Laddning av Hjälppaket:

Transkript

1 Laddning av Hjälppaket: with plots ; with LinearAlgebra ; animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot, display, dualaxisplot, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, graphplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, interactive, interactiveparams, intersectplot, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, multiple, odeplot, pareto, plotcompare, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedra_supported, polyhedraplot, rootlocus, semilogplot, setcolors, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot &x, Add, Adjoint, BackwardSubstitute, BandMatrix, Basis, BezoutMatrix, BidiagonalForm, BilinearForm, CharacteristicMatrix, CharacteristicPolynomial, Column, ColumnDimension, ColumnOperation, ColumnSpace, CompanionMatrix, ConditionNumber, ConstantMatrix, ConstantVector, Copy, CreatePermutation, CrossProduct, DeleteColumn, DeleteRow, Determinant, Diagonal, DiagonalMatrix, Dimension, Dimensions, DotProduct, EigenConditionNumbers, Eigenvalues, Eigenvectors, Equal, ForwardSubstitute, FrobeniusForm, GaussianElimination, GenerateEquations, GenerateMatrix, Generic, GetResultDataType, GetResultShape, GivensRotationMatrix, GramSchmidt, HankelMatrix, HermiteForm, HermitianTranspose, HessenbergForm, HilbertMatrix, HouseholderMatrix, IdentityMatrix, IntersectionBasis, IsDefinite, IsOrthogonal, IsSimilar, IsUnitary, JordanBlockMatrix, JordanForm, KroneckerProduct, LA_Main, LUDecomposition, LeastSquares, LinearSolve, LyapunovSolve, Map, Map, MatrixAdd, MatrixExponential, MatrixFunction, MatrixInverse, MatrixMatrixMultiply, MatrixNorm, MatrixPower, MatrixScalarMultiply, MatrixVectorMultiply, MinimalPolynomial, Minor, Modular, Multiply, NoUserValue, Norm, Normalize, NullSpace, OuterProductMatrix, Permanent, Pivot, PopovForm, QRDecomposition, RandomMatrix, RandomVector, Rank, RationalCanonicalForm, ReducedRowEchelonForm, Row, RowDimension, RowOperation, RowSpace, ScalarMatrix, ScalarMultiply, ScalarVector, SchurForm, SingularValues, SmithForm, StronglyConnectedBlocks, SubMatrix, SubVector, SumBasis, SylvesterMatrix, SylvesterSolve, ToeplitzMatrix, Trace, Transpose, TridiagonalForm, UnitVector, VandermondeMatrix, VectorAdd, VectorAngle, VectorMatrixMultiply, VectorNorm, VectorScalarMultiply, ZeroMatrix, ZeroVector, Zip Loading plottools (.)

2 Formulering av uppgiften: Hitta den andragradsyta, centrerad i origo som bäst anpassar sig till mätpunkterna och klassificera ytan: är den en ellipsoid, hyperboloid eller paraboloid eller något annat? x y z 7 3 K 4 K3 5 5 K K K3 K3 K K K K7 En andragradsyta centrerad i origo ges som en andragradsekvation i tre variabler av typen: a x C a y C z C xy C xz C yz = ; a x C a y C z C xy C xz C yz = (.) Utvikning: kvadratisk form Ett sådant uttryck kallas för en kvadratisk form och vänster led kan tolkas mha matriser: X T MX där X T = matrisen x, y, z är en radvektor och X är motsvarande kolonnvektor och M är den symmetriska a M = a ; M = a a (..)

3 Lösning: Våra mätdata insatt i (.) ger oss sju stycken ekvationer för att bestämma koeffecienterna i, i =...6. Dessa ekvationer ger oss följande matrissystem Aa=b, där a 6 K K4 4 a A d 9 4 K3 K K5 K5 ; a = ; b d ; K K3 9 K3 3 K K K K3 K K5 K K K3 9 K3 3 K a a a =

4 (3.) Vi ställer upp normalekvationens A T A a = A T b matriser ATA d MatrixMatrixMultiply Transpose A, A ; ATb d MatrixVectorMultiply Transpose A, b ; K77 K K57 75 K K K Nu löser vi normalekvationen: a d LinearSolve ATA, ATb ; (3.)

5 K K K Andragradspolynomet i tre variabler i vänster led av Ekvation (.) blir nu (3.3) Q x, y, z d a $x C a $y C $z C $x$y C $x$z C $y$z; x, y, z /a x C a y C z C x y C x z C y z (3.4) Notera att a,..., anger de respektive elementen i kolonnvektorn a så att t.ex. = Vi ska sedan plotta de värden på variablerna x, y och z som gör att detta polynom blir, vilket blir den ellipsoid vi söker. Plottning: Vi börjar med att plotta våra "mätpunkter": 7 3 K 4 K3 5 5 K K K3 K3 K K K K7

6 B d 7 3 K 4 K3 5 5 K K K3 K3 K K K K7 ; 7 3 K 4 K3 5 5 K K K3 K3 K K K K7 with plots ; animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot, display, dualaxisplot, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, graphplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, interactive, interactiveparams, intersectplot, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, multiple, odeplot, pareto, plotcompare, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedra_supported, polyhedraplot, rootlocus, semilogplot, setcolors, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot plot d pointplot3d B, symbol = diagonalcross, color = red ; PLOT3D... plot d implicitplot3d Q x, y, z =, x =K7..7, y =K7..7, z =K7..7, numpoints = ; [Length of output exceeds limit of ] display plot, plot ; (4.) (4.) (4.3) (4.4)

7 Observera att man kan rotera bilden genom att klicka och dra med musen. Jag har högerklickat på bilden och valt axes>boxed. Man kan också högerklicka och välja olika sätt att rendera bilden tex style, color, glossiness etc...experimentera själva! Vi ser ju från denna bild att ytan inte är en ellipsoid utan en enmantlad hyperboloid. Vi ska titta på matrisen som dess kvadratiska form ger a M d a ;

8 MM d evalf % ; K K K K K K K K K K K evalf ger numeriska approximativa värden. Eigenvalues MM ; K K Från detta ser vi alltså att vi har två positiva egenvärden och ett negativt vilket ger att den kvadratiska formen Q inte är positivt definit utan indefinit (Theorem 5 kapitel 7. i Lay). Endast i fallet då alla egenvärden är positiva har vi en ellipsoid. (4.5) (4.6) (4.7) Referenser