Wienerfiltrering. Martin Enqvist och Markus Gerdin. Reglerteknik och kommunikationssystem Linköpings universitet. Wienerfiltrering

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Wienerfiltrering. Martin Enqvist och Markus Gerdin. Reglerteknik och kommunikationssystem Linköpings universitet. Wienerfiltrering"

Transkript

1 1 Martin Enqvist och Markus Gerdin Reglerteknik och kommunikationssystem Linköpings universitet

2 Repetition, spektralfaktorisering 2 Vi har en stationär stokastisk process y i, <i<, med R y (i) = y k,y k i = Ey k yk i (1) S y (z) = R y (i)z i (2) i= Den kanoniska spektralfaktoriseringen ges, om S y (e iw ) > 0, av S y (z) =L(z)r e L (z ) (3) där L(z) minfas ( inverterbar), L( ) =1och r e > 0. Innovationerna e i som ges av e(z) =L 1 (z)y(z) är vitt brus och innehåller samma information som y i.

3 Glättning i kontinuerlig tid 3 Vi vill skatta s(t) från y(t) med hjälp av (7.1.1) ŝ(t) = w(t, τ)y(τ)dτ (4) så att kriteriet (7.1.3) minimeras. Eftersom processerna antas stationära blir (7.1.6) E s(t) ŝ(t) 2 (5) w(t, τ) =k(t τ) (6)

4 Glättning i kontinuerlig tid, fortsättning 4 Ortogonalitetsvillkoret ger att (7.1.4) (s(t) ŝ(t)) y(σ) s(t),y(σ) = ŝ(t),y(σ) R sy (t σ) = k(t τ)r y (τ σ)dτ Fouriertransformering av denna ekvation (med σ =0) ger (7.1.9) K(f) = S sy(f) S y (f) (7)

5 Glättning i kontinuerlig tid, specialfall 5 För specialfallet (7.1.11) y(t) =s(t)+v(t) (8) (s(t) och v(t) oberoende) fås K(f) = S sy(f) S y (f) = S s (f) S s (f)+s v (f) (9) Betrakta fallet S v (f) N. Vi har då att K(f) S s(f) N, S s(f) N 0 (10) och att K(f) 1, S s(f) N (11)

6 Wiener-Hopf, kontinuerlig tid 6 Betrakta skattningsproblemet (7.2.1) ŝ(t t) = 0 k(τ)y(t τ)dτ (12) Ortogonalitetsvillkoret ger, för t σ, att (7.2.2) (s(t) ŝ(t t)) y(σ) s(t),y(σ) = ŝ(t t),y(σ) R sy (t σ) = 0 k(τ)r y (t τ σ)dτ Detta är en Wiener-Hopf-ekvation i kontinuerlig tid.

7 Wiener-Hopf, fortsättning 7 Wiener-Hopf-ekvationen kan även skrivas (för t 0) R sy (t) = 0 k(τ)r y (t τ)dτ k m =0,m<0 (13) För att lösa denna ekvation definierar vi g(t) =R sy (t) 0 k(τ)r y (t τ) (14) som är definierad för alla t och strikt antikausal.

8 Wiener-Hopf, fortsättning 8 L-transformering ger G(s) RL ( s ) }{{} strikt antikausal G(s) =S sy (s) K(s)S y (s) (15) G(s) =S sy (s) K(s)L(s)RL ( s ) (16) K(s) = = S sy(s) r e L ( s ) K(s)L(s) }{{} kausal { } Ssy (s) r e L ( s ) + 1 L(s) (17) Vi måste kräva att S y (s) är strikt positiv på imaginära axeln för att kunna använda kanonisk spektralfaktorisering. (18)

9 Diskret tid 9 Diskret tid

10 Glättning 10 Vi vill skatta s i från y i med hjälp av (7.3.1) ŝ i = m= w im y m (19) så att kriteriet minimeras. Eftersom processerna antas stationära blir (7.1.6) E s i ŝ i 2 (20) w im = k i m (21)

11 Glättning, fortsättning 11 Ortogonalitetsvillkoret ger att (7.3.2) (s i ŝ i ) y l s i,y l = ŝ i,y l R sy (i l) = k(i m)r y (m l)dτ m= Fouriertransformering av denna ekvation (med l =0) ger (7.3.6) K(e jω )= S sy(e jw ) S y (e jw ) (22) Detta är sats

12 Wiener-Hopf 12 Betrakta skattningsproblemet (7.3.12) ŝ i i = m=0 k m y i m (23) Ortogonalitetsvillkoret ger, för i l, att (s i ŝ i i ) y l s i,y l = ŝ i i,y l R sy (i l) = k m R y (i m l) m=0 Detta är den diskreta Wiener-Hopf-ekvationen

13 Wiener-Hopf, fortsättning 13 Wiener-Hopf-ekvationen kan även skrivas (för i 0) (7.3.14) R sy (i) = m= k m R y (i m) k m =0,m<0 (24) För att lösa denna ekvation definierar vi (7.4.1) g i = R sy (i) m=0 k m R y (i m) (25) som är definierad för alla i och strikt antikausal.

14 Wiener-Hopf, fortsättning 14 Z-transformering ger G(z) r e L (z ) }{{} strikt antikausal G(z) =S sy (z) K(z)S y (z) (26) G(z) =S sy (z) K(z)L(z)r e L (z ) (27) K(z) = = S sy(z) r e L (z ) K(z)L(z) }{{} kausal { } Ssy (z) r e L (z ) + 1 L(z) (28) Detta är Wienerfiltret (sats 7.4.1). Vi måste kräva att S y (z) är strikt positiv på enhetscirkeln för att kunna använda kanonisk spektralfaktorisering. (29)

15 Kausala delen 15 Kausala delen av en rationell funktion F (z) kan bestämmas med hjälp av partialbråksuppdelning. (7.5.1), (7.5.2) F (z) =r 0 + m i=0 {F (z)} + = {r 0 } + + l i k=1 m i=0 r ik (z p i ) k (30) l i { rik k=1 (z p i ) k } + (31)

16 Kausala delen, fortsättning 16 Kausala delen av partialbråken bestäms sedan av några enkla regler (sid ): {c} + = c för konstanter c. { } 1 z + a + = 1 z + a, a < 1 1 a, a > 1 (32) { 1 (z + a) i } + = 1 (z + a) i, a < 1 1 a i, a > 1 (33)

17 Prediktion 17 Vid prediktion, s i = y i+λ, har vi (enligt lemma 6.3.1) S sy = z λ S y (z) vilket ger (7.6.2) K(z) = { Ssy (z) } r e L (z ) + 1 L(z) = För enstegsprediktion (λ =1) fås (7.6.6) { z λ } S y (z) r e L (z ) + 1 L(z) = { z λ L(z) } + 1 L(z) (34) ( 1 K(z) ={zl(z)} + L(z) = z(l(z) 1) 1 L(z) = z 1 1 ) L(z) (35)

18 Additivt vitt brus 18 För specialfallet med additivt vitt brus (7.6.11), y i = s i + v i (36) S v (z) =r (37) S vs (z) =0 (38) har vi och S sy (z) =S s (z) (39) S y (z) =S s (z)+s v (z) =S s (z)+r (40)

19 Additivt vitt brus, fortsättning 19 Vi har alltså (7.6.14)-(7.6.17) { } Ssy (z) 1 K(z) = r e L (z ) + L(z) { } Sy (z) r 1 = r e L (z ) + L(z) { } r 1 = L(z) r e L (z ) + L(z) ( { } 1 r = {L(z)} + L (z ) =1 r r e 1 L(z) + r e ) 1 L(z)

20 Kausal filtrering med innovationer 20 Betrakta skattningsproblemet (7.7.1), kausal filtrering från innovationer ŝ i i = i k= g i k e k (41) Ortogonalitetsvillkoret ger att (s i ŝ i i ) e l s i,e l = ŝ i i,e l R se (i l) = i k= g i k r e δ kl = g i l r e Denna Wiener-Hopf-ekvation är trivial.

21 med innovationer 21 Transformera sekvensen g i : G(z) = g i z i = i=0 i=0 R se (i) r e z i = { } Sse (z) r e + = { Ssy (z) } L (z )r e + (42) Lemma används i sista likheten. Eftersom e(z) = 1 L(z) y(z) fås nu slutligen K(z) = { Ssy (z) } r e L (z ) + 1 L(z) (43) Detta är återigenwienerfiltret (sats 7.4.1).

22 med innovationer, forts. 22 Med hjälp av innovationer kan man härleda formlerna för prediktion och additivt vitt brus på ett alternativt (enklare?) sätt. Man kan fråga sig varför man lika gärna kan använda innovationerna som y i när man skattar s i. Detta beror på att e(z) =L 1 (z)y(z) där L 1 (z) är kausalt inverterbar. Antag t.ex. att y i är vitt brus och att vi använder det (korkade) vitningsfiltret L 1 (z) =z 1. Eftersom den senaste mätningen y i då inte kommer med, så får vi uppenbarligen en sämre skattning!

23 Vektorfallet 23 För vektorvärda processer används normalt Kalman-filtret. Flera av formlerna för Wiener-filtret kan dock skrivas för vektorvärda processer. Glättning: K(z) =S sy (z)s 1 y (z) (44) : K(z) = { S sy L (z ) } + R 1 e L 1 (z) (45) där S(z) =L(z)R e L (z ) (46) I boken finns även formler för additivt vitt brus med prediktion.

24 Rekursiva Wienerfilter 24 Rekursiva WF = Tidsinvarianta KF Tillståndsmodell för processen {y i } x i+1 = Fx i + Gu i, i 0 (47a) y i = Hx i + v i (47b) där {u i } och {v i } är stationära stokastiska processer med x 0 u i, v i x 0 u j v j 1 Π 0 ( 0 ) 0 = Q S 0 δ R ij 0 S (48)

25 Kovariansfunktioner 25 (Lemma 8.1.1) Betrakta tillståndsmodellen (8.1.1)-(8.1.2) och låt Π i = x i,x i. Då gäller det att där N i F Π i H + GS. Π i+1 = F Π i F + GQG, i 0 (49a) { F R x (i, j) x i,x j = i j Π j i j Π i F (j i) (49b) i j HF i j 1 N j i>j R y (i, j) y i,y j = R + HΠ i H i = j (49c) Ni F (j i 1) H i<j En tidsinvariant tillståndsmodell ger alltså i allmänhet inte upphov till stationära processer {x i } och {y i }.

26 Stationära processer 26 Problemet är att Π i är tidsvariabel. Dock: F stabil (λ max (F ) < 1 ) Π i Π sådan att Π =F ΠF + GQG då i, {x i } och {y i } asymptotiskt stationära En unik, hermitesk, positivt semidefinit lösning Π till den tidsdiskreta Lyapunovekvationen existerar om F är stabil och Q 0. Specialfall: F stabil, Π 0 = Π {x i } och {y i } stationära

27 Kovariansfunktioner igen 27 (Lemma 8.1.2) Betrakta tillståndsmodellen (8.1.1)-(8.1.2) och antag att F är stabil och att Π 0 = Π där Π =F ΠF + GQG.Dåär{x i } och {y i } stationära och där N F ΠH + GS. { F i j Π i j R x (i j) = x i,x j = ΠF (j i) i j HF i j 1 N R y (i j) = y i,y j = R + H ΠH N F (j i 1) H i > j i = j i<j (50a) (50b)

28 z-spektrum 28 z-spektrat för {y i } kan skrivas på två sätt S y (z) = ( H(zI F ) 1 I ) ( )( ) 0 N (z 1 N R + H ΠH I F ) 1 H I = ( H(zI F ) 1 I ) ( )( ) GQG GS (z 1 I F ) 1 H S G R I (51a) (51b) I den översta varianten är matrisen i mitten (insignalgramianen) indefinit och det gör att det inte är uppenbart att S y (e iω ) 0 (vilket den naturligtvis är).

29 Ekvivalensklass för insignalgramianer 29 I Lemma visas att S y (z) = ( H(zI F ) 1 I ) ( GQG GS S G R är invariant under insignalgramiantransformationen ( ) GQG GS S G R )( ) (z 1 I F ) 1 H ( ) GQG Z + FZF GS + FZH S G + HZF R + HZH I (52) (53) där Z är en godtycklig hermitesk matris. Vidare visas det att om två insignalgramianer ger samma S y (z) så finns det en unik hermitesk matris Z som definierar transformationen mellan dessa enligt ovan. På föregående sida: Z = Π ( Π =F ΠF + GQG )

30 Nollställen på enhetscirkeln 30 I kapitel 6: S y (z) får inte ha nollställen på enhetscirkeln Här: Lemma visar att S y (e iω ) > 0 för alla ω [ π, π] omm {F s,gq s/2 } där F s = F GSR 1 H och Q s = Q SR 1 S är styrbart på enhetscirkeln. (Det står felaktigt uncontrollable i boken.) ({F, G} är styrbart på enhetscirkeln om det finns en matris L så att F GL saknar egenvärden på enhetscirkeln.)

31 Spektralfaktorisering: Härledning 31 Från Lemma har vi att ( ) (z 1 I F ) 1 H S y (z) = ( H(zI F ) 1 I ) T I (54) där T = ( ) GQG Z + FZF GS + FZH S G + HZF R + HZH (55) för en godtycklig hermitesk matris Z. Lemma visar att om S y (e iω ) > 0 så har T alltid minst p positiva egenvärden.

32 Härledning (forts.) 32 Vi söker en faktorisering T = WR e W där R e > 0 är en p p-matris. Studera de Z = P för vilka R + HPH är ickesingulär. Då kan T faktoriseras T = ( )( )( ) I Kp 0 I 0 0 I 0 R e Kp I (56) där R e R + HPH och K p (FPH + GS)R 1 e och = P + FPF + GQG K p R e K p (57) Välj P så att =0. Detta ger S y (z) = ( H(zI F ) 1 I ) ( ) K p ( R I e K p I ) ( ) (z 1 I F ) 1 H I =(H(zI F ) 1 K p + I)R e (H(z I F ) 1 K p + I) (58a) (58b)

33 Härledning (forts.) 33 Med L(z) H(zI F ) 1 K p + I har vi en faktorisering S y (z) =L(z)R e L (z ) (59) F stabil L(z) stabil och kausal. L(z) 1 måste också vara stabil och kausal. Matrisinversionslemmat ger Alltså: F K p H måste vara stabil. L(z) 1 = I H(zI F + K p H) 1 K p (60)

34 DARE 34 Alltså: L(z) är den kanoniska spektralfaktorn om vi kan hitta en hermitesk matris P sådan att R e > 0 =0 P = FPF + GQG K p R e Kp (DARE) F K p H stabil Existensen av ett unikt P med de önskade egenskaperna visas i Thm Förutsättningar: {F, H} detekterbar (annars är F KH instabil för alla K) S y (e iω ) > 0 (formulerat annorlunda m.h.a. Lemma 8.3.1)

35 Spektralfaktorisering 35 (Thm ) Den kanoniska spektralfaktoriseringen ges av S y (z) =L(z)R e L (z ), L( ) =I, R e > 0 (61) L(z) =I + H(zI F ) 1 K p (62) där R e = R + HPH och K p =(FPH + GS)R 1 e och P = FPF + GQG K p R e K p (63) (F K p H stabil)

36 Tillståndsrepresentation 36 Fördel: L(z) och L(z) 1 kan enkelt realiseras på tillståndsform (Thm ) L(z): θ i+1 = Fθ i + K p e i y i = Hθ i + e i (64a) (64b) L(z) 1 : θ i+1 =(F K p H)θ i + K p y i e i = Hθ i + y i (65a) (65b)

37 Enstegsprediktion 37 Från kap. 7: Enstegsprediktorn kan skrivas I L(z) 1. På tillståndsform: θ i+1 =(F K p H)θ i + K p y i ŷ i = Hθ i (66a) (66b)

38 Tillståndsskattning 38 Tillstånden i den underliggande modellen kan skattas m.h.a. filtret ˆx i+1 = F ˆx i + K p e i y i = H ˆx i + e i (67a) (67b) som också kan skrivas ˆx i+1 = F ˆx i + K p (y i H ˆx i ) (68)

39 Glättad tillståndsskattning 39 Den glättade tillståndsskattningen ˆx i (givet alla y i ) kan skrivas λ i =(F K p H) λ i+1 + H R 1 e (y i H ˆx i ) (69a) ˆx i+1 = F ˆx i + K p (y i H ˆx i ) ˆx i =ˆx i + Pλ i (69b) (69c)

40 Kovariansdata 40 Wienerteorin baseras på kunskap om kovariansfunktioner (eller spektraltätheter). Här har vi dock utgått från en tillståndsmodell. Dock: M.h.a. tekniker för minimala realiseringar kan man ta fram en tillståndsrealisering {F, H, N} utifrån en kovariansfunktion R y (i) så att R y (i) =HF i 1 N, i > 0 (70)

41 Kovariansdata (forts.) 41 (Thm ) L(z) definieras då av θ i+1 = Fθ i + K p e i y i = Hθ i + e i där R e = R y (0) H ΣH, K p =( N F ΣH )Re 1 positivt semidefinita lösningen till och där Σ är den unika, (71a) (71b) Σ =F ΣF + K p R e K p (72) som ger ett stabilt F K p H.

42 Tidsvariabla modeller 42 Om tillståndsmodellen är tidsvariabel kan man modifiera resultaten så att man får en riccatirekursion istället för DARE-n (tidsvariabla) kalmanfiltret Man kan dock härleda KF utan att gå omvägen via R y (τ) och L(z)...

43 Övningar, kap () Lös uppgift 7.5 i boken. 2 (Spektralfaktorisering på två sätt) Betrakta systemet x i+1 = ( ) x i + ( 0 1) u i (73a) y i = ( 1 0 ) x i + v i (73b) där u i och v i är oberoende Gaussiska processer med väntevärden 0 och varianser Q =1respektive R =0.1 (S =0). 2a Bestäm den kanoniska spektralfaktoriseringen av S y (z) både med metoden från avsnitt 6.5 och med Thm Ger de båda metoderna samma resultat? (Plotta t.ex. de båda versionerna av L(z) då z =1.)

44 Övningar (forts.) 44 2b Generera en realisering av y i Matlab utifrån realiseringar av u och v samt tillståndsbeskrivningen på föregående sida. Beräkna innovationsprocessen utifrån y med de båda olika versionerna av vitningsfiltret från uppgift 2a (d.v.s. både m.h.a. filtret som tagits fram enligt avsnitt 6.5 och det som finns i Thm ) Plotta de båda versionerna av innovationsprocessen. Är de lika? 2c Vilken spektralfaktoriseringsmetod tycker du är enklast att använda? Vilken hade varit enklast om S y (z) hade varit given men inte tillståndsbeskrivningen?

45 Övningar (forts.) 45 Exempel på matlabkommandon till uppgift 2: syms z p=(z-3.23)*(2*zˆ2+.2*z-1.1)+z pretty(p) expand(p) simplify(p) maple( factor, (z-3.23)*(2*zˆ2+.2*z-1.1)+z, real ) help dare help lsim

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10 TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Reglerteori. Föreläsning 3. Torkel Glad

Reglerteori. Föreläsning 3. Torkel Glad Reglerteori. Föreläsning 3 Torkel Glad Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2 Sammanfattning av föreläsning 2 Det mesta av teorin för envariabla linjära system generaliseras lätt till ervariabla (era

Läs mer

!"# $ $ $ % & ' $ $ ( ) *( + $', - &! # %. ( % / & ) 0

!# $ $ $ % & ' $ $ ( ) *( + $', - &! # %. ( % / & ) 0 !"#$ $ $ % & '$$( )*(+$',- &! # %.( %/& )0 = + = ϕ θ + #" $! = $ $ (! ) = % "! "!! = R( )! =! + ) ( &&) ( &&* ) [ ] ( ) $ ( ) Π + ( &-&) ","& Π 2 ( ) (& ' = '." % % Π % % / = = % % % = 01(&*&* = 7" "6""

Läs mer

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 1. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts.

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 1. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 1 / 32 Sammanfattning av Föreläsning 1 TSRT9 Reglerteori Föreläsning 2: Beskrivning av linjära system Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

Läs mer

Reglerteori. Föreläsning 4. Torkel Glad

Reglerteori. Föreläsning 4. Torkel Glad Reglerteori. Föreläsning 4 Torkel Glad Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2 Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: R u (τ) = Eu(t)u(t τ) T Spektrum: Storleksmått: Vitt brus: Φ u (ω) =

Läs mer

Föreläsning 7. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 26 september Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Föreläsning 7. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 26 september Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik Föreläsning 7 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 26 september 2013 Introduktion Förra gången: Känslighet och robusthet Dagens program: Repetion

Läs mer

Stokastiska processer med diskret tid

Stokastiska processer med diskret tid Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna

Läs mer

Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL

Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL000/EL00/EL20 20-0-3 a. Överföringsfunktionen från u(t) till y(t) ges av Utsignalen ges av G(s) = y(t) = G(iω) A sin(ωt + ϕ + arg G(iω)) = 2 sin(2t). Identifierar

Läs mer

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori Lösningsförslag TSRT9 Reglerteori 6-8-3. (a Korrekt hopparning: (-C: Uppgiften som beskrivs är en typisk användning av sensorfusion, där Kalmanfiltret är användbart. (-D: Vanlig användning av Lyapunovfunktioner.

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19) Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT9) 26-3-6. (a) Systemet är stabilt och linjärt. Därmed kan principen sinus in, sinus ut tillämpas. Givet insignalen u(t) sin (t) sin ( t) har vi G(i )

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 11

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 11 Föreläsningar / 5 TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12 TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10 Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10 Sammanfattning av föreläsning 9 Tillståndsbeskrivningar Överföringsfunktion vs tillståndmodell Stabilitet Styrbarhet och observerbarhet Sammanfattning föreläsning

Läs mer

Föreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Föreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik Föreläsning 3 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 9 september 2013 Introduktion Förra gången: PID-reglering Dagens program: Stabilitet Rotort

Läs mer

Industriell reglerteknik: Föreläsning 2

Industriell reglerteknik: Föreläsning 2 Industriell reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 33 1 Sekvensstyrning: Funktionsdiagram, Grafcet. 2 Grundläggande

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/ Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 0-0-9 Sammanfattning av föreläsningarna 5-8, 30/ - / 0. Z-transformen ska avslutas och sedan blir det tentaförberedelser.

Läs mer

Föreläsning 1: Signaler, matriser och processer. Leif Sörnmo 28 augusti 2009

Föreläsning 1: Signaler, matriser och processer. Leif Sörnmo 28 augusti 2009 Föreläsning 1: Signaler, matriser och processer Leif Sörnmo 28 augusti 2009 1 Optimal Signalbehandling kontra Digital Signalbehandling? stokastisk modellering av signalen, metoddesign baserad på signalens

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 202 2 7, kl. 9.00 4.00. (a) (i) Överföringsfunktionen ges av G(s)U(s) = G 0 (s)u(s)+g (s)(u(s)+g 0 (s)u(s)) = [G

Läs mer

Robust flervariabel reglering

Robust flervariabel reglering Föreläsning 2 Anders Helmersson andersh@isy.liu.se ISY/Reglerteknik Linköpings universitet Vad gör vi i dag Normer Representation av system Lyapunovekvationer Gramianer Balansering Modellreduktion Lågförstärkningssatsen

Läs mer

Reglerteknik AK. Tentamen kl

Reglerteknik AK. Tentamen kl Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 20 0 20 kl 8.00 3.00 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt

Läs mer

Figure 1: Blockdiagram. V (s) + G C (s)y ref (s) 1 + G O (s)

Figure 1: Blockdiagram. V (s) + G C (s)y ref (s) 1 + G O (s) Övning 9 Introduktion Varmt välkomna till nionde övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Repetition Känslighetsfunktionen y ref + e u F (s) G(s) v + + y Figure : Blockdiagram Känslighetsfunktionen

Läs mer

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58 Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58 Interpolation För i tiden gällde räknesticka och tabeller. Beräkna 1.244 givet en tabel över y = t, y-värdena är givna med fem siffror, och t = 0,0.01,0.02,...,9.99,10.00.

Läs mer

Reglerteknik AK, FRT010

Reglerteknik AK, FRT010 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRT Tentamen januari 27 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt

Läs mer

Stokastiska processer med diskret tid

Stokastiska processer med diskret tid Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna

Läs mer

Lektion 1. Bo Bernhardsson FRT130 Control Theory, Lecture 1

Lektion 1. Bo Bernhardsson FRT130 Control Theory, Lecture 1 Lektion 1 Kursinnehåll - kursprogram - schema Det praktiska - boken - idag sid 71-101 Mattebakgrund - Spannes Blixtkurs Laplacetransform AK 17 Koppling till tillståndsbeskrivning AK 18 Betoning av transienter

Läs mer

Lösningar Reglerteknik AK Tentamen

Lösningar Reglerteknik AK Tentamen Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 060 Uppgift a G c (s G(sF (s + G(sF (s s + 3, Y (s s + 3 s ( 3 s s + 3 Svar: y(t 3 ( e 3t Uppgift b Svar: (i insignal u levererad insulinmängd från pumpen, mha tex spänningen

Läs mer

2.1 Mikromodul: stokastiska processer

2.1 Mikromodul: stokastiska processer 2. Mikromodul: stokastiska processer 9 2. Mikromodul: stokastiska processer 2.. Stokastiska variabler En stokastiskt variabel X beskrivs av dess täthetsfunktion p X (x), vars viktigaste egenskaper sammanfattas

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1.

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1. REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Lösningsförslag till tentamen 2009 2 5, kl. 4.00 9.00. (a) Laplacetransform av () ger s 2 Y (s)+4sy (s)+y (s) =U(s), och överföringsfunktionen blir G(s)

Läs mer

Möbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.

Möbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1. Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är

Läs mer

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av Föreläsning 3 2(19) Kovariansfunktion: Spektrum: R u (τ) = Eu(t)u(t τ)

Läs mer

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Torsdag 5 december 206, kl. 3.00-6.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Fredrik Olsson, tel. 08-47 7840. Fredrik kommer och svarar på frågor

Läs mer

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 3. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 3. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 1 / 18 Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: TSRT09 Reglerteori Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Daniel Axehill Reglerteknik,

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4 TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 16 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

Övning 3. Introduktion. Repetition

Övning 3. Introduktion. Repetition Övning 3 Introduktion Varmt välkomna till tredje övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Nästa gång är det datorövning. Kontrollera att ni kan komma in i XQ-salarna. Endast en kort genomgång,

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Vi har ett nätverksflödesproblem med 5 noder. Låt x = (x 2, x 3, x

Läs mer

Reglerteknik I: F10. Tillståndsåterkoppling med observatörer. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik

Reglerteknik I: F10. Tillståndsåterkoppling med observatörer. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik Reglerteknik I: F10 Tillståndsåterkoppling med observatörer Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 14 2 / 14 F9: Frågestund F9: Frågestund 1) När ett system är observerbart då

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06)

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06) Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT6) 216-1-15 1. (a) Känslighetsfunktionen S(iω) beskriver hur systemstörningar och modellfel påverkar utsignalen från det återkopplade systemet. Oftast

Läs mer

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012 Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig

Läs mer

Föreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor

Föreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor Föreläsning 7: Kvadratisk optimering 1. Kvadratisk optimering utan bivillkor 2. Positivt definita och semidefinita matriser 3. LDL T faktorisering 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor 5. Minsta

Läs mer

Föreläsning 2. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 3 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Föreläsning 2. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 3 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik Föreläsning 2 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 3 september 2013 Introduktion Förra gången: Dynamiska system = Differentialekvationer Återkoppling

Läs mer

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24 Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24 Interpolation För i tiden gällde räknesticka och tabeller. Beräkna 1.244 givet en tabel över y = t, y-värdena är givna med fem siffror, och t = 0,0.01,0.02,...,9.99,10.00.

Läs mer

Kap 10 - Modeller med störningar. Hur beskriva slumpmässiga störningar?

Kap 10 - Modeller med störningar. Hur beskriva slumpmässiga störningar? Kap 10 - Modeller med störningar Notera att Beskrivning av signaler i frekvensdomänen -sammanfattning ger en bakgrund till Kap 10 och 11. Huvudpunkter: Hur beskriva slumpmässiga störningar? Data insamlas

Läs mer

Formelsamling i Automationsteknik FK

Formelsamling i Automationsteknik FK Formelsamling i Automationsteknik FK Z-transformation Antag att f(k),k = 0,,2, är en tidsdiskret signal Z-transformen av f(k) definieras av Slutvärdesteoremet F(z) = Z(f(k)) = lim k f(k)z k k=0 f(k) =

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 9

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 9 TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 9 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 20 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Olinjära system (11, 12.1)

Olinjära system (11, 12.1) Föreläsning 2 Olinjära system (11, 121) Introduktion Vad menas med ett olinjärt system? Betrakta ett system där insignalerna u 1 (t) och u 2 (t) ger utsignalerna y 1 (t) respektive y 2 (t), d v s och u

Läs mer

ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp

ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp Tid: Denna övn.tenta gås igenom 25 maj (5h skrivtid för den riktiga tentan) Plats: Ansvarig lärare: Bengt Carlsson Tillåtna hjälpmedel: Kurskompendiet

Läs mer

Faderns blodgrupp Sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Faderns blodgrupp Sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B1504 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS FÖR E3 LÖRDAGEN DEN 30 AUGUSTI 2003 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 7416. Tillåtna hjälpmedel : Formel- och

Läs mer

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori Lösningsförslag TSRT9 Reglerteori 217-3-17 1. (a) Underdeterminanter 1 s + 2, 1 s + 3, 1 s + 2, 1 (s + 3)(s 3), s 4 (s + 3)(s 3)(s + 2), vilket ger MGN dvs ordningstal 3. P (s) = (s + 3)(s 3)(s + 2), (b)

Läs mer

Sammanfattning av föreläsning 11. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 12. Simulering. Föreläsning 12. Numeriska metoder och Simulering

Sammanfattning av föreläsning 11. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 12. Simulering. Föreläsning 12. Numeriska metoder och Simulering Sammanfattning av föreläsning 11 Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 12. Simulering Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Index för en DAE Antalet derivationer som behövs för att lösa ut ż

Läs mer

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Tisdag 23 oktober 208, kl. 4.00-7.00 Plats: Polacksbackens skrivsal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl

Läs mer

Exempel: DC-servo med styrsignalmättning DEL III: OLINJÄR REGLERTEORI. DC-servo forts.: Rampsvar och sinussvar

Exempel: DC-servo med styrsignalmättning DEL III: OLINJÄR REGLERTEORI. DC-servo forts.: Rampsvar och sinussvar Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 Sammanfattning av föreläsning 7 TSRT9 Reglerteori Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet H

Läs mer

Föreläsning 1 Reglerteknik AK

Föreläsning 1 Reglerteknik AK Föreläsning 1 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik, KTH 29 augusti, 2016 2 Introduktion Example (Temperaturreglering) Hur reglerar vi temperaturen i ett hus? u Modell: Betrakta en

Läs mer

6. Reglering av stokastiska system

6. Reglering av stokastiska system 6. Stokastiska system 6. Reglering av stokastiska system Vi har hittills använt deterministiska modeller, inklusive deterministiska störningar, såsom steg, ramper och sinussignaler som inte varierar slumpmässigt.

Läs mer

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 5: RGA, IMC. Föreläsning 6. Sammanfattning av föreläsning 5: LQG. Föreläsning 6: LQ-reglering

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 5: RGA, IMC. Föreläsning 6. Sammanfattning av föreläsning 5: LQG. Föreläsning 6: LQ-reglering Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Sammanfattning av föreläsning 5: RGA, IMC TSRT9 Reglerteori Föreläsning 6: LQ-reglering Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet RGA mäter

Läs mer

TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D

TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D SAL: T1, KÅRA TID: 9 juni 2017, klockan 14-19 KURS: TSRT12, Reglerteknik Y/D PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANTAL SIDOR PÅ TENTAMEN (INKLUSIVE FÖRSÄTTSBLAD):

Läs mer

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av föreläsning 7 2(27) H 2 - och H - syntes. Gör W u G wu, W S S, W T T små. H 2

Läs mer

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Torsdag 20 oktober 20, kl. 4.00-7.00 Plats: Gimogatan 4, sal Ansvarig lärare: jartan Halvorsen, kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Reglerteknik AK Tentamen

Reglerteknik AK Tentamen Reglerteknik AK Tentamen 20-0-7 Lösningsförslag Uppgift a Svar: G(s) = Uppgift b G c (s) = G(s) = C(sI A) B + D = s. (s+)(s+2) Slutna systemets pol blir s (s + )(s + 2). G o(s) + G o (s) = F (s)g(s) +

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,

Läs mer

Exempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University

Exempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.11 September 14, 2015 Uppgifter markerade med (A)

Läs mer

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Tisdag 8 oktober 206, kl. 2.00-5.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-47070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl.0.

Läs mer

Exempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University

Exempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.1 August 25, 2015 Uppgifter markerade med (A) är

Läs mer

REGLERTEKNIK Laboration 5

REGLERTEKNIK Laboration 5 6 SAMPLADE SYSTEM 6. Sampling av signaler När man använder en dator som regulator, kan man endast behandla signaler i diskreta tidpunkter. T.ex. mäts systemets utsignal i tidpunkter med visst mellanrum,

Läs mer

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1. MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med

Läs mer

Spektrala Transformer

Spektrala Transformer Spektrala Transformer Kurssammanfattning Fyra kärnkoncept Sampling Faltning Poler och nollställen Fouriertransform Koncept #1: Sampling En korrekt samplad signal kan rekonstrueras exakt, dvs ingen information

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL0 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 00 0 4, kl. 4.00 9.00. (a) Stegsvaret ges av y(t) =K( e t/t ). Från slutvärdet fås K =, och tiskonstanten kan avläsas

Läs mer

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen: Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 6 1. Lös det icke-homogena linjära DE-systemet ( ( 0 e x t (t = x(t + 1 3 e t med elimineringsmetoden. Lösning: den explicita formen av DE-systemet är

Läs mer

Figur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d

Figur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y (för Y och D) (TSRT) 008-06-0. (a) Vi har systemet G(s) (s3)(s) samt insignalen u(t) sin(t). Systemet är stabilt ty det har sina poler i s 3 samt s. Vi kan

Läs mer

6. Reglering av stokastiska system

6. Reglering av stokastiska system 6 Reglering av stokastiska system Vi har hittills använt deterministiska modeller, inklusive deterministiska störningar, såsom steg, ramper och sinussignaler som inte varierar slumpmässigt I praktiken

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2 Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp

TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp - 0 Tid: måndag 8 Maj 0, kl 4-9 Plats: Polacksbacken Ansvarig lärare: Bengt Carlsson, tel 070-674590. Bengt kommer till tentasalen ca kl 6 och besvarar ev frågor.

Läs mer

Reglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13

Reglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 24 oktober 26 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt

Läs mer

2D1250 Tillämpade numeriska metoder II vt 06 Nada, J.Op p 1 (5) Om Verlet s metod

2D1250 Tillämpade numeriska metoder II vt 06 Nada, J.Op p 1 (5) Om Verlet s metod Nada, J.Op p 1 (5) Om Verlet s metod Eftersom det blev något fel på tavelanteckningarna 30/3 ψ-faktorn nedan tappade ett h i nämnaren - ges här en korrekt version. Vi studerar en harmonisk oscillator med

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen 2009 12 15, kl. 14.00 19.00 Hjälpmedel: Kursboken i Reglerteknik AK (Glad, Ljung: Reglerteknik eller motsvarande) räknetabeller, formelsamlingar

Läs mer

6. Stabilitet. 6. Stabilitet

6. Stabilitet. 6. Stabilitet 6. Stabilitet 6. Stabilitet Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt

Läs mer

Beskrivning av signaler i frekvensdomänen - sammanfattning

Beskrivning av signaler i frekvensdomänen - sammanfattning Beskrivning av signaler i frekvensdomänen - sammanfattning Bengt Carlsson Systems and Control Dept of Information Technology, Uppsala University January 21, 2010 Abstract Detta material ger en sammanfattning

Läs mer

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.

Läs mer

( ), så kan du lika gärna skriva H ( ω )! ( ) eftersom boken går igenom laplacetransformen före

( ), så kan du lika gärna skriva H ( ω )! ( ) eftersom boken går igenom laplacetransformen före Några allmänna kommentarer gällande flera av lösningarna: Genomgående används kausala signaler och kausala system, vilket innebär att det är den enkelsidiga laplacetransformen som används. Bokens författare

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT12)

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT12) Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT) 0-03-8. (a) Nolställen: - (roten till (s + ) 0 ) Poler: -, -3 (rötterna till (s + )(s + 3) 0) Eftersom alla poler har strikt negativ realdel är systemet

Läs mer

TIDSDISKRETA SYSTEM SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System. Tillämpad Fysik och Elektronik 1

TIDSDISKRETA SYSTEM SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System. Tillämpad Fysik och Elektronik 1 TIDSDISKRETA SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 SYSTEMEGENSKAPER x[n] System y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK,

Läs mer

Lösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013

Lösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013 Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)

Läs mer

Lösningar till tentamen i Industriell reglerteknik TSRT07 Tentamensdatum: Martin Enqvist

Lösningar till tentamen i Industriell reglerteknik TSRT07 Tentamensdatum: Martin Enqvist ösningar till tentamen i Industriell reglerteknik TSRT7 Tentamensdatum: 28-3-2 Martin Enqvist a) Z-transformering av sambanden som beskriver den tidsdiskreta regulatorn ger Iz) = KT Sz T i z ) Ez) = Kz

Läs mer

Föreläsning 9. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 30 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Föreläsning 9. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 30 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik Föreläsning 9 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 30 september 2013 Tillståndsåterkoppling Antag att vi återkopplar ett system med hjälp av u

Läs mer

Tentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016

Tentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016 Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För

Läs mer

Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4. Multiplikationsteoremet. Derivatateoremet

Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4. Multiplikationsteoremet. Derivatateoremet Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4 Fouriertransformen, forts Mer egenskaper av fouriertransformen Enkel tillämpning: Filtrera bort oönskat buller från vacker visselton Fouriertransformen, slutsats

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 172 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 172 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 12-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

Sammanfattning av föreläsning 4. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 5. Identifiering av olinjära modeller

Sammanfattning av föreläsning 4. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 5. Identifiering av olinjära modeller Sammanfattning av föreläsning 4 Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 5. Identifiering av olinjära modeller Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Linjära parametriserade modeller: ARX, ARMAX,

Läs mer

Flerdimensionella signaler och system

Flerdimensionella signaler och system Luleå tekniska universitet Avd för signalbehandling Magnus Sandell (reviderad av Frank Sjöberg) Flerdimensionell signalbehandling SMS033 Laboration 1 Flerdimensionella signaler och system Syfte: Den här

Läs mer

Fredrik Lindsten Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)

Fredrik Lindsten Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY) Innehåll föreläsning 9 2 Reglerteknik, föreläsning 9 Tillståndsbeskrivning, styr- och observerbarhet Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik

Läs mer

Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning

Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen

Läs mer

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal

Läs mer

RÄKNEEXEMPEL FÖRELÄSNINGAR Signaler&System del 2

RÄKNEEXEMPEL FÖRELÄSNINGAR Signaler&System del 2 t 1) En tidskontinuerlig signal x( t) = e 106 u( t) samplas med sampelperioden 1 µs, varefter signalen trunkeras till 5 sampel. Den så erhållna signalen får utgöra insignal till ett tidsdiskret LTI-system

Läs mer

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4

Läs mer

Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system. Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Samband poler - respons i tidsplanet

Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system. Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Samband poler - respons i tidsplanet Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Överföringsfunktion Poler, nollställen, stabilitet Samband poler - respons i tidsplanet Slut- och begynnelsevärdesteoremen

Läs mer

TSDT18/84 SigSys Kap 4 Laplacetransformanalys av tidskontinuerliga system. De flesta begränsade insignaler ger upphov till begränsade utsignaler

TSDT18/84 SigSys Kap 4 Laplacetransformanalys av tidskontinuerliga system. De flesta begränsade insignaler ger upphov till begränsade utsignaler 9 Stabilitet för energifria LTI-system Marginellt stabilt system: De flesta begränsade insignaler ger upphov till begränsade utsignaler Kap 2, bild 4 h t h( t) dt /< < t gäller för marginellt stabila LTI-system

Läs mer