Algoritmer och skriftlig huvudräkning i klassrummet

Transkript

1 Natur, miljö, samhälle Examensarbete i fördjupningsämnet Matematik och lärande 15 högskolepoäng, avancerad nivå Algoritmer och skriftlig huvudräkning i klassrummet Algorithms and written mental arithmetic in the classroom Sara Björklund Marie Holmgren Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3, 240 högskolepoäng Examinator: Leif Karlsson Handledare: Per Schubert

2 Förord Vi är två lärarstudenter på Grundlärarprogrammet F-3 på Malmö högskola som skrivit detta examensarbete som omfattar 15 högskolepoäng. Fördjupningsämnet är matematik och lärande och detta arbete handlar om algoritmer och skriftlig huvudräkning i klassrummet. För att undersöka detta så har det gjorts intervjuer med fyra aktiva matematiklärare som har utbildning som innefattar årskurserna F-3. Mestadelen av arbetet har gjorts gemensamt, men två av intervjuerna har genomförts enskilt av en av oss. Även transkriberingarna av intervjuerna har gjorts enskilt och eftersom den ena har fått genomföra två intervjuer själv har den andra transkriberat tre intervjuer själv. Avslutningsvis vill vi tacka de medverkande lärarna för deras hjälp och Per Schubert för hans handledning. 2

3 Sammanfattning Vår inspiration till detta arbete påbörjades i en tidigare kurs när vi diskuterade vilka räknemetoder vi använder oss av vid matematiska uträkningar och utifrån detta började vi diskutera hur det såg ut i dagens skola. Diskussionen kretsade kring algoritmer och skriftlig huvudräkning eftersom det var dessa två metoder vi lärt oss och använder oss av. Algoritmer och skriftlig huvudräkning har varit omdiskuterat de senaste åren på grund av de sjunkande matematikresultaten hos svenska elever och ibland har skriftlig huvudräkning blivit beskyllt. I litteraturen påstås det ofta att algoritmer är något som lärs in och som sedan sker mekaniskt, elevers taluppfattning och matematiska förståelse ska därför bli negativt påverkade medan skriftlig huvudräkning ska vara kreativare och utgå från eleven. Syftet med detta arbete är att, genom intervjuer, belysa hur 4 aktiva matematiklärare ser på dessa två lösningsmetoder. Frågeställningarna som arbetet utgår ifrån behandlar vilka arbetsformer och metoder som används vid utlärning samt vilka teoretiska perspektiv dessa grundas på. I intervjuerna framkom det att, de flesta, lärarna föredrar främst att lära ut algoritmer framför skriftlig huvudräkning och hade bristande kunskaper om de teoretiska perspektiven på lärande men är välbekanta med Vygotskij. Nyckelord: algoritmer, matematikundervisning, skriftlig huvudräkning, teoretiska perspektiv, Vygotskij 3

4 Innehållsförteckning 1. Inledning Syfte och frågeställningar Centrala begrepp Definition av algoritmer och skriftlig huvudräkning Strategier vid algoritmräkning Addition Subtraktion Multiplikation Division Strategier vid skriftlig huvudräkning Addition Subtraktion Multiplikation Division Laborativt material Teoretiska perspektiv Moderna läroplaner Behaviorismen Vad är behavioristiskt perspektiv på lärande? Lev Vygotskij och sociokulturellt perspektiv på lärande Vad är det sociokulturella perspektivet på lärande? Mediering Tidigare forskning och litteratur Val av metod Intervjuer och val av respondenter Respondentinformation Etiska överväganden Genomförande Diskussion av metod Validitet, reliabilitet och generaliserbarhet Resultat och analys

5 7.1 Arbetsformer och metoder Anna Sofie Iris Elin Teoretiska perspektiv på lärande Diskussion och slutsats Arbetsformer och metoder Teoretiska perspektiv på lärande Vidare forskning Referenser Bilagor

6 1. Inledning Det kommer ständigt nya rapporter kring svenska elevers matematikresultat och en av dessa är Trends in International Mathematics and Science Study, TIMSS. TIMSS är en internationell studie vars syfte är att mäta och jämföra elevers kunskaper inom matematik och naturvetenskap i årskurserna 4 och 8. I en rapport, från 2011, framkom det att svenska elevers matematikresultat ligger under genomsnittet och fortsätter sjunka. Matematikresultaten för årskurs 4 har dock inte sjunkit sedan rapporten 2007 utan är stabilare än resultaten för årskurs 8 där resultaten fortsatt sjunka sedan rapporten från 2007 (Skolverket 2012). Vi har läst flertalet artiklar kring de påstådda orsakerna, till de försämrade resultaten, där bland annat skriftlig huvudräkning beskylls. Den skriftliga huvudräkningen beskylls ofta på grund av att den inte är forskningsbaserad. Dock anser många att den gynnar elevens kreativitet och används därför mycket i praktiken. En annan populär metod, som till skillnad från skriftlig huvudräkning är forskningsbaserad, är algoritmer. Många lärare anser dock att denna metod är striktare och mindre kreativ. Tidigare har vi diskuterat metoder för uträkning där det framkom att en av oss lärt sig enbart skriftlig huvudräkning medan den andra lärt sig mestadels algoritmer. Under kunskapskraven för årskurs 3 i Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr11, står det att läsa: Eleven kan använda huvudräkning för att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0-20, samt för beräkningar av enkla tal i ett utvidgat talområde. (Skolverket 2011, s. 67) Vid addition och subtraktion kan eleven välja och använda skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när talen och svaren ligger inom heltalsområdet (Skolverket 2011, s.67) Skillnaden mellan våra olika inlärda metoder för matematiska beräkningar och vad som står skrivet i kunskapskraven för årskurs 3 inspirerade oss till att välja problemområdet, algoritmer och skriftlig huvudräkning. Problemområdet intresserar oss även mycket på grund av att den skriftliga huvudräkningen används i skolan trots att det inte finns forskning kring det. Utifrån våra egna erfarenheter under vår skolgång har vi fått 6

7 uppfattningen att skriftlig huvudräkning lärs ut i större utsträckning i sociala sammanhang, genom praktiska kommunikationer mellan elever, än algoritmer. Genom våra skolår har vi upplevt att algoritmer har en tendens att läras ut i helklass genom lärarstyrda genomgångar för att sedan genomföras individuellt i matematikboken eller på ett arbetsblad. 7

8 2. Syfte och frågeställningar Syftet med denna studie är att belysa hur undervisning om algoritmer och skriftlig huvudräkning genomförs i årskurserna F-3. Följande frågeställningar undersöks. Vilka arbetsformer och metoder använder lärarna i undervisningen om algoritmer och skriftlig huvudräkning? Vilka teoretiska perspektiv präglar undervisningen? 8

9 3. Centrala begrepp 3.1 Definition av algoritmer och skriftlig huvudräkning Löwing och Kilborn (2003) benämner algoritmer som en matematisk uppställning med redan förutbestämda mönster. Vidare menar de att eftersom mönstret alltid är detsamma så kan standardalgoritmerna användas för de fyra räknesätten på tal av alla olika storlekar. Skriftlig huvudräkning följer inte ett förutbestämt mönster och kännetecknas genom att mellanled skrivs ner i uträkningen (se bilaga 2) (Rockström 2007). Med mellanled menar Rockström (2000) att man ska hitta den enklaste vägen för att räkna ut ett tal, exempelvis att man kan förändra uttryckets utseende utan att dess värde förändras för att göra detta. Rockström (2007) fortsätter med att förtydliga att hur lösningen på uppgifter ser ut vid användning av skriftlig huvudräkning är helt beroende av den enskilda elevens kreativitet och uppgifternas uppbyggnad. 3.2 Strategier vid algoritmräkning Addition Vid addition ställs talsorterna upp under varandra och under alla talen dras en linje med ett additionstecken i vänsterkanten (se bilaga 1) (Rockström 2000). Under linjen räknas svaret ut. Svaret beräknas bakifrån, så man börjar med entalen, sedan tiotalen och så vidare. Om man behöver växla över de olika talsorterna markeras detta med hjälp av en minnessiffra ovanför de redan skrivna talen Subtraktion Vid subtraktion är uppställningen det samma som vid addition, alltså ställs talsorterna upp under varandra, fast med ett subtraktionstecken i kanten (Brorsson 2013). Under talen dras en linje vilket svaret ska stå under. Precis som vid addition så börjar räkningen även här bakifrån, man börjar alltså med ental, tiotal, hundratal och så vidare. Om växling behövs göras mellan de olika talsorterna markeras det genom att dra ett 9

10 streck över den siffra du lånat ifrån och en minnessiffra tillsätts ovanför de redan skrivna talen (se bilaga 1) Multiplikation Vid multiplikation är det mestadels onödigt att ta med nollorna i slutet av talen som ska multipliceras eftersom de enklast kan sättas i slutet av produkten (Rockström 2000). Faktorerna ställs då upp, oftast med det största talet längst upp och det mindre under, med talsorterna under varandra. I multiplikationen räknar man i olika steg och återigen börjar man räkningen bakifrån. När de första två stegen, när man multiplicerar talen, är uträknade påbörjas nästa steg. Det tredje steget innebär att man adderar de två nya talen man fått fram, vilket sedan blir det slutgiltiga svaret (se bilaga 1). De minnessiffror man får antecknas på lämpligt ställe Division Vid division, räknar man ut hur många gånger ett tal (nämnare) kan upprepas i ett annat tal (täljare) (Rockström 2000). I denna strategi räknar man framifrån, man börjar alltså räkna i tusental, därefter hundratal, sedan tiotal och sist entalen. Detta är såklart beroende på hur stora tal man jobbar med. Om nämnaren inte går jämnt upp i tusentalet och man har mer över, blir detta en minnessiffra som man räknar ihop med talsorten bredvid (efter). Om man däremot inte har tillräckligt för att komma upp i en talsort får man räkna det som ett tvåsiffrigt tal istället. Det som eventuellt blir kvar blir återigen en minnessiffra och räknas ut som tvåsiffrigt tal vid fortsatt uträkning. Uppställningen är så att täljaren ställs upp på linjen och under linjen ska nämnaren stå. Nedan räknas det ut hur många gånger nämnaren kan upprepas i täljaren. Om minnessiffror krävs kan dessa ställas upp på lämpligt ställe (se bilaga 1). 3.3 Strategier vid skriftlig huvudräkning Som vi nämnt tidigare så finns det flera olika strategier vid beräkning med skriftlig huvudräkning. Nedan följer de vanligaste strategierna som används vid de fyra olika räknesätten enligt Rockström (2000). 10

11 3.3.1 Addition Vid addition finns flertalet strategier. En av dessa är att man beräknar varje talsort för sig för att i slutändan adderas tillsammans (se bilaga 2). Olika uppgifters utseende formar elevens val av strategi. En annan vanlig strategi som används är flytta överstrategin. Här letar man efter enklast möjliga sätt att förenkla ett tal, för att underlätta räkningen. Med att förenkla menar man att få så runda tal som möjligt, exempelvis jämna tusental, hundratal eller tiotal Subtraktion Precis som vid addition är principen här att räkna talsorterna var för sig. För att underlätta räkningen kan man öka eller minska en term för att få ett jämnt tal istället. Om detta görs måste man öka eller minska lika mycket på respektive sidor då skillnaden måste vara den samma (se bilaga 2). Det tredje metoden att använda är utfyllnadsstrategin, denna strategi används när talen ligger nära varandra. Strategin innebär att man fyller ut ett tal för att få jämna tiotal eller hundratal, för att det är enklare att räkna, för att sedan addera kvarvarande siffra (se bilaga 2) Multiplikation Uträkningar av multiplikation kan se ut på många olika sätt. Ett exempel är om man räknar multiplikationen som upprepad addition. Man adderar då talet flera gånger efter vartannat (se bilaga 2). Sedan kan man utveckla detta vidare med hjälp av den distributiva lagen. Den distributiva lagen innebär att man istället för att multiplicera två tal direkt använder sig av multiplikation i samband med antingen addition eller subtraktion. Det kan till exempel vara att man delar upp talet man ska multiplicera i två, till exempel tiotal för sig och ental för sig för att sedan multiplicera dessa var för sig (se bilaga 2). Man kan också räkna den distributiva lagen med alla talsorterna för sig. Ett annat sätt att räkna uttryckets värde är att räkna talet i två faktorer, och då använda den associativa lagen (se bilaga 2). Den associativa lagen innebär att oavsett ordningen på talen vid uträkningen blir svaret detsamma, detta gäller bara vid addition och multiplikation. 11

12 3.3.4 Division Vid uträkning av division kan man använda strategin att förkorta eller förlänga uttrycket för att förenkla beräkningen. Det enklaste är att försöka få en ensiffrig nämnare eller tio (se bilaga 2). 3.4 Laborativt material Laborativt material påstår Rydstedt och Trygg (2005) är ett material man använder som stöd för grundläggande matematiska begrepp och problemlösning. Laborativt material används ofta för att konkretisera något som annars är abstrakt, exempelvis ett matematiskt begrepp. Med konkret menar Rydstedt och Trygg (2005) att man kan uppleva med ett eller flera av sina fem sinnen, vilka är syn, känsel, hörsel, lukt och smak. Vidare menar Rydstedt och Trygg (2005) att abstrakt är något man inte kan uppleva med något av våra sinnen utan de menar att det är våra tankar och fantasier. Det laborativa arbetssättet kan därför vara meningsfullt för de elever med inlärningssvårigheter då de med hjälp av det laborativa materialet kan få en större kunskap än de hade kunnat få utan den extra hjälpen. 12

13 4. Teoretiska perspektiv 4.1 Moderna läroplaner Målet för matematikundervisningen utifrån Läroplan för grundskolan 1980, Lgr80, (Skolöverstyrelsen 1980) är att undervisningen ska vara baserad på elevernas vardag, erfarenheter samt behov och ska bidra till att göra eleverna till funktionsdugliga medborgare. Eleverna ska ges kunskaper om huvudräkning som de kan använda i vardagliga situationer för att lösa matematiska problem. För att behärska problemlösning anser Lgr80 att det krävs att man förstår problemet samt att man kan välja lämpliga lösningsmetoder. Algoritmräkning vid addition, subtraktion, multiplikation och division nämns. Det skrivs att elever ska ha uppnått säkerhet i sina algoritmer vid additions- och subtraktionsräkning innan man behandlar algoritmer i multiplikation och division. Det betonas också att det är viktigt att öva in multiplikations- och divisionstabellerna då de är viktiga förkunskaper vid såväl huvudräkning som vid inlärning av motsvarande algoritmer. I Kursplaner för grundskolan, Lpo94, (Utbildningsdepartementets 1994) är målet för matematikundervisningen att ge eleverna kunskaper i grundläggande matematik, utveckla elevernas problemlösningsförmåga samt ge eleven tilltro till sig själv, sin förmåga och sin kunskap. Undervisningen ska syfta till att ge eleverna möjlighet till att använda matematik i olika situationer, kunna föra logiska resonemang samt förstå och använda grundläggande matematiska metoder. Eleverna ska med både huvudräkning och skriftliga räknemetoder ha grundläggande färdigheter i räkning med naturliga tal när år 5 är avslutat. Matematikundervisningen i Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr11, (Skolverket 2011) syftar till att ge eleverna tilltro till sig själva och sin förmåga att använda matematiken i vardagliga situationer. Eleverna ska utveckla kunskaper att välja, argumentera för samt tillämpa lämpliga strategier vid problemlösning. I kunskapskraven står det att eleven ska kunna använda huvudräkning och skriftliga räknemetoder för att genomföra beräkningar med hjälp av de fyra räknesätten. 13

14 I de olika läroplanerna finns flertalet likheter men också skillnader. En stor skillnad mellan de olika läroplanerna är att de nämner algoritmräkningen olika mycket. I Lgr80 nämns algoritmräkningen i ord medan den i Lpo94 och Lgr11 inte belyses specifikt som algoritmer utan benämns istället som skriftliga räknemetoder, vilket också kan syfta på skriftlig huvudräkning. 4.2 Behaviorismen Ivan Pavlov är ett centralt namn inom behaviorismen där man anser att lärandet är grundat i de fysiska erfarenheter en individ gör (Säljö 2014). Enligt Säljö (2014) var Pavlov intresserad av reflexer, en naturlig reaktion, som sedan ledde vidare till något som kallas betingad reflex. Den naturliga reaktionen kallas obetingad reflex och den är medfödd medan en betingad reflex är en reaktion som är inlärd. Pavlov ville utforska vidare på betingad reflex för att förstå hur de utvecklas och hur de kan kontrolleras genom stimulus och respons. Stimulus är det som startar förloppet, en retning, och respons är ett annat namn för reaktionen (Säljö 2014). En annan känd person inom behaviorismen är John B. Watson som utgick från de redan existerande behavioristiska tankarna, nämligen hur djurs och människors beteende styrs av stimuli (Egidius 2002, s. 26), för att sedan utveckla dem vidare. Till skillnad från Pavlov var Watson intresserad av att utföra experiment på människor och hur människans beteende kunde styras utifrån belöning och bestraffning. Hans mest kända experiment var ett experiment på den 11 månader gamla Albert. Experimentet påbörjas med att Albert leker med en av Watsons vita försöksråttor som han har i sitt laboratorium. När Albert en dag lekte med en av råttorna skapade Watson ett högt skrämmande ljud, vilket gjorde Albert rädd, och då skapade en rädsla för den vita råttan (Nationalencyklopedin 2016). Så småningom utvecklades även rädslan för andra vita saker, till exempel vita kaniner, vita hundar och även människor med vitt skägg (Psykologiguiden 2016). Inom psykologin kallas det generalisering. Enligt Egidius Termlexikon i psykologi, pedagogik och psykoterapi (2002) är generalisering: 14

15 1. att djur och människor reagerar med samma reaktion på likartade stimuli. 2. att dra slutsatser från några få fall till samtliga. (Egidius 2002, s. 82) 4.3 Vad är behavioristiskt perspektiv på lärande? Den behavioristiska teorin menar Dysthe (2003) är baserad på att kunskapen är objektiv och kvantitativ. Hon menar att inlärningsprocessen hos barnet sker i flertalet små steg, fem stycken, med tillhörande förstärkning efter varje uppnått steg. De olika stegen berör hur inlärningen ska ske; vilka kunskapsbitar som ska läras ut när samt hur kunskaperna sedan ska flätas samman och organiseras, hur kunskaperna ska testas samt hur inlärningen ska motiveras och förstärkas. Säljö (2014) menar att behavioristiskt synsätt på lärande innebär att lärande ses som grundat i de fysiska erfarenheter en individ gör (s. 50). 4.4 Lev Vygotskij och sociokulturellt perspektiv på lärande Lev Vygotskij, kan också stavas Vygotsky, är upphovsman till det sociokulturella perspektivet på lärande och ansåg att allt lärande skedde i sociala sammanhang (Smidt 2010). Enligt Pinter (2006) var Vygotskij intresserad av barnet som en individ och hur det lär sig. Han utforskade hur mycket ett barn kunde uppnå med hjälp från någon som har mer kunskap än barnet själv (Vygotsky 1978). Vidare menade han att den sociala miljön spelade en viktig roll i barns lärande och gjorde både föräldrar och lärare medvetna om den kraftfulla effekten av det sociala sammanhanget (Pinter 2006). Utifrån detta införde han begreppet den proximala utvecklingszonen vilket förklarar skillnaden mellan barnets tidigare kunskap och kunskapen det kan bygga med hjälp av andra med mer kunskap, exempelvis en förälder eller en lärare (Pinter 2006). Han ansåg att kunskaper medierades genom personer med mer kunskap och mer erfarenheter och att detta skedde i sociala sammanhang. Fortsättningsvis argumenterade han för att man ska arbeta inom den proximala utvecklingszonen för lärande eftersom lärandet då blir 15

16 baserat på barnets tidigare kunskaper och försiktigt byggs upp utifrån det enskilda barnet (Vygotsky 1978). [...] that what is in the zone of proximal development today will be the actual development level tomorrow - that is, what a child can do with assistance today she will be able to do by herself tomorrow. (Vygotsky 1978, s. 87) 4.5 Vad är det sociokulturella perspektivet på lärande? Lärande har med relationer att göra; lärande sker genom deltagande och genom deltagarnas samspel; språk och kommunikation är grundläggande element i läroprocesserna; balansen mellan det individuella och det sociala är en avgörande aspekt på varje läromiljö; lärande är mycket mer än det som sker i elevens huvud och har att göra med omgivningen i vid mening. (Dysthe s. 31) Dysthe (2003) menar att kunskap konstrueras när människor, med samma kulturella gemenskap, tillsammans medverkar i en praktisk aktivitet. Detta är något Roger Säljö (2014) håller med om och betonar att kommunikation är centralt inom det sociokulturella perspektivet eftersom lärande och utveckling sker i samspel med andra människor genom kommunikativa praktiker. Kommunikation är alltså det som gör att en individ får ta del av kunskaper och färdigheter. Vidare menar Säljö (2014) att hela vår samvaro bygger på att människor alltid delat med sig av sina kunskaper till varandra och därför anser han att man kan hävda att det vardagliga samtalet är den viktigaste byggstenen i skapandet av ny kunskap. Även Pinter (2006) betonar att det är genom kommunikation som förståelse och lärande sker vilket gör det viktigt att tänka på vilket språk som används. Fortsättningsvis betonar hon vikten av språket eftersom det är vad som används för att uttrycka våra tankar, idéer och ställa frågor när det behövs. Ur ett sociokulturellt perspektiv påpekar Säljö (2014) att det inte går att undvika att lära utan att det snarare behandlar vad vi lär oss i olika situationer. Därav menar han att kunskapsöverföring sker vid genomförande av en aktivitet vare sig vi är medvetna om det eller inte (Säljö 2014). Vidare talar han om att ett barn blir mer medvetet om vad 16

17 som är värdefull och intressant kunskap genom att höra andra diskutera deras föreställning av världen. Fortsättningsvis skriver han att barnet föds på detta sätt in i interaktiva och kommunikativa förlopp som redan pågår och i dessa förlopp finns perspektiv på och förhållningssätt till omvärlden redan inbyggda (Säljö 2014, s. 37) Mediering Begreppet mediering är således mycket centralt och kanske det mest annorlunda antagandet i en sociokulturell tradition [...] Mediering innebär att vårt tänkande och våra föreställningsvärldar är framvuxna ur, och därmed färgade av, vår kultur och dess intellektuella och fysiska redskap. [...] Men mediering av verkligheten via praktiska och intellektuella redskap är en realitet, och detta är alldeles särskilt påtagligt i det komplexa samhället. (Säljö 2014, s ) Smidt (2010) skriver att mediering är att man med hjälp av kulturella redskap kan göra kvalitativa förändringar av tänkandet med hjälp av exempelvis kommunikabla system, bland annat språket, delger man varandra av sina tankar och idéer utifrån verkligheten. Fortsättningsvis menar hon att när man känner till barnets tidigare kunskaper kan man utifrån dem bygga upp en ny värld som barnet kan fortsätta lära i och bidra med egen kunskap kring. 17

18 5. Tidigare forskning och litteratur En av våra frågeställningar behandlar arbetsformer och metoder i klassrummet och kring detta fann vi ingen forskning. Därav valde vi att belysa synen på skriftlig huvudräkning och algoritmer, vilka fördelar och nackdelar det finns. Detta är något som kommer genomsyra både resultatdelen och diskussionen i förhållande till arbetsformer och metoder. När man talar om skriftlig huvudräkning är det väsentligt att nämna Birgitta Rockström eftersom hon är en stark förespråkare, dock ingen forskare, för arbetssättet då hon anser att elever inte får någon förståelse för matematik genom algoritmräkning. Enligt Rockström (2000) används algoritmräkning när huvudräkning är för komplicerat eller tar för lång tid. Vidare menar hon att det finns risk att taluppfattning fattas om man arbetar med algoritmer eftersom alla tal räknas som ental (Rockström 2007). Fortsättningsvis menar hon att förståelsen för matematik saknas eftersom hon anser att algoritmräkningen är en mekanisk räkning vilket hon märkte speciellt tydligt när hon frågade hur en textuppgift skulle lösas. Svaret hon fick var att man skulle ställa upp det medan hon hade förväntat sig att svaret skulle vara exempelvis ett räknesätt (Rockström 2000). Hennes påståenden är starka för att sakna vetenskaplig grund och är endast förankrade i erfarenheter från sin egen undervisning. Eftersom hon ansåg att algoritmer ledde till mekanisk räkning ville hon förändra sin undervisning genom att istället arbeta med skriftlig huvudräkning som hon anser vara kreativare. Arbetssättet skriftlig huvudräkning menar Rockström (2000) är mer kreativt för att det låter eleven tänka själva, utan följa förutbestämda mönster, vilket gör att en lösning av en uppgift kan se ut på många olika sätt men ändå vara rätt. Hon anser också att skriftlig huvudräkning skapar en utmärkt situation där läraren har möjlighet att följa elevens tankegångar och utveckling samt att de kan korrigera eventuella fel och brister. Carin- Sofie Marklund är av ungefär samma åsikt, Rockström när det gäller algoritmer och skriver att man flyttar siffror utan att egentligen förstå vad man gör (Marklund 1993, s. 15). Marklund (1993) menar vidare att algoritmräkning leder till att eleverna arbetar enskilt istället för att arbeta med kommunikation och problemlösning. Precis som med Rockström är dessa slutsatser dragna utifrån hennes egna erfarenheter som lärare. 18

19 Madeleine Löwing och Wiggo Kilborn (2003) påstår också att man övar in en automatisering när man använder sig av algoritmräkning och når därför inte en förståelse för matematiken och dess lagar. Erika Nygren och Helena Persson (2006) diskuterar i en artikel, publicerad i Nämnaren, om skriftlig huvudräkning är en algoritm eller inte. De påstår att algoritmer och skriftlig huvudräkning är varandras motståndare eftersom algoritmer blivit kritiserade för att inte bygga på förståelse medan skriftlig huvudräkning ska vara en metod där eleverna själva finner sin lösningsmetod baserat på deras egna tankar. Rolf Hedrén (1999), i Nämnaren, stöttar tanken bakom skriftlig huvudräkning genom att skriva att elever får ökad taluppfattning genom att vara delaktiga i att utveckla sina egna lösningsmetoder. Vidare framhäver han dock att om skriftlig huvudräkning övertas från någon annan riskerar det att bli en algoritm eftersom ett förutbestämt mönster lärs ut. Avslutningsvis anser Nygren och Persson (2006) att om skriftlig huvudräkning lärs ut som en metod så är det en algoritm. Detta är något som Per-Olof Bentley och Christine Bentley (2011) delvis håller med om genom att påstå att skriftlig huvudräkning är en algoritm eftersom uträkningarna skrivs ner. Som tidigare nämnt, benämner Löwing och Kilborn (2003) algoritmer som en matematisk uppställning som följer redan förutbestämda mönster och mönstret är alltid detsamma. Rockström (2007) argumenterar emot att skriftlig huvudräkning skulle vara en algoritm eftersom hon anser att mellanleden inte följer ett förutbestämt mönster. Vidare betonar hon att det är eleverna själva som avgör hur lösningen på en speciell uppgift ser ut utifrån deras egen kreativitet och uppgiftens uppbyggnad. Alistair McIntosh (2007) hävdar att traditionellt har formella skriftliga algoritmer introducerats innan barnen har haft tillräckliga grundläggande tabellkunskaper och föga förståelse för positionssystemet (McIntosh 2007, s. 16). McIntosh har ansvarat för ett tvåårigt projekt, Developing Computation i Tasmanien, där målsättningen var att studera hur man kan gå från huvudräkning till informell skriftlig beräkning, utan att undervisa om standardalgoritmer för addition och subtraktion (McIntosh 2007, s. 10). I projektet observerade de årskurserna 2-4 på nio olika skolor när de gick från huvudräkning vidare till de lite mer informella skriftliga räknemetoderna, algoritmer. De skulle också kartlägga vilka effekter det hade på både elever och lärare. Lärarna som 19

20 medverkade i projektet ansåg vid avslutandet att elevernas kompetens och självförtroende samt förståelse för positionssystemet hade höjts. De ansåg också att det var viktigt att utveckla informella skriftliga metoder som en bro mellan huvudräkning och formella skriftliga metoder (McIntosh 2007, s.19). Samtliga lärare hävdade fortfarande att elever behövde lära sig standardalgoritmerna men ansåg att det skulle ske i ett senare skede av skolan (McIntosh 2007). Enligt Doug Clarke (2007) har Narode, Board och Davenport (1993) utfört en studie på 19 elever i årskurserna 1, 2 och 3 under ett års tid för att undersöka vilka räkningsmetoder de använde. Studien genomfördes på det sätt att samtliga elever fick ett antal matematiska uppgifter som de skulle lösa, både vanliga räkneuppgifter och textuppgifter. De blev intervjuade under tiden och själva intervjun blev videoinspelad. Ett exempel från deras studie visar på en flicka som slutar lita på sin egen förmåga att skapa egna strategier och sin förståelse för tal. Hon väljer istället att följa ett förutbestämt mönster. Clarke (2007) skriver att de sammanfattar i sitt resultat av studien att de tror att elever genom att man motiverar dem att använda en specifik metod, i detta fall algoritmer, tappar sin egen kapacitet att skapa kreativa och flexibla lösningar. Det finns enligt Clarke (2007) ett antal anledningar till att algoritmer lärs ut i de tidigare årskurserna och punktar upp ett antal motiv utifrån andra författare: Standardalgoritmer har sedan många år en central plats i matematikundervisningen i tidigare skolår. Deras styrka ligger i att de kan användas för att lösa många problem, i synnerhet beräkning med många tal inblandade, då minnet kan överbelastas. Algoritmer är koncentrat, de sammanfattar flera beräkningssteg, inklusive distributivitet och associativitet. De är självgående, kan läras och användas utan att man behöver förstå hur och varför algoritmen fungerar. De är snabba, med en direkt väg till svaret. De ger skriftliga underlag för beräkningar vilket gör det lätt för lärare och elever att kontrollera och hitta fel. Algoritmen kan vara upplysande. De är lätta att hantera och utvärdera för läraren. (Clarke 2007, s. 22) 20

21 Constance Kamii (1997) har genomfört en studie om algoritmer för att visa att de är skadliga för elevers taluppfattning. Studien genomfördes genom att hon intervjuade elever enskilt i 12 klasser från årskurs 2 till årskurs 4. I vissa av dessa klasser lärdes det inte ut algoritmer medan i vissa gjordes det, i årskurs 4 lärdes det ut algoritmer i alla klasser. Eleverna fick ut ett papper med uppgifter, anpassat efter deras årskurs, som de skulle lösa och diskutera deras lösning. Kamii (1997) märkte tydligt att elevers taluppfattning blev påverkad av algoritmer. Ett tydligt exempel på detta fann hon i svaret på en uppgift i årskurs 2 när denna uppgift skulle räknas ut: I de klasserna där algoritmer inte lärts ut fick 11% svaret 99 medan i klassen där algoritmer lärts ut var det 79% som svarade 99. När de frågade om eleverna tyckte de lät rätt så var det ingen av eleverna som märkte något fel med deras svar. Enligt Kamii (1997) är det klart att de som lärt sig algoritmer adderade det i kolumner utan att tänka på tiotal och ental. Avslutningsvis i sin diskussion skriver hon: Algorithms are harmful to children s development of numerical reasoning for two reasons: (a) They unteach place value and discourage children from developing number sense, and (b) they forced children to give up their own thinking. Children s natural way is to think about numbers from left to right. However, algorithms require them to give up this thinking and to proceed from right to left and to treat each column as ones. (Kamii 1997, s. 59) 21

22 6. Metod 6.1 Val av metod Vårt val för insamling av empiri var intervjuer som skedde en och en. I vårt fall kände vi att det var mer givande att genomföra intervjuer än att genomföra observationer speciellt eftersom det är intressant hur lärarna tänker om sin egen undervisning. Anledningen till att vi valde att intervjua lärare en och en var för att Alvehus (2013) påpekar att i fokusgrupper så finns det en risk att individuella och avvikande åsikter inte kommer till tals då där kan finnas en dominerande personlighet som tar över. Han nämner också att individens roll kan bli mer undanskymd. Vi valde att använda oss av en semistrukturerad intervjuform där man skriver ned en del strukturerade frågor och därefter lyssnar och bygger på med uppföljningsfrågor utifrån respondents svar (Alvehus 2013). Enligt Bryman (2011) är frågorna under en semistrukturerad intervju mer av en allmän karaktär än vid en strukturerad intervju vilket vi ansåg gav respondenterna större möjlighet att svara fritt kring frågorna utan att känna att de måste ha ett specifikare eller korrekt svar. När vi diskuterade hur intervjuerna skulle genomföras fanns en tanke om att genomföra dem med två lärare åt gången. Detta var för att det då kunde skapas en diskussion mellan dessa två och en djupare inblick i deras åsikter hade kunnat bli möjlig. En av nackdelarna med detta hade varit att det finns en risk att en av dem tar över samtalet genom att vara den mer dominanta parten. 6.2 Intervjuer och val av respondenter Vårt sökande efter respondenter påbörjades genom att vi kontaktade våra respektive partnerskolor för att se om de hade tid och möjlighet att hjälpa oss. Trots klartecken från båda rektorerna att genomföra intervjuerna verkade det som att ingen av lärarna på partnerskolorna skulle kunna ställa upp. På den ena partnerskolan fick vi inte tag på någon lärare eftersom de var mitt uppe i att genomföra utvecklingssamtal. På grund av detta samt att den andra partnerskolan inte gett något tydligt svar bestämde vi oss för att kontakta flertalet andra skolor. Detta gjorde vi genom att gå via Malmö Stads hemsida och kontakta rektorer på arton av grundskolorna i Malmö. Några av rektorerna nekade med anledningar som utvecklingssamtal, sjukdom och att det redan var mycket press på 22

23 lärarna som det var. Vi fick även godkännande av några rektorer som kontaktade matematiklärarna på skolorna om vår förfrågan. Av flertalet kontaktade lärare var det endast en lärare som valde att återkomma till oss med ett svar. Eftersom det endast var en lärare som återkom är det svårt att veta varför de andra lärarna inte kunde eller ville medverka. Vi drog dock slutsatsen att de flesta lärare är upptagna med utvecklingssamtal med mera och därför hade inte tid att medverka. Trots flera veckors väntande har vi fortfarande inte mottagit svar från alla rektorer. Av de arton skolor vi mejlade var det endast en skola där vi fick genomföra en intervju och av våra partnerskolor var det bara en som kunde medverka och där fick vi ihop tre intervjuer. Valet av respondenter blev därför inte stort som vi hade hoppats på och vi var även tvungna att intervjua lärare som för tillfället inte aktivt arbetar i de årskurser vi efterfrågade. Trots detta har vi valt att intervjua dessa lärare eftersom deras utbildning gäller även de årskurser vi är intresserade av och att de tidigare arbetat i de tidigare årskurserna. 6.3 Respondentinformation Den första läraren vi intervjuade tog examen från Malmö högskola år 2013 där hennes huvudämne var SO (samhällsorienterande ämnen) och barns lärande. Därefter har hon valt att läsa till svenska, matematik samt NO (naturorienterande ämnen). Idag arbetar hon i en förskoleklass men har även matematik i en årskurs 6. Under intervjun framkom det även att hon har erfarenhet av att arbeta i en årskurs 3. Matematiken är hennes huvudämne på skolan där hon arbetar och arbetar med att utveckla matematikundervisningen på skolan. Denna lärare benämns Anna. Vår andra intervju var med en lärare som tog examen år 2006 med inriktning grundskolans tidigare år. Hon ansåg att det var diffust om utbildningen gällde upp till årskurs 5 eller 6 men betonade att hennes legitimation gäller till årskurs 6. Hon valde SO (samhällsorienterande ämnen) som fördjupning och valde sen ut vissa kurser, däribland valde hon matematik, NO (naturorienterande ämnen) samt svenska som tillval. Hon har senare läst till engelska på lärarlyftet och går, vid genomförandet av denna intervju, matematiklyftet. Idag arbetar hon i en årskurs 4 men det framkom under intervjun att hon arbetat i både en årskurs 2 och årskurs 3. Denna lärare benämns Sofie. 23

24 Den tredje intervjun genomfördes med en lärare som tog examen 2000 som grundskolelärare för årskurserna 1-7. Hon hade matematik och NO (naturorienterande ämnen) som huvudämne och går, vid genomförandet av denna intervju, matematiklyftet. Hon har arbetat mycket med Montessori och betonar att hon under sina snart 16 år som lärare sett elever med olika bakgrund och förutsättningar. För tillfället arbetar hon med matematik i en årskurs 5 och NO (naturorienterande ämnen) i en årskurs 4. Denna lärare benämns som Iris. Vår sista, och fjärde, intervju var med en lärare som är både utbildad fritidspedagog och lärare. Hennes ämne är matematik och NO (naturorienterande ämnen) hela vägen från årskurs 1 till årskurs 6 eller 7 då hon inte var säker på vilken årskurs hon har behörighet till. För tillfället undervisar hon en årskurs 3 men nämner senare att hon bara har tagit över klassen för en termin. Precis som de två tidigare nämnda lärarna går även denna lärare matematiklyftet vid genomförandet av denna intervju. Denna lärare benämns som Elin. 6.4 Etiska överväganden Utifrån Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning finns det fyra krav på hur respondenter ska bli förberedda inför forskningstillfället. Det första kravet är informationskravet vilket innebär att respondenten ska informeras kring följande; att dess medverkan är frivillig, vilka villkor som finns för medverkan samt att intervjun kan avbrytas när som helst om så önskas. Andra kravet är samtyckeskravet och berör respondentens samtycke, exempelvis om intervjun ska spelas in via ljudinspelning för senare bruk. Det tredje kravet är konfidentialitetskravet som handlar om hur respondentens ska få bestämma hur deras medverkan ska se ut och kunna avbryta den utan några negativa konsekvenser. Sista, och fjärde, kravet är nyttjandekravet och det berör respondentens rätt att inte bli utsatt för påtryckningar oavsett om den väljer att medverka eller inte samt om den skulle vilja avbryta intervjun. Utifrån dessa krav valde vi att vid kontaktandet av respondenter beskriva dess rättigheter när det gäller frivillig medverkan, att de medverkandes uppgifter är anonyma, att deras samtycke och medverkan styr intervjun samt om intervjun fick upptas som ljudinspelning för senare transkribering. Respondenterna blev även 24

25 informerade kring ämnesinnehåll samt uppskattad intervjulängd innan intervjuerna utfördes. 6.5 Genomförande Varje intervju varade mellan minuter beroende på informationen vi fick och längden på respondentens svar och dokumenterades med hjälp av en ljudinspelning gjord på våra mobiltelefoner. Detta för att dokumenteras ordagrant i en transkribering för att sedan kunna analyseras. Alla intervjuer utgick från våra redan förberedda öppna frågor men följdes upp annorlunda beroende på respondentens svar. Den första intervjun genomfördes i ett konferensrum på respondentens skola. Efter lite småprat med respondenten där vi bland annat berättade syftet med vår intervju och hennes rättigheter påbörjades intervjun. Andra intervjun genomfördes i ett lärarrum på en av våra partnerskolor. Vi småpratade lite med respondenten och informerade henne återigen om syftet med vår intervju och om respondentens rättigheter. Under intervjuns gång råkade det komma in en annan lärare som ursäktade sig och gick ut igen. Efter intervjun var där lite småprat vilket gav oss mer information än bara den som vi fick med på ljudinspelningen. Tredje intervjun genomfördes på samma partnerskola och i samma lärarrum som vid intervju två. Innan intervjun småpratade vi lite med respondenten för att informera henne om intervjun syfte samt om hennes rättigheter. Efter intervjun blev det lite småprat vilket återigen gav oss mer material som vi inte fick med i ljudinspelningen. Fjärde intervjun genomfördes återigen på samma partnerskola, men denna gång i ett klassrum. Innan intervjun informerade vi respondenten om intervjuns syfte samt om dennes rättigheter. Innan intervjun hann börja kom det in elever i klassrummet för att kivas med respondenten, som skickade ut dem och låste dörren så vi inte skulle störas. Under intervjun kom där även in en lärare från ett annat rum, men denne vände snabbt när den insåg att vi var där. Efter intervjun fortsatte vi småprata lite vilket även denna gång gav oss mer information som vi tyvärr inte fick med på ljudinspelningen. 25

26 6.6 Diskussion av metod Validitet, reliabilitet och generaliserbarhet Vi anser att vår metod gav oss användbar information för att få svar på våra frågeställningar och kunskapen vi fick ut var givande. Vi valde matematiklärare med erfarenhet inom både algoritmer och skriftlig huvudräkning men kunskapen kring teoretiska perspektiv på lärande var bristande. Alvehus skriver att reliabilitet avser huruvida forskningsresultatet är upprepningsbara (Alvehus 2013, s. 122). I vårt fall anser vi att reliabiliteten är låg. Det var endast fyra intervjuer som genomfördes med kvinnliga matematiklärare som alla avslutade sin utbildning under 2000-talet. Vi tror inte att vår undersökning hade kunnat genomföras igen med samma resultat om intervjuerna sker med andra lärare och eftersom vår intervjuform även var semistrukturerad så ställdes olika uppföljningsfrågor till de olika lärarna utifrån deras svar. Vi tror också att vårt resultat hade sett annorlunda ut om vi hade mer empiri från fler matematiklärare. Generaliserbarhet innebär att det finns tillräckligt urval att dra en slutsats. Vi anser att vi har haft tillräckligt många respondenter för att kunna dra en slutsats men tror att slutsatsen hade sett annorlunda ut med ett större urval. Med större urval menar vi fler respondenten av olika kön, ålder, lärarutbildning (åldersinriktning) och yrkeserfarenhet. 26

27 7. Resultat och analys 7.1 Arbetsformer och metoder Samtliga lärare betonade att de använder laborativt material i klassrummet för att synliggöra matematiken, alltså gå från det konkreta till det abstrakta. Som tidigare nämnts så skriver Rydstedt och Trygg (2005) att laborativt material används för att gå från något konkret vidare till det abstrakta, exempelvis ett matematiskt begrepp. Anna förtydligade att hon använder laborativt material för att eleverna ska kunna få känna, kunna få ta, att sätta det till ett, till ett verkligt sammanhang. Iris betonade att hon använder laborativt material i sin undervisning så att det bara inte blir ett görande. Elin delade med sig om sina tankar kring att undervisningen måste vara så rolig och så kreativ som möjligt. Fortsättningsvis betonade hon vikten av att det måste vara tydligt och eleverna måste förstå vad det är de jobbar med i matematiken och för att förstärka deras förståelse arbetar hon mycket laborativt. Sofie nämnde bara ordet laborativt en gång under intervjuns gång, i samband med matematikboken. Hon berättade att matematikboken bland annat innehåller aktiviteter där elever ska ges möjlighet att arbeta med laborativt material. Ett vanligt laborativt material, som används av samtliga lärare i våra intervjuer, är pengar. Elin anser att det är lättast att arbeta med pengar när man ska prata om växling vid utlärning av algoritmer vilket är något Sofie håller med om. Sofie menar att det blir tydligt hur många, exempelvis, hundralappar det går på en tusenlapp och på detta sätt blir växling synligare för eleverna. I hennes klassrum hade hon gjort det genom att hon hade satt upp en tusenlapp på tavlan och sen satte upp hur många hundralappar det blev. Efteråt växlade hon neråt för att göra det visuellt för eleverna att pengarna försvinner inte eller siffrorna försvinner inte, den här tusenlappen är kvar hela vägen trots att den är uppdelad i hundratal, tiotal och ental. Dock tillägger Sofie att pengar inte är lika lätt att använda idag som förr då det idag allt oftare betalas med kort istället för med lösa pengar. Anna sa att hon använder pengar i sin matematikundervisning för att det ska bli enkelt och konkret för barnen och Iris är av ungefär samma åsikt. Hon använder pengar för att ge sina elever den matematiska förståelsen för vad de gör för något, speciellt vid utlärning av algoritmer. Hon anser att det lärs ut på bästa sätt genom att 27

28 man visar tydligt med pengar vad det är man gör innan man övergår till en algoritm, just för den matematiska förståelsen. Iris berättade också att vid utlärning av algoritmer använder hon ett material som består av ental, och tiotal och hundratal. Detta nämndes i samma mening som pengar och är också till för att hon vill bygga på elevernas förståelse rent matematiskt om vad som ligger bakom en algoritm. Hon understryker vikten av att eleverna får en bild av talen i en algoritm innan man går vidare till själva algoritmen. Detta följer Rydstedt och Tryggs (2005) tanke om att laborativt material ska användas för att gå från något konkret vidare till något abstrakt. Elin nämnde att hon, förutom pengar, använder multibas i sin undervisning. Multibas är ett material som innehåller kuber som symboliserar ental, tiotal, hundratal och tusental. Entalen är små enstaka kuber och tiotalen är tio sådana kuber som sitter på rad, hundratalen är tio av tiotalen som sitter ihop till något som liknar en bricka och sen sitter tio hundratal ihop för att bilda tusentalet som ser ut som en stor kub (se bilaga 4). Utifrån vad Iris berättade verkar det som om det är det materialet som används i hennes klassrum också. Andra laborativa material som togs upp var exempelvis tärningar som Sofie nämnde att hon använde i sin undervisning men det förtydligades aldrig hur hon använde dem. Hon tillade även att hon använde sig av speciella mallar i sin undervisning där eleverna kunde träna på, exempelvis, positionssystemet. Anna berättade att hon i sin förskoleklass arbetade med bland annat kroppen för att det ska bli enkelt och konkret för eleverna. Av samtliga lärare var det tre lärare som nämnde matematikboken i deras undervisning. Sofie berättade att vid utlärning av algoritmer brukar hon oftast ha en genomgång vid tavlan och att hon sedan låter dem arbeta enskilt i sina matematikböcker. Dysthe (2003) menar att inom den behavioristiska teorin kring lärande är kunskap både objektiv och kvantitativ. Kunskapen är alltså neutral och mätbar. Fortsättningsvis sa Sofie att hon följer matematikboken i sin undervisning och arbetar mycket utifrån den men tillägger även att under vissa genomgångar använder hon sig av något som kallas EPA. EPA står för Enskilt, Par, Alla och går ut på att man först tänker själv innan man pratar med exempelvis sin bänkkamrat för att sedan prata alla, exempelvis helklass. Vygotsky (1978) hävdar att barn lär sig genom att kommunicera med någon med mer kunskap och 28

29 mer erfarenhet i sociala sammanhang, vilket ges möjlighet till när man arbetar med EPA. Senare i intervjun nämns det också att hon under genomgångar ibland låter eleverna komma fram till tavlan och lösa algoritmer. Det är då viktigt att de delger hur de gör och varför de gör det. Elin nämner också matematikboken och hon nämner den i samband med skriftlig huvudräkning. Hon berättar att i matematikboken som används i hennes klassrum förespråkas mestadels skriftlig huvudräkning. Iris nämnde också under hennes intervju att deras läromedel innehöll en del skriftlig huvudräkning. Elin fick frågan om hon hade någon aning om varför det var så och svarade: Nej det har jag egentligen inte, ehm jag vet inte, men man upplever att det är lättare och det kanske det är också, för vissa är det ju säkert det men jag. I denna klassen funkar det inte alls, eh, (Elin) Rockström (2000) anser att skriftlig huvudräkning är kreativare och ger eleven möjlighet att finna sina egna lösningar, att de inte ska följa ett förutbestämt mönster. När Elin sedan fick frågan om hon använder någon speciell metod när hon lär ut skriftlig huvudräkning så svarade hon att hon utgår från det som finns i boken, dock upplever hon att matematikboken har väldigt många olika metoder är lära ut. Hon anser att det blir rörigt för eleverna eftersom de tror att det är jättemånga olika metoder de ska lära sig och kunna. Hedrén (1999) anser dock att eftersom metoden, i detta fall skriftlig huvudräkning, övertas från någon annan så följer det ett redan förutbestämt mönster och blir därav en algoritm. Nygren och Persson (2006) anser att om skriftlig huvudräkning lärs ut som en metod så är det en algoritm men utifrån Löwing och Kilborn (2003) är algoritmer en matematisk uppställning som alltid följer samma förutbestämda mönster. Elin nämner att matematikboken visar flera olika sätt att utföra den skriftliga huvudräkningen. Vidare betonar hon att skriftlig huvudräkning inte passade hennes klass utan att algoritmer var mer passande för just den klassen. Fortsättningsvis fick hon frågan om ifall hon märkt att eleverna fått sämre taluppfattning och sämre kunskaper om positionssystemet. Kamii (1997) påstår att algoritmer försämrar taluppfattning och positionssystemet. I Elins klass anser hon att så är inte fallet för att de arbetat ganska mycket med pengar och gör det visuellt för eleverna. Sofie har inte heller problem med det i sitt klassrum då de ständigt återkommer till positionssystemet och arbetar, precis 29

30 som Elin, mycket med pengar för att göra det visuellt. Vidare berättar hon även att det är mestadels algoritmer som används i hennes klassrum när eleverna förstått dem. Iris berättade att även i hennes klass var det många som använder algoritmer och att de har full förståelse för vad de gör. Hon betonade också att hon framförallt skulle jag vilja säga att det är en trygghet för barnen [ ] som inte klarar av skriftliga huvudräkningar. Som tidigare nämnts, arbetar hon med laborativt material för att eleverna ska kunna se vad det är som förs över till en algoritm. Anna berättade dock att hon haft en årskurs 6 där det inte fanns någon förståelse för vad de gjorde för något. De följde ett förutbestämt mönster som de lärt sig men hade inte förståelse för positionssystemet, själva grunden till det hela, enligt Anna. Löwing och Kilborn (2003) påstår också att man övar in en automatisering när man använder sig av algoritmräkning och når därför inte en förståelse för matematiken och dess lagar. Marklund (1993) är av samma åsikt och skriver att man flyttar siffror utan att egentligen förstå vad man gör (s. 15). Sofie fick frågan om hon någonsin haft elever som räknat algoritmer mekaniskt utan att ha någon djupare förståelse för vad det var de gjorde och hon tydliggjorde att hon haft elever som gjort fel men aldrig en elev som inte visste vad den gjorde. Rockström (2000) anser dock att algoritmräkningen är en mekanisk räkning. Sofie förtydligar att hon anser att om eleverna kan applicera algoritmer på problemlösning så har man förståelse för vad det är man gör Anna När Anna fick frågan vilken metod hon använde för utlärning av algoritmer svarade hon att det beror helt på vilken elever det handlar om, för att olika metoder fungerar för olika elever. Hon fortsätter med att prata om att arbeta konkret med det tidigare nämnda laborativa materialet som exempelvis pengar. Hon berättar att hon tror att elever förstår helt annorlunda och försöker hitta någonting som relaterar till dem. Här betonar hon också vikten av positionssystemet igen precis som hon gjorde när det talades om hennes årskurs 6. Vidare fick hon frågan om det var svårt att föra över det laborativa till en algoritm och hon svarade: Nej, jag tycker inte det. Ehm, i och med att det laborativa, jag brukar utgå från en tanketavla och det är att man har en ruta som är konkret, du laborerar med det konkret, du har en bild, att du för över det konkreta till bild, sen har du matematikspråket, att du eh, det du gör 30

31 ska du nu skriva då i ett matematikspråk som en algoritm till exempel eh, och sen den fjärde är liksom är hur du tänkte, hur kom du fram till det här, lite att man ska resonera och argumentera varför jag gjorde såhära, att tänka till, kunna förklara så det är vår tanketavla som vi alltid har som en. Asså på min, dem vet att så fort dem ska göra något så är det alltid det du ska utgå ifrån liksom, så att på något sätt så är det konkreta leder till bilden och dem som kan släppa det konkreta kan ju sen gå från bilden till matematikspråket och dem som sen kan släppa bilden kan ju endast jobba med matematikspråket och algoritmen liksom. Mm. (Anna) Anna arbetar på ungefär samma sätt när hon lär ut skriftlig huvudräkning och hon fick frågan om det var så att hon föredrog det ena framför det andra. Hon ansåg att allting har ett sammanhang och om du inte förstår det ena kanske du har svårare att förstå det andra. Hon föredrog därför inget av det eftersom hon ansåg att båda var lika viktiga. Anna grundar sin undervisning i Vygotskijs idéer och det sociokulturella perspektivet. Hon arbetar mycket utifrån den proximala utvecklingszonen, vilket förtydligas senare i teoretiska perspektiv på lärande. Detta gör hon genom att arbeta mycket i stationer i klassrummet. Stationerna är uppbyggda utifrån vad hela klassen behöver träna på eller vad den enskilde individen behöver träna på. Detta förklarar hon på följande sätt: [ ]om jag har till exempel fyra elever som är väldigt eh, ja men behöver träna mer på samma sak eller ligger på samma liksom utvecklingszon, kanske jag sätter dem tillsammans i en station där dem gör det det på sin, algoritmer på sin nivå genom laborativt o så medan jag kanske annan grupp av elever som är på en helt annan nivå och behöver utmanas liksom på ett annat sätt eller på en annan nivå, då har jag liksom en station till dem. Ehm, Men här är det återigen, det är relationer, relationerna till barnen som spelar A och O, asså det är A och O i det, ehm, utan relationerna med barnen så blir det ju jättesvårt att hitta just det här att var är den här elevens utvecklingszon. (Anna) Utifrån detta fick hon frågan om det sker mycket kommunikation på dessa stationer. Hon förtydligar att det inte bara handlar om att kommunicera utan att där, exempelvis, alltid finns en station som handlar om att utveckla förmågan att lösa rutinuppgifter. Här jobbar oftast eleverna själva, men inte alltid, och de använder sig av ett digitalt matematikverktyg. Hon berättar att eleverna får snabb feedback och löser rutinuppgifter på sin egen nivå. Vidare gav hon ett exempel på att hon hade elever förra terminen som behövde utmaningar i divisionsuppställningar medan hon hade andra elever som inte 31

32 klarade, exempelvis, tiokompisarna. Hon kunde skicka dem på uppdrag där de kunde träna på sitt och sedan hade hon stationer där det fanns uppgifter som baserades på att de skulle resonera tillsammans och kommunicera för att lösa problem. Säljö (2014) betonar att kommunikation är centralt inom det sociokulturella perspektivet eftersom lärande och utveckling sker i samspel med andra människor genom kommunikativa praktiker. Kommunikation är alltså det som gör att en individ får ta del av kunskaper och färdigheter. Fortsättningsvis fick Anna frågan om de arbetade på liknande sätt när de arbetade med skriftlig huvudräkning och hon gav då ett exempel på hur hon hade arbetat med detta: Mm, ehm, där är ett exempel jag jobbar mycket med i trean nu förra terminen när vi skulle jobba med det. Då var det att dem satt två och två, ehm, och så hade jag gjort olika kort, och en hög var lite högre tal, det var gula färgen, ehm, sen hade jag en hög som var addition och subtraktionskort och sen hade jag en blå hög där det var lite lägre tal. Då jobbar man två och två så drog kompisen tre kort då och så lika med, och så skulle man då skriva av detta, och sen skulle man då hitta på, hitta på, men du skulle komma på ett, ett, när, vad kan det här vara för sammanhang? Du skulle göra en räknehändelse. Eh, kompisen lyssnar, kompisen löser liksom, du vet skriver upp det så som det ska vara, gör det på sitt sätt. Men den här eleven som gör det ska också kunna förklara för den andra, den andra kompisen blir lite facit och den eleven måste ju kontrollera, stämmer det som kompisen sa, det kompisen gjorde. Eh och på det sättet får man också den här dialogen tillsammans mellan varandra, att, dels att man kan rätta varandra lite, det här stöttar begreppet, vi stöttar varandra, att du det där, eller fyra plus tre blir inte det till exempel. Alltså så, eh, gör såhär, processen går till såhära, eh, eller att kör mellanled eller om vad det nu skulle vara om du inte kan liksom ställa upp det, kör först hundratalen, sen tiotalen och sen entalen liksom, det blir samma sak. Asså så. Se om du kan, får du samma svar? Ehm, Och för dem eleverna som är väldigt framåt där kunde man också utmana med kan man lösa detta på andra sätt? Måste man göra en sån här skriftlig liksom uppställning eller kan du kontrollera detta genom att du gör något annat t.ex. mellanled eller att du hittar en annan strategi, tillexempel avrundning och liksom så, lägger till på ena sidan och tar bort på andra sidan. Asså hittar dem sätten. (Anna) Sofie När Sofie fick frågan om vilken metod hon använde för utlärning av algoritmer nämnde hon bara genomgångar, EPA och matematikboken. Det kom senare fram att hon, som 32

33 tidigare nämnts, arbetar mycket med laborativt material för att synliggöra matematiken för sina elever. Hon berättade även att vid genomgångar får eleverna ibland komma fram och skriva på tavlan. Hon förtydligade då att det var viktigt att eleverna tydligt berättade vad det var de gjorde och varför de gjorde det. Här var det viktigt att vara tydlig med ental, tiotal och så vidare. Hon nämner att det är viktigt eftersom att det finns en risk att positionssystemet går förlorat. Fortsättningsvis gick hon över till skriftlig huvudräkning av sig själv och hon ansåg att det var så stökigt så det var inte sant. Hon använde det bara med sin första klass, antingen en årskurs 2 eller 3, och tillägger att hon var ganska osäker på sig själv då. Vidare anser hon att det är så många steg i skriftlig huvudräkning att de hinner tappa bort sig medan man skriver ut allt men tillägger att det fungerar bättre för vissa. Rockström (2000) anser dock att skriftlig huvudräkning är kreativare eftersom eleverna får tänka själva. Sofie fortsätter med att säga att de provar det för hon kör inte slaviskt med algoritmer men elever måste lära sig det även om de inte måste använda det. Vidare berättar hon att när hon gick från skriftlig huvudräkning till algoritmer så gick det från kaoset till att allting blev jätteenkelt för att de förstod på en gång. Hon erkänner dock att hon blivit lite avskräckt från skriftlig huvudräkning eftersom hon ansåg att den första gången var ett sådant kaos. Hon lär dock ut varje talsort för sig vilket är en strategi vid skriftlig huvudräkning i addition. När hon fick frågan om hon använde laborativt material vid utlärning av algoritmer svarade hon att de mestadels arbetade på tavlan. Fortsättningsvis fick hon frågan om de pratade mycket matematik i klassrummet och hon svarade att hon försöker eftersom hon också går matematiklyftet där det handlar det mycket om kommunikation och språk. Hon berättade att de haft problemlösning i klassen och att eleverna då fått dela med sig av sina olika lösningsmetoder för att visa att man kan tänka på olika sätt. Som tidigare nämnt anser Hedrén (1999) att elever får ökad taluppfattning genom att vara delaktiga i att utveckla sina egna lösningsmetoder Iris När Iris fick frågan vilken metod hon använder för utlärning av algoritmer svarade hon direkt praktiskt material och detta benämns som laborativt material i denna uppsats. Hon tar ofta hjälp av det för att det inte bara ska bli ett görande att göra algoritmer utan att det ska vara synligt vad det är de gör innan de går vidare till algoritmer. Hon betonar 33

34 betydelsen av att ha en förförståelse för vad som sker rent matematiskt innan man går vidare till algoritmer. Hon blev ombedd att ge ett exempel på hur detta kunde se ut i hennes klassrum och detta svarade hon: Asså det här kan man ju börja med, eh, kanske redan asså i tvåan och i trean. Och då oftast så är det kanske ett tal som man vill fundera ut och då är det jätteviktigt att man oavsett om det är addition eller subtraktion att man i första hand räknar ut vad betyder det här talet? att man räknar upp det i ental, tiotal och hundratal och lägger upp det framför sig, eh, och sen antingen om det är en addition att man tar det andra talet och lägger upp det sidan om för att liksom få en bild av vad betyder de här två talen, eh, och sen att man då gör algoritmen, eh, med eller utan tiotalsövergångar. Mm. (Iris) Vidare fick hon frågan om hur de arbetar med algoritmer och gavs exempel på arbetsblad, matematikboken och kommunikation mellan elever. Hon svarade att det var väldigt olika men att i första skedet är det väldigt mycket praktiskt. Hon menar då att eleven får en uppgift på ett papper och sen ska laborera med det, antingen enskilt eller i par. Fortsättningsvis säger hon [ ] att man ska få en konkret upplevelse av vad det är man gör, rent matematiskt för att kunna gå vidare till det här abstrakta tänkandet sen vilket är i samspel med Rydstedt och Trygg (2005). Som tidigare nämnt anser de att laborativt material ska förenkla förståelsen av det abstrakta. Vidare betonar Iris att hon inte föredrar att man börjar arbeta med penna och papper i början utan att man måste börja med grunden. Dock tillägger hon att det kan se väldigt olika ut men säger även att börjar du tidigt med det så är det ju mycket praktiskt material för att förstå vad det är du gör. Iris fick sedan frågan om hon lärt ut eller lär ut skriftlig huvudräkning och det första hon nämner är att det finns en del i deras läromedel därför visar hon det i sitt klassrum. Fortsättningsvis säger hon detta om skriftlig huvudräkning: [ ] Eh, dem barnen som är matematiskt långt framme är det ju inga problem för, barn som har snävare arbetsminne är det ju ett stort problem för, att hålla alla tal och siffror i huvudet, eh, och det är frågan om man överhuvudtaget ska visa dem att detta är det enda rätta arbetssättet, utan, men ja som strategi ja, men kanske inte som en fortsatt strategi eftersom det blir svårt att hålla det i huvudet. [...] 34

35 (Iris) Utifrån detta diskuterades det ifall hon ansåg att man borde lära ut skriftlig huvudräkning innan eller efter algoritmer. Hon anser att det beror helt på eleven och att man inte gör eleven en tjänst genom att lära ut för många strategier, speciellt inte om en elev har svårigheter sedan tidigare. [ ] Det blir väldigt rörigt, det blir väldigt rörigt för många barn överhuvudtaget, om det så är algoritmer, skriftlig huvudräkning, räkna uppåt, räkna neråt och att beroende av vad det är för räknesättet. Jag tror att man ska bestämma sig för kanske ett sätt och sen för dem man känner är mottagliga, eh, visar på andra strategier också. Vi har ju ändå ett mål att det ska vara effektiva metoder, eh, men för många barn så gäller det att lyssna in på vad dem tycker är effektivast för dem, så att jag ser inget, asså om jag ska lära ut det innan eller lära ut det efter utan jag får se det till barnet och se vad den snappar upp och vad tycker den är bäst. (Iris) Fortsättningsvis fick hon ställa sig till om hon föredrog algoritmer eller skriftlig huvudräkning. Hon anser att det är lite olika och att det beror på vad man har med sig i bagaget. Hon skulle inte vilja säga att hon bara lär ut det ena eller det andra. Hon betonar att hon tycker att man som lärare måste ha erfarenheter och kunskapen att se till eleven. Det är väldigt många steg som måste vara klara för eleven, exempelvis tiokompisar, innan man kan gå vidare. Iris berättade också att hon använder samma material när hon lär ut skriftlig huvudräkning som när hon lär ut algoritmer, förutom laborativt material så nämner hon även Montessori-material eftersom hon arbetat med Montessori-pedagogik. Vidare förklarade hon vem Maria Montessori var och hur hennes pedagogik såg ut. Detta sa Iris om Montessori-pedagogiken: [ ]med sitt material, eller med sitt ehhh, sin pedagogik liksom att eh, är man i rätt fas liksom så kan man liksom utvecklas och med rätt. med rätt material så kan man också nå liksom andra nivåer trots att man då i första hand i hennes fall jobbade med barn som hade en, en problematik. eh, men hon utvecklade framförallt det här materialet att, att eh, barn. Asså hjälp till självhjälp, man ska klara, asså genom en tydlig genomgång så ska man kunna arbeta med materialet själv. Man ska kunna gå från det konkreta till det abstrakta, men man behöver den här grunden innan man går vidare. 35

36 (Iris) Elin När Elin fick frågan vilken metod hon använder för utlärning av algoritmer började hon med att berätta att hon satte ihop sitt eget material för att deras läromedel inte innehöll jättemycket algoritmer. Hon gav ett exempel på när de arbetade med subtraktion utifrån matematikboken, men eleverna förstod inte, och därför valde hon att sätta ihop sitt eget häfte med subtraktionsalgoritmer. Hon berättade att när de började så hade de gemensamma genomgångar och sen arbetade de alltid tillsammans med sin pratkompis, den de sitter tillsammans med. Hon betonar att detta är ett naturligt inslag i undervisningen. När hon sedan arbetade med växling använde hon sig, som tidigare nämnt, av pengar. Hon förtydligar att hon använder sig av ordet växling för att om man lånar, då lämnar man tillbaka. Elin berättar att hon lär ut skriftlig huvudräkning för att det är det som förespråkas i deras läromedel. Vidare fick hon frågan om hon använder något speciellt material eller metod för att lära ut det och hon svarade då: Nej utan jag har ju utgått ifrån det som finns i boken. Det som jag upplever den matteboken som vi har är att där är väldigt många olika metoder att lära, asså, och det är väl på gott och ont, men för vissa barn blir det väldigt rörigt för dem förstår inte liksom att det handlar om att lära sig det sättet som passar bäst för dem utan dem tror ju att det är jätte många olika metoder dem ska lära sig och kunna så där Nej jag kan inte säga att jag har någon speciell som jag, för att jag gick, egentligen så strök jag det mer eller mindre i all fall i subtraktion och gick vidare på algoritmer för det blev, passade mycket bättre på denna klassen och jobba med algoritmer. (Elin) Hon berättar senare att i hennes klass fungerar algoritmer bättre än skriftlig huvudräkning. Här nämner hon även att det kan handla om hennes inställning till algoritmer. Hon erkänner att hon själv gillar algoritmer och att det kan vara därför. Fortsättningsvis säger hon att jag lite brinner, att jag tycker det funkar fortfarande och tycker att det är bra. Ehm, nej det vet jag inte riktigt. Jag tror det är för att man upplever att det är ett lättare sätt. 36

37 7.2 Teoretiska perspektiv på lärande Nästan alla de medverkande lärarna var osäkra när det kom till de teoretiska perspektiven och blev direkt väldigt osäkra, nästan obekväma. De flesta hade svårt för att kunna namnge något eller några teoretiska perspektiv. Anna kunde både namnge och förklara innebörden av det sociokulturella perspektivet eftersom hon arbetade specifikt utifrån det när hon undervisar. Anna beskriver det sociokulturella perspektivet med hjälp av bland annat den proximala utvecklingszonen, också kallat ZPD på engelska. Anna beskriver den proximala utvecklingszonen på följande sätt: var befinner sig den här eleven, den här eleven behöver träna på det här [...] och hur gör jag det [...] vad ska vi nu göra för att du ska komma över det där lilla strecket till nästa steg eller trappsteg. Med detta menar Anna, vilket också Vygotskij talar om i sitt citat what a child can do with assistance today she will be able to do by herself tomorrow (Vygotsky 1978, s. 87), att med hjälp av rätt stöd kan eleven nå en högre kunskap än om den varit utan det stödet. Anna anser att arbeta utifrån den proximala utvecklingszonen är ett bra sätt eftersom hon menar att människan fungerar som så att är något för svårt, ah då lägger vi ner, för lätt, ah då lägger vi ner. Även Elin beskriver den proximala utvecklingszonen, men hon beskriver att den går som att det är att hjälpas åt och vägleda varandra. Iris anser sig också arbeta utifrån ett sociokulturellt perspektiv på lärande då hon säger att hon jobbar efter [...] läroplanen och den är ju styrd utifrån Vygotskij. Asså man har tagit mycket vyg, Vygotskijs tankar och idéer kring det. Den sista läraren, Sofie, beskriver inte perspektivet direkt, men vi ser i hennes förklaringar av sin undervisning att hon bland annat använder sig av det sociokulturella perspektivet eftersom hon ibland använder sig av någon form av socialt samspel i sitt klassrum. Bland annat ingår jobb i par, i grupp eller att man jobbar med laborativt material i de flesta av lärarnas undervisning, vilket alla bygger på socialt samspel och kommunikation. Kommunikativa praktiker menar Säljö (2014) är centralt inom det sociokulturella perspektivet på lärandet och vidare menar han att det är genom dessa kommunikativa praktiker lärande och utveckling sker eftersom individen då får ta del av kunskaper och färdigheter. Om man tar Iris mening i beaktande så följer ju alla det sociokulturella perspektivet, dock kanske mer eller mindre. 37

38 Ett annat perspektiv på lärande som två av lärarna också kände till var behaviorismen. Det behavioristiska perspektivet förklarades av Sofie som jättegammalt och hon nämnde bland annat Skinner. Under detta samtal tolkade vi katederundervisning som behavioristiskt och nämnde därav det i samband med behaviorismen vilket hon anammade. Behaviorismens syn på kunskap är att den är objektiv och kvantitativ (Dysthe 2003), detta är något vi tolkar katederundervisning att vara. Säljö (2014) menar att behavioristiskt synsätt på lärande innebär att lärande ses som grundat i de fysiska erfarenheter en individ gör (Säljö 2014, s. 50). Den fysiska erfarenheten i detta fall handlar exempelvis om vad som sker på tavlan vid en lärarledd genomgång. Katederundervisning innebär vanligtvis att läraren är i fokus och att läraren tar mycket plats med genomgångar. Sofie förespråkar dock katederundervisning till stor del i sin undervisning och använder sig mycket av matematikboken efter genomgångar. Flera av lärarna verkar förespråka en kombination av flera olika perspektiv beroende på vilka förutsättningar som finns. Detta är något Elin förtydligar genom att säga det viktigaste är att försöka få med alla, att fånga allas intresse och [...] jobba utifrån att alla kanske inte kan jobba med samma sak [...] man får tänka utifrån många olika [...] synvinklar. Därav behöver det inte vara fel som Sofie säger att ha katederundervisning i sitt klassrum, som blev påpekat av oss under intervjun beror på vad man gör och [...] hur mycket man gör med det vilket hon höll med om. 38

39 8. Diskussion och slutsats Utifrån våra frågeställningar har vi granskat lärarnas tankar kring och bakom sin undervisning gällande algoritmer och skriftlig huvudräkning. Det har varit blandade meningar om vilken lösningsmetod som passar bäst och om det är någon metod som bör undvikas. 8.1 Arbetsformer och metoder Vår slutsats kring vilka arbetsformer och metoder lärare använder i sin undervisning är att det är vanligt att använda sig av laborativt material. Samtliga av våra lärare nämner det framförallt i samband med utlärning av algoritmer eftersom det ansågs viktigt att visualisera för eleverna, synliggöra det abstrakta. Vi uppfattade att åtminstone tre av lärarna var positivare inställda till algoritmer gentemot vad de var till skriftlig huvudräkning genom att bland annat säga att skriftlig huvudräkning är rörigt och att det är för många olika metoder för uträkning. Vår uppfattning är att de undviker det om det är möjligt men Iris och Elin nämner att det tas upp i deras läromedel och därav måste det även tas upp i klassrummet. Sofie berättade att hon var tvungen att ta upp det inför de nationella proven i årskurs 3. Utifrån vårt resultat anser vi att matematikboken har en betydande roll när det kommer till utlärning av skriftlig huvudräkning eftersom Elin och Iris tar upp att de lär ut det eftersom det finns i deras matematikbok. Vi anser dock att Elin och Iris använder sig mycket av annat material vid sidan om som exempelvis egengjorda arbetsblad. Som tidigare nämnt är Anna den enda läraren som inte nämner matematikboken. Clarke (2007) skriver att standardalgoritmer har sedan många år är central plats i matematikundervisningen i tidigare skolår (Clarke 2007, s. 22). Algoritmer påstås, bland annat av Kamii (1997), förstöra taluppfattningen och förståelsen för positionssystemet. Hon säger att de unteach place value and discourage children from developing number sense (Kamii 1997, s. 59). Den enda läraren som råkat ut för detta är Anna som berättade om sin årskurs 6. De andra tre lärarna var tydliga med att de arbetade mycket med positionssystemet och även laborativt för att detta inte ska ske. Marklund (1993) påstår också att algoritmräkning sker mekaniskt, vilket innebär att 39

40 eleverna bara flyttar siffror utan att veta vad de gör. Anna har råkat ut för detta i sin årskurs 6 medan Sofie aldrig har råkat ut för detta trots många år av undervisning i algoritmräkning. Som tidigare nämnts har McIntosh (2007) varit ansvarig för ett projekt som handlade om att gå från huvudräkning vidare till algoritmer där det skulle kartläggas vilka effekter det hade på både elever och lärare. I slutskedet av detta projekt hade elevernas kompetens och självförtroende samt förståelse för positionssystemet höjts enligt lärarna. Utifrån detta projekt kom lärarna fram till att algoritmer ska läras ut i ett senare skede av skolan. Detta kan kopplas till Iris som betonar att det är mycket som en elev ska kunna innan den kan gå vidare till algoritmer. Clarke (2007) ger exempel på en studie där det framkommit att en elev frångått sina egna metoder för att istället använda sig av algoritmer. Detta kan vi koppla till våra intervjuer eftersom majoriteten berättade att deras elever använder och föredrar algoritmer. Hedrén (1999) anser dock att elever får ökad taluppfattning genom att vara delaktiga i att utveckla sina egna lösningsmetoder. Nygren och Persson (2006) skriver att skriftlig huvudräkning ska vara en metod där eleverna själva finner sin lösningsmetod baserat på sina egna tankar. Rockström (2000) förespråkar denna metod eftersom hon anser den vara kreativare än algoritmräkning och anser precis som Marklund (1993) att algoritmräkningen är mekanisk räkning. Trots detta anser Sofie att skriftlig huvudräkning var katastrofal för hennes del och att det är för många steg för en elev att komma ihåg. Detta kan ifrågasättas eftersom skriftlig huvudräkning egentligen enligt Rockström (2000) ska utgå från eleven. 8.2 Teoretiska perspektiv på lärande När vi påbörjade detta arbetet förväntade vi oss att utlärningen och arbetet med algoritmer skulle se ut ungefär som när vi själva gick i skolan, vilket var till stor del katederundervisning. Utifrån egna erfarenheter har skriftlig huvudräkning skett i större utsträckning i samspel med andra. Det var endast en lärare som gav oss samma bild av algoritmräkning som vi hade från skolan, vilket var Sofie. Sofie berättade att när de arbetade med algoritmer hade hon genomgång på tavlan för att sedan låta eleverna arbeta mestadels enskilt i matematikboken. Hon betonade att hon följer matematikboken och dess innehåll i sin undervisning. Som tidigare nämnt, ser man kunskap inom det behavioristiska perspektivet på lärande som objektiv och kvantitativ (Dysthe 2003). 40

41 Detta tolkar vi att Sofies utlärning av algoritmer är eftersom hon står i fokus med sina genomgångar och sen betonar vikten av att kolla av eleverna och se så att de hänger med och förstår. Det visade sig att resterande lärare arbetade mycket mer i sociala sammanhang, exempelvis arbetade Elin med pratkompisar i sitt klassrum. Algoritmer var inte en enskild aktivitet utan skedde mycket i samspel med andra. Anna gav exempel på stationer i sitt klassrum där elever löste algoritmer ur ett sociokulturellt perspektiv, alltså i socialt samspel. Detta förvånade oss eftersom vi aldrig sett det tidigare. Alla lärare påstod sig ha en sociokulturell syn på lärande och detta märktes tydligt i vissa intervjuer och mindre tydligt i andra. Sofie berättade efter avklarad intervju att skolan arbetade utifrån Vygotskij trots att hon tidigare inte kunde nämna honom eller visste vilket teoretiskt perspektiv han är upphovsman till. Både Anna och Iris pratade om Vygotskijs proximala utvecklingszon medan Elin pratade kring Vygotskij och hans teori utan att nämna den proximala utvecklingszonen. Iris pratade om Vygotskij men nämnde även Montessori-pedagogiken, vilket också influerar hennes undervisning. Det var intressant att hon nämnde Montessori-pedagogiken eftersom vi, efter hennes förklaring, anser att den påminner om den proximala utvecklingszonen men inte i samma utsträckning i sociala sammanhang. Vi tolkade att Montessori-pedagogiken handlar om att man arbetar mer med hjälp till självhjälp, enligt Iris, till skillnad från Vygotskij där man tar hjälp av andra. Iris säger även att man inom Montessori-pedagogiken man ska klara, alltså genom en tydlig genomgång så ska man kunna arbeta med materialet själv. Man ska kunna gå från det konkreta till det abstrakta. Vår slutsats är att det sociokulturella perspektivet används i större utsträckning vid både algoritmer och skriftlig huvudräkning än det behavioristiska. Vidare anser vi att lärarna, förutom Anna, är relativt omedvetna om vilka teoretiska perspektiv på lärande som de grundar sin undervisning på, vilket gör det svårt för dem att motivera val av undervisningsmetod. Utifrån detta ifrågasätter vi vikten av de teoretiska perspektiven på lärande i skolan eftersom aktiva lärare med längre erfarenhet enbart hade koll på Vygotskij. Eftersom lösningsmetoder, nämnt som räknemetoder i Lgr11, ständigt är aktuellt i matematikundervisning anser vi att detta har relevans för vår framtida yrkesutövning. 41

42 Genom detta arbete har vi fått bättre insikt i och om undervisning av både algoritmer och skriftlig huvudräkning. Vi har fått idéer och tankar om hur vår egen undervisning kan utformas utifrån bland annat det sociokulturella perspektivet. 8.3 Vidare forskning Ett utvecklingsområde av denna redan påbörjade forskning bör utgå från elevers perspektiv på algoritmer och skriftlig huvudräkning. Elevernas tankar borde tas i åtanke eftersom det är deras matematikundervisning som det berör eftersom detta arbete enbart fokuserar på lärarnas perspektiv. Förslagsvis kan detta ske genom elevintervjuer med matematikuppgifter och observationer under elevers arbete med algoritmer och skriftlig huvudräkning. Detta för att få djupare insikt kring elevernas perspektiv och tankar då dessa kan vara helt skilda från lärarnas. 42

43 9. Referenser Alvehus, Johan (2013). Skriva uppsats med kvalitativ metod: en handbok. 1. uppl. Stockholm: Liber. Brorsson, Åsa (2010). Prima matematik. 3A. 1. uppl. Malmö: Gleerups. Bryman, Alan (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. 2., [rev.] uppl. Malmö: Liber. Clarke, Doug M. (2006). Algoritmundervisning i tidiga skolår. I Boesen, J. et al. (red.), Lära och undervisa internationella perspektiv. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, ss Dysthe, Olga (red.) (2003). Dialog, samspel och lärande. Lund: Studentlitteratur. Egidius, Henry (2002). Termlexikon i psykologi, pedagogik och psykoterapi. 7., [rev. och utök.] uppl. Lund: Studentlitteratur. Kamii, C. (1997). To Teach or Not to Teach Algorithms. The Journal of Mathematical Behavior, 16 (1), ss Doi: /S (97) Lär & Lek, Bas10 RE-Wood [fotografi] [ ] Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2003). Huvudräkning: en inkörsport till matematiken. Lund: Studentlitteratur. McIntosh, Alistair (2007). Nya vägar i räkneundervisningen. I Boesen, J. et al. (red.), Lära och undervisa internationella perspektiv. Göteborg: Nationellt Centrum för Matematikutbildning, ss

44 Nationalencyklopedin (2016). John B Watson. [ ] Nygren, Erika & Persson, Helena (2006). Skriftlig huvudräkning en vågrät algoritm?. Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM). Tillgänglig på Internet: Pinter, Annamaria (2006). Teaching young language learners. Oxford: Oxford University Press. Rockström, Birgitta (2000). Skriftlig huvudräkning: metodbok. 1. uppl. Stockholm: Bonnier utbildning. Rystedt, Elisabeth & Trygg, Lena (2005). Matematikverkstad: en handledning för att bygga, använda och utveckla matematikverkstäder. 1. uppl. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet. Skolverket (2011) Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet Stockholm: Skolverket. Tillgänglig på Internet: Skolverket (2012) TIMSS 2011: svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Stockholm: Skolverket. Tillgänglig på Internet: Skolöverstyrelsen. ( ). Läroplan för grundskolan Stockholm: LiberLäromedel/Utbildningsförl. Smidt, Sandra (2010). Vygotskij och de små och yngre barnens lärande. 1. uppl. Lund: Studentlitteratur. Säljö, Roger (2000). Lärande i praktiken: ett sociokulturellt perspektiv. Stockholm: Prisma. 44

45 Utbildningsdepartementet (1994) Kursplaner för grundskolan. Stockholm: Utbildningsdep. Vygotsky, Lev Semenovic (1978). Mind in society: the development of higher psychological processes. Cambridge, Mass.: Harvard U.P. 45

46 Bilagor Bilaga 1 Strategier vid algoritmräkning Addition Vid räkning av additionen så ställs talsorterna upp under varandra, och under alla talen dras en linje med ett additionstecken i vänsterkanten. Under linjen räknas svaret ut. Svaret beräknas bakifrån, så man börjar med entalen, sedan tiotalen och så vidare. Om man behöver växla över de olika talsorterna markeras detta med hjälp av en minnessiffra ovanför de redan skrivna talen. (Rockström 2000) Multiplikation När man beräknar multiplikation är det oftast onödigt att ta med nollorna i slutet av talen som ska multipliceras då de enklast kan sättas i slutet av produkten. Exempelvis om man ska räkna ut , då kanske man enbart behöver hjälp med uträkningen Faktorerna ställs då upp, oftast med det största talet längst upp och det mindre under, med talsorterna under varandra. I multiplikationen räknar man i olika steg, återigen börjar man räkna bakifrån. Räkningen påbörjas med att räkna ut svaret med 5:an i talet 65 då det är ett ental. Man multiplicerar 5:an med alla talsorterna var för sig för att få fram vad svaret blir, som nämnts tidigare så börjar man bakifrån med entalen. Nästa steg blir sedan att räkna ut nästa svar med hjälp av 6:an, i talet 65 då det är ett tiotal. Eftersom det är ett tiotal så börjar man uträkningen under tiotalen i uppställningen denna gången. Återigen multiplicerar man 6:an med de olika talsorterna 46

47 var för sig, samt börjar bakifrån med entalen. När båda dessa är uträknade påbörjas nästa steg, vilket är att addera de nya talen man fått fram, vilket blir det slutgiltiga svaret. De minnessiffror man får antecknas på lämpligt ställe. (Rockström 2000) Division Vid räkning av division, räknar man ut hur många gånger ett tal, nämnare, kan upprepas i ett annat tal, täljare. I denna strategi räknar man framifrån, alltså börjar man att räkna i tusentalen, därefter hundratalen, sedan tiotalen och sist entalen. Om talet (2) inte går jämnt upp i tusentalet (1) och man har mer över, blir detta en minnessiffra som man räknar ihop med talsorten bredvid. Om man däremot inte har tillräckligt för att komma upp i en talsort får man räkna det som ett tvåsiffrigt tal istället (15) Det som eventuellt blir kvar blir återigen en minnessiffra och räknas ut som tvåsiffrigt tal vid fortsatt uträkning. Uppställningen är så att det täljaren ställs upp på linjen och under linjen ska nämnaren stå. Nedan räknas det ut hur många gånger nämnaren kan upprepas i täljaren. Om minnessiffror krävs kan dessa ställas upp på lämpligt ställe. (Rockström 2000)

48 Bilaga 2 Strategier vid skriftlig huvudräkning Som vi nämnt tidigare så finns det flera olika strategier vid beräkning med skriftlig huvudräkning. Nedan följer de vanligaste strategierna som används vid de fyra olika räknesätten. Addition Vid denna strategi beräknas varje talsort var för sig för att i slutändan adderas tillsammans. Exempelvis = = 174 men kan även skrivas =174. Olika uppgifters utseende formar elevens val av strategi. En annan vanlig strategi som används är flytta över- strategin. Här letar man efter enklast möjliga sätt att förenkla ett tal, för att underlätta räkningen. Med att förenkla menar man att få så runda tal som möjligt, exempelvis jämna tusental, hundratal eller tiotal. (Rockström 2000) = = 845 Subtraktion Precis som vid addition är principen här att räkna talsorterna var för sig = ( , 20 10, 4-2) = 212 För att underlätta räkningen kan man öka eller minska en term för att få ett jämnt tal istället. Om detta görs måste man öka eller minska lika mycket på respektive sidor då skillnaden måste vara den samma. Exempelvis: = ( ) ( ) = = 248. Den tredje metoden att använda är utfyllnadsstrategin, denna strategi används när talen ligger nära varandra. Strategin innebär att man fyller ut ett tal för att få jämna tiotal eller hundratal för att sedan addera kvarvarande siffra. Man fyller ut 575 till 580 för att det är enklare att räkna. (Rockström 2000, s ) = ( )+( ) = = 9 Multiplikation Uträkningar av multiplikation kan se ut på många olika sätt. Ett exempel är om man räknar multiplikationen som upprepad addition. 48

49 2 14 = = = = 28 Sedan kan man utveckla detta vidare med hjälp av den distributiva lagen. Den distributiva lagen innebär att man istället för att multiplicera två tal direkt använder sig av multiplikation i samband med antingen addition eller subtraktion. Det kan tillexempel vara att man delar upp talet man ska multiplicera i två, till exempel tiotal för sig och ental för sig för att sedan multiplicera dessa var för sig i vårt exempel med tvåan: 2 14 = = = 28 Man kan också räkna den distributiva lagen med alla talsorterna för sig = = = 1825 Ett annat sätt att räkna uttryckets värde är att räkna talet i två faktorer, och då använda den associativa lagen. (Rockström 2000, s.32-33) Den associativa lagen innebär att oavsett ordningen på talen vid uträkningen blir svaret detsamma, detta gäller bara vid addition och multiplikation. Exempelvis i multiplikation: = 2 (2 350) = = = (3 70) + (3 5) = = 225 Division Vid division kan man använda strategin att förkorta eller förlänga uttrycket för att förenkla beräkningen. Det enklaste är att försöka få en ensiffrig nämnare eller 10. Exempel på förkortning med 6. (Rockström 2000) Exempel på förlängning med 2. 49

50 Bilaga 3 Intervjufrågor 1. Vilken bakgrund har du som lärare? (Utbildning, specialämne, årskurs) 2. Hur ser din klassammansättning ut? 3. Lär du ut eller har du lärt ut algoritmer, vilken metod använde du dig i så fall av? Om inte, varför? 4. Använder du dig av något speciellt material, i så fall vilket? Varför? 5. Lär du ut eller har du lärt ut skriftlig huvudräkning, vilken metod använder du dig då av? Om inte, varför? 6. Använder du dig av något material, i så fall vilket? Varför? 7. Vilka teoretiska perspektiv känner du till? 8. Vilket/ vilka perspektiv grundar du din undervisning av algoritm- och skriftlig huvudräkning? Varför? 9. Skulle du vilja undervisa utifrån annat perspektiv, varför? (10. Kan man lära ut algoritmer och skriftlig huvudräkning ur ett sociokulturellt perspektiv? I så fall hur?) 50

51 Bilaga 4 Multibas Bild från Lek & Lär. 51