GQG.Dåär{x i } och {y i } stationära och där N F ΠH + GS. { F i j Π i j R x (i j) = x i,x j = ΠF (j i) i j HF i j 1 N R y (i j) = y i,y j = R + H ΠH N F (j i 1) H i > j i = j i<j (50a) (50b)
28 z-spektrum 28 z-spektrat för {y i } kan skrivas på två sätt S y (z) = ( H(zI F ) 1 I ) ( )( ) 0 N (z 1 N R + H ΠH I F ) 1 H I = ( H(zI F ) 1 I ) ( )( ) GQG GS (z 1 I F ) 1 H S G R I (51a) (51b) I den översta varianten är matrisen i mitten (insignalgramianen) indefinit och det gör att det inte är uppenbart att S y (e iω ) 0 (vilket den naturligtvis är).
29 Ekvivalensklass för insignalgramianer 29 I Lemma visas att S y (z) = ( H(zI F ) 1 I ) ( GQG GS S G R är invariant under insignalgramiantransformationen ( ) GQG GS S G R )( ) (z 1 I F ) 1 H ( ) GQG Z + FZF GS + FZH S G + HZF R + HZH I (52) (53) där Z är en godtycklig hermitesk matris. Vidare visas det att om två insignalgramianer ger samma S y (z) så finns det en unik hermitesk matris Z som definierar transformationen mellan dessa enligt ovan. På föregående sida: Z = Π ( Π =F ΠF + GQG )
30 Nollställen på enhetscirkeln 30 I kapitel 6: S y (z) får inte ha nollställen på enhetscirkeln Här: Lemma visar att S y (e iω ) > 0 för alla ω [ π, π] omm {F s,gq s/2 } där F s = F GSR 1 H och Q s = Q SR 1 S är styrbart på enhetscirkeln. (Det står felaktigt uncontrollable i boken.) ({F, G} är styrbart på enhetscirkeln om det finns en matris L så att F GL saknar egenvärden på enhetscirkeln.)
31 Spektralfaktorisering: Härledning 31 Från Lemma har vi att ( ) (z 1 I F ) 1 H S y (z) = ( H(zI F ) 1 I ) T I (54) där T = ( ) GQG Z + FZF GS + FZH S G + HZF R + HZH (55) för en godtycklig hermitesk matris Z. Lemma visar att om S y (e iω ) > 0 så har T alltid minst p positiva egenvärden.
32 Härledning (forts.) 32 Vi söker en faktorisering T = WR e W där R e > 0 är en p p-matris. Studera de Z = P för vilka R + HPH är ickesingulär. Då kan T faktoriseras T = ( )( )( ) I Kp 0 I 0 0 I 0 R e Kp I (56) där R e R + HPH och K p (FPH + GS)R 1 e och = P + FPF + GQG K p R e K p (57) Välj P så att =0. Detta ger S y (z) = ( H(zI F ) 1 I ) ( ) K p ( R I e K p I ) ( ) (z 1 I F ) 1 H I =(H(zI F ) 1 K p + I)R e (H(z I F ) 1 K p + I) (58a) (58b)
33 Härledning (forts.) 33 Med L(z) H(zI F ) 1 K p + I har vi en faktorisering S y (z) =L(z)R e L (z ) (59) F stabil L(z) stabil och kausal. L(z) 1 måste också vara stabil och kausal. Matrisinversionslemmat ger Alltså: F K p H måste vara stabil. L(z) 1 = I H(zI F + K p H) 1 K p (60)
34 DARE 34 Alltså: L(z) är den kanoniska spektralfaktorn om vi kan hitta en hermitesk matris P sådan att R e > 0 =0 P = FPF + GQG K p R e Kp (DARE) F K p H stabil Existensen av ett unikt P med de önskade egenskaperna visas i Thm Förutsättningar: {F, H} detekterbar (annars är F KH instabil för alla K) S y (e iω ) > 0 (formulerat annorlunda m.h.a. Lemma 8.3.1)
35 Spektralfaktorisering 35 (Thm ) Den kanoniska spektralfaktoriseringen ges av S y (z) =L(z)R e L (z ), L( ) =I, R e > 0 (61) L(z) =I + H(zI F ) 1 K p (62) där R e = R + HPH och K p =(FPH + GS)R 1 e och P = FPF + GQG K p R e K p (63) (F K p H stabil)
36 Tillståndsrepresentation 36 Fördel: L(z) och L(z) 1 kan enkelt realiseras på tillståndsform (Thm ) L(z): θ i+1 = Fθ i + K p e i y i = Hθ i + e i (64a) (64b) L(z) 1 : θ i+1 =(F K p H)θ i + K p y i e i = Hθ i + y i (65a) (65b)
37 Enstegsprediktion 37 Från kap. 7: Enstegsprediktorn kan skrivas I L(z) 1. På tillståndsform: θ i+1 =(F K p H)θ i + K p y i ŷ i = Hθ i (66a) (66b)
38 Tillståndsskattning 38 Tillstånden i den underliggande modellen kan skattas m.h.a. filtret ˆx i+1 = F ˆx i + K p e i y i = H ˆx i + e i (67a) (67b) som också kan skrivas ˆx i+1 = F ˆx i + K p (y i H ˆx i ) (68)
39 Glättad tillståndsskattning 39 Den glättade tillståndsskattningen ˆx i (givet alla y i ) kan skrivas λ i =(F K p H) λ i+1 + H R 1 e (y i H ˆx i ) (69a) ˆx i+1 = F ˆx i + K p (y i H ˆx i ) ˆx i =ˆx i + Pλ i (69b) (69c)
40 Kovariansdata 40 Wienerteorin baseras på kunskap om kovariansfunktioner (eller spektraltätheter). Här har vi dock utgått från en tillståndsmodell. Dock: M.h.a. tekniker för minimala realiseringar kan man ta fram en tillståndsrealisering {F, H, N} utifrån en kovariansfunktion R y (i) så att R y (i) =HF i 1 N, i > 0 (70)
41 Kovariansdata (forts.) 41 (Thm ) L(z) definieras då av θ i+1 = Fθ i + K p e i y i = Hθ i + e i där R e = R y (0) H ΣH, K p =( N F ΣH )Re 1 positivt semidefinita lösningen till och där Σ är den unika, (71a) (71b) Σ =F ΣF + K p R e K p (72) som ger ett stabilt F K p H.
42 Tidsvariabla modeller 42 Om tillståndsmodellen är tidsvariabel kan man modifiera resultaten så att man får en riccatirekursion istället för DARE-n (tidsvariabla) kalmanfiltret Man kan dock härleda KF utan att gå omvägen via R y (τ) och L(z)...
43 Övningar, kap () Lös uppgift 7.5 i boken. 2 (Spektralfaktorisering på två sätt) Betrakta systemet x i+1 = ( ) x i + ( 0 1) u i (73a) y i = ( 1 0 ) x i + v i (73b) där u i och v i är oberoende Gaussiska processer med väntevärden 0 och varianser Q =1respektive R =0.1 (S =0). 2a Bestäm den kanoniska spektralfaktoriseringen av S y (z) både med metoden från avsnitt 6.5 och med Thm Ger de båda metoderna samma resultat? (Plotta t.ex. de båda versionerna av L(z) då z =1.)
44 Övningar (forts.) 44 2b Generera en realisering av y i Matlab utifrån realiseringar av u och v samt tillståndsbeskrivningen på föregående sida. Beräkna innovationsprocessen utifrån y med de båda olika versionerna av vitningsfiltret från uppgift 2a (d.v.s. både m.h.a. filtret som tagits fram enligt avsnitt 6.5 och det som finns i Thm ) Plotta de båda versionerna av innovationsprocessen. Är de lika? 2c Vilken spektralfaktoriseringsmetod tycker du är enklast att använda? Vilken hade varit enklast om S y (z) hade varit given men inte tillståndsbeskrivningen?
45 Övningar (forts.) 45 Exempel på matlabkommandon till uppgift 2: syms z p=(z-3.23)*(2*zˆ2+.2*z-1.1)+z pretty(p) expand(p) simplify(p) maple( factor, (z-3.23)*(2*zˆ2+.2*z-1.1)+z, real ) help dare help lsim
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Reglerteori. Föreläsning 3. Torkel Glad
Reglerteori. Föreläsning 3 Torkel Glad Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2 Sammanfattning av föreläsning 2 Det mesta av teorin för envariabla linjära system generaliseras lätt till ervariabla (era
!"# $ $ $ % & ' $ $ ( ) *( + $', - &! # %. ( % / & ) 0
!"#$ $ $ % & '$$( )*(+$',- &! # %.( %/& )0 = + = ϕ θ + #" $! = $ $ (! ) = % "! "!! = R( )! =! + ) ( &&) ( &&* ) [ ] ( ) $ ( ) Π + ( &-&) ","& Π 2 ( ) (& ' = '." % % Π % % / = = % % % = 01(&*&* = 7" "6""
TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 1. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts.
Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 1 / 32 Sammanfattning av Föreläsning 1 TSRT9 Reglerteori Föreläsning 2: Beskrivning av linjära system Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
Reglerteori. Föreläsning 4. Torkel Glad
Reglerteori. Föreläsning 4 Torkel Glad Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2 Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: R u (τ) = Eu(t)u(t τ) T Spektrum: Storleksmått: Vitt brus: Φ u (ω) =
Föreläsning 7. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 26 september Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 7 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 26 september 2013 Introduktion Förra gången: Känslighet och robusthet Dagens program: Repetion
Stokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL
Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL000/EL00/EL20 20-0-3 a. Överföringsfunktionen från u(t) till y(t) ges av Utsignalen ges av G(s) = y(t) = G(iω) A sin(ωt + ϕ + arg G(iω)) = 2 sin(2t). Identifierar
Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori
Lösningsförslag TSRT9 Reglerteori 6-8-3. (a Korrekt hopparning: (-C: Uppgiften som beskrivs är en typisk användning av sensorfusion, där Kalmanfiltret är användbart. (-D: Vanlig användning av Lyapunovfunktioner.
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT9) 26-3-6. (a) Systemet är stabilt och linjärt. Därmed kan principen sinus in, sinus ut tillämpas. Givet insignalen u(t) sin (t) sin ( t) har vi G(i )
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 11
Föreläsningar / 5 TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10 Sammanfattning av föreläsning 9 Tillståndsbeskrivningar Överföringsfunktion vs tillståndmodell Stabilitet Styrbarhet och observerbarhet Sammanfattning föreläsning
Föreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 3 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 9 september 2013 Introduktion Förra gången: PID-reglering Dagens program: Stabilitet Rotort
Industriell reglerteknik: Föreläsning 2
Industriell reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 33 1 Sekvensstyrning: Funktionsdiagram, Grafcet. 2 Grundläggande
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 0-0-9 Sammanfattning av föreläsningarna 5-8, 30/ - / 0. Z-transformen ska avslutas och sedan blir det tentaförberedelser.
Föreläsning 1: Signaler, matriser och processer. Leif Sörnmo 28 augusti 2009
Föreläsning 1: Signaler, matriser och processer Leif Sörnmo 28 augusti 2009 1 Optimal Signalbehandling kontra Digital Signalbehandling? stokastisk modellering av signalen, metoddesign baserad på signalens
REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 202 2 7, kl. 9.00 4.00. (a) (i) Överföringsfunktionen ges av G(s)U(s) = G 0 (s)u(s)+g (s)(u(s)+g 0 (s)u(s)) = [G
Robust flervariabel reglering
Föreläsning 2 Anders Helmersson andersh@isy.liu.se ISY/Reglerteknik Linköpings universitet Vad gör vi i dag Normer Representation av system Lyapunovekvationer Gramianer Balansering Modellreduktion Lågförstärkningssatsen
Reglerteknik AK. Tentamen kl
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 20 0 20 kl 8.00 3.00 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Figure 1: Blockdiagram. V (s) + G C (s)y ref (s) 1 + G O (s)
Övning 9 Introduktion Varmt välkomna till nionde övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Repetition Känslighetsfunktionen y ref + e u F (s) G(s) v + + y Figure : Blockdiagram Känslighetsfunktionen
Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58
Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58 Interpolation För i tiden gällde räknesticka och tabeller. Beräkna 1.244 givet en tabel över y = t, y-värdena är givna med fem siffror, och t = 0,0.01,0.02,...,9.99,10.00.
Reglerteknik AK, FRT010
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRT Tentamen januari 27 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Stokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Lektion 1. Bo Bernhardsson FRT130 Control Theory, Lecture 1
Lektion 1 Kursinnehåll - kursprogram - schema Det praktiska - boken - idag sid 71-101 Mattebakgrund - Spannes Blixtkurs Laplacetransform AK 17 Koppling till tillståndsbeskrivning AK 18 Betoning av transienter
Lösningar Reglerteknik AK Tentamen
Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 060 Uppgift a G c (s G(sF (s + G(sF (s s + 3, Y (s s + 3 s ( 3 s s + 3 Svar: y(t 3 ( e 3t Uppgift b Svar: (i insignal u levererad insulinmängd från pumpen, mha tex spänningen
2.1 Mikromodul: stokastiska processer
2. Mikromodul: stokastiska processer 9 2. Mikromodul: stokastiska processer 2.. Stokastiska variabler En stokastiskt variabel X beskrivs av dess täthetsfunktion p X (x), vars viktigaste egenskaper sammanfattas
= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1.
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Lösningsförslag till tentamen 2009 2 5, kl. 4.00 9.00. (a) Laplacetransform av () ger s 2 Y (s)+4sy (s)+y (s) =U(s), och överföringsfunktionen blir G(s)
Möbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.
Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är
Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av Föreläsning 3 2(19) Kovariansfunktion: Spektrum: R u (τ) = Eu(t)u(t τ)
1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B
RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Torsdag 5 december 206, kl. 3.00-6.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Fredrik Olsson, tel. 08-47 7840. Fredrik kommer och svarar på frågor
TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 3. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.
Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 1 / 18 Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: TSRT09 Reglerteori Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Daniel Axehill Reglerteknik,
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 16 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Stokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Övning 3. Introduktion. Repetition
Övning 3 Introduktion Varmt välkomna till tredje övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Nästa gång är det datorövning. Kontrollera att ni kan komma in i XQ-salarna. Endast en kort genomgång,
Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Vi har ett nätverksflödesproblem med 5 noder. Låt x = (x 2, x 3, x
Reglerteknik I: F10. Tillståndsåterkoppling med observatörer. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik
Reglerteknik I: F10 Tillståndsåterkoppling med observatörer Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 14 2 / 14 F9: Frågestund F9: Frågestund 1) När ett system är observerbart då
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT6) 216-1-15 1. (a) Känslighetsfunktionen S(iω) beskriver hur systemstörningar och modellfel påverkar utsignalen från det återkopplade systemet. Oftast
Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012
Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig
Föreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor
Föreläsning 7: Kvadratisk optimering 1. Kvadratisk optimering utan bivillkor 2. Positivt definita och semidefinita matriser 3. LDL T faktorisering 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor 5. Minsta
Föreläsning 2. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 3 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 2 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 3 september 2013 Introduktion Förra gången: Dynamiska system = Differentialekvationer Återkoppling
Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24
Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24 Interpolation För i tiden gällde räknesticka och tabeller. Beräkna 1.244 givet en tabel över y = t, y-värdena är givna med fem siffror, och t = 0,0.01,0.02,...,9.99,10.00.
Kap 10 - Modeller med störningar. Hur beskriva slumpmässiga störningar?
Kap 10 - Modeller med störningar Notera att Beskrivning av signaler i frekvensdomänen -sammanfattning ger en bakgrund till Kap 10 och 11. Huvudpunkter: Hur beskriva slumpmässiga störningar? Data insamlas
Formelsamling i Automationsteknik FK
Formelsamling i Automationsteknik FK Z-transformation Antag att f(k),k = 0,,2, är en tidsdiskret signal Z-transformen av f(k) definieras av Slutvärdesteoremet F(z) = Z(f(k)) = lim k f(k)z k k=0 f(k) =
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 9
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 9 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 20 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Olinjära system (11, 12.1)
Föreläsning 2 Olinjära system (11, 121) Introduktion Vad menas med ett olinjärt system? Betrakta ett system där insignalerna u 1 (t) och u 2 (t) ger utsignalerna y 1 (t) respektive y 2 (t), d v s och u
ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp
ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp Tid: Denna övn.tenta gås igenom 25 maj (5h skrivtid för den riktiga tentan) Plats: Ansvarig lärare: Bengt Carlsson Tillåtna hjälpmedel: Kurskompendiet
Faderns blodgrupp Sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B1504 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS FÖR E3 LÖRDAGEN DEN 30 AUGUSTI 2003 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 7416. Tillåtna hjälpmedel : Formel- och
Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori
Lösningsförslag TSRT9 Reglerteori 217-3-17 1. (a) Underdeterminanter 1 s + 2, 1 s + 3, 1 s + 2, 1 (s + 3)(s 3), s 4 (s + 3)(s 3)(s + 2), vilket ger MGN dvs ordningstal 3. P (s) = (s + 3)(s 3)(s + 2), (b)
Sammanfattning av föreläsning 11. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 12. Simulering. Föreläsning 12. Numeriska metoder och Simulering
Sammanfattning av föreläsning 11 Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 12. Simulering Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Index för en DAE Antalet derivationer som behövs för att lösa ut ż
1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B
RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Tisdag 23 oktober 208, kl. 4.00-7.00 Plats: Polacksbackens skrivsal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl
Exempel: DC-servo med styrsignalmättning DEL III: OLINJÄR REGLERTEORI. DC-servo forts.: Rampsvar och sinussvar
Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 Sammanfattning av föreläsning 7 TSRT9 Reglerteori Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet H
Föreläsning 1 Reglerteknik AK
Föreläsning 1 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik, KTH 29 augusti, 2016 2 Introduktion Example (Temperaturreglering) Hur reglerar vi temperaturen i ett hus? u Modell: Betrakta en
6. Reglering av stokastiska system
6. Stokastiska system 6. Reglering av stokastiska system Vi har hittills använt deterministiska modeller, inklusive deterministiska störningar, såsom steg, ramper och sinussignaler som inte varierar slumpmässigt.
TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 5: RGA, IMC. Föreläsning 6. Sammanfattning av föreläsning 5: LQG. Föreläsning 6: LQ-reglering
Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Sammanfattning av föreläsning 5: RGA, IMC TSRT9 Reglerteori Föreläsning 6: LQ-reglering Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet RGA mäter
TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D
TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D SAL: T1, KÅRA TID: 9 juni 2017, klockan 14-19 KURS: TSRT12, Reglerteknik Y/D PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANTAL SIDOR PÅ TENTAMEN (INKLUSIVE FÖRSÄTTSBLAD):
Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av föreläsning 7 2(27) H 2 - och H - syntes. Gör W u G wu, W S S, W T T små. H 2
TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Torsdag 20 oktober 20, kl. 4.00-7.00 Plats: Gimogatan 4, sal Ansvarig lärare: jartan Halvorsen, kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30. Tillåtna hjälpmedel:
Reglerteknik AK Tentamen
Reglerteknik AK Tentamen 20-0-7 Lösningsförslag Uppgift a Svar: G(s) = Uppgift b G c (s) = G(s) = C(sI A) B + D = s. (s+)(s+2) Slutna systemets pol blir s (s + )(s + 2). G o(s) + G o (s) = F (s)g(s) +
Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.11 September 14, 2015 Uppgifter markerade med (A)
1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B
RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Tisdag 8 oktober 206, kl. 2.00-5.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-47070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl.0.
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.1 August 25, 2015 Uppgifter markerade med (A) är
REGLERTEKNIK Laboration 5
6 SAMPLADE SYSTEM 6. Sampling av signaler När man använder en dator som regulator, kan man endast behandla signaler i diskreta tidpunkter. T.ex. mäts systemets utsignal i tidpunkter med visst mellanrum,
TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.
MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med
Spektrala Transformer
Spektrala Transformer Kurssammanfattning Fyra kärnkoncept Sampling Faltning Poler och nollställen Fouriertransform Koncept #1: Sampling En korrekt samplad signal kan rekonstrueras exakt, dvs ingen information
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL0 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 00 0 4, kl. 4.00 9.00. (a) Stegsvaret ges av y(t) =K( e t/t ). Från slutvärdet fås K =, och tiskonstanten kan avläsas
x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:
Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 6 1. Lös det icke-homogena linjära DE-systemet ( ( 0 e x t (t = x(t + 1 3 e t med elimineringsmetoden. Lösning: den explicita formen av DE-systemet är
Figur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y (för Y och D) (TSRT) 008-06-0. (a) Vi har systemet G(s) (s3)(s) samt insignalen u(t) sin(t). Systemet är stabilt ty det har sina poler i s 3 samt s. Vi kan
6. Reglering av stokastiska system
6 Reglering av stokastiska system Vi har hittills använt deterministiska modeller, inklusive deterministiska störningar, såsom steg, ramper och sinussignaler som inte varierar slumpmässigt I praktiken
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2
Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp
TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp - 0 Tid: måndag 8 Maj 0, kl 4-9 Plats: Polacksbacken Ansvarig lärare: Bengt Carlsson, tel 070-674590. Bengt kommer till tentasalen ca kl 6 och besvarar ev frågor.
Reglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 24 oktober 26 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
2D1250 Tillämpade numeriska metoder II vt 06 Nada, J.Op p 1 (5) Om Verlet s metod
Nada, J.Op p 1 (5) Om Verlet s metod Eftersom det blev något fel på tavelanteckningarna 30/3 ψ-faktorn nedan tappade ett h i nämnaren - ges här en korrekt version. Vi studerar en harmonisk oscillator med
REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen 2009 12 15, kl. 14.00 19.00 Hjälpmedel: Kursboken i Reglerteknik AK (Glad, Ljung: Reglerteknik eller motsvarande) räknetabeller, formelsamlingar
6. Stabilitet. 6. Stabilitet
6. Stabilitet 6. Stabilitet Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt
Beskrivning av signaler i frekvensdomänen - sammanfattning
Beskrivning av signaler i frekvensdomänen - sammanfattning Bengt Carlsson Systems and Control Dept of Information Technology, Uppsala University January 21, 2010 Abstract Detta material ger en sammanfattning
TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
( ), så kan du lika gärna skriva H ( ω )! ( ) eftersom boken går igenom laplacetransformen före
Några allmänna kommentarer gällande flera av lösningarna: Genomgående används kausala signaler och kausala system, vilket innebär att det är den enkelsidiga laplacetransformen som används. Bokens författare
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT12)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT) 0-03-8. (a) Nolställen: - (roten till (s + ) 0 ) Poler: -, -3 (rötterna till (s + )(s + 3) 0) Eftersom alla poler har strikt negativ realdel är systemet
TIDSDISKRETA SYSTEM SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System. Tillämpad Fysik och Elektronik 1
TIDSDISKRETA SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 SYSTEMEGENSKAPER x[n] System y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK,
Lösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013
Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)
Lösningar till tentamen i Industriell reglerteknik TSRT07 Tentamensdatum: Martin Enqvist
ösningar till tentamen i Industriell reglerteknik TSRT7 Tentamensdatum: 28-3-2 Martin Enqvist a) Z-transformering av sambanden som beskriver den tidsdiskreta regulatorn ger Iz) = KT Sz T i z ) Ez) = Kz
Föreläsning 9. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 30 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 9 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 30 september 2013 Tillståndsåterkoppling Antag att vi återkopplar ett system med hjälp av u
Tentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För
Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4. Multiplikationsteoremet. Derivatateoremet
Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4 Fouriertransformen, forts Mer egenskaper av fouriertransformen Enkel tillämpning: Filtrera bort oönskat buller från vacker visselton Fouriertransformen, slutsats
VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 172 lottnummer 1.000 kronor vardera:
Dragningsresultat vecka 12-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till
Sammanfattning av föreläsning 4. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 5. Identifiering av olinjära modeller
Sammanfattning av föreläsning 4 Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 5. Identifiering av olinjära modeller Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Linjära parametriserade modeller: ARX, ARMAX,
Flerdimensionella signaler och system
Luleå tekniska universitet Avd för signalbehandling Magnus Sandell (reviderad av Frank Sjöberg) Flerdimensionell signalbehandling SMS033 Laboration 1 Flerdimensionella signaler och system Syfte: Den här
Fredrik Lindsten Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)
Innehåll föreläsning 9 2 Reglerteknik, föreläsning 9 Tillståndsbeskrivning, styr- och observerbarhet Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
RÄKNEEXEMPEL FÖRELÄSNINGAR Signaler&System del 2
t 1) En tidskontinuerlig signal x( t) = e 106 u( t) samplas med sampelperioden 1 µs, varefter signalen trunkeras till 5 sampel. Den så erhållna signalen får utgöra insignal till ett tidsdiskret LTI-system
S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system. Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Samband poler - respons i tidsplanet
Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Överföringsfunktion Poler, nollställen, stabilitet Samband poler - respons i tidsplanet Slut- och begynnelsevärdesteoremen
TSDT18/84 SigSys Kap 4 Laplacetransformanalys av tidskontinuerliga system. De flesta begränsade insignaler ger upphov till begränsade utsignaler
9 Stabilitet för energifria LTI-system Marginellt stabilt system: De flesta begränsade insignaler ger upphov till begränsade utsignaler Kap 2, bild 4 h t h( t) dt /< < t gäller för marginellt stabila LTI-system