Undervisning av algoritmer i lågstadiet. Examensarbete i fördjupningsämnet matematik och lärande 15 högskolepoäng, avancerad nivå

Transkript

1 NATUR MILJÖ SAMHÄLLE Examensarbete i fördjupningsämnet matematik och lärande 15 högskolepoäng, avancerad nivå Undervisning av algoritmer i lågstadiet en studie med utgångspunkt i lärares erfarenheter Teaching algorithms in primary school Nathalie Krämer Josefin Nilsson Grundlärarexamen med inriktning mot arbete i årskurs F-3, 240hp Datum för slutseminarium Examinator: Susan Lindholm Handledare: Annica Andersson

2 Förord Följande examensarbete är skrivet av Nathalie Krämer och Josefin Nilsson, som studerar till grundskolelärare med inriktning F-3 på Malmö universitet. Med utgångspunkt i vårt fördjupningsämne matematik och lärande, redovisar studien hur undervisningen av algoritmer ser ut på lågstadiet. Studien har genomförts tillsammans i par, sida vid sida, där vi genom ett väl fungerande samarbete sammanställt detta arbete. Detta har gjort att vi varit lika delaktiga, samt bidragit lika mycket, i allt från litteraturgenomgång, genomförande av intervjuer, sammanställning av resultat samt i slutsats och diskussion. Då transkribering är tidskrävande transkriberades två intervjuer var. Slutligen vill vi med dessa förord tacka vår handledare Annica Andersson som har varit till stor hjälp under arbetets gång. 2

3 Abstract Idag består en stor del av undervisningen i aritmetik på lågstadiet av att lära ut algoritmer. Detta trots att mycket forskning pekar på att algoritmräkning riskerar att hindra elevers matematiska utveckling. Syftet med denna studie är därför att undersöka hur undervisningen av algoritmer planeras och genomförs. De teoretiska ramverk som presenteras i denna studie är Anna Sfards teori om matematiska diskurser och commognition samt de behavioristiska och kognitivistiska synsätten på lärande. Synen på algoritmräkning har under de senaste decennierna förändrats. Forskning har visat att det finns både för- och nackdelar med algoritmräkning och för att elever ska gynnas av att räkna med algoritmer är det viktigt att de har en god talförståelse. För att kunna besvara denna studies frågeställningar användes en flermetodsstudie som inbegrep en kvalitativ och kvantitativ metod. Här användes både en enkät samt intervjuer. Utifrån resultatet ser man tydligt att algoritmer används av nästintill alla av de tillfrågade i enkäten och intervjuerna. Respondenterna var även eniga om att algoritmer är den skriftliga räknemetod som används mest samt att det är algoritmräkning eleverna väljer trots att andra skriftliga räknemetoder har introducerats. Slutligen visar studien att stor vikt bör läggas på förarbete genom att fokusera på elevernas talförståelse och kunskaper för positionssystemet för att eleverna ska gynnas av att använda algoritmer. Nyckelord: Algoritmer. Kvalitativ undersökning. Matematikundervisning. Teoretiskt ramverk. 3

4 4

5 Innehållsförteckning Teaching algorithms in primary school 1 Förord 2 Abstract 3 1. Inledning 6 2. Syfte och frågeställning 8 3. Bakgrund 9 4. Teoretiska perspektiv Behaviorismen, en atomistisk kunskapssyn Kognitivismen, processmetaforen och repetition Den matematiska diskursen och commognition Tidigare forskning Algoritmer i ett historiskt perspektiv Vinster och risker med algoritmer Instrumentell och relationell förståelse Ytterligare forskning Metod Datainsamling Kontext/urval Genomförande Enkäten Intervjuerna Etiska överväganden Analysmetod Validitet och reliabilitet Resultat och analys Vad har lärare för syn på algoritmer i undervisningen? Vilka utmaningar ser lärare med att undervisa algoritmer? Utmaningar och svårigheter med algoritmer Elevernas motivation Hur arbetar lärare för att stödja eleverna vid användandet av algoritmer? Bedömning av elevernas förståelse Slutsatser Resultatdiskussion Metoddiskussion 36 Referenser 38 Bilaga 1 41 Bilaga 2 42 Bilaga

6 1. Inledning Idag består en stor del av undervisningen i aritmetik av att lära ut algoritmer. Detta trots att mycket forskning pekar på att algoritmräkning riskerar att hindra elevers matematiska utveckling. Då algoritmer introduceras vid ett för tidigt tillfälle uppstår ofta missuppfattningar eftersom att eleverna ännu inte fått möjlighet att utveckla god taluppfattning samt tabellkunskaper (Johansson, 2006). Under vår verksamhetsförlagda utbildning har vi även fått dessa missuppfattningar bekräftade och därför är det av stort intresse för vår kommande profession att undersöka hur undervisningen av algoritmer ser ut på lågstadiet. I en tidigare kunskapsöversikt undersökte vi huruvida dessa specifika algoritmer hjälper eller stjälper yngre elevers matematiska utveckling under de första skolåren. Resultatet av kunskapsöversikten visade att algoritmräkning riskerar att hindra elevernas matematiska utveckling. Detta sker speciellt om algoritmerna introduceras vid ett för tidigt tillfälle, då eleverna ännu inte fått möjlighet att utveckla god taluppfattning samt tabellkunskaper (Johansson, 2006). Konsekvenserna av detta kan resultera i att man hämmar elevernas förmåga att skilja på de olika talsorterna samt innebörden av likhetstecknet, att det ska vara lika mycket på båda sidor av strecket, då likhetstecknet representeras av ett streck i en algoritm (Marklund, 1993). Dessutom kan bristande förståelse göra att eleverna byter plats på de lodräta siffrorna i subtraktionsalgoritmen genom att, istället för växla, alltid räkna det största talet subtraherat med det minsta (Torbeyns & Verschaffel, 2016). Trots resultatet ovan är vår uppfattning att det fortfarande fokuseras mycket på algoritmer i lågstadiet. Denna uppfattning bygger delvis på erfarenheter från vår verksamhets-förlagda utbildning samt att många av dagens matematikböcker innehåller räkning med algoritmer. För att få en större och mer generell bild av hur lärare arbetar med algoritmer är därför forskning utifrån lärares perspektiv och deras uppfattningar kring algoritmer av betydelse. Detta eftersom vi anser att det är viktigt för vår kommande profession att ha kunskap och kunna ta ställning till de skriftliga metoder man väljer att använda i sin undervisning. 6

7 I kunskapskraven för matematik i årskurs tre står följande Vid addition och subtraktion kan eleven välja och använda skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när talen och svaren ligger inom heltalsområdet (Skolverket, 2016, s.60). Då algoritmer är en skriftlig räknemetod kan undervisningen av algoritmer därför motiveras med hjälp av läroplanen. Således framgår det inte att det är ett krav att det är just algoritmer som eleverna ska lära sig, utan det är upp till varje enskild lärare att avgöra vilken eller vilka skriftliga räknemetoder man väljer att lära ut. 7

8 2. Syfte och frågeställning Syftet är att belysa, problematisera och analysera undervisningen av algoritmer genom att undersöka hur undervisningen av algoritmer planeras och genomförs på lågstadiet. I relation till studiens syfte kommer följande frågeställningar att undersökas: - Vad har lärare på lågstadiet för syn på algoritmer i undervisningen? - Vilka utmaningar ser lärare på lågstadiet med att undervisa algoritmer? - Hur arbetar lärare på lågstadiet för att stödja eleverna vid användandet av algoritmer? 8

9 3. Bakgrund Begreppet algoritm kan ha en mängd olika betydelser beroende på vilken kontext det ingår i. Förutom inom matematiken används ordet även adekvat inom bland annat programmering. Den allmänna beskrivningen av ordet algoritm är i själva verket en systematisk procedur som i ett ändligt antal steg anger hur man utför en beräkning eller löser ett givet problem (NE, u.å.). En algoritm kan liknas med en instruktion med specifika steg eller regler som måste följas i en viss ordning för att man ska kunna fullfölja en procedur. Detta skulle alltså kunna vara allt från hur man installerar ett program till hur man gör för att få bilen i rullning (NE, u.å.). I denna studie kommer vi att använda begreppet algoritm i en kontext kopplad till matematikämnet, där man även använder begreppet standardalgoritm. Inom matematik syftar begreppet algoritm till en speciell skriftlig uppställning av siffror som används för att kunna räkna ut större tal där huvudräkningen inte längre är tillräcklig. Man skriver upp talen enligt en viss mall och utför sedan uträkningen stegvis genom att ta hänsyn till vissa specifika regler (se bilaga 1). Eftersom att multiplikations- och divisionsalgoritmer inte får lika stort utrymme i undervisningen på lågstadiet och inte heller ingår i kunskapskraven i matematik för årskurs tre (Skolverket, 2016), är det framförallt additions- och subtraktionsalgoritmer som kommer att beröras i denna studie. 9

10 4. Teoretiska perspektiv I detta kapitel kommer de teoretiska ramverk som denna studie vilar på att presenteras. Inledningsvis kommer den behavioristiska och kognitivistiska synen på lärande att introduceras, två teorier som länge stått i centrum för forskning inom kunskap och lärande (Säljö, 2014). Därefter beskrivs Anna Sfards teori om den matematiska diskursen och commognition där lärande, enligt Sfard, sker då eleverna först får kommunicera med sig själva för att sedan uttrycka dessa tankar genom skrift och symboler. 4.1 Behaviorismen, en atomistisk kunskapssyn Inom behaviorismen är John B. Watson ( ) ett centralt namn (Säljö, 2014). Watson intresserade sig för människors beteende samt hur dessa beteenden växte fram. Hans idé var att varje beteende som en individ förvärvar kan brytas ned i mindre elementära komponenter, delbeteenden, som man behöver lära sig att bemästra innan man slutligen lärt sig det komplexa beteendet. Denna kunskapssyn är vad man inom utbildningsvetenskap kallar atomistisk, där de olika delbeteendena kan ses som byggstenar som så småningom bygger upp en mur. Att lära sig algoritmer innebär, i förhållande till Watsons syn på lärande, att förvärva de elementära byggstenarna som slutligen bygger upp det matematiska beteendet; att räkna med algoritmer genom att först kunna ta hänsyn till de olika stegen. Här krävs således ingen reflektion, förståelse eller insikt utan det är snarare en fråga om att inhämta de fasta regler som algoritmen består av. Med grund i detta intresserade sig inte Watson och andra företrädare inom behaviorismen för subjektiva känslor, såsom attityder och kognitiva processer, hos individen (Säljö, 2014). Förstärkningsprincipen är enligt Säljö (2014) ytterligare ett omtalat begrepp inom behaviorismen. Detta innebär att lärande sker genom positiv och negativ förstärkning, där den positiva förstärkningen stimulerar ett beteende medan den negativa stillar ett. Sätter man detta i relation till undervisningskontexten får eleverna positiv förstärkning då de ger ett önskvärt svar, de får bekräftelse och beteendet uppmuntras. Vid 10

11 algoritmräkning ges eleverna omedelbar förstärkning, antingen positiv eller negativ beroende på om deras svar är korrekt. 4.2 Kognitivismen, processmetaforen och repetition Enligt kognitivismens processmetafor ses människans tänkande som en process där individen hämtar och kodar information, vilket sker genom individens sinnen (Säljö, 2014). Information processas sedan i hjärnan för att slutligen lagras i minnesspår i minnet så att man kan hämta ut informationen igen. Människan kodar alltså all ny information i sitt minne i hjärnan för att vid ett senare tillfälle, då den behövs, kunna hämta ut den igen. Det är framförallt arbetsminnet som lagrar denna information och eftersom att detta minne är väldigt begränsat är det inte ovanligt att viss information faller bort. Man klarar alltså inte av att ha alltför mycket information aktiv på samma gång och detta avspeglas i att man inte längre hänger med. Målet är att så småningom kunna befästa denna information i långtidsminnet och detta, menar företrädare inom kognitivismen, sker genom repetition (Säljö, 2014). För att sätta detta i relation till räkning med algoritmer tänker vi oss att eleverna hämtar in information, såsom de olika reglerna för algoritmerna, som sedan lagras i minnet för att senare kunna hämtas då den behövs. Undervisning av algoritmer ska enligt det kognitivistiska synsättet ske genom repetition av räknemetoden (Säljö, 2014). 4.3 Den matematiska diskursen och commognition Då man vid räkning med hjälp av algoritmer först gör en enkel huvudräkning för att sedan steg för steg skriva ned resultatet enligt algoritmens olika regler, skulle den lärsituation som algoritmer baseras på kunna kopplas till Sfards (2001) teori om den matematiska diskursen och commognition. Att lära sig matematik innebär, enligt Sfard, att aktivt delta i särskilda matematiska diskurser där man genom att kommunicera med sig själv och med andra individualiserar diskursens olika mönster. Denna individualisering skapas genom att kontinuerligt imitera de olika mönster och regler som diskursen är uppbyggd av, vilket gör att eleverna så småningom inte enbart kan delta i diskursen utan de förstår även syftet med den och kan använda den i andra situationer (Sfard, 2001). Att lära sig algoritmräkning innebär således att lära sig att 11

12 delta i den diskurs där algoritmer ingår genom att kontinuerligt, själv och tillsammans med andra, imitera de mönster och regler som kännetecknar metoden. I enlighet med Sfards (2006) teori om commognition finns en stark koppling mellan kognition och kommunikation. Detta innebär att tänkande och språk är starkt förknippade, vilket exempelvis tydliggörs då eleverna lär sig genom att fundera över och sedan använda matematiska begrepp. Att tänka innebär i denna mening att kommunicera med sig själv och på detta sätt individualiseras tankarna och gör dem till sina egna. För att sätta detta i relation med algoritmer förutsätter räkning med metoden att eleverna använder sin kognitiva förmåga genom att tänka på de olika regler som de behöver ta hänsyn till för att sedan kunna uttrycka sig kommunikativt genom symboler. Jämförelser skulle kunna göras mellan Sfards (2006) och Vygotskijs (Säljö, 2014) syn på lärande. Precis som Sfard ansåg Vygotskij att tänkandet och språket går hand i hand vid elevernas kunskapsutveckling. Vygotskij menade dock att tänkandet utvecklas först då man använder redskap som antingen är språkliga eller materiella, så kallade medierande redskap (Säljö, 2014). Sfards uppfattning är istället att individens tanke är det som existerar först och att dessa tankar senare får ett språkligt uttryck. För att kunna analysera den empiri som tas upp i resultatet nedan kommer följande analysverktyg användas; repetition (processmetafor), matematisk diskurs, commognition samt atomistisk kunskapssyn. Då denna studie fokuserar på lärares uppfattning av algoritmer kommer dessa verktyg göra det möjligt att urskilja vilken kunskapssyn som genomsyrar undervisningen. 12

13 5. Tidigare forskning I detta kapitel kommer en del av den tidigare forskning som gjorts inom ämnet att redovisas. Inledningsvis kommer läsaren ges ett historiskt perspektiv för att sedan få en klarare bild av hur synen på algoritmräkning förändrats. Vinster och risker med algoritmräkning i undervisningen kommer att presenteras där bland annat vanligt förekommande missuppfattningar tas upp. 5.1 Algoritmer i ett historiskt perspektiv Algoritmer har under lång tid varit ett viktigt hjälpmedel för att beräkna högre tal, framförallt innan datorn och miniräknaren fick en stor roll i vår vardag (Löwing & Kilborn, 2003). Vid uträkning av höga tal, där något digitalt hjälpmedel inte finns till hands, är algoritmer den mest tidsbesparande metoden. Algoritmer inom de fyra räknesätten; addition, subtraktion, multiplikation och division underlättar alltså beräkningar där huvudräkningen inte längre är tillräcklig (Rockström, 2000). Detta, menar Löwing (2008), förutsätter dels att man har rätt kunskaper samt att man kan utföra operationerna på ett automatiserat sätt så att man inte behöver ägna allt för lång tid åt själva beräkningen. Undervisningen i den tidigare folkskolan var präglad av färdighetsträning där målet var att eleverna skulle automatisera reglerna för algoritmräkning. Skolämnet matematik hette då räkning och geometri och istället för att främja elevernas förståelse syftade undervisningen till att eleverna skulle öva och öva till färdigheterna befästs (Löwing, 2008). Räknande ansågs alltså vara kärnan i matematikundervisningen och algoritmräkning tog fram till på 90-talet upp 60% av all undervisningen i matematik (Hedrén, 1995). Även då grundskolan infördes 1961 levde den äldre föreställningen om räknandets betydelse kvar. Detta resulterade i att många elever fortfarande tränades i algoritmer långt innan deras talförståelse byggts upp. Det var inte ovanligt att detta skedde innan de behärskade talområdet 0-10, med inställningen att bespara tid (Rockström, 2000). Man kan även urskilja hur stor betydelse algoritmer haft i skolan genom att inspektera 13

14 de tidigare läroplanerna, exempelvis Lgr80, där det tydligt framgick att algoritmräkning skulle vara en väsentlig del av undervisningen (Skolöverstyrelsen, 1980). 5.2 Vinster och risker med algoritmer Synen på algoritmräkning har under de senaste decennierna förändrats. Det var under 90-talet som forskare runt om i världen började ifrågasätta vilken roll algoritmerna egentligen spelade för elevernas lärande (Engvall, 2013). Forskning har visat att det finns både för- och nackdelar med algoritmräkning och för att elever ska gynnas av att räkna med algoritmer är det viktigt att de har en god talförståelse (Marklund, 1993). En stor fördel med algoritmer är att när eleverna väl har befäst kunskaperna kan de räkna med algoritmer även om de inte använt dem under en längre tid (Mathematics Learning Study Committee, 2001). Ytterligare en fördel med algoritmräkning är att alla siffror ses som ental, vilket gör att man endast räknar med låga tal. Även de elever som har svårigheter med tabellkunskaper kan därmed klara av algoritmräkning med hjälp av fingerräkning (Rockström, 2006). Marklund (1993) menar dock att det finns en risk med att alla tal ses som ental, framförallt om eleverna saknar förkunskaper. Detta då det kan hämma elevernas förmåga att skilja på de olika talsorterna. Elever som inte har de förkunskaper som behövs för att behärska algoritmer kan även möta svårigheter vid inlärning av subtraktionsalgoritmer (Mathematics Learning Study Committee, 2001). Denna risk förekommer huvudsakligen då de ska räkna ut tal som kräver att de växlar, exempel (Torbeyns & Verschaffel, 2016). Då elever tidigare i deras skolgång fått kunskapen om att man inte kan subtrahera ett större tal från ett mindre tal, vänder de på siffrorna så att de alltid räknar det största talet subtraherat med det mindre. I exemplet ovan räknar eleverna då 9-5 istället för att växla ett av tiotalen i 435 till tio ental och då räkna En annan missuppfattning vid subtraktionsalgoritmer är att eleverna glömmer att minska värdet på det tal som de har växlat från, vilket leder till ett felaktigt svar. Svårighetsgraden vid uträkningen höjs ytterligare när talet inte har några tiotal, exempel 405-9, då eleverna först behöver växla från hundratalen. Eftersom detta kräver att eleverna växlar två gånger är det inte ovanligt att de missar den första växlingen från hundratalet. Deras svar på blir då 496 och det 14

15 blir tydligt att de saknar förståelse och inte ser rimligheten i sina svar eftersom detta är ett högre tal än det ursprungliga talet (Mathematics Learning Study Committee, 2001). Att eleverna saknar förståelse för vad de gör när de räknar med hjälp av algoritmer kan hindra dem från att tänka logiskt, vilket gör att de inte ser rimligheten i sina svar (Torbeyns & Verschaffel, 2016). Istället för att fokusera på att utveckla den förståelse som behövs för att eleverna ska kunna ta sig an ett problem, läggs en stor del av undervisningstiden på att minnas olika steg och regler (Kamii & Dominick, 1998). Ytterligare en missuppfattning som kan uppstå vid räkning med algoritmer är att eleverna tappar förståelsen för likhetstecknets betydelse eftersom likhetstecknet inte finns med i en algoritm utan istället representeras av ett streck. Detta resulterar i att eleverna kan ha svårigheter att förstå att talmängden ska vara överensstämmande på båda sidorna av strecket (Marklund, 1993). 5.3 Instrumentell och relationell förståelse Enligt Skemp (2006) kan man se på begreppet förståelse utifrån två olika innebörder, instrumentell och relationell förståelse. Då eleverna skapat sig en relationell förståelse vet de både vad de ska göra och varför, medan den instrumentella förståelsen enbart innebär att eleverna befäst särskilda regler och har förmåga att använda dem. Den instrumentella förståelsen betyder således inte att eleverna nödvändigtvis förstår vad de gjort när ett problem blivit löst, utan de har endast löst problemet med hjälp av ihågkomna regler. Idag är det den instrumentella förståelsen som är övervägande i matematikundervisningen, något som Skemp (2006) menar att det finns tre fördelar med. Denna typ av förståelse är inte bara snabbare utan även lättare att förstå. Eftersom man vid en relationell förståelse måste lära sig de olika reglerna som delar av en helhet där man måste kunna göra associationer och sätta dem i relation till varandra, tar utvecklingen av denna förståelse även längre tid. Vid instrumentell förståelse är det tillräckligt att minnas reglerna för att kunna svara rätt på frågan och på så sätt lösa ett problem (Skemp, 2006). Exempelvis är det svårare och tar därmed längre tid att förstå varför två negativa tal som multipliceras får ett positivt svar, än om man enbart lär sig regeln och 15

16 kan tillämpa den vid sådana problem. Eftersom det är tillräckligt att man har befäst de olika reglerna behöver eleverna inte ha några ytterligare kunskaper för att lösa ett problem. Detta är ytterligare en fördel med den instrumentella förståelsen eftersom eleverna inte behöver ta hänsyn till andra faktorer, vilket gör att det går fortare för dem att göra uträkningen samt att de får ett mer pålitligt svar. Att eleverna sparar tid genom att enbart inneha en instrumentell förståelse leder till den tredje och sista fördelen, att eleverna får omedelbar belöning (Skemp, 2006). Eftersom problemen löses med ett högre tempo blir följden att eleverna känner sig lyckade, vilket även gör att självkänslan ökar. Däremot behöver man befästa ett större antal regler vid en instrumentell förståelse än vid den relationella (Skemp, 2006). Detta beror på att man vid det sistnämnda har en djupare förståelse och därför kan anpassa de olika metoderna till ett flertal situationer och problem, även problem man aldrig tidigare stött på. Vid den instrumentella förståelsen behöver eleverna inte bara minnas vilka problem en viss metod fungerar på, de behöver även ständigt lära sig nya regler och metoder varje gång ett obekant problem uppkommer. Dessutom tenderar den instrumentella förståelsen att minska motivationen, framför allt hos de elever som vill veta bakgrunden till varför de räknar på ett visst sätt eller använder en särskild metod (Skemp, 2006). Det är därför av stor betydelse vilken syn den enskilda läraren har på begreppet förståelse. I de fall då matematikundervisningen bygger på en instrumentell förståelse får eleverna endast lära sig de olika reglerna och inget bortom just dessa. Detta är inte bara skadligt för motivationen, utan följden kan även bli att mycket enkla problem blir svåra eftersom eleverna inte tar andra logiska kunskaper i beaktning. Enligt Skemp (2006) kan en av anledningarna till att lärare, trots ovan beskrivna nackdelar, väljer att sträva efter en instrumentell förståelse vara att det traditionella synsättet på lärande fortfarande kvarstår. Hur undervisningen av algoritmer struktureras kan alltså skilja sig åt beroende på vilken uppfattning läraren har av begreppet förståelse. Vid en instrumentell förståelse ses algoritmer endast som en metod där eleverna lär sig regler på ett meningslöst sätt, vilket därmed minskar elevernas engagemang (Kamii & Dominick, 1998). För att elevernas kunskaper ska utvecklas pekar forskning på att matematikundervisningen, istället för att endast handla om lära ut förbestämda system eller regler, ska ses som en 16

17 aktivitet där fokus ligger på att lösa och hitta problem samt att utveckla goda förkunskaper (Mathematics Learning Study Committee, 2001). 5.4 Ytterligare forskning Studier har gjorts där man jämfört kunskaper hos elever som aldrig fått lära sig algoritmer med elever som fått räknesättet introducerat vid deras tidigare skolår (Kamii & Dominick, 1998). Dessa undersökningar visade att de elever som valde att använda egna sätt att göra räkneoperationer på, istället för algoritmer, oftare fick ett korrekt svar. Dessutom var de felaktiga svaren mer logiska hos dessa elever än för dem som räknat med hjälp av algoritmer. Detta väckte frågor kring huruvida algoritmerna var gynnsamma för elevernas lärande eller inte (Kamii & Dominick, 1998). I England har det gjorts en studie som visar på liknande resultat (Anghiler, 2006). England är ett av de länder där matematikundervisningen gått från att tidigare ha varit process-orienterad där fokus legat på räkning och rutiner till att nu istället använda räknandet i en mer situationsbunden kontext. Det framgick att när eleverna fick välja att använda den metod som passade bäst in i kontexten förbättrades deras resultat i matematik. Förbättringen kan bero på att dåtidens härmande inom matematikämnet samt att endast minnas olika strategier minskade elevernas intresse för ämnet. När eleverna själva är mer insatta i hur de kan använda olika metoder i en mängd situationer, ökar deras förståelse och därmed deras engagemang. Ett förslag har lagts fram i England angående att senarelägga undervisningen av algoritmer för att istället fokusera på andra mentala räknemetoder under elevernas första år i skolan. Detta för att de ska lära sig att välja och använda den metod som passar problemet bäst (Anghiler, 2006). Även i Belgien har studier gjorts där man låtit eleverna lösa räkneuppgifter med hjälp av antingen algoritmer eller huvudräkningsstrategier (Torbeyns & Verschaffel, 2013). Studien visade att om eleverna själva fick välja räknemetod så använde de oftast algoritmer, trots att det hade varit mer givande med en huvudräkningsstrategi. Siegler & Leimaire (1997, refererad i Torbeyns & Verschaffel, 2013) menar att detta kan bero på att eleverna blivit introducerade för algoritmer innan de fått utveckla kunskaper i huvudräkning samt att de förlitar sig mer på räknesättet eftersom att det är denna metod de är mest vana vid att använda. Dessutom lägger lärare ofta mer fokus på att lära ut 17

18 algoritmer. De lägger ned mer tid, samt ger mer korrekta och detaljerade instruktioner vid undervisningen av algoritmer än vad de gör när det gäller huvudräkningsstrategier. Att eleverna inte valde att använda huvudräkningsstrategier skulle även kunna förklaras med att det innebär en större belastning för arbetsminnet, vilket hade resulterat i att räkningen hade tagit längre tid (Torbeyns & Verschaffel, 2013). För att komma ifrån detta menar forskarna Siegler och Leimaire (1997, refererad i Torbeyns & Verschaffel, 2013) att man bör introducera en mängd olika räknestrategier istället för enbart algoritmer. Detta för att eleverna inte ska hänga upp sig på en viss strategi på grund av bekvämlighet. Eleverna måste ha förmågan att kunna välja att använda olika strategier kopplade till kontexten för att de ska kunna lösa problem effektivt, flexibelt, kreativt samt för att det ska kännas meningsfullt (Torbeyns & Verschaffel, 2013). Sammanfattningsvis kan man se att algoritmer länge varit en stor del av undervisningen. En stor fördel med algoritmräkning är att när eleverna väl befäst metoden kan de använda den även om den inte använts under en lång tid. Den forskning som tog fart under 90-talet pekade dock på att algoritmräkning som lärs ut separat, utan någon ytterligare undervisning i andra metoder, riskerar att hämma elevernas matematiska förståelse. Dessutom riskerar elevernas motivation att påverkas negativt av algoritmräkning då de riskerar att endast få en instrumentell förståelse. Detta hindrar eleverna från att tänka logiskt och de har svårt att se rimligheten i deras svar. Denna studie kommer att bidra med nya kunskaper om hur undervisningen av algoritmer på lågstadiet bedrivs samt hur lärare arbetar för att undgå de negativa aspekterna med algoritmräkning. 18

19 6. Metod För att kunna besvara våra frågeställningar användes en flermetodsstudie som inbegrep både en kvalitativ och en kvantitativ metod (Bryman, 2011). Genom att använda två metoder kunde problemet belysas djupare och från fler sidor, vilket ökade validiteten genom att vi mätte det vi faktiskt ville mäta (Stukát, 2011). 6.1 Datainsamling För att få en generell bild av undervisningen av algoritmer på lågstadiet genomfördes en kvantitativ undersökning i form av en webbaserad enkät där resultatet sedan användes som grund för de mer djupgående intervjufrågorna. Denna enkät gav oss en mer övergripande bild om ämnet som gjorde att vi kunde se mönster, generalisera och dra slutsatser. Enkäten utgjorde sedan grunden för de kvalitativa intervjuerna då vi fick möjlighet att fördjupa kunskaperna ytterligare (Eliasson, 2006). Intervjuer är en av de vanligaste kvalitativa metoderna, där intervjuaren samtalar med respondenten om ämnen som är bestämda i förväg (Eliasson, 2006). En intervju kan vara upplagd på olika sätt och i denna studie användes en semi-strukturerad form. En semi-strukturerad intervju är baserad på en guide med förberedda frågor eller ämnen, men låter nya frågor eller idéer tas upp under intervjun beroende på vad respondenten ger för svar (Robson, 2011). Detta ger i sin tur utrymme för att nytt material och nya synsätt ska kunna komma fram under tiden (Stukat, 2011). 6.2 Kontext/urval Denna undersökning baseras på 77 enkätsvar samt fyra intervjuer med verksamma lågstadielärare. För att kunna genomföra denna studie och få svar på de forskningsfrågor som formulerats var det av stor vikt att de som medverkade i undersökningen hade erfarenhet av att arbeta med algoritmer på lågstadiet. Detta är vad som kallas ett målstyrt urval där man aktivt väljer ut individer med direkt koppling till forskningsfrågorna (Bryman, 2011). Enkäten publicerades i tre Facebookgrupper riktade till lärare, en så kallad deltagarbaserad ansats där det finns visst engagemang hos 19

20 de som deltar (Ejlertsson, 2014). Detta leder i sin tur till att validiteten i studien ökar (Bryman, 2011). Vidare gjordes ett bekvämlighetsurval för att komma i kontakt med lärare som var villiga att medverka på en intervju (Bryman, 2011). Detta är en metod som används när tiden är begränsad vilket ofta är fallet när man skriver ett examensarbete. På grund av denna tidsbegränsning kan man därför med fördel välja att intervjua individer som är nära tillhands. I denna studie intervjuades fyra verksamma lärare inom F-3 på tre olika skolor i en stad i Skåne. För att respondenterna ska bibehålla full anonymitet har de fått fiktiva namn: Fredrika, Linda, Karin och Sara. Fredrika är utbildad grundskollärare i årskurserna ett till sju i ämnena svenska, SO och idrott men har även behörighet i andra ämnen då hon arbetat som lärare i 16 år. Fredrika arbetar i en mindre grupp med elever från årskurser mellan ett och sex som behöver särskilt stöd. Samtliga elever tillhör en ordinarie klass som de återgår till vid somliga tillfällen eller lektioner i veckan. Linda har arbetat som lärare i över 20 år. Genom en tidigare lärartjänst fick hon möjligheten att gå en matematik-utvecklingskurs där hon fick utveckla sina kunskaper i ämnet och ta del av en stor mängd användbara tips och idéer. Karin har arbetat som lärare i över tjugo år och är utbildad grundskolelärare i årskurserna ett till sju i ämnena svenska, SO och musik men har lärarlegitimation i alla ämnen upp till årskurs sex då hon har arbetat som lärare i många år. Sara har ingen lärarlegitimation men har arbetat på både hög- och lågstadiet flera år. Hon har både arbetat som klasslärare samt varit resurs där hon arbetat med elever som behöver särskilt stöd Genomförande Enkäten Enkäten skapades i Google formulär, ett kostnadsfritt verktyg på internet där man kan skapa egna formulär från grunden. Här framställdes ett dokument med elva både strukturerade och ostrukturerade frågor. En större mängd av frågorna var strukturerade med fastställda svarsalternativ och resterande var ostrukturerade frågor som var av mer 20

21 öppen karaktär där de tillfrågade fick skriva egna svar, se bilaga 2 (Stukát, 2011). De ostrukturerade frågorna gav de tillfrågade möjlighet att formulera svar som vi i förväg inte själva hade tänkt på. Under analysarbetet med den genomförda enkäten fick vi en övergripande bild av lärares allmänna syn på algoritmer i undervisningen. Utifrån dessa svar skapades sedan en mall med intervjufrågor som gjorde att ämnet kunde angripas på en djupare nivå Intervjuerna Som ovan nämnt användes en semi-strukturerad intervjuform i denna studie där vi utgick från en guide med förberedda frågor vid intervjutillfället. Denna guide innehöll frågor angående respondentens tankar om algoritmer, vilka för- och nackdelar de mött vid undervisning av algoritmer samt hur de lägger upp undervisningen av algoritmer (Se bilaga 3). Alla intervjuer genomfördes i ett enskilt rum där vi kunde sitta ostört, vilket var viktigt då varje intervju dokumenterades med hjälp av inspelning via en mobiltelefon. Bryman (2011) skriver om vikten av att spela in intervjuerna för att minska risken för feltolkning av respondentens svar och åsikter. När respondenten blivit informerad om vetenskapsrådets fyra forskningsetiska huvudkrav fortsatte intervjun med att en av oss ställde frågor utifrån den förbestämda guiden medan den andra flikade in med följdfrågor. Under samtliga intervjuer fick vi även möjligheten att se på det material som lärarna använder i sin undervisning av algoritmer. Vi ledde hälften av intervjuerna var och varje intervju tog mellan minuter. 6.4 Etiska överväganden Då vi spelade in intervjuerna var det av stor vikt att ha samtycke från samtliga respondenter. Intervjuerna inleddes därför med att vi gick igenom vetenskapsrådets fyra forskningsetiska huvudkrav som ska följas för att skydda den tillfrågade individen; informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet samt nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2002). Inledningsvis informerades respondenten om syftet med intervjuerna. Sedan förklarades samtyckeskravet, att hen inte behövde svara på alla frågor om det inte kändes bra samt att personen när som helst under intervjun fick lämna rummet. Vi förtydligade även att personen gavs full konfidentialitet. Slutligen 21

22 tydlig-gjordes nyttjandekravet, att endast den information om den tillfrågade som var till fördel för studien skulle användas. 6.5 Analysmetod Första steget i vår analys var att sammanställa resultatet från vår webbaserade enkät. Genom att skapa tabeller och diagram utifrån svaren på de strukturerade frågorna kunde vi tydligt se vilket svarsalternativ inom varje fråga som hade högst frekvens. För att kunna få en överskådlig bild över de öppna frågorna behövde de olika svaren kategoriseras. Slutligen gjordes en analys utifrån varje lärares enskilda svar, detta för att hitta mönster och kopplingar mellan de olika svaren. Nästa steg i analysen var att transkribera de relevanta delarna från varje intervju. Då transkribering är tidkrävande delades intervjuerna upp och vi utförde två var. Slutligen kontrollerade vi varandras material genom att lyssna igenom intervjuerna samtidigt som transkriberingen lästes. På de ställen där det var nödvändigt att förtydliga talspråket för att ge en bättre förståelse och möjlighet att analysera arbetet gjordes några enkla förbättringar (Bryman, 2011). När samtliga intervjuer var transkriberade sammanställdes resultatet genom att kategorisera svaren från intervjuerna utifrån de förbestämda frågorna från vår intervjuguide. Kategoriseringen gjordes alltså utifrån exempelvis huruvida de använde algoritmer i sin undervisning, om de använde matematikboken, vilka missuppfattningar och svårigheter de mött samt hur de arbetar med detta. Detta gjordes för att få en tydlig bild över skillnader och likheter mellan respondenternas svar. Då intervjufrågorna utgick från vår enkät kunde vi med hjälp av detta även se skillnader och likheter mellan resultaten från intervjuerna och enkäten. 6.6 Validitet och reliabilitet För att kunna göra en studie med så god kvalitét som möjligt är det viktigt att ha en del aspekter i åtanke. Detta är framförallt viktigt då man genomför intervjuer eftersom att faktorer såsom vem man intervjuar och hur man ställer frågorna kan påverka och spela roll för resultatet. 22

23 Ur kvalitetsaspekten vill vi därför redogöra för validiteten och reliabiliteten samt hur vi arbetade för att nå detta. Validiteten, att vi undersökte det vi ville undersöka, ökade i denna studie då två metoder användes, en enkät och en intervju (Stukát, 2011). Detta är fördelaktigt ur validitetsaspekten eftersom att den ena metoden kan kompensera den andra och man får en mer heltäckande skildring av det ämne som ska studeras (Bryman, 2011). Dessutom kunde vi se att liknande svar gavs på både enkäten och intervjuerna, vilket tydde på att tydliga frågor med litet tolkningsutrymme hade ställts. Ytterligare en faktor som ökade validiteten var att en pilotintervju genomfördes för att se kvaliteten och tydligheten på frågorna (Stukát, 2011). Även enkäten skickades ut till ett antal personer i förväg för att se om frågorna innehöll ett för stort tolkningsutrymme. Detta eftersom det är av stor vikt att frågorna är rätt formulerade så att inga missuppfattningar kan uppstå. Reliabilitet avser huruvida forskningsresultatet är upprepningsbart (Alvehus 2013, s. 122). Bryman (2011) skriver att det är svårt att uppnå hög reliabilitet i en kvalitativ undersökning då det är osannolikt att rekonstruera samma miljö och samma inställning som gällde vid det specifika intervjutillfället. Däremot har vi lyckats att höja reliabiliteten i denna studie med hjälp av den genomförda enkäten där 77 svar gavs som därmed kunde öka studiens bredd och generaliserbarhet. 23

24 7. Resultat och analys I följande kapitel kommer resultatet från enkäten samt intervjuerna att redovisas. Utifrån detta kommer följande frågor att besvaras; vad har lärare för syn på algoritmer i undervisningen, vilka utmaningar ser lärare med att undervisa algoritmer samt hur arbetar lärare för att stödja eleverna vid användandet av algoritmer? 7.1 Vad har lärare för syn på algoritmer i undervisningen? Resultaten från enkäten visar att alla utom en av de 77 tillfrågade använder algoritmer i sin undervisning samt att metoden oftast introduceras för eleverna på höstterminen i årskurs två. Fokus ligger då på att lära ut additions- och subtraktionsalgoritmer, som undervisas av samtliga av de tillfrågade lärarna (se diagram 1). Vilka algoritmer lär du ut? ANTAL Diagram 1; x-axeln visar antalet lärare som undervisar i de olika räknesätten. Y-axeln visar de olika svarsalternativen som de tillfrågade kunde välja bland, den tillfrågade kunde ange fler svarsalternativ. Vidare visar resultatet att alla utom tio av de tillfrågade använder matematikbok i sin undervisning samt att majoriteten av dessa använder läroboken Favoritmatematik. Av de fyra respondenterna som intervjuats använder samtliga algoritmer i sin matematikundervisning och i enlighet med de som svarat på enkäten så introducerar de räknemetoden för eleverna på höstterminen i årskurs två. Detta beror på att de följer matematikboken Favoritmatematik där algoritmer introduceras i höstterminens bok för 24

25 årskurs två. Även om samtliga introducerar algoritmer vid samma tidpunkt sker detta på olika sätt. Fredrika förklarar att då hennes elever följer den ordinarie klassens planering använder hon i många fall den metod som klassläraren använder när algoritmer introduceras. Märker hon att eleverna inte förstår den förklaring som getts försöker hon hitta andra, mer individanpassade metoder. Vidare förklarar Fredrika att de arbetar med algoritmer kontinuerligt när de väl har introducerat dem för eleverna samt att det är viktigt med repetition för att eleverna inte ska tappa förståelsen. Då Karin främst använder matematikboken med stöd av den tillhörande lärarhandledningen i sin undervisning är det dem hon följer vid introduktionen av algoritmer. Boken tar små steg, börjar med utan minnessiffror sen fortsätter det. Väldigt små steg. Man jobbar rätt så intensivt då med precis det. Jämfört med de böcker som jag har haft innan där man liksom kanske jobbar med tiotal och sen hoppar man till något annat för att jag tror att man av någon anledning tänker att det ska vara roligare för barnen. Men det innebär ju att de lär sig det inte riktigt. Detta är bättre tycker jag. För det är upplagt att man jobbar med det rätt intensivt. Och jag tror också att barnen tycker det är roligare för då fattar de bättre. (Karin) Här genomsyras undervisningen av den atomistiska kunskapssynen där lärandet i matematikboken sker i mindre steg för att man så småningom ska lära sig en helhet, i detta fall algoritmer (Säljö, 2014). Däremot krävs det enligt denna kunskapssyn ingen reflektion, förståelse eller insikt vid inhämtandet av algoritmens olika regler. Detta stämmer inte överens med Karins sätt att undervisa eftersom att hon lägger stor vikt på att eleverna ska utveckla förståelse genom att de arbetar intensivt med metoden. Repetition är enligt kognitivismens processmetafor en central metod vid inlärning, vilket även Karin instämmer med. Linda och Sara utgår från en metod där man använder tre stolar som representerar de olika talsorterna, ental, tiotal och hundratal. Eleverna får sedan gå fram till stolarna och skapa olika tal genom att själva agera siffror. När de märker att eleverna har fått förståelse kring positionssystemet introduceras algoritmer med en gemensam genomgång på tavlan. Även Linda och Sara förklarar att de arbetar med algoritmer intensivt under en period. Vidare berättar Sara, precis som Fredrika, att när eleverna väl har lärt sig använda algoritmer är det denna metod de vanligtvis väljer, framförallt vid 25

26 problemlösningsuppgifter. Enligt Fredrika skulle detta kunna bero på att man arbetat kontinuerligt med metoden och att eleverna fått djupare förståelse genom repetition. För att eleverna ska förstå syftet med en viss metod och därmed kunna använda den i olika situationer menar Sfard (2001) att eleverna måste få delta i den matematiska diskurs metoden ingår i. Eleverna kommer genom att kontinuerligt imitera diskursens olika mönster och regler, så småningom att förstå syftet med algoritmen. Då respondenterna arbetar med metoden intensivt under en period får eleverna alltså möjlighet att successivt bygga upp en relationell förståelse genom att kontinuerligt ingå i diskursen och imitera de olika reglerna. Detta gör att de så småningom även kan använda metoden i olika kontexter. Samtliga respondenter i denna studie lägger ned en stor del av undervisningstiden på algoritmer när de introduceras, detta för att det krävs mycket repetition för att eleverna ska befästa kunskaperna. Enligt kognitivismens processmetafor är det genom sådan repetition som eleverna kodar ny information i minnet för att vid ett senare tillfälle, då den behövs, kunna hämta ut den igen (Säljö, 2014). Resultatet från enkäten och intervjuerna visar tydligt att algoritmer är den skriftliga räknemetod som används mest i undervisningen. Vidare visar resultatet från enkäten att många av de tillfrågade även använder andra skriftliga räknemetoder i sin undervisning, men inte alls i samma utsträckning som algoritmer. Använder du andra skri8liga räknemetoder i din undervisning? Vilken skri8lig räknemetod använder du mest? 26% 74% 20% Ja 6.00% Nej 74% Algoritmer SkriBlig huvudräkning Olika metoder Diagram 2 och 3; Visar hur många av de tillfrågade i enkäten som använder olika räknemetoder samt vilken metod som används mest. Av de intervjuade var det dock endast Sara och Fredrika som använde andra skriftliga räknemetoder i undervisningen. Fredrika förklarar att hon alltid introducerar flera 26

27 räknemetoder parallellt för att eleverna sedan ska få möjlighet att välja den metod som känns bäst. Däremot ser hon tydligt att eleverna hon arbetar med mestadels väljer att använda algoritmer, detta då eleverna tycker att detta är den metod som är mest tydlig. Det är speciellt de här barnen med särskilda behov. De gillar när det är inrutat, att se början och slutet och att ha ett system att hålla sig till. Jag visar alltid andra varianter av uträkningar på olika sätt men de här eleverna väljer alltid algoritmer och det är tryggare. (Fredrika) Resterade två respondenter använder sig enbart av algoritmer i matematikundervisningen. Linda och Karin förklarar att det tidigare varit stora diskussioner kring användandet av algoritmer. Detta ledde till att andra metoder fick större plats i undervisningen men respondenterna hävdar att framförallt den så kallade skriftliga huvudräkningen förvirrar mer än vad den gör nytta. Skälet till att Linda återgick till algoritmer grundar sig även i att metoden innehåller tydliga mönster och att när eleverna väl befäst metoden så kan de den. Dessutom förklarar Linda att algoritmer underlättar för eleverna då de ska addera exempelvis tre stycken tresiffriga tal eftersom metoden är kompakt och därför inte tar så stor plats. I synnerhet om man jämför med den skriftliga huvudräkningen som tenderar att bli lång och som har många processer som eleverna behöver hålla i huvudet samtidigt. Även de andra respondenterna är eniga om att en stor fördel med algoritmer är den tydliga strukturen. Algoritmen är en metod, inget räknesätt i sig. Nej, det måste man ha koll på. Och det är en metod, den kanske inte passar alla men den passar väldigt många så det är den jag lär ut. (Linda) Genom denna empiri blir det tydligt att algoritmer är den skriftliga räknemetod som lärare använder mest i sin undervisning på lågstadiet. Detta eftersom att respondenterna anser att det är den metod som är mest fördelaktig då den följer en tydlig struktur, förutsatt att eleverna har tillräcklig förståelse samt vet hur de ska använda den. Då eleverna kontinuerligt får delta i den matematiska diskursen genom att imitera metodens olika regler får de möjlighet att utveckla en relationell förståelse som gör att de kan använda metoden i olika kontexter. Respondenterna 27

28 pekar även på att repetition är viktigt för att eleverna ska kunna använda metoden vid ett senare tillfälle, då den behövs. 7.2 Vilka utmaningar ser lärare med att undervisa algoritmer? 54 av de tillfrågade i enkäten anser att eleverna har lätt för att förstå algoritmer. De resterande, samt respondenterna, svarade att det är väldigt olika från elev till elev och att det till stor del beror på elevernas taluppfattning. Vidare förklarar respondenterna att med rätt förarbete, där mycket konkret material används, ökar elevernas förståelse för metoden Utmaningar och svårigheter med algoritmer Svårigheter: Antal: Tiotalsövergångar/växling 59 Blandar ihop algoritmer för addition och subtraktion 38 Byter plats på de lodräta siffrorna i subtraktionsalgoritmen, räknar alltid 37 det största talet subtraherat med det minsta Positionssystemet 30 Svårt att komma ihåg de olika stegen 24 Saknar förståelse 20 Tabell 1; Tabellen visar hur många av de tillfrågade i enkäten som har stött på de olika svårigheterna. I tabellen ovan blir det tydligt att den svårighet de tillfrågade främst ser hos eleverna sker vid tiotalsövergångar samt vid den så kallade växlingen. Karin förklarar att hon upptäckt att många elever har problem med minnessiffrans betydelse vid additionsalgoritmen samt att de inte förstår var tian kommer från vid växlingen i subtraktionsalgoritmen. Även Linda pekar på svårigheter med minnessiffran. Många av hennes elever hoppar över steget att skriva minnessiffra då de menar att de har siffran i huvudet. Detta eftersom att eleverna inte har motivationen att utföra sådana steg som känns onödiga. Genom att låta eleverna räkna ut fyra eller fem tal som ska adderas förstår de varför det är viktigt att skriva upp minnessiffran. Även Sara förklarar att en 28

29 del av hennes elever vill hålla räkningen i huvudet och hennes uppfattning är att just dessa elever inte vill använda algoritmer då de tycker att det tar för långt tid. Vidare menar Linda att subtraktionsalgoritmen överlag är svårare för eleverna. Detta eftersom att det vid subtraktion inte försvinner något från pappret utan siffrorna står kvar under hela uträkningen, vilket kan förvirra eleverna. Karin pekar på ytterligare en svårighet med subtraktionsalgoritmen. Vid tal som 4-6 eller där man ska subtrahera från nollan påstår eleverna att det inte går och därför vänder de på subtraktionen och räknar 6-4 istället för att växla. Bristande förståelse för positionssystemet och siffrornas värde är något Sara har märkt påverkar elevernas rimlighetstänk, vilket då gör metoden meningslös. En gemensam uppfattning hos både Sara och Linda är att bristande förståelse för positionssystemet kan göra att eleverna har svårt att placera siffrorna på rätt plats i algoritmen. Detta sker framförallt vid tal med olika antal siffror, exempel , vilket gör att eleverna har svårt att sätta rätt talsort under varandra. Det är inte bara den bristande förståelsen för positionssystemet som kan ställa till med problem. Sara förklarar att om eleverna saknar förståelse för att det lodräta strecket i algoritmen representerar det traditionella likhetstecknet förstår de inte heller att det är svaret som ska skrivas under detta. Linda klargör att det är viktigt att man som lärare använder ett korrekt språkbruk när man förklarar streckets betydelse i algoritmen. Att använda fraser som vad blir det? istället för vad är det? kan förvirra eleverna eftersom att en uträkning inte blir något. Tror eleverna att det blir något så kan de uppfatta att de är färdiga även om lösningen inte stämmer överens med det tal som ska räknas Elevernas motivation Samtliga respondenter är överens om att när eleverna väl lärt sig att räkna med algoritmer och förstår vad de gör ökar deras motivation för att använda metoden. Karin förespråkar matematikboken och menar att elevernas motivation ökar genom användandet av denna. 29

30 Det mesta som de förstår tycker de är roligt. Man tycker ju det är lite galet att de tycker det är roligt med en hel sida algoritmer, men när de lär sig det och förstår det så oftast tycker de att det är roligt. Denna bok är ju upplagd så att man har två sidor som är en grund, som hela klassen gör. Sen är där en liten blå ruta på andra sidan som jag använder som test och som jag snabbt rättar under lektionen. Eleverna tycker det är kul när det går bra! (Karin) Enligt det behavioristiska synsättet på lärande är detta ett resultat av att eleverna ges positiv förstärkning vid korrekta uträkningar, vilket stimulerar deras motivation (Säljö, 2014). Linda pekar på vikten av att förklara för eleverna varför det är bra att kunna räkna med algoritmer. Istället för att visa eleverna genom en algoritm, som med fördel räknas genom huvudräkning, ställer hon upp två sexsiffriga tal som hon ber eleverna räkna ut. Inledningsvis menar eleverna att de inte kan räkna ut den sortens höga tal, men efter en kort diskussion upptäcker de ofta att det är möjligt att lösa uppgiften så länge de kan algoritmernas olika steg. På detta sätt förstår eleverna varför det lönar sig att kunna räkna ut tal med hjälp av algoritmer. Sammanfattningsvis visar resultatet att det förekommer utmaningar med att undervisa algoritmer på lågstadiet. Samtliga lärare som medverkat i studien pekar på att det, vid bristande förståelse, kan uppstå en rad missuppfattningar då eleverna introduceras för algoritmer. 7.3 Hur arbetar lärare för att stödja eleverna vid användandet av algoritmer? Samtliga respondenter pekar på vikten av att eleverna har god förståelse för positionssystemet och talens värde innan algoritmer introduceras. De tycker att det är fördelaktigt att lägga stort fokus på detta så snart eleverna börjar skolan. Detta leder i sin tur till att när algoritmerna introduceras i andra klass har de redan de förkunskaper som behövs för att de ska förstå operationen. Linda och Sara använder metoden med stolarna redan i årskurs ett just för att öka elevernas förståelse för positionssystemet. 30

31 Trots att mycket tid har lagts ner på förarbete förekommer, som tidigare nämnt, vissa svårigheter och det är av stor vikt att stödja eleverna i detta. Resultatet från enkäten visar att detta stöd kan ske på olika sätt, se resultat nedan. Dessutom visar enkäten att det stöd som främst förekommer är att använda konkret material samt att arbeta med positionssystemet och taluppfattningen. Lista över de stöd som ges till eleverna av de tillfrågade i enkäten. Även respondenterna använder sig av liknande metoder för att stödja eleverna. Karin förklarar att det bästa alltid är att samtala med eleverna och att använda konkret material. Detta då hon anser att det är betydelsefullt för eleverna att få använda alla sina sinnen och få känna på det som ska räknas med händerna, framförallt om man har svårigheter. Vikten av att använda konkret material i undervisningen av algoritmer är något som även de andra respondenterna pekar på. Ytterligare en metod som samtliga respondenter menar är en framgångsfaktor vid undervisning av algoritmer är repetition samt att det ibland är nödvändigt att man backar några steg och går tillbaka till att repetera positionssystemet och talförståelsen. Men då känns det som man måste backa bandet. För det spelar ingen roll att jag hjälper till att skriva upp uppställning. Nu är den rätt, nu är det rak, gör såhär för då känns det som man måste backa till vad är positionssystemet?, Vad är taluppfattning?. (Sara) Linda förklarar även hur viktigt det är att man uttrycker sig rätt, framförallt när man introducerar något nytt för eleverna där det är viktigt att det blir rätt från början så att eleverna inte befäster kunskaper som är felaktiga. Vid introduktion av algoritmer förklarar Linda vikten av att man poängterar för eleverna att man räknar entalen först, 31

32 sedan tiotalen och till sist hundratalen samt att man säger två tiotal adderat med tre tiotal och inte två adderat med tre när det är tiotalen man räknar. Slutligen använder även Linda en stor mängd spel, både fysiska och datorbaserade, för att stödja eleverna i undervisningen av algoritmer. Här menar Linda att eleverna utvecklar kunskaper utan att egentligen reflektera över att det är ett lärandetillfälle Bedömning av elevernas förståelse Då samtliga respondenter lägger stort fokus på elevernas förståelse ser vi tydligt att de delar Sfards (2006) föreställning om commognition, där eleverna inledningsvis tänker på algoritmen och dess olika steg för att sedan uttrycka resultatet genom symboler. De lärare som ingår i denna studie fastställer att det är svårt att urskilja vilken sorts förståelse eleverna har, detta eftersom att uträkningen sker kognitivt. Har eleverna bristande förståelse resulterar detta även i att det som skrivs ned blir inkorrekt och därför är det av stor vikt att samtala med eleverna. Fredrika poängterar att det är en stor fördel att kunna arbeta med en liten grupp när det handlar om att kunna ge eleverna en likvärdig bedömning. Då gruppen består av ett mindre antal elever samt högre personaltäthet har pedagogerna större möjlighet att sitta bredvid eleverna och genom samtal och diskussioner kunna göra en individuell bedömning. Fredrika hävdar att det är detta som samtidigt kan vara en stor svårighet för många lärare i de ordinarie klasserna där läraren inte har lika mycket tid för varje enskild elev. Detta kan då leda till att somliga elever endast har instrumentell förståelse och räknar algoritmerna rätt, utan att de egentligen vet vad de faktiskt gör. Även Karin samt Linda menar att samtalet är en grundläggande strategi för att se om eleverna verkligen förstår vad de gör när de räknar med hjälp av algoritmer. Det är i samtalet med eleverna som Linda upptäcker om eleverna har relationell eller instrumentell förståelse samt om det finns något som bör arbetas vidare med. Sara förklarar istället att det blir tydligt om eleverna skapat sig en förståelse för algoritmer när de aktivt gör valet att använda metoden i olika situationer där den lämpar sig. Det som sker här är att eleverna individualiserat diskursen där algoritmräkning ingår, vilket gör att de får en relationell förståelse och kan tillämpa metoden vid olika situationer och 32

33 kontexter. Det ser man. Ja men det är väl lite när de väljer att använda det. Alltså om de får en problemlösning och väljer att ställa upp talet. Istället för att bara kanske skriva talet eller kladda något annat. Men när de väljer att använda sig av algoritmer då känns det ju som att de förstår vad de gör. Kan de sätta det i ett sammanhang så Tänker jag. (Sara) Genom en sammanställning ser man att samtliga respondenter är eniga om att det är av stor vikt att eleverna har god taluppfattning samt att de har förståelse för positionssystemet. Trots att det läggs mycket fokus på att befästa de förkunskaper som krävs vid introduktion av algoritmer, uppstår svårigheter. Då svårigheter uppstår stödjer lärarna eleverna genom att bland annat repetera, samtala samt att använda konkret material. 33

34 8. Slutsats och diskussion I följande kapitel kommer syftet kommer syftet diskuterar med stöd av det resultat som framkommit genom forskningsfrågorna. Syftet med denna studie är att belysa, problematisera och analysera undervisningen av algoritmer genom att undersöka hur undervisningen av algoritmer planeras och genomförs på lågstadiet. 8.1 Slutsatser Utifrån resultatet ser man tydligt att algoritmer används av nästintill alla av de tillfrågade i enkäten och intervjuerna. Gemensamt för respondenterna är att algoritmer är den skriftliga räknemetod som används mest i undervisningen samt att det är algoritmräkning eleverna väljer även om andra skriftliga räknemetoder har introducerats. Detta eftersom att de anser att det är den metod som är mest fördelaktig då den följer en tydlig struktur. Samtliga respondenter är även överens om att en stor del av undervisningstiden läggs på att träna algoritmer när de introduceras eftersom att det krävs mycket repetition för att eleverna ska befästa kunskaperna. Då eleverna kontinuerligt får delta i den matematiska diskursen genom att imitera metodens olika regler får de möjlighet att utveckla en relationell förståelse som gör att de kan använda metoden i olika kontexter. Enligt kognitivismens processmetafor är det genom sådan repetition som eleverna kodar ny information i minnet för att vid ett senare tillfälle kunna hämta ut den igen (Säljö, 2014). Det finns även inslag från den behavioristiska kunskapssynen då Karin enbart utgår från matematikboken i sin undervisning och menar att detta är en fördel eftersom att läromedlet på ett tydligt sätt går igenom algoritmens olika delar i mycket små steg. Detta är vad man enligt behaviorismen kallar en atomistisk kunskapssyn där lärandet sker i mindre steg för att man så småningom ska lära sig en helhet, i detta fall en algoritm (Säljö, 2014). Resultatet visar även att alla lärare i olika utsträckning har mött svårigheter vid undervisning av algoritmer. De svårigheter som oftast förekommer är att eleverna blandar ihop additions- och subtraktionsalgoritmerna samt att de vänder på de lodräta siffrorna i subtraktionsalgoritmen, så att de alltid räknar det högsta talet subtraherat med 34

35 det minsta. Eleverna möter även svårigheter vid räkning med algoritmer som innehåller tiotalsövergångar. Samtliga respondenter menar att dessa svårigheter beror på bristande förståelse hos eleverna vilket i sin tur minskar elevernas motivation. Slutligen visar resultatet att stor vikt bör läggas på förarbete genom att fokusera på elevernas talförståelse och kunskaper för positionssystemet. Trots att mycket fokus har lagts ner på förarbete förekommer, som tidigare nämnt, vissa svårigheter som lärarna behöver stödja eleverna i. Samtliga respondenter pekar på att det är en framgångsfaktor att samtala med eleverna för att få syn på sådana svårigheter och missuppfattningar. Detta då räknemetoden följer Sfards (2006) förställning om commognition där lärandet först sker kognitivt för att sedan överföras till skrift. Slutligen stödjer även lärarna eleverna genom bland annat repetition samt att använda konkret material. 7.2 Resultatdiskussion I relation till den tidigare forskning som gjorts i ämnet kan man urskilja både likheter och skillnader med denna studie. Det som forskning pekar på är att algoritmräkning kan riskera att hindra elevernas matematiska utveckling (Johansson, 2006; Engvall, 2013; Marklund, 1993). En stor del av denna kritik grundar sig på att det är vid tillfällen då algoritmerna introduceras för tidigt som elevernas utveckling kan hämmas. Detta då eleverna i dessa fall ännu inte hunnit utveckla den förståelse som krävs för att de ska veta vad de faktiskt gör när de använder sig av algoritmer i sina uträkningar (Torbeyns & Verschaffel, 2016). De har alltså inte utvecklat en relationell förståelse (Skemp, 2006). Eftersom samtliga av de som medverkat i denna studie har uppfattningen av att eleverna har förståelse för metoden då den vanligtvis introduceras under höstterminen i årskurs två, borde detta därför inte vara en risk. De lärare som medverkat i intervjuerna förklarar att det under elevernas första år i skolan läggs stor vikt på att öka elevernas talförståelse samt deras kunskaper kring positionssystemet. Detta gör i sin tur att lärarna anser att eleverna har de förkunskaper som krävs när algoritmerna introduceras. Vidare kan man se att svårigheterna som nämns i resultatet ovan stämmer överens med dem som framkommit genom tidigare forskning, vilka tyder på bristande förståelse (Torbeyns & Verschaffel, 2016). Detta kan väcka funderingar kring huruvida eleverna verkligen har rätt förkunskaper när algoritmer väl introduceras. Man måste dock ha i 35

36 åtanke att det alltid kan uppstå svårigheter när ett nytt område introduceras för eleverna i skolan. Det är därför viktigt att lärarna är medvetna om vilka svårigheter och eventuella missuppfattningar som kan uppstå vid algoritmräkning. Detta för att de aktivt ska kunna arbeta stödjande gentemot eleverna så att de kan få en relationell förståelse och därmed gynnas vid användandet av metoden (Skemp, 2006). Den relationella förståelsen gör i sin tur att elevernas motivation ökar, de tänker mer logiskt och kan använda metoden i olika kontexter. Detta trots att metoden inte använts under en längre tid (Mathematics Learning Study Committee, 2001). I kunskapskraven för årskurs tre i matematik står det Vid addition och subtraktion kan eleven välja och använda skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när talen och svaren ligger inom heltalsområdet (Skolverket, 2016, s.60). Då det är upp till varje enskild lärare att avgöra vilken eller vilka skriftliga räknemetoder som ska få ta plats i undervisningen är denna studie av stor relevans för vår framtida profession. Detta eftersom algoritmer är den metod som lågstadielärare använder mest och man behöver därför vara medveten om vilka utmaningar som kan uppstå samt hur man kan arbeta stödjande för eleverna. Dock saknas ny forskning och därför hade en längre komparativ studie där eleverna introducerats för olika skriftliga räknemetoder vara av stort intresse. Detta för att kunna följa eleverna och se hur deras matematiska förståelse utvecklas genom olika räknemetoder. Vilken sorts undervisning och metod som är mest gynnsam för lågstadieelever vid räkning av högre tal skulle därför kunna vara en fråga för vidare forskning. 8.3 Metoddiskussion För att kunna se på denna studie ur ett kvalitetsperspektiv bör man diskutera metoden och de val som gjorts ur olika aspekter. Valet att publicera webbenkäten på Facebook istället för att skicka ut den via mejl berodde på att många mejllådor idag innehåller en stor mängd skräppost. De inkommande mejlen riskerar därför att bli obemärkta vilket gör det svårt att få lika hög delaktighet och uppmärksamhet vid en sådan metod (Ejlertsson, 2014). 36

37 Vidare påverkas även studien av valet att använda en semi-strukturerad intervjuform. Då en semi-strukturerad intervjuform tillåter ett mer öppet intervjuklimat där nya frågor och svar kan tillkomma tar inte bara intervjun, utan även transkriberingen och analysen längre tid (Stukát, 2011). Om ett större antal intervjuer genomförs, vid studier som är tidsbegränsade som denna, tenderar dessa att bli ytliga då tiden inte räcker till. För att undvika detta bör man därför begränsa antal intervjuer, framförallt om syftet är att fördjupa sina kunskaper inom ett visst ämne där det krävs att man går på djupet. Dessutom upptäckte vi, efterhand som intervjuerna fortskred, att samtliga respondenter gav liknande svar. Vi nådde en teoretisk mättnad där intervjutillfällena inte längre gav oss någon ny information, vilket gjorde att vi beslutade att de fyra intervjuerna vi genomfört var tillräckliga (Bryman, 2011). Detta skulle dock kunna grunda sig i vårt sätt att ställa frågorna på samt vilka sorts frågor som ställdes. Då vi redan gjort en litteraturöversikt och därför var insatta i forskningen kring ämnet, kan frågorna som ställdes ha varit något ledande. Ett alternativ skulle kunna vara att ha fokusgruppsintervjuer istället, då detta hade kunnat uppmuntra till andra sorts diskussioner där vi inte enbart ställde frågor som skulle besvaras. Vårt önskemål hade varit att genomföra intervjuer med ett större antal lärare som inte arbetade i samma stad, detta för att kunna generalisera genom att ha en heterogen spridning på respondenterna. På grund av en del faktorer fick dock ett bekvämlighetsurval göras. Som ovan nämnt var tidsbristen en bidragande faktor men det uppstod även stora svårigheter med att hitta respondenter som var villiga att ställa upp på intervjuer. Ett flertal lärare och rektorer runt om i Skåne kontaktades utan någon respons vilket gjorde det svårt för oss att den bredd vi önskat. 37

38 Referenser Alvehus, J (2013). Skriva uppsats med kvalitativ metod: en handbok. (1. uppl.) Stockholm: Liber. Anghileri, J (2006). A study of the impact of reform on students' written calculation methods after five years' implementation of the National Numeracy Strategy in England. Oxford Review of Education, 32:3, Bryman, A. (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. (2., [rev.] uppl.) Malmö: Liber. Ejlertsson, G. (2014). Enkäten i praktiken: en handbok i enkätmetodik. (3. [rev.] uppl.) Lund: Studentlitteratur. Eliasson, A. (2006). Kvantitativ metod från början. Lund: Studentlitteratur. Hedrén, R. (1995). Miniräknaren eller algoritmer i den elementära matematikundervisningen: en studie av tänkbara konsekvenser av att beräkningar i dag i stor utsträckning görs med hjälp av miniräknare och datorer. Falun: Högskolan. Hedrén, R. (2001). Räkning i skolan i dag och i morgon. I: Grevholm, B. (red.) (2001), Matematikdidaktik ett nordiskt perspektiv. (s ). Lund: Studentlitteratur. Johansson, B. (2006). Elever har rätt att få lära sig räkna. Nämnaren 33(1), Kamii, C., & Dominick, A. (1998). The harmful effects of algorithms in grades 1-4. I: Morrow, L.J. & Kenney, M.J. (red.) (1998). The teaching and learning of algorithms in school mathematics. (s ). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Löwing, M. & Kilborn, W. (2003). Huvudräkning: en inkörsport till matematiken. Lund: Studentlitteratur. 38

39 Löwing, M. (2008). Grundläggande aritmetik: matematikdidaktik för lärare. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur. Mathematics Learning Study Committee, Center for Education, Division of Behavioral and Social Sciences and Education (2001). Adding it up: helping children learn mathematics. Washington, D.C.: National Academy Press.) Marklund, C. (1993). För mycket algoritmräknande? Nämnaren 20(3), NE.se [Elektronisk resurs]. (U.Å.). Malmö: Nationalencyklopedin Robson, C. (2011). Real world research: a resource for users of social research methods in applied settings. (3. Ed.) Chichester: Wiley. Rockström, B. (2000). Skriftlig huvudräkning: metodbok. (1. uppl.) Stockholm: Bonnier utbildning. Rockström, B. (2006). Ska man lära sig algoritmerna? Nämnaren 33(2), Sfard, A. (2006). Participationist discourse on mathematics learning. I J. Maasz & W. Schlöglmann (red.): New mathematics education research and practice, Rotterdam: Sense Publishers. Skemp, R. (2006). Relational Understanding and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching In The Middle School, 2, p. 88, JSTOR Journals, EBSCOhost, Skolverket (2016). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad (3., kompletterade uppl.) Stockholm: Skolverket. 39

40 Skolöverstyrelsen (1980). Läroplan för grundskolan: Lgr 80. Stockholm: LiberLäromedel/Utbildningsförlaget. Stukát, S. (2011). Att skriva examensarbete inom utbildningsvetenskap. (2. uppl.) Lund: Studentlitteratur. Säljö, R. (2014). Den lärande människan teoretiska traditioner I Lundgren, U.P., Säljö, R. & Liberg, C. (red.). Lärande, skola, bildning: [grundbok för lärare]. (3., [rev. och uppdaterade] utg.) (s ). Stockholm: Natur & kultur. Torbeyns, J. & Verschaffel, L (2013) Efficient and flexible strategy use on multi-digit sums: a choice/no-choice study. Research in Mathematics Education, 15:2, , Torbeyns, J., & Verschaffel, L. (2016). Mental computation or standard algorithm? children's strategy Choices on multi-digit subtractions. European journal of psychology of education, 31(2), Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet. 40

41 Bilaga 1 41